24.1.3 弧、弦、圆心角(公开课)

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数学九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角(共14张PPT)

四、课堂练习
1.如图：AB、CD是⊙O的两条弦。
（1）如果⌒AB＝⌒CD，那么＿A＿B =＿CD ，∠A＿OB＿＝＿∠CO。D （2）如果AB =CD ，那么＿＿⌒ AB ＿=C⌒D，∠＿AO＿B＝＿∠C。OD （3）如果∠AOB＝∠COD, 那么＿⌒A＿B =＿C⌒D，AB＿=C＿D ＿。
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心
角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可以
把条件“在同圆或等圆中”去掉吗？你能举例
说明吗？
ห้องสมุดไป่ตู้
B
不可以去掉，如图。
D
A OC
如图：在⊙o中，A⌒B =AC⌒;∠ACB＝60°。求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明： ∵A⌒B=⌒AC
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形
在等圆中，画出两个相等的圆心角， ∠AOB和∠A′O′B′，并画出它所对的弦和弧。猜想：弦AB和弦A′B′，弧AB和弧A′B′有什么数量关系？
A B
O·
A1
B1 ·
O1
在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦也相等。
实验
在同圆中，相等的圆心角所对的弧也相等吗？所对的弦也相等吗？
A′
B′
O
又 ∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA
B
C
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
新知运用
例2、如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，
求∠AOE 的度数．
ED C
A
· O
B
解：∵ BC=CD=DE， BOC COD DOE=35 ，
AOE 180 335 75 .

人教版初中数学九年级上册 24.1.3弧、弦、圆心角初中九年级数学教学课件PPT 人教版

四边形OACB形状，并说明理由.
2、如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上取
CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、
B. （1）试判断△⌒OE⌒F的形状，并说明理由；
（2）求证：AC=BD
O
EБайду номын сангаасC
A
F D
B
谢谢
（1）如果AB=CD，那么，。
（2）如果弧AB=弧CD，那么，。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么，。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，
E
B
OF⊥CD于F，OE与OF相等A 吗？
为什么？
O
D
F
C
图3
2、如图，AB是⊙O的直径，BC=⌒CD⌒=DE⌒，
∠COD=35°，求∠AOE的度数。
如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A1OB1时，它们所对的⌒弧A⌒B和A1B1 、弦AB和A1B1相等
吗？为什么？ A1 B
B1
证明：把 ∠AOB 连同⌒AB 绕圆心 O
旋转，使射线OA与OA1重合.
· O
∵∠AOB=∠A1OB1，
A ∴射线OB与OB1重合.
同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
证明： ∵ B⌒C=C⌒D=⌒DE ∴∠COB=∠DOE=∠COD=35°A ∵AB是⊙O的直径.
ED
C
O
B
∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD∠DOE
=750
3、如图，AD=BC，那么比较⌒AB与⌒CD的
大小.
A
C
D
O
B
课堂小结：
请你谈谈本节课的收获.
拓展延伸：

24.1.3弧,弦,圆心角(教案)

-弧和弦的分类：区分优弧、劣弧、半圆，以及直径和弦，让学生能够准确识别和运用。
举例：讲解圆心角与所对弧的关系时，可通过实际操作或动画演示，让学生直观地观察到当圆心角变化时，所对弧的长度也随之变化，强化这一重点知识。
2.教学难点
-弧、弦、圆心角的定义理解：学生对这些几何概念的理解可能存在困难，需要通过具体实例和直观演示来加深理解。
此外，学生在解决与弧、弦、圆心角相关的问题时，往往容易忽视圆心角与所对弧的关系。这说明我在讲解这个重点时，可能没有让学生充分理解和消化。为了帮助学生更好地掌握这个关系，我计划在接下来的课程中，设计更多具有针对性的练习题，并适时给予指导和反馈。
在课堂总结环节，我发现部分学生对今天的知识点仍然存在疑问。这提示我在今后的教学中，要更加重视课堂总结，及时解答学生的疑问，确保他们能够扎实掌握所学知识。
-圆心角与所对弧关系的应用：学生在运用这一性质解决实际问题时可能会感到困惑，需要通过大量练习和案例分析来提高应用能力。
-弧和弦的分类判定：学生在判断优弧、劣弧、半圆和弦时可能会混淆，需要通过对比分析和具体练习来突破。
举例：针对教学难点，教师可以通过以下方式帮助学生突破：
-设计互动环节，让学生动手操作圆规和直尺，在纸上画出不同类型的弧和弦，通过直观感受加深对概念的理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆心角与所对弧的关系以及弧和弦的分类这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧、弦、圆心角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用圆规和直尺画出不同类型的弧和弦，演示圆心角与所对弧的关系。

