费米分布及玻耳兹曼分布

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3.1.1 费米分布
空穴的费米分布函数：
f
V
(E)
1－f
E
1＋exp
EF k0T
E
－1
fV(E)与1-f(E)是关于EF是对称的，即为电子-空穴几率对称性。
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3.1.2 玻耳兹曼分布函数 1. 电子的玻耳兹曼分布函数
E EF kT时, exp [(E-EF )/kT] 1
第3章 半导体中载流子的统计分布
Chapter 3 Statistical Distribution of Carriers in Semiconductors
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本章要点
理解费米分布和玻尔兹曼分布的前提条件，及费米函数的性质。 熟悉导带电子和价带空穴浓度的分析推导过程。 掌握杂质半导体费米能级随杂质浓度和温度的变化关系。 掌握本征、杂质半导体中载流子浓度的计算。 简并半导体的简并化条件及简并情况下载流子浓度的计算。 热平衡态下半导体中载流子浓度满足关系式。
此时,空穴的费米分布函数近似为
－1
f
V F
E
1＋exp
EF k
T
E
exp(- EF - E ) kT
这时空穴的费米分布函数转化为空穴的玻耳兹曼分布：
f
V B
E
exp
EF k0T
E
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3.1.2 玻耳兹曼分布函数
意义：当粒子系统中的微粒子非常稀少时，粒子必须遵守的泡 利不相容原理自动失去意义。即系统中每一个量子态不存在多 于一个粒子占据的可能性。
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引言
热平衡状态: 在一定的温度下，给定的半导体中载 流子的产生和复合同时存在，最后达到一动态平 衡。
热平衡载流子浓度 ： 当半导体处于热平衡状态时， 半导体导带电子浓度和价带空穴浓度都保持恒定 的值，这时的电子或空穴的浓度称为热平衡载流 子浓度。
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3.1 费米分布及玻耳兹曼分布
此时,电子的费米分布函数近似为
f F E
1＋exp
E
EF kT
－1
exp(- E - EF kT
)
即这时电子的费米分布函数转化为电子的玻耳兹曼分布函数
fBE
exp
E EF k0T
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3.1.2 玻耳兹曼分布函数
2.空穴的玻耳兹曼分布函数
类似地，若 EF E kT时, exp [(EF-E)/kT] 1
除去在EF附近的几个kT处的量子态 外，在 E EF kT 处，量子态为 电子占据的几率很小。即在 E EF kT 的条件下，泡里不相容原理失去作 用，费米分布和波耳兹曼分布这两 种统计的结果是相同的。
E EF 5kT时, f (E) 0.007 E EF 5kT时, f (E) 0.993
费米分布：
f
E
1＋exp
E EF k0T
－1
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3.1.1 费米分布
说明1：它描述了在热平衡状态下，在一个 费米粒子系统（如电子系统）中属于能量E 的一个量子态被一个电子占据的概率。
T=0K： 若E<EF，则 f(E)=1； 若E>EF，则 f(E)=0。
T>0K： 若E= EF ， 则f(E) =1/2 ； 若E< EF ， 则f(E) >1/2 ； 若E> EF ， 则f(E) <1/2 ；
f B E
exp
E EF k0T
不难证明：
f
V B
E
Hale Waihona Puke exp EF k0T
E
f
V B
E
f
B
E
exp
EF E k0T
exp
E EF k0T
1
上述结果是否正确？
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3.1.2 玻耳兹曼分布函数
低掺杂半导体中， 载流子统计分布通 常遵顺玻耳兹曼统 计分布。这种电子 系统称为非简并性 系统。
A:0k, B:300k, C:1000k, D:1500k 图3-1 费米分布函数与温度的关系
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3.1.1 费米分布
温度升高，能量比EF高的量子态被电子占据的概率上升。
E EF 5kT时, f (E) 0.007 E EF 5kT时, f (E) 0.993
可见，温度主要影响费米能级附近的电子状态。
f (Ei) N
i
EF与温度、半导体材料等有关。
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3.1.1 费米分布 费米能级在能带中的位置：
对于金属晶体，价电子只能部分填满最外的导带，费米能级位 置在导带中。
对于半导体晶体，价电子填满了价带，最外的导带是空的，费 米能级位置在禁带内，且随其中的杂质种类、杂质浓度以及温度 的不同而改变。
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3.1.2 玻耳兹曼分布函数
除去在EF附近的几个kT处的量子态外，在 EF E kT 处， 量子态被空穴占据的几率很小。即在 EF E 的k条T 件下， 空穴费米分布和空穴波耳兹曼分布这两种统计的结果是相 同的。
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3.1.2 玻耳兹曼分布函数 因为：
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3.1.1 费米分布
量子态：一个微观粒子允许的状态。对费米子来说，一个量子 态只能容纳一个粒子。
量子统计理论指出：对于一个包含有众多粒子的微观粒子系统， 如果系统满足量子力学的粒子全同性原理和泡里不相容原理， 则没有必要追究个别粒子落在哪个量子态，而是考究在给定能 量E的量子态中有粒子或没有粒子的概率即可。
说明2：它描述了在热平衡状态下，在一个费米粒子系统（如电子 系统）中属于能量E的一个量子态上的电子数。
f (Ei) N
i
式中求和包括每一能量值所包含的每个量子态。
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3.1.1 费米分布 说明3：费米能级EF： 电子占据几率为1/2的量子态所对应的能级
费米能级的意义：反映能级被电子填充水平的高低。 费米能级的确定：用系统包含的电子总数N来决定，即
高掺杂半导体，载 流子服从费米统计， 这样的电子系统称 为简并性系统。
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3.2 半导体载流子的统计
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电子在允许的量 子态中如何分布?
载流子的 统计分布： 载流子按 能量的分
布
允许的量子态按能量 如何分布?
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3.2.1 k空间量子态密度
kz
(1). 一个量子态在k空间所占的体积
电子在晶体中的能量状态用k标志,根据周期 性的边界条件,电子的波矢只能取分立的值: