函数、基本初等函数

第2讲 │ 要点热点探究
设偶函数 f(x)对任意 x∈R，都有 f(x＋3)＝－f1x，且当 x∈[－3，－2] 时，f(x)＝4x，则 f(107.5)＝( )
A．10 B.110 C．－10 D．－110 B 【解析】 根据 f(x＋3)＝－f1x，可得 f(x＋6)＝－fx＋1 3＝－－11 ＝f(x)，
fx 所以函数 y＝f(x)的一个周期为 6.所以 f(107.5)＝f(108－0.5)＝f(－0.5)＝f(0.5) ＝f(－2.5＋3)＝－f－12.5＝110.
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► 探究点二 函数的图象的分析判断
例 2 [2011·安徽卷] 函数 f(x)＝axm(1－x)n 在区间[0,1]上的图象如图 2－1 所示， 则 m，n 的值可能是( )
对数函数 y＝logax(a> 0，a≠1)的图象和性质，分 0< a< 1，a> 1 两 种情况；
幂函数 y＝xα 的图象和性质，分幂指数α > 0，α ＝0，α < 0 三 种情况．
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► 探究点一 函数的性质的应用
例 1 (1)[2011·安徽卷] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f(x) ＝ 2x2
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(3)若 函 数 f(x)的 图 象 有 一 条 对 称 轴 x＝ a 和 一 个 对 称 中 心 (b,0)(a≠b)，则函数 f(x)是周期函数，4|b－a|是它的一个正周期，特 别是若偶函数 f(x)有对称中心(a,0)(a≠0)，则函数 f(x)是周期函数， 4|a|是它的一个正周期，若奇函数 f(x)有对称轴 x＝a(a≠0)，则函数 f(x)是周期函数，4|a|是它的一个正周期．
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【点评】 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图 象的对称性，在解题中根据问题的实际通过变换函数的解析式或者已知的函 数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．本题第(2)小题中，实 际上就是用已知条件给出了这个函数，解决问题的基本思路有两条：一条是 把这个函数在整个定义域上的解析式求出，然后再求解具体的函数值；一条 是推证函数的性质，把求解的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数 值．本题根据对任意 t∈R 都有 f(t)＝f(1－t)还可以推证函数 y＝f(x)的图象关 于直线 x＝12对称，函数又是奇函数，其图象关于坐标原点对称，这样就可以 画出这个函数在－12，32上的图象，再根据周期性可以把这个函数的图象拓展 到整个定义域上，进而通过函数的图象解决求指定的函数值，研究这个函数 的零点等问题，在复习中要注意这种函数图象的拓展．
∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选 A. 法二：设 x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 x≤0 时，f(x) ＝ 2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3，故选 A. (2)根据对任意 t∈R都有 f(t)＝f(1－t)可得 f(－t)＝f(1＋t)，即 f(t＋1)＝－f(t)， 进而得到 f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，得函数 y＝f(x)的一个周期为 2， 故 f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f－32＝f12＝－14.所以 f(3)＋f－32的值是 0 ＋－14＝－14.
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2．对称性与周期性的关系 (1)若函数 f(x)的图象有两条对称轴 x＝a，x＝b(a≠b)，则函数 f(x)是周期函数，2|b－a|是它的一个正周期，特别地若偶函数 f(x)的 图象关于直线 x＝a(a≠0)对称，则函数 f(x)是周期函数，2|a|是它的 一个正周期； (2)若函数 f(x)的图象有两个对称中心(a,0)，(b,0)(a≠b)，则函数 f(x)是周期函数，2|b－a|是它的一个正周期，特别，若奇函数 f(x)的 图象关于点(a,0)(a≠0)对称，则函数 f(x)是周期函数，2|a|是它的一 个正周期；
图 2－1 A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝2 C．m＝2，n＝1 D．m＝3，n＝1
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B 【解析】 由图可知 a＞0.当 m＝1，n＝1 时，f(x)＝ax(1－x)的图象关于 直线 x＝12对称，所以 A 不可能；
当 m＝1，n＝2 时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)， f′(x)＝a(3x2－4x＋1)＝a(3x－1)(x－1)， 所以 f(x)的极大值点应为 x＝13＜0.5，由图可知 B 可能． 当 m＝2，n＝1 时，f(x)＝ax2(1－x)＝a(x2－x3)， f′(x)＝a(2x－3x2)＝－ax(3x－2)， 所以 f(x)的极大值点为 x＝23＞0.5，所以 C 不可能； 当 m＝3，n＝1 时，f(x)＝ax3(1－x)＝a(x3－x4)， f′(x)＝a(3x2－4x3)＝－ax2(4x－3)， 所以 f(x)的极大值点为 x＝34＞0.5，所以 D 不可能，故选 B.
第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质
第2讲 函数、基本初等函数 的图象与性质
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1．函数的性质 (1)单调性； (2)奇偶性：特别注意定义域含 0 的奇函数 f(0)＝0； (3)周期性：f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则称 f(x)为周期函数，T 是 它的一个周期．
3．函数的图象 (1)指数函数、对数函数和幂函数、一次函数、二次函数等初等 函数的图象的特点； (2)函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换．
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4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (注意根据图象 记忆性质)
指数函数 y＝ax(a> 0，a≠1)的图象和性质，分 0< a< 1，a> 1 两种 情况；
－x，则 f(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)设奇函数
y＝f(x)(x∈R)，满足对任意
t∈R
都有
f(t)＝f(1－t)，且
x∈0，12

时，

f(x)＝－x2，则 f(3)＋f－32的值等于________．
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(1)A (2)－14 【解析】 (1)法一：∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 x≤0 时，f(x) ＝ 2x2－x，