24.1.3 弧、弦、圆心角(公开课)PPT教学课件

.
28
∵∠AOB＝∠AO'B'
∴AB＝A'B'
⌒ ⌒ AB ＝ A'B'
11Biblioteka .定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ B' A'
B
·
.
A
12
等对等定理
同样，还可以得到：
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两
条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 _____，所对的弦________；量也相等．
24.1 24.1.3
圆的有关性质弧、弦、圆心角
R· 九年级上册
.
1
重点：弧、弦、圆心角关系定理. 难点：探究并证明弧、弦、圆心角关系定理.
.
4
推进新课
知识点 1 圆的旋转不变性
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形
·
.
它的对称中心是圆心
5
知识点 2 圆心角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 A
• 则∠COD=
60°
.
. 17
• 3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC= 40° ．
⌒
.
18
• • • • • •
4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数. 解： ∵AB=AC， ⌒ ⌒ ∴AB=AC. ∴∠B=∠C=75°， ∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
A
显然∠AOB＝∠A'OB' AB＝A'B'

人教版九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角课件

的顺的位序位置排置列关顺关过，系序系点若，排，O列并并A作D，说说=O若明明BEC理理A，D由由=根A..BB据C于题，点意根E补据，全题交图意形补DC，全于探图点究形，AFB探, ，究 AB ，
C（D2的）位当置A关B 、系，CD并位说于明圆理心由O. 的异侧时，
连C交接D 的AOB位A于，置点关OB系G，，，并OC说，明理OD由..
D
F
C
∵ AD=BC ，
12
O
A
E
B
∴ 1 2 .
G
∴ 1 2，
解： AB交交∥∵AACBBDA于于D. =点点BGGC ，，，
证明：∵∵∵ ∴连OAA接E1DD==OBBAACC2B，，，，，OB ， OC ， OD ，
过点 O∴∴∴ ∵作O11E3OEA224BA，，，B，于点 E ，交交DDCC于于点点FF，, 交 AB 于点 G .
12
3 O4 E
G
B
∴
∴∴ ∴3DDDFFF4OOO，≌≌ CCCFFFOOO
，， 90
，
已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
例3 已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
顺同顺序侧序排的排两列同列个，侧，点若的若，两AADD且个==点ABBCC，，，，且B根根，A据据，C题题，B意意，D作作四C图图，点，，在D探探圆四究究上点按在AABB逆圆，，时上CC针按DD逆时针
的顺的CD位序位的置排置位列关顺关C置D，系序系D关的若，排，3 系位列并并A，置D，说说4 =并关C若明明B说系C理理A明，，D由由=理根并..B由据说C∴∵题 .明，A意理根1B+补由据为全题 .2+图意O形∴ ∵ ∴补C的O，全直D探图113径+++究形1, 8，224A0++B探.，究CC3OOADDB，41,18800，,

