5.4 动量矩和动量矩守恒定律

例1一质点m,速度为 v ,如图所示,A、B、C
分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距 离分别为d1 、d2 、 d3 。
求: 此时质点对三个参考点的动量矩的大小。 解: LA d1mv
A d1
m
LB d1mv
LC 0
B
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d2 d3
v
C
22
第5章 刚体力学基础 动量矩
i i
i j i
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16
第5章 刚体力学基础 动量矩
i j i dLz M M外 dt 对定轴转动的刚体, Jz 为常量, Lz J z
而 M ij M ji
M ij 0
dLZ d JZ J Z M z dt dt
dLZ Mz 或 dt
M z dt dLz dJ
17
——刚体定轴转动的动量矩定理微分形式。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体定轴转动中, 动量矩定理与转动定律的关系
d dL d J M ( J ) J dt dt dt
M J
刚体定轴转动的转动定律实质是动量矩 定理沿固定轴方向分量式的一种特殊形式。
t
t2
M d t L2 L1
1
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动 量的增量。 说明
(1) 冲量矩是力矩的时间积累,是质点动量 矩变化的原因。
(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积 累结果。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
2. 质点动量矩守恒定律
质点动量矩定理
N
A
B
P
23
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第5章 刚体力学基础 动量矩
即
LdL m gR cos d
2 3
O
R
积分
FN
2 3
θ
A
B

L
0
LdL m gR


0
cos d
1/ 2
v
P
L mR
3/ 2
2 g sin
2
L mR
2g sin R
r r r r
mv
mv
但是
r mv 常数
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2பைடு நூலகம்
第5章 刚体力学基础 动量矩
例子: 开普勒行星运动定律的面积定律: 行星在相等的时间内扫过相等的面积。 1 S r p1 p2 sin 2 LL mv v mv p 1 r rvt sin p rr 2 S 1 rv sin 常数 t 2 r 再考虑到行星的质量m为恒量， mv 常数
卫星
地球
+
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5
第5章 刚体力学基础 动量矩
一、动量矩
1. 质点的动量矩( 对O点 ) 质量为 m 的质点以 速度 v 在空间运动, 某时 , 刻相对原点O的位矢为 r 质点相对于原点的动量矩
L
x
z
r
o
m y
v
L r p r mv 大小： L rmv sin
25
r0
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第5章 刚体力学基础 动量矩
解: 引力场（有心力） 1 GMm 1 2 GMm 2 mv 系统的机械能守恒 mv0 2 r0 2 R 质点的动量矩守恒 mv0 r0 sin( π ) mvR
1 3GM sin 1 2 4 2 Rv0
J 改变时 L J 2 2 J1 1
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第5章 刚体力学基础 动量矩
2. 刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律 对定轴转动刚体 若M z 0 Lz 0 Jω 常量 即L 0
动量矩L不变的含义:
刚体: J 不变 , 则 不变。
z
rk
mk
非刚体:因 J 可变,则 J 乘积不变。
若 M 0， 则
dL M dt
L 常矢量
—— 质点动量矩守恒定律。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
讨论
F 0 (1) 守恒条件 M 0 F过O点
(2) 向心力的角动量守恒。 F过O点
(3) 自然界普遍适用的一条基本规律。
Li L
vi v O ri O r m mi
Lzi Δmvi ri Δmri
2
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9
第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体上任一质量元对 z 轴的 动量矩具有相同的方向。
Lz Δmi vi ri
z
Li L
Δmi ri J Z
1/ 2
v0 r0sin v 4v0sin R
m
?
3GM v v 0 1 2 2 Rv 0
1/ 2
v0
v?
R
OM
26
r0
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例4 设人造地球卫星引力作用下沿着平面椭圆轨 道运动，地球中心可以看着固定点，且为椭圆轨 道的焦点,如图所示。卫星的近地点A离地面的距 离为439km, 远地点B离地面的距离为2384km。 已知卫星在近地点的速度为vA=8.12kms-1, 求卫星 在远地点B的速度大小。设地球的平均半径为 R=6370km。 vA rB 解 以卫星为研究对象，根据 R o 质点动量矩守恒定律，有 O1 B vB rA mv r mv r
已知 L r P , P mv
dL d r mv dt dt
v mv 0
d(mv) dr r mv dt dt r F M
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第5章 刚体力学基础 动量矩
2 i
i
(所有质元对 z 轴的角动量之和) 说明 动量矩与质点动量 P mv 对比: Jz — m， — v 。
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vi v O ri O r m mi
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第5章 刚体力学基础 动量矩
二、 质点的动量矩定理和动量矩守恒定律 1.质点的动量矩定理
B B A A
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第5章 刚体力学基础 动量矩
因为
rA 6370 439 6809km
rB 6370 2384 8754km rA vB v A rB
6809 8.12 6.32km/s 8754
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固有
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第5章 刚体力学基础 动量矩
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第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体定轴转动动量矩定理积分形式:

t2
t1
M z d t dJ
2
J2 J1 L2 L1 L
1

t2
t1
M z d t L
定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其 动量矩的增量。 讨论 J 不变时 L J 2 J 1
例5 如图，质量为m的小球系在绳子的一端， 绳穿过一 铅直套管，使小球以速度v0绕管心 作半径为r0的四周运动, 然后向下拉绳, 使小 球运动的轨迹最后成为半径为r1的圆。 求（1）小球距管心为r1时速度v的大小； （2）由r0缩短到r1过程中，力F 所做的功。
解 小球受到的是有心力，根据 质点的动量矩守恒，故有
L
v

r
6
方向: 符合右手螺旋法则。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
讨论 (1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢 有关 (取决于固定点的选择) 。 (2) 在直角坐标系中的分量式
L x mv x
i
r xi yj z k mv mv x i mv y j mv z k
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例6 一均质棒,长度为 L,质量为M,现有一子弹 在距轴为 y 处水平射入细棒,子弹的质量为 m , 速度为 v0 。 求: 子弹细棒共同的角速度 。 解: 子弹、细棒系统的动量矩守恒
dL M dt
Mdt dL
—— 质点动量矩定理的微分形式。
作用在质点上的力矩等于质点动量矩对时间的 变化率。此即质点对固定点的动量矩定理。
冲量矩
积分，得
t
t2
M d t L2 L1
1
——质点动量矩定理的积分形式。
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12
第5章 刚体力学基础 动量矩
2

1
实例都说明 r mv 是一个独立的物理量。
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3
第5章 刚体力学基础 动量矩
开普勒第二定律(面积定律): 行星在相等的时间内扫过相等的面积。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
r mv 在描述行星的轨道运动, 自转运 动,卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具 有独特作用。 因此, 必须引入一个新的物理 量 — 动量矩 L, 来描述这一现象。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例3 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M , 半 径为R的行星。当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时, 以速度 v0发射一质量为 m 的仪器。 要 使该仪器恰好掠过行星表面。 求: 发射角θ及着陆滑行时的速度v 多大？
v0
?
m
v?
R
OM
例2半径为R 的光滑圆环上A点有一质量为m 的 小球, 从静止开始下滑, 若不计摩擦力。 求: 小球到达B点时对O的动量矩和角速度。 解: 小球受重力矩作用, 由动量矩定理： dL M mgR cos dt R O 2 2 d θ L mvR mR mR F dt mR cos dL v 2 L mR d
j k z mv z y mv y
Lx ypz zp y
Ly zpx xpz
Lz xpy ypx
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第5章 刚体力学基础 动量矩
(3) 当质点作圆周运 动时： 质点以角速度ω 作半径为r 的圆运动，相 对圆心的动量矩的大小
L
p
L rp mrv
(4) 质点对轴的动量矩守恒定律: 若 Mz=0, 则Lz =常数。即若力矩在某轴上的分量为零 (或力对某轴的力矩为零)，则质点对该轴的动 量矩守恒。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
三、 刚体绕定轴转动下的动量矩定理和 动量矩守恒定律 1. 动量矩定理 dL 质点的动量矩定理 M＝ dt 刚体内任一质量元所受力矩 M M M i i外 i内 dLi 刚体内所有质量元所受力矩 M i dt i i M i (M i外 M i内 ) M 外 M ij
变形体绕某轴转动时, 若 M z 0 则变形体对该轴的动量矩 Lz J kk C
k
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第5章 刚体力学基础 动量矩
动量矩守恒举例
J t ω 常量
J t ω
J t
ω
花样滑冰、跳水、芭蕾舞等.
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第5章 刚体力学基础 动量矩
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.4 动量矩和动量矩守恒定律
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理。
力矩的时间累积效应
冲量矩、动量矩、动量矩定理。
1
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第5章 刚体力学基础 动量矩
动量矩的引入：
在质点的匀速圆周运动中,动量 m v 不守恒。
mv mv
L
rr
mv
2
o
r
m
mr J
(4) 动量矩的定义并没有限定质点只能作曲 线运动而不能作直线运动。 (5) 单位: kgm2/s
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第5章 刚体力学基础 动量矩
2. 刚体绕定轴转动的动量矩 质点对 z 轴的动量矩 z
2
Lz mvr mr
刚体上任一质量元对 z 轴 的动量矩为
r0
v0
o r1
mv0 r0 mvr1
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F
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第5章 刚体力学基础 动量矩
所以
mv0 r0 mvr1 r0 v v0 ( ) r1
r0
v0
o r1
根据动能定理，力 F 做的功为
F
1 2 r0 2 1 2 A mv0 ( ) mv0 2 r1 2 1 2 r0 2 mv0 [( ) 1] 2 r1