第4节 广义积分敛散性的判别
广义积分敛散性的判别
比较判别法
比较判别法是一种通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数来判定广义积分敛散性的方法。如果被 积函数小于已知收敛的函数，则该广义积分收敛；如果被积函数大于已知发散的函数，则该广义积分 发散。
应用比较判别法时，需要选择合适的已知函数作为比较对象，以便准确判断被积函数的敛散性。
拉贝判别法
拉贝判别法是一种通过判断被积函数 的单调性和无界性来判定广义积分敛 散性的方法。如果被积函数在积分区 间上单调递减且无界，则该广义积分 收敛；如果被积函数在积分区间上单 调递增或无界，则该广义积分发散。
VS
应用拉贝判别法时，需要准确判断被 积函数的单调性和无界性，以便准确 判断该广义积分的敛散性。
06
广义积分的计算方法
分部积分法
总结词
分部积分法是一种通过将积分拆分为两个或 更多部分来简化积分的方法。
详细描述
分部积分法是将一个积分转换为两个或更多 个积分的和或差，以便更容易地计算每个积 分。这种方法通常用于处理难以直接积分的 函数。
柯西准则
如果存在某个正数$T$，使得在区间$(-infty, T]$和$[T, +infty)$上，函数$f(x)$均收敛，则函数$f(x)$的广义积 分收敛。
04
广义积分的应用
在物理中的应用
描述连续介质性质
01
广义积分可以用来描述连续介质在时间和空间上的性质，例如
温度分布、电荷密度等。
解决物理问题
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化积分的方法。
详细描述
换元积分法是通过引入新的变量来简化积分的计算。这种方法通常用于处理具有复杂或 难以处理的边界条件的积分。通过引入新的变量，可以将原始积分转换为更易于处理的
广义积分敛散性判别探讨
摘要广义积分是定积分的突破被积区间有界性与被积函数无界性的束缚得到的推广形式.在实际应用中，大部分的广义积分不能直接运算，有的积分虽然可以计算，但是过程太复杂，不方便我们的应用，而对广义积分而言，求其值的一个先决条件就是广义积分收敛，否则毫无意义，因此，广义积分的敛散性判别显得十分重要.本文主要论述了广义积分的两种形式：无穷积分和瑕积分.首先简述了无穷积分和瑕积分的定义，性质；其次，重点讨论了无穷积分与瑕积分的收敛与发散的判别，讨论了几种常用的判别方法，并用例题加以说明；最后，讨论了一下无穷积分与瑕积分混合时的反常积分的收敛与发散的判别.关键词：广义积分;无穷积分;瑕积分;收敛;发散.ABSTRACTGeneralized integrals is definite integral breakthrough was integrated interval bounded ness and integrand unbounded sexual ties get promotion form. In practical applications, most of the generalized integrals cannot direct operations, some integral although can calculate, but process is too complex, it is not convenient to our application, and the generalized integrals, let their value as a precondition is generalized integrals convergence, otherwise has no purpose, therefore, the generalized integral scattered sex discrimination folding is extremely important. This article mainly discusses the generalized integral in two forms: infinite integrals and flaw points. First, this paper expounds the infinite integrals and flaw integral definition, properties; Secondly, this paper discusses infinite integrals and the convergence and divergent flaw integral, discussed several discriminate criterion method commonly used instructions, and binders; Finally, discussed the infinite integrals when mixed with a flaw points of convergence in divergent discrimination.Keywords: Generalized integrals; Infinite integrals; Flaw integral; Convergence; Divergent;目录第一章前言 ........................................................................................ - 1 -第二章无穷积分 ...................................................................................... - 3 -2.1 无穷积分的概念与性质............................................ - 3 -2.2 无穷积分的敛散性判别............................................ - 4 -第三章瑕积分......................................................................................... - 15 -3.1瑕积分的概念与性质 ............................................. - 15 -3.2 瑕积分的敛散性判别............................................. - 16 -第四章混合型反常积分.......................................................................... - 23 -第五章结论............................................................................................. - 27 -参考文献............................................................................................. - 29 -致谢 .................................................................................................. - 31 -第一章前言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。
广义积分敛散性判别法的应用
证明
一imsnrxA}r(x)!~d>0,且入成l,则,~+.
