空气动力学基础23 环量与涡量.ppt

dS


2
cosdS
式中的S 是任意形状空S 间曲面，γ是S曲面上微面积
dS 的法线和ω的轴线之间的夹角。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系 在有旋流动中，速度环量与涡量存在着十分密切 的联系。为说明这个联系，首先考察二维流场。
在二维流场中，任取封闭曲线，然后把该封闭曲线 所围成的面积用两组坐标的平行线分割成一系列微 小面积，做每一块微小面积的速度环量并求和，得 到总的速度环量。对于微元ABCD，速度环量为
§ 2.5.1 环量与涡的概念



V

ds

V
cosds
L
L
如果把一个速度向量分成三个
坐标轴方向的三个分量u,v,w ,
把线段ds也分解成dx, dy, dz 三 (a) 沿曲线AB作速度的线积分
个方向的三个线段，有：
(b) 沿闭曲线速度的线积分
V ds udx vdy wdz
得的环量等于曲线所围面积上每个微团角速度的2倍 乘以微团面积之和，即等于通过面积S的涡通量。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
如果围线内没有涡通量，那末沿围线的环量必是 零。如果把围线放大一些，尽管面积放大了，但 只要包进去的面积里没有涡通量，那么环量值并 不会改变。沿任何围线只要速度环量等于零，就 说明围线内无涡通量。
涡管
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§ 2.5.1 环量与涡的概念 涡线是截面积趋于零的涡管。涡线和涡管的强度 都定义为绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。
涡量在一个截面上的面积分称为涡通量，在平面
问题中，涡通量就是：
z
n γ

2zdS
S
dS
dS
S
平面问题的涡通量 空间问题的涡通量
在三维空间问题中，
涡通量就是：

2
§ 2.5.2 环量与涡量的关系

d V ds
ABCDA

u

u x
dx 2
dx

v

v x
dx

v y
dy 2
dy

u

u y
dy

u x
dx 2
dx

v

v y
dy 2
dy


v x
y
dy


z
dz)


L
d

0
说明在无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度环 量均等于零。但是对有旋流动，上述结论并不成立， 绕任意一条封闭曲线的速度环量一般不等于零。
§ 2.5.1 环量与涡的概念
涡量概念 是指流场中任何一点微团角速度之二倍， 如平面问题中的2ωz ， 称为涡量，涡量是个纯运 动学的概念。

u y
dxdy

2z
dxdy
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
绕整个封闭曲线的速度环量为（上图中微元矩形 块的重合部分做线积分时因正负号相反而相消）



V
L

ds

L
(udx

vdy)


s
(
v x

u y
)dS


s
2z
dS
上式即为二维问题中的格林公式。
表明：沿平面上一封闭围线 L做速度的线积分，所
于是环量表达式为：
(udx vdy wdz)
L
§ 2.5.1 环量与涡的概念
如果流动是无旋的， 存在位函数Φ ， 那末上式 中的 u ,v ,w 都可以用Φ 的偏导数表达：
u v
x
y
w
z



L
(V

ds )


L
(
x
dx



(
v x

u y
)dxdy
其实这就是是斯托克斯公式，描述曲线积分与曲面 积分之间的关系。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
表明：沿空间封闭曲线 L 的环量，等于穿过张在
L上任意曲面 S上的涡通量，涡通量的数值与所张
推广到三维空间中的封闭曲线L上，计算的速度环
量仍等于二倍角速度乘围线所包的面积，但这面
积应取其在与涡线相垂直的平面上的投影值。沿
一块有限大的曲面 S 的围线 L的环量仍等于 S
面上各点的二倍角速度与面积
dS
点积：
§ 2.5.2 环量与涡量的关系



V

ds


2

dS


rotV
§ 2.5.1 环量与涡的概念
像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲
线，该线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条
曲线叫涡线。涡线的微分方程是（给定时刻，t
为参量）：

dx dy dz
涡线
x y z
给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线） 涡面 的所有涡线构成的曲面称为涡面。
由封闭涡面组成的管状涡面称为涡管。

dS
L
S
S
展开即：
(udx vdy wdz)
L
w v
u w
v u



s
(
y

) cos(n, x) (
z
z

x
) cos(n,
y) ( x

y
)
cos(n,
z)dS


S
( w y

v z
)dydz

(
u z

w )dzdx x
在三维流里，流体微团可以有三个方向的角速度
ωx ,ωy ,ωz ,三者合为一个合角速度是：

xi y j zk

x2


2 y

z2
涡量可写为：
rotV


2


V
旋转轴线都按右手定则确定。合角速度是个向量，
它的三个方向余弦是ωx/ω,ωy/ω ,ωz/ω。
§ 2.4 环量与涡
§ 2.4.1 环量与涡的概念
研究流动的问题，还有两面个极重要的概念，一 个叫环量，一个叫做涡。
速度环量：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该 封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。
速度环量的符号决定于流场的速度方向和绕行方向 规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的 区域总在行进方向的左侧。
空气动力学基础
第2章 流体动力学和运动学基础
沈阳航空航天大学 航空航天工程学院 飞机设计教研室
2014年3月
第 2 章 流体运动学和动力学基础
§2.1 描述流体运动的方法 §2.2 流体微团运动的分析 §2.3 理想流体运动微分方程组
•2.3.1 连续方程 •2.3.2 Euler运动微分方程组 •2.3.3 Bernoulli积分及其物理意义 •2.3.4 Bernoulli方程的应用 §2.4 流体运动积分方程组 •2.4.1 Lagrange型积分方程 •2.4.2 Reynolds输运方程 •2.4.3 Euler型积分方程 § 2.5 环量与涡