高等数学 知识点总复习

y0 , z0 )的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 ,
y0 , z0 ) 0，Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，则方程F ( x, y, z) 0在点 P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒能唯一确
定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
取法向量
n n 1 n 2 {1,0 1,5},
所求平面方程为
1 ( x 1 ) 0 1 ( y 1 ) 5 5 ( z 1 ) 0 ,
化简得 2 x 3 y z 6 0 .
例 4 求平行于平面6x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
全 微 分 : dzzdxzdy x y
多元复合函数链式法则:
dzzduzdv. dt u dt v dt
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
特殊地 zf(u ,x,y) 其中 u(x,y) z
u
x
x
即 z f[(x ,y )x ,y ],令 vx, wy, y y
1． 函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处可微的充分条件是:
（1） f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续；
（2）
f
x
(
x,
y)、
f
y
(
x,
y)在点(
x0 ,
y0
)的
某邻域存在；
（3）z
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x,
y )y ，
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量；
1 , 2
3 .
4
例2
求与a
3i
2
j
4k ，b
i
j
2k 都垂
直的单位向量.
解
i
jki
j
c ab ax ay az 3 2
bx by bz 1 1
|c | 1 2 5 2 0 5 5 ,
c0 c
|c|
2
j
5
15k.
k
4 1j0 5 k , 2
知识点2：平面及其方程（三种形式）
并有
z Fx ，
z Fy .
x Fz
y Fz
例. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程 F(x, y) 0,
求 dz.
zz
解 利用偏导数公式. 设zf(x,y)是由方程
F(x, y) 0确定的隐函数, 则
zz z Fx x Fz
F1
F1
(
x z2
)
1 z
F2
(
y z2
解 设平面为 x yz 1,
z
a bc
V1, 11abc1, 32
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a b c t
616
化简得 1 1 1 t 6a b 6c
a 1 , 6t
b 1, t
c 1, 6 t 代入体积式
11 11 1 6 6t t 6t
t
1, 6
a 1 , b 6 , c 1 ,
例 u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
解: u f f z x x z x
2xex2y2z2 2zex2y2z22xsiny
u
2 x (1 2 x 2 s2 iy ) n e x 2 y 2 x 4 s2 iy n x y z
f(x，y)在（0，0）不连续。
x0 y0
例 8 设z x3 y2 3xy3 xy 1，
求
2z x 2
、
2z yx
、
2z xy
、
2 y
z
2
及
3z x 3
.
解 z 3x2y23y3y, z 2x3y9x2y x;
x
y
2 z 6xy2, x 2
3z x 3
6y2,
2z y2
2x318x;y
（C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件
3、 f(x,y)在 P(x0,y0)的 两 个fx偏 ,fy都 导存 数在 ， 则
A)f(x,y)在 P点 连B 续 ） f(； x,y)在 P点 可 微 ；
C） limf(x,y0)及limf(x0,y)存 在 D） ； limf(x,y)存.在
ax2ay2az2 bx2by2b z2
|( 知1 c ) | 识a |a 点|a b |1|0 s ..数i量n (2 积( 其 )a 、 中 //b 向为 量a 与 积 b a 、的 夹 b 夹 角 角0 ) .余弦；
i j k a b ax ay az
bx by bz
例. 求直线
x2y3z4与平面 112
2 x y z 6 0
t
的交点 .
提示: 化直线方程为参数方程
x2t
y
3t
z 4 2 t
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为（1，2，2）.
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x 4z 3 例 5 一直线 L 过点(-3,2,5)，且和直线2x y 5z 1平行，
2z xy
6x2y9y21,
2z yx
6x2y9y21.
例 9 求函数z y cos( x 2 y)，当 x ， y ，
4
dx ，dy 时的全微分.
4
解 zysinx (2y), x zcox s2(y)2ysix n 2 (y), y
dz(,) 4
z dxz dy
x(,) 4
y(,) 4
L2
:
x y 6 2yz 3
则L1与L2的夹角为
(A)
6
(B)
4 (C)
3
(D)
2
[注] L1和L2的方向向量分别为 s1{1,2,1}和 s2{1,1,2},
c os1s2/|s1|s |2|1 2 , 3
知识点4：二元函数的定义域与极限
例6 求 f(x,y)arc3sixn2(y2)的定义域． xy2
求其方程.
ijk 解 sn 1n 21 0 4{4,3,1}
2 1 5
所求直线方程 x3y2z5.
方法2:设 s { m ,n 4,p }3 1
s n 1,s n 2 2 m m n 4 p 5 p 0 0 m 4 n 31 p 取 s {4 ,3 ,1 }
练习: 设有直线 L 1:x1 1y 25z 18与
(1) 1 2 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 ;
(2)
1//
2 A A12 B B12
C1. C2
例 3 求过点(1,1,1)，且垂直于平面 x y z 7和
3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解
n 1 { 1 , 1 ,1 },n 2 { 3 ,2 , 1}2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D { x ,y ( ) |2 x 2 y 2 4 ,x y 2 }.
例7
求极限
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lx im 0sixn2xy(2y) x2x2yy2, y0
)
zF1 xF1 yF2
z y
Fy Fz
F 1(zFx22) 1z F 2 (zy2)
zF2 xF1 yF2
故
dzzdxzdy x y
xF1 zyF2(F1 dxzx F 2Fd Fy xz )
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多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
v 1, w 0,
x
x
zf uf, x u x x
v 0, w 1.
y
y
区
zf uf . y u y y
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把复合函数zf[(x,y),x,y]中 的 u 及 y 看 作 不
中 的y看 作 不 变 而 对 x的 偏 导 数 变 而 对 x 的 偏 导 数
u y
f y
f z z y
2yex2y2z22zex2y2z2 x2 cosy
2 (y x 4 sy ic n y o )e x 2 s y 2 x 4 s2 iy n
xy
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F (x,y,z)0
隐函数存在定理 设函数F ( x, y, z)在点P( x0 ,
xx0
yy0
xx0
yy0
4、Z 设 f(x,y)在 (x,y)处不连f(续 x,y)在 ，该 则点
A)必无定 B） 义 极 ； 限必不存在；
C）偏导数必 D）不 必存 不 . 在 可； 微
5、二元函数f(x, y)x2xyy2,
(x, y)(0,0)
在点(0,0)处
0,
(x, y)(0,0)
(A) 连续、偏导数存在 （B）连续、偏导数不存在 (C) 不连续、偏导数存在 （D）不连续、偏导数不存在
平面的点法式方程: A ( x x 0 ) B (y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
平面的一般方程: A B x C y D z 0