24.1.3弧、弦、圆心角-公开课-优质课（人教版教学设计精品）

24.1.3弧、弦、圆心角-公开课-优质课（人教版教学设计精品）24.1圆的有关性质(第3课时)一、内容和内容解析1．内容弧、弦、圆心角之间的关系．2．内容解析弧、弦、圆心角之间的关系，是继垂径定理后圆的又一个重要性质，它是圆中论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据，也是后继研究圆周角以及圆的其他知识的重要基础，是转化思想的具体体现．在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弧所对的弦、两条弧所对的圆心角中有一组量相等，那么其他各组量也相等．弧、弦、圆心角之间的关系，是圆的旋转不变性的具体表现，因此在研究方法上依然采用的是利用图形变化的方法，再次体现了图形变化在发现问题、解决问题时的作用．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：弧、弦、圆心角的关系的探索与应用．二、目标及其解析1．目标(1)了解圆心角的概念．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用．(2)在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中体会圆的旋转不变性，在应用弧、弦、圆心角的关系的过程中体会转化思想．2．目标解析达成目标(1)的标志是：学生能识别圆心角，能理解弧、弦、圆心角的关系反映了两条弧，两条弦、两个圆心角三组量中只要其中一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都相等，并能利用这一关系进行有关的证明．达成目标(2)的标志是：学生能从旋转的角度发现问题，并能从旋转的角度对结论进行论证；学生能将证明弦相等、弧相等、圆心角相等的问题进行转化．三、教学问题诊断分析由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等弧等的理解可能不透彻；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路．本课的教学难点是：探索定理和推导及其应用．1。

初中数学人教版九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》课件

定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”
中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
B
D
O
C
A
知识点1
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
知识点1
OE OF .
B
O·
D
F
C
圆心角
顶点在圆心的角
弦、弧、圆心
角的关系定理
在同圆或
等圆中
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
෢
෢ ，∠ACB=60°.
如图，在⊙O中， =
(1)求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC；
෢
(2)若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形.
解： (2)连接OD，如图.
෢
因为D是的中点，所以
AD= BD，
所以∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°.
又OD=OA，OD=OB，
所以△OAD和△OBD都是等边三角形，
所以OA=AD=OD，OB=BD=OD，
所以OA=AD=DB=BO，所以四边形OADB是菱形.
谢谢大家
人教版九年级数学上
24.1.3
弧、弦、圆
心角
1.弦的概念：
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
2.弧的概念：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
෢ ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
以A、B为端点的弧记作
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.

