二阶系统的阶跃响应(PPT课件)

tp d
d n 1 2
二、二阶系统的动态过程分析
4、最大超调量 %的计算 1 c(t ) 1 e sin( t ) 在 中，将t t p 代入得 1
n t 2 d
c(t p ) 1
1
因为 cos
1 2 则 sin( ) 1 2
第三章 时域分析法
第二节 二阶系统的阶跃响应
二阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的动态性能分析
（动态指标求取） 二阶系统的其他输入响应
一、二阶系统的阶跃响应

典型二阶系统的结构图

闭环传递函数为
一、二阶系统的阶跃响应

特征方程

特征根

显然阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响 应特性也不同。下面我们将对阻尼比取不同值时， 对系统的影响作出讨论。
2
2 若令 n , d n 1
s1, 2 jd
称

d 为有阻尼振荡频率 为衰减系数，
一、二阶系统的阶跃响应 0 1
当
R( s) 1 / s 时，由传递函数性质有
2 n 1 C ( s ) R( s )G ( s ) 2 2 s 2 n s n s
s 2 n 1 1 s 2 2 2 2 2 s s 2 s s ( s ) d ( s ) 2 d
n n
拉氏反变换得
c(t ) 1 1 1 2 e nt sin( d t )
其中 arccos
三、二阶系统的其他输入响应

即，输入变为原来的积分时，输出也变为原来的积分。
结论
一、单位脉冲信号是单位阶跃信号的一阶导数，所以系 统的单位脉冲响应也为单位阶跃响应的一阶导数。 二、单位斜坡信号和单位加速度信号是单位阶跃信号的 一重二重积分，所以系统的单位斜坡响应好单位加速 度响应也为单位阶跃响应的一重积分和二重积分。
/ 1 2
e
/ 1 2
sin( )
解之得 c(t p ) 1 e
则超调量为
，因为 c() 1
% e
/ 1 2
100%
二、二阶系统的动态过程分析
由上式表明， %仅是阻尼比 的函数， 与自然频率 n 无关。 超调量与阻尼比的关系曲线 如图。
e ntr sin( d t r ) 0
解之得 t r d
arccos
二、二阶系统的动态过程分析
n t 2 d
3、峰值时间tp的计算 1 c(t ) 1 e sin( t ) 在 中，将 c(t )求一阶导并另其为零。 1 整理得 1 2 tan( d t p ) 解之得
二阶系统的阶跃响应

经过实验知，
过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应速度最 快；
欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升 时间越小，通常取阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量 合适，调节时间短； 若系统有相同的阻尼比，而振荡频率不同，则振荡特 性相同，但响应速度不同，振荡频率大的，响应速度 快.
解之得 td 似描述
1 0.6 0.2 2
n
欠阻尼下用 t d
1 0.7
n
近
二、二阶系统的动态过程分析
2、上升时间tr的计算 1 t c ( t ) 1 e sin( d t ) 中，令 c(t d ) 1 在 2
n
1
，得
1 1 2
可见，阻尼比越大，超调量 越小，反之亦然。一般取 阻尼比在0.4-0.8时，超调量介于1.5%-25.4%之间。
二、二阶系统的动态过程分析
5、调节时间 t s 的计算 1 c ( t ) 1 e t sin( d t )中， 在 2
n
1
是对称于 c() 1 的 一对包络线， 整个响应过程都是在这一对包络线内进行的，为计算 方便，常采用包络线代替实际响应曲线，来估算调节 1 时间则 e t 0.05或0.02 1 2 3.5 3.5 1 2 ln( 0.05 1 ) ，近似为 t s 解之得 t s n n

t dr (t ) R1 ( s) L[ ] sR ( s) t 这时系统输出为 C1 (S ) G(s) R1 (s) G(s)sR(s) sC (s) dc(t ) 则拉氏反变换为 c1 (t ) t
即，当输入为原来输入的导数时，输出也变为原来输出 的导数
1 3、当输入变为 r2 (t ) r (t )dt时，拉氏变换为R2 ( s ) R ( s ) s 1 对应的输出变为 C2 ( s) G ( s) R2 ( s) C ( s) s 对上式拉氏反变换为 c(t ) c(t )dt

