高中数学章末整合提升

章末整合提升

平面向量

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⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧平面向量的实际背景及基本概念⎩⎪⎨⎪⎧

向量概念：既有大小又有方向的量

向量的几何表示

相等向量：长度相等且方向相同的向量；

共线向量：方向相同或相反的非零向量(0与任意向量共线)

平面向量的线性运算⎩⎪⎨⎪

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向量的加法及其几何意义向量的减法及其几何意义

向量的数乘及其几何意义

平面向量基本定理及其坐标表示

⎩

⎨⎧

平面向量基本定理：e 1、e 2不共线，任意a 有且只有一对实数 λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2

平面向量的正交分解及坐标表示

平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0

平面向量的数量积

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⎪⎨⎪⎧

定义a 、b 为非零向量，a ·b ＝|a |·|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)

性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a 、b 同向，a ·b ＝|a |·|b |；a 、b 反向，a ·b ＝－|a |·|b |运算律a ·b ＝b ·a ，(λa )·b ＝a ·(λb )，(a ＋b )·

c ＝a ·c ＋b ·c

向量的模设a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2

夹角公式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，夹角为θ，cos θ＝

x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 2

1·

x 22＋y 2

2

平面向量的应用举例⎩⎨

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平面向量在几何中的应用

平面向量在物理中的应用

专题一 ⇨平面向量的线性运算

1．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算．

2．向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．

3．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．

4．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等．

典例1 如图所示，△ABC 中，AD →＝23

AB →

，DE ∥BC ，交AC 于E ，AM 是BC

上的中线，交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 分别表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →

，AN →．

专题二 ⇨平面向量的数量积

向量的数量积是一个数量，当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积为正数；当两个向量的夹角为钝角时，它们的数量积为负数；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0，零向量与任何向量的数量积等于0．

通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．

典例2 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，

则AP →·AC →＝____．

专题三 ⇨向量的坐标运算

1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．

2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合思想方法的具体体现．

3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题．

典例3 已知向量AB →＝(4,3)，AD →

＝(－3，－1)，点A (－1，－2)．

(1)求线段BD 的中点M 的坐标；

(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →

(λ∈R )，求y 与λ的值．

2．在解决与向量有关的最值问题时，常常利用坐标运算建立目标函数求解． 专题四 ⇨平面向量的应用

1．向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．

2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程． 3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．

典例4 已知△ABC 中，∠ACB 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB

上一点，且AE ＝2EB ，求证AD ⊥CE ．

2．建立平面直角坐标系的原则，应尽量多的使图形顶点及边落在原点或坐标轴上． 专题五 ⇨数形结合思想在向量问题中的应用

在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，即数量关系转化为图形的性质来确定，或者把图形的性质转化为数量关系来研究．

典例5 已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 点为原点，当此两

向量夹角在(0，π

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)变动时，a 的取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．(

3

3

，3) C ．(

3

3

，1)∪(1，3) D ．(1，3)

J 即时巩固i shi gong gu

一、选择题

1．下列说法正确的是( ) A ．单位向量都相等 B ．若a ≠b ，则|a |≠|b | C ．若|a |＝|b |，则a ∥b

D ．若|a |≠|b |，则a ≠b

2．若O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足(BO →＋OC →)·(OC →－OA →

)＝0，则△ABC 一定是( )

A ．等边三角形

B ．等腰直角三角形

C ．直角三角形

D ．斜三角形

3．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )

A ．(－2,4)

B ．(－30,25)

C ．(10，－5)

D ．(5，－10)

二、填空题

4．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →

|的最小值为_ __．