l)已知lim
犷一,“·,,‘X发散·
supx入if(x)一J<co,且入>l,则V。>o,日x。>a,Vx>x。,有x‘.f
(·).<科￡,即.f(x),<宁,记M一升￡,则M>0,而厂一令当。1时收敛,由比较判别法
可知,犷一f(·)dX绝对收敛;
确定积分的敛散性·但用定义可得犷一蔽备一‘呱广蔽器歹一‘呱户豁
t工一
易不石
InA+co,0<a(1
0,a>l
于是,当a>1时,原积分收敛,当O<a(1时,原积分发散。
二、对判别法的进一步讨论
l、柯西极限判别法适用于非负函数的广义积分,对其敛散性判别有一定效果.但对变号函
数的广义积分,只能判别其是否绝对收敛,在使用过程中,必须对被积函数加绝对值,否则,d
时,f(x)一+,的速度:
大时,积分发散;
当它的阶比,2二(、<;)小时,积分收敛;当它的阶比7牛认(、)1)火义一己产气汽一砚少
例5判别积.,.
-丁二二一-‘日可叙欲任
VxInx
一l
一,X
.nU
广、厂干!nx+几岸绎,;盯2VXjnX
解八|抑
安.一t攀报‘自价科攀版”9.5年结‘翔
2)已知土乳i”fx‘Ir(x)}=d>0,且入镇l,则v“>o,,.’竺>0,可限制￡,使得0<‘飞,
于是“x。>一使得Vx>x。,有X、,,‘·,,>。一>“,即.,‘·).>宁,而犷一令当、、,
广义积分敛散性判别法的应用
广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctanx|−∞0+arctanx|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsinx|−10+arcsinx|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxlnx 是发散的.证明：注意到 limx→0+1lnx=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxlnx. 由于∫1/21dxlnx=∫01/2dtln(1−t),且 ln(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxlnx 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01lnx1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 lnx, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2lnx1−xdx>2∫01/2lnxdx,而∫01/2lnxdx=xlnx|01/2−∫01/2dx=12(ln12−1),则∫01/2lnx1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21lnx1−xdx=∫01/2ln(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln(1−t)t=−1, 则∫1/21lnx1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cosx2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cosx2dx=12∫1+∞costtdt.则|∫ABcosttdt|=|sintt|AB+12sintt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cosx2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cost 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cosx2|dx=12∫mπ(m+1)π|cost|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cost|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cosx2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cosx2|≥cos2x2=12(1+cos2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。
微积分学广义积分敛散性判别
故 0xpf(x) 1 b M ,
即有 0 f(x ) M x p (x 1 x ) .
由 p 1 于 的 P 积x 1 分 M x pd x收 , 故 敛
无穷 积 f(x)分 dx收.敛 x1
由 f( x ) d x x 1 f( x ) d x f( x ) d x 可 f( x 知 ) d x 收 .
a
a
由比较判 P积 别分 法综 与合
定理 （柯西极限判别法）
设 f ( x ) C ( [ a , ) ) ( a 0 ) , 且 f ( x ) 0 .
若存 p 1 ,使 在 li得 常 x m p f(x )存 数 ,则 在 x
无穷 积 f(x)d 分 x收;敛 a
a
a
收敛, 或同时发.散
( 2 ) 当 0 时 ,无 穷 g ( x ) d x 收 , 积 则 敛 f ( x ) d 分 x 收 .
a
a
( 3 ) 当 时 , 无 g 穷 ( x ) d x 发 , 积 则 f 散 ( x ) d x 分 发 .
x
F(x)af(t)dt
在 [a,)上单调增加 .由 且 极 有 限 上 存 界 在准
可知 liF m ( 极 x ) li限 m xf(t)d t存 . 在 x x a
即无穷 f(x积 )dx收 分 .敛 a
定理 （ 比较判别法 ）
设 f( x ) 函 ,g ( x ) 在 [ a ,数 ) 上 , A 有 R ,A a , 界
|F ( t ) | |t s u d i u | n | c u t o | |c 1 s c o t | o 2 s ,( s t 1 ) .
高等数学教学资料微积分学广义积分敛散性判别
a
g ( x) d x 收敛 ,
则由 (1) 立即可得出矛盾 :
a
f ( x) d x 收敛 .
定理
（比较判别法的极限形式法）
设 f ( x) , g ( x) 为定义在 [a, ) 上的非负函数 , A [a, ) ,
f ( x) , g ( x) R( [a, A] ) . 若有极限 lim
0 f (t ) d t g (t ) d t ,
a a
x
x
从而, 积分上限函数
F ( x) f (t ) d t 在 [a, ) 上有上界 ,
a x
故积分
a
f ( x) d x 收敛 .
(2) 运用反证法.
如果
a
f ( x) d x 发散时 , 积分
(3) 当 时 , 无穷积分
a
g ( x) d x 发散 , 则
a
例1 解
判别无穷积分
1
arctan x d x 的敛散性. x
因为
arctan x lim x lim arctan x , x x x 2
故无穷积分
b
f ( x) d x lim
b x
x
这样可以利用积分上限 函数来进行有关的讨论 .
定理
设函数 f ( x) C( [a, ) ) , 且 f ( x) 0 .
若积分上限函数 F ( x) f (t ) d t 在 [a, )
a x
上有上界 , 则无穷积分
f ( x), g ( x) R( [a, A] ) , 且满足
广义积分的收敛性与发散性
广义积分的收敛性与发散性广义积分是高等数学中一种重要的积分形式，其定义方式与普通积分有很大的不同。
与普通积分只能在有限区间上进行不同，广义积分可以在整个实数轴上进行积分计算。
然而，广义积分的收敛性与发散性问题也是需要引起我们的高度关注的。
一. 广义积分的概念与定义广义积分的概念是在普通积分的基础上扩充而来的，它的定义如下：设函数 $f(x)$ 是区间 $(a,+\infty)$ 上的连续函数，那么称限定积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 为广义积分。
同样地，若$f(x)$ 是区间 $(-\infty,b)$ 上的连续函数，那么称限定积分$ \int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 为广义积分。
需要注意的是，广义积分在定义时通常会采用极限的方法，即对于极限 $\lim_{t\rightarrow +\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 与$\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 分别进行计算。
二. 广义积分的收敛性与发散性与普通积分不同，广义积分的定义中并不包含区间的限制，因此在进行广义积分计算时，需要关注其收敛性与发散性问题。
1. 收敛性若广义积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 或 $\int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 存在一个有限的极限，即 $\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 或 $\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 存在，则称该广义积分收敛。
例如，对于函数 $f(x)=\frac{1}{x^p}\,(p>0)$，当 $p>1$ 时，$\int_1^{+\infty}{\frac{1}{x^p}dx}$ 收敛，而当 $p \le 1$ 时，则发散。
广义积分敛散性的一个判别准则
［ 关键 词］ 无 穷小 ； 穷 大； 穷积分 ； 无 无 瑕积 分 ； 敛散 性 ［ 中图分 类号］ Ｏ１ ２ ２ ［ ７． 文献 标识 码］ Ａ ［ 文章 编号］ １０ —７ ８ ２ １ ） １０ ９ —３ ０ ８４ ３ （ ０ ２ ０ —０ ５０
韩建 玲
（ 闽南理 工学 院 信息 管理 系 ，福建 石 狮 ３ ２ ０ ） ６ ７ ０
［ 摘
要］ 运 用定 义及 比较 审敛 法在判 断 广义 积分 的 敛散 性 时 ， 由于被 积 函数 不存 在初 等 函 会
数 的原 函数或 用 来比小与 无 穷大 出发 ， 从 研
韩 建玲 ： 义积 分敛 散性 的一 个判 别准 则 广 由于 ． ｚ 厂 ）是 一 。 （ × 的无 穷小 ， ｉ 厂ｚ 。时 ｌ （ ）一 ｍ
０且 ｌ ｆ（ ｉ ｍｘ ）一 ０ 因此 ｌ 厂（ ）一 ０， ｉ 厂 ｉ ａ ｒ ｌ ａ ｒ （ ）一 ０ （） ３
广义 积 分包 括 两类 ， 一类 为 无穷 积 分， 第 如 无穷 大 ） 。
ｒ ∞ ． ＋ ｔ ＇ ｂ
Ｉ ｆ ｘ ｄ 第 二 类 为 瑕 积 分， Ｉ （ ）ｘ， （）ｘ； 如 ｘｄ 且 ｆ
Ｊ ｄ Ｊｎ
１ ２ 无 穷 积 分 敛 散 性 的判 定 嘲 ．
设 函数 ， ｚ 在 区 间［ ， 。 连续 ， ｆ ｘ ≥ （） ｎ ＋。 ） 且 ｉ） ０ 若 ｚ一 。 。 。时 ｆ ｘ ｉ ）是 的 高 阶无 穷 小 ， 积 分 则
无穷大） ， ｆｘ 时 称 ｉ ）与 ｇ ） 同 阶无穷 小 （ 同阶 （ 是 或
ｌ （ 一ｂ ］ ｉ ｍ［ ｆ（）
因为 ｂ ＜ ＜ Ｃ Ｃ ＋ 。 ， 是 一 ＋ ∞ 。 ，一 。于
广义积分敛散性
广义积分敛散性
广义积分敛散性是一个重要的概念，它的概念源于古典数学家Leonhard Euler在1750年发现的固有积分公式，该公式用于描述某种大范围的连续函数积分值。
随后，在19世纪50年代初期，波兰数学家Joseph Liouville在研究中提出了“广义积分敛散性”的概念。
从那时起，数学家们开始重新审视这一概念，并不断探讨它是如何影响和改变一些数学模型和其他重要问题的研究。
简而言之，“广义积分敛散性”指的是，对于数学模型或问题中的某一给定积分函数的积分值，如果用此函数的参数不断增大，其积分值将变为渐进逼近极限。
这种渐进极限有时也称为敛散性，因此，“广义积分敛散性”即指所有这种情况。
“广义积分敛散性”可以用来解释许多数学问题。
例如，数学家们在研究多元微分方程组的数值解的计算过程时，可以利用该概念来提高计算精度，以及衡量多元微分方程组的收敛性。
此外，该概念在虚数向量空间中的应用也很重要，它可用来解释某些特定空间的梯度传播，在解决复杂的现实数学问题时也十分有用。
“广义积分敛散性”也可以应用到物理学领域，例如，它可用于求解电磁辐射场中的辐射特征和性能，以及解决复杂的电磁学问题。
它也可以用于研究流体力学中的湍流问题以及编制有效的流动分布
解决方案。
此外，该概念还可用于解释弹性体力学中各种类型的力学过程。
综上，“广义积分敛散性”是一种有用的概念，它可以被广泛应
用于数学、物理学以及工程领域的研究中。
它的重要性也可以通过它在多个研究领域的广泛应用来见证。
对于这一概念的研究，将有助于推动现代科学技术的发展，为人类的福祉带来更多的福音。
广义积分敛散性判别方法探讨
广义积分敛散性判别方法探讨引言在数学初学者学习积分的过程中，会接触到定积分及广义积分的概念。
定积分的计算可以通过积分公式和分部积分法等一系列方法进行求解，但广义积分的计算相对困难，必须先判断其敛散性，然后才能定量计算。
因此，本文将探讨广义积分敛散性判别方法，让读者更好地理解和掌握这一知识点。
广义积分概述广义积分是指被积函数在积分区间上具有无限变化或在有限变化之外的点具有间断、奇异等性质的积分。
它与定积分相比，可以扩展进行积分的范围。
常用的广义积分可以分为以下两类：第一类广义积分第一类广义积分的被积函数在积分区间的某一端点或两个端点附近有无穷大的极限值或具有无限间断点。
例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{1}{x^2}dx$和$\\displaystyle\\int_{1}^{2}\\frac{1}{(x-1)^{1/2}}dx$都属于第一类广义积分。
第二类广义积分第二类广义积分的积分区间是无限的，在无穷远处或在某一点处可能有无限大的变化。
例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}e^{-x}dx$和$\\displaystyle\\int_{0}^{1}\\frac{1}{x^{1/2}}dx$都属于第二类广义积分。
敛散性判别方法广义积分在计算时必须先判断其敛散性，只有在敛的情况下才能对其进行求解。
下面是判别广义积分敛散性的常用方法。
第一类广义积分的敛散性判别方法一、比较判别法如果存在两个广义积分：$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$和$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$且满足：$\\forall x>a,\\ f(x)\\ge g(x)\\ge 0$则有：1.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$收敛，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$收敛；2.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$发散，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$发散。
广义积分判别法
广义积分判别法广义积分判别法是微积分中一个重要的概念和方法，用于判断广义积分的收敛性和发散性。
本文将介绍广义积分判别法的基本原理和应用，并通过实例详细说明其具体操作方法。
一、广义积分的定义在微积分中，广义积分是对某些函数进行积分运算的一种扩展形式。
对于连续函数，我们可以直接使用定积分进行求解，但对于一些特殊的函数情况，定积分无法直接求解。
此时，我们需要引入广义积分的概念。
对于函数f(x)在区间[a,b]上的广义积分，可以表示为：∫f(x)dx = lim┬(t→b⁺) ∫┬(a)f(x)dx其中，a为积分下限，b为积分上限，t为一个逼近b的数列。
如果该极限存在且有限，则称广义积分收敛；如果该极限不存在或为无穷大，则称广义积分发散。
二、收敛性的判别方法1. 基本性质判别法若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且0≤f(x)≤g(x)，其中g(x)在[a,b]上连续，且∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛；若∫g(x)dx发散，则∫f(x)dx发散。
2. 比较判别法设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，且0≤f(x)≤g(x)，若∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛；若∫f(x)dx发散，则∫g(x)dx 发散。
3. 极限判别法设函数f(x)在区间[a,b)上连续，若存在正数M>0和正数p>1，使得当x→b-时，|f(x)|≤M/(|x-b|ᵖ)，则∫f(x)dx收敛；若对于任意正数M>0和正数p>1，当x→b-时，|f(x)|>M/(|x-b|ᵖ)，则∫f(x)dx发散。
4. 绝对收敛和条件收敛若∫|f(x)|dx收敛，则称广义积分∫f(x)dx绝对收敛；若∫|f(x)|dx发散，但∫f(x)dx收敛，则称广义积分∫f(x)d x条件收敛。
三、实例分析下面通过几个实例来说明广义积分判别法的具体应用。
实例1：判断广义积分的收敛性考虑广义积分∫┬(1)(x⁻²-1)dx，我们可以使用比较判别法来判断其收敛性。
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定理(极限判别法)
设函数 f ( x ) 在( a , b ] 上连续，且 lim f ( x ) ，
x a
如果
x a
lim ( x a ) p f ( x ) A
b
则当 0 p 1 时，瑕积分 f ( x ) dx 收敛； a
当 p 1 且 A 0 时， f ( x ) dx 发散.
lim x 1 p f ( x ) lim (1 x )q 1 1 , 1 p 1 , p 0 ;
x 0
若 q 1 ，则 x 1 是瑕点，
x0
lim x 1 q f ( x ) lim (1 x ) p 1 1 , 1 q 1 , q 0 ;
* 第四节
1
一、无穷限积分敛散性的判别
对于级数 un ，在无穷区间[1, ) 上定义函数
n1
n f ( x) un ， x [n, n 1) ， N ，
则级数的部分和可表示为
n1 1
S n u1 u2 un
n 1
f ( x ) dx
则当无穷限积分
当
a
a
g( x) dx 收敛时，
a
a
f ( x) dx 也收敛；
f ( x ) dx 发散时，
g( x ) dx 也发散.
证略.
3
a
1 dx (a 0) ，当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散. p x
定理(极限判别法)
a 设函数 f ( x ) 在 [a , ) 上连续，(其中 0 )， 且 f ( x ) 0 ，如果
x 0
因此，当 p 0 且q 0 时，该广义积分收敛；
当 p 0 或 q 0 时，该广义积分发散.
12
练习：
P251 习题七
13
x a
0 cf ( x ) g ( x ) ，其中 c 为正的常数，
则当瑕积分 g( x) dx 收敛时， f ( x ) dx 也收敛；
b b a a
当瑕积分 f ( x ) dx 发散时， g( x ) dx 也发散.
b b a a
证略.
8
1 a ( x a ) p dx ，当 0 p 1 时收敛；当 p 1 时发散.
1
于是级数 un 收敛等价于无穷限积分 收敛.
f ( x ) dx
2
定理(比较判别法)
设函数 f (x) 和g(x) 在 [a, ) 上连续，且有
0 cf ( x ) g( x ) ， x [a, ) ，
0 cf ( x) g( x) ，x [a, ) ，其中 c 为正的常数，
1 2
1
所以瑕积分
1 1
1 (1 x 2 )( 4 x 2 )
dx 收敛.
11
例6 判别广义积分
1 0x p1Fra bibliotek(1 x ) q1 dx 的敛散性，
其中 p, q 为常数.
解 显然，当 p 1 且q 1 时，是常义积分；
若 p 1 ，则 x 0 是瑕点，
x 0
a
a
f ( x ) dx 也收敛.
（此时称
f ( x) dx 绝对收敛）
0
证略.
例3
判别广义积分
x e
p x
sin x dx 的敛散性，
其中 p 0 ， 0 ， 0 .
解
由于 | x pex sin x | x pex , x [0, )
x lim arctanx , x 1 x 2
所以，当 1 时，该广义积分收敛；
当 1 时，该广义积分发散.
6
定理 设函数 f ( x ) 在 [a , ) 上连续( a 0 ). 如果广义
积分
a
| f ( x ) | dx 收敛，则广义积分
10
例5 判别瑕积分 1
1
1 (1 x 2 )( 4 x 2 )
dx 的敛散性.
解 易知 x 1 为瑕点， 由于
x ( 1)
lim (1 x ) f ( x ) lim
x ( 1 )
1 2
1 , 6 (1 x )(4 x 2 )
1
1 lim(1 x ) f ( x ) lim , x 1 x 1 6 (1 x )(4 x 2 )
1
由例 1 知
x p e x dx 收敛，
从而
0
x p e x sin x dx 绝对收敛.
7
二、瑕积分敛散性的判别
定理(比较判别法) 设函数 f ( x ) 和g ( x ) 在( a , b] 上连续，
x a
lim f ( x ) ， lim g( x ) ，且恒有
x
lim x f ( x ) A
p
a
则当 p 1 时，无穷限积分
f ( x) dx 收敛；
当 p 1 且 A 0 时，
a
f ( x ) dx 发散.
证略.
4
例1 判别广义积分
1
x e
p x
dx 的敛散性，其中
p , 为常数，且 0 .
解 由罗必塔法则，
x
lim x x e
2 p
1
x
x p 2 lim x 0 x e
故广义积分
x e
p x
dx ( 0) 收敛.
5
例2 判别广义积分
1
arctanx dx ( 0) 的敛散性. 1 x
解
arctanx 由于 lim x x 1 x
b a
证略.
9
例4 判别瑕积分
1 0
1 x (1 x 2 )
dx 的敛散性.
1 解 易知 x 0 为瑕点， 取 p 1 ， 2
x 0
l i m x f ( x ) lim
x 0
1 0
1 2
1 1 x2
1,
所以瑕积分
1 x (1 x )
2
dx 收敛.