当
1
系统有两个不相等的负实根
2
s1, 2 n n 1
单位阶跃响应为
e e c(t ) 1 T2 / T1 1 T1 / T2 1
t / T1
t / T2
对应于s平面两个不相等的实极点，相应的阶跃响应非周 期地趋于稳定状态，但响应速度要比临界阻尼慢。此 时系统为 过阻尼 情况。
一、二阶系统的阶跃响应
上式中
T1 T2
1
n ( 2 1)
1
n ( 2 1)
由此可见 阻尼比的值决定了系统的阻尼程度。
一、二阶系统的阶跃响应

具体讨论 欠阻尼情况下的阶跃响应 当 0 1 系统有一对具有负实部的共轭复数根
s1, 2 n jn 1
c(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
由上式看出，二阶系统的单位阶跃响应由两 部分组成: 稳态分量为1，表明系统在单位阶跃信号 作用下不存在稳态位置误差； 瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频 率为 d ，称为阻尼振荡频率，瞬态分量 的衰减速度取决于指数函数的幂，称 为 衰减系数。
一、二阶系统的阶跃响应

当
系统有一对纯虚根 0 s1, 2 jn
单位阶跃响应时
1 C ( s) R( s)G ( s) 2 2 s s n
2 n

可以算出 系统的阶跃响应为等幅振荡，振荡频率为 自然频率，此时为无阻尼情况。
一、二阶系统的阶跃响应

当
0 1系统有一对具有负实部的共轭复数根


二、二阶系统的动态过程分析
控制工程中，一般选取适度的阻尼比，较快的响应速 度和较短的调节时间。 1、延迟时间td的计算 1 c ( t ) 1 e sin( t ) 中，令 c(t ) 0.5 ，得 在 d 1

n t 2 d
n t d
1

ln
2 sin( 1 2 nt d arcsin ) 1 2
1 2
n
1
1
e nt
若误差带为0.02，则
ts
4.5
n

4.5

二、二阶系统的动态过程分析
n 越大，t s 越小，若 n一定，则调节 由此可见， 时间 t s 与 成反比。这与 t d ，t p ，t r 与 的关系是 不一样的。
根据以上分析，如何选取 和 n，来满足系统设计要求， 总结如下： 1、当 n一定时，要减小 t r 和 t p ，必须减小 的值，要 减小 t s 则应增大。但注意 是有一定范围的。 2、增大 n，能使 t r ， t p 和 t s 减小。 3、超调量 %只由 决定； 越小， %越大。
一、二阶系统的阶跃响应

当 1系统有两个正实根 单位阶跃响应为
e
( 2 1 )n t
h(t ) 1
2 2 1( 2 1)

e
( 2 1 )n t
2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动 态过程为发散的形式
2 n 1 1 n 1 C ( s) R( s)G ( s) 2 2 s ( s n ) s ( s n ) s n
c(t ) 1 e
n t
(1 nt )
相应的阶跃响应 非周期地 趋向于稳态输出，此时系统为 临界阻尼情况。
一、二阶系统的阶跃响应
一、二阶系统的阶跃响应

当 1 0系统有两个正实部虚根 单位阶跃响应为
h(t ) 1
e
n t 2
2 1
sin( n 1 t )
2
arctan( 1 2 )
式中源自文库出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动态 过程为发散正弦振荡的形式 总之，阻尼比小于零时，二阶系统不稳定
-
K s ( s 1)
C(s)
1 s
三、二阶系统的其他输入响应
线性定常系统的重要特性 1、对于零初始条件下的线性定常系统，若输入为 r (t ) 其对应的输出为 c (t ) ，拉氏变换为 C ( s) R( s)G( s) dr (t ) 2、若输入变为 r1 (t ) ，其拉氏变换为
二、二阶系统的动态过程分析
要求：能熟记以上动态性能指标在欠阻尼下的求取公式， 及求取方法（便于非欠阻尼下的计算） 例：设系统结构图如下，若要求系统具有性能指标 t p 1s ，试确定系统参数K和τ，并计算单 % 20% ， 位阶跃响应的特征量， t ， 和 t。 t d s r
R(s)
s1, 2 n jn 1
2
对应于s平面左半部的共轭复数极点，相应的阶跃响应为 衰减振荡过程，此时系统为 欠阻尼 情况。（后面将继 续对欠阻尼情况作出进一步的讨论）
一、二阶系统的阶跃响应

当
特征方程有两个相等的实根 1 2 s1, 2 n n 1
单位阶跃响应为