24.1.3 弧、弦、圆心角讲义教师版

24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教学目标：1、理解圆心角的概念．2、掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．教学重难点：圆的性质的综合应用．知识点一：圆的旋转不变性圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．例题：如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合？【考点】B4：旋转．【专题】463：图形与变换．【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．【解答】解：把图形中的每个阴影部分与相邻的一个部分当作一个部分，因而整个圆周被分成9个完全相同的部分，每个部分对应的圆心角是=45度，因而最少旋转的度数是45度．答：如图所示的图形绕圆心旋转45度后能与自身重合．【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．变式．如图，△ABC是△O的内接三角形，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，若，则△B的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】先根据得出==，，最后根据△A=△B=△C即可得出△B的度数．【解答】解：△，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，△==，△，△△A=△B=△C=60°．故选D．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系和旋转的性质，解题的关键是根据等弧所对的圆周角相等进行解答．知识点二：圆心角定义：角的顶点在圆心的角例题．如图，MN为△O的弦，△M=50°，则△MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°【分析】先运用了等腰三角形的性质求出△N，再根据三角形的内角和是180°即可得．【解答】解：△OM=ON，△△N=△M=50°．再根据三角形的内角和是180°，得：△MON=180°﹣50°×2=80°．故选D．【点评】运用了等腰三角形的性质：等边对等角；考查了三角形的内角和定理．变式1．如图，已知：AB是△O的直径，C、D是上的三等分点，△AOE=60°，则△COE是（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】先求出△BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．【解答】解：△△AOE=60°，△△BOE=180°﹣△AOE=120°，△的度数是120°，△C、D是上的三等分点，△弧CD与弧ED的度数都是40度，△△COE=80°．故选C．【点评】本题利用了邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．变式2．已知弦AB把圆周分成2：3的两部分，则弧所对圆心角的度数是（）A．72°B．72°或144°C．144°D．144°或216°【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的．【解答】解：△弦AB把圆周分成2：3的两部分，△弦AB所对的圆心角的度数=×360°=144°．故选D【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，△圆心角相等，△所对的弧相等，△所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．例题1．如图，在△O中=，△AOB=40°，则△COD的度数（）A．20°B．40°C．50°D．60°【分析】首先得到=，进而得到△AOB=△COD，即可选择正确选项．【解答】解：△=，△=，△△AOB=△COD，△△AOB=40°，△△COD=40°，故选B．【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．例题2．如图，在△O中，已知=，则AC与BD的关系是（）A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定【分析】由=，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．【解答】解：△=，△，△，△AC=BD．故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，正确的理解圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．例题3．如图，AB是半圆的直径，△BAC=20°，D是的中点，则△DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得△C=90°，继而求得△ABC 的度数，然后由D是的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．【解答】解：连接BC，△AB是半圆的直径，△△C=90°，△△BAC=20°，△△B=90°﹣△BAC=70°，△D是的中点，△△DAC=△ABC=35°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．变式1．如图所示，在△O中，，△A=30°，则△B=（）A．150°B．75°C．60°D．15°【分析】先根据等弧所对的弦相等求得AB=AC，从而判定△ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出△B=△C；最后由三角形的内角和定理求角B的度数即可．【解答】解：△在△O中，，△△ABC是等腰三角形，△△B=△C；又△A=30°，△△B==75°（三角形内角和定理）．故选B．【点评】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．解题的关键是根据等弧对等弦推知△ABC是等腰三角形．变式2．如图，==，已知AB是△O的直径，△BOC=40°，那么△AOE=（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】由==，△BOC=40°，根据等弧所对的圆周角相等，可求得△EOD与△COD的度数，继而求得答案．【解答】解：△==，△BOC=40°，△△EOD=△COD=△BOC=40°，△AB是△O的直径，△△AOE=180°﹣△EOD﹣△COD﹣△BOC=60°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式3．如图，已知△O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是△O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（）A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．16 cm【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．【解答】解：如图，连接OD、OC．△（已知），△△AOD=△DOC=△COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；△AB是直径，△△AOD+△DOC+△COB=180°，△△AOD=△DOC=△COB=60°；△OA=OD（△O的半径），△△AOD是等边三角形，△AD=OD=OA；同理，得OC=OD=CD，OC=OB=BC，△AD=CD=BC=OA，△四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB=5OA=5×2cm=10cm；故选B．【点评】本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．拓展点一：利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算或证明例题1．如图所示，△ABC的三个顶点在△O上，D是上的点，E是上的点，若△BAC=50°．则△D+△E=（）A．220°B．230°C．240°D．250°°【分析】连接OA、OB、OC，由圆心角、弧、弦的关系定理得出△BOC=100°，得出△AOB+△AOC=260°，由圆周角定理得出△D=（△BOC+△AOC），△E=（△BOC+△AOB），即可得出结果．【解答】解：连接OA、OB、OC，如图所示：△△BAC=50°，△△BOC=2△BAC=100°，△△AOB+△AOC=360°﹣100°=260°，△△D=（△BOC+△AOC），△E=（△BOC+△AOB），△△D+△E=（△BOC+△AOC+△BOC+△AOB）=（260°+100°+100°）=230°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由圆周角定理得出角之间的关系是解决问题的关键．例题2．如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E、F在半圆上，AC=CD=DE=EF=FB，则△COF=（）A．90°B．100°C．108°D．120°【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理得出=，得出△COF=×180°=108°即可．【解答】解：△AC=CD=DE=EF=FB，△=，△△COF=×180°=108°；故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由弦相等得出弧相等是解决问题的关键．例题3．如图，AB是△O的直径，若△COA=△DOB=60°，等于线段AO长的线段有（）A．3条B．4条C．5条D．6条【分析】易知：△AOC=△COD=△BOD=60°，则△AOC、△COD、△BOD均为等边三角形，可据此判断出与OA相等的线段有几条．【解答】解：△△COA=△DOB=60°，△△AOC=△COD=△BOD=60°；又△OA=OC=OD=OB，△△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形；△OA=AC=OC=CD=OD=BD=OB；因此与OA相等的线段由6条，故选D．【点评】能够发现△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形是解答此题的关键．变式1．如图，AB是△O的直径，==，△COD=34°，则△AEO的度数是51°．【分析】由==，可求得△BOC=△EOD=△COD=34°，继而可求得△AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求△AEO的度数．【解答】解：如图，△==，△COD=34°，△△BOC=△EOD=△COD=34°，△△AOE=180°﹣△EOD﹣△COD﹣△BOC=78°．又△OA=OE，△△AEO=△OAE，△△AEO=×（180°﹣78°）=51°．故答案为：51°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．变式2．如图，AB是△O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若△O的半径为2，则PC+PD的最小值是2．【分析】作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则DP+CP最小，根据解直角三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′=CE即可．【解答】解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则根据垂径定理得：E在△O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小，△C是半圆上的一个三等分点，△△AOC=×180°=60°，△D是的中点，△△AOE=△AOC=30°，△△COE=90°，△CE=OC=2，即DP+CP=2，故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．变式3．如图，AB是△O的直径，点C在△O上，△AOC=40°，D是BC弧的中点，则△ACD=125°．【分析】连接OD，由△AOC=40°，可得出△BOC，再由D是BC弧的中点，可得出△COD，从而得出△ACD 即可．【解答】解：连接OD，△AB是△O的直径，△AOC=40°，△△BOC=140°，△ACO=70°，△D是BC弧的中点，△△COD=70°，△△OCD=55°，△△ACD=△ACO+△OCD=70°+55°=125°，故答案为125°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．变式4．如图，已知AB是△O的直径，PA=PB，△P=60°，则弧CD所对的圆心角等于60度．【分析】先利用PA=PB，△P=60°得出△PAB是等边三角形再求出△COA，△DOB也是等边三角形得出△COA=△DOB=60°可求△COD．【解答】解：连接OC，OD，△PA=PB，△P=60°，△△PAB是等边三角形，有△A=△B=60°，△OA=OC=OD=OB，△△COA，△DOB也是等边三角形，△△COA=△DOB=60°，△△COD=180°﹣△COA﹣△DOB=60度．【点评】本题利用了：有一角等于60度的等腰三角形是等边三角形的判定方法和等边三角形的性质求解．例题4．如图，在△O中，=，CD△OA于D，CE△OB于E，求证：AD=BE．【分析】连接OC，先根据=得出△AOC=△BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD△△COE，由此可得出结论．【解答】证明：连接OC，△=，△△AOC=△BOC．△CD△OA于D，CE△OB于E，△△CDO=△CEO=90°在△COD与△COE中，△，△△COD△△COE（AAS），△OD=OE，△AO=BO，△AD=BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．例题5．已知如图所示，OA、OB、OC是△O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB 的中点．求证：MC=NC．【分析】根据弧与圆心角的关系，可得△AOC=△BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM=ON，利用SAS判定△MOC△△NOC，继而证得结论．【解答】证明：△弧AC和弧BC相等，△△AOC=△BOC，又△OA=OB M、N分别是OA、OB的中点△OM=ON，在△MOC和△NOC中，，△△MOC△△NOC（SAS），△MC=NC．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．变式1．如图，AB，CD是△O的两条直径，过点A作AE△CD交△O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE．【分析】连接OE，可得△A=△OEA，再由AE△CD得△BOD=△A，△DOE=△OEA，从而得出△BOD=△DOE，则BD=DE．【解答】证明：连接OE，如图，△OA=OE，△△A=△OEA，△AE△CD，△△BOD=△A，△DOE=△OEA，△△BOD=△DOE，△BD=DE．【点评】此题主要考查了平行线的性质，在同圆中，等弦所对的圆心角相等．变式2．如图，AB是△O的直径，C，E是△O上的两点，CD△AB于D，交BE于F，=．求证：BF=CF．【分析】延长CD交△O于点G，连接BC，根据垂径定理证明即可．【解答】证明：延长CD交△O于点G，连接BC，△AB是△O的直径，CD△AB于D△=，△=△=△△BCF=△CBF，△BF=CF．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理等知识点的应用，解此题的关键是作辅助线后根据定理求出△CBE=△BCE，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好．拓展点二：垂径定理与圆心角、弧、弦之间关系的综合应用例题1．如图，在△O中，若点C是的中点，△A=50°，则△BOC=（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出△AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三角形性质得出△BOC=△AOB，代入求出即可．【解答】解：△△A=50°，OA=OB，△△OBA=△OAB=50°，△△AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，△点C是的中点，△△BOC=△AOB=40°，故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．例题2．如图，AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，给出下列结论：△AB=AC；△=；△AD△BC；△AB△AC．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，可得=，即可得AD△BC，继而求得：△AB=AC；△=．【解答】解：△AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，△=，△AD△BC，故△正确；△=，故△正确；△AB=AC，故△正确．无法判定AB△AC，故错误．故选C．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及弧与弦的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式1．如图，在△O中，直径CD△弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AD=AB B．△D+△BOC=90°C．△BOC=2△D D．△D=△B【分析】根据垂径定理得出弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，根据以上结论判断即可．【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AD=AB，故A选项错误；B、△直径CD△弦AB，△，△对的圆周角是△ADC，对的圆心角是△BOC，△△BOC=2△D，不能推出△D+△BOC=90°，故B选项错误；C、△，△△BOC=2△D，△C选项正确；D、根据已知不能推出△DAB=△BOC，不能推出△D=△B，故D选项错误；故选：B．【点评】本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．变式2．如图，AB是△O的直径，点C、D是△O上的点，若△CAB=25°，则△ADC的度数为（）A．65°B．55°C．60°D．75°【分析】由AB为△O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得△ACB=90°，又由△CAB=25°，得出△B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得△ADC的度数．【解答】解：△AB为△O的直径，△△ACB=90°，△△CAB=25°，△△ABC=90°﹣△CAB=65°，△△ADC=△ABC=65°．故选A．【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式3．如图是小明完成的．作法是：取△O的直径AB，在△O上任取一点C引弦CD△AB．当C点在半圆上移动时（C点不与A、B重合），△OCD的平分线与△O的交点必（）A．平分弧AB B．三等分弧ABC．到点D和直径AB的距离相等D．到点B和点C的距离相等【分析】先求出△DCE=△ECO，再利用内错角相等，两直线平行的OE△CD，再利用角的平分线的性质可解．【解答】解：设△OCD的平分线与△O的交点为E，连接OE，△OE=OC，△△E=△ECO，△△DCE=△ECO，△OE△CD，△CD△AB，△OE△AB，△有弧AE=弧BE，所以点E是弧AB的中点．故选A．【点评】本题利用了：1、等边对等角，2、内错角相等，两直线平行，3、角的平分线的性质求解．易错点：误认为同圆中弧及弧所对的弦有相同的倍数关系例题．如图，△O中，如果△AOB=2△COD，那么（）A．AB=DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC【分析】过点O作OE△AB交△O于点E，连接AE、BE，可得△AOE=△BOE=△AOB，根据△COD=△AOB，知△AOE=△BOE=△COD，即CD=AE=BE，在△ABE中，由AE+BE＞AB可得2CD＞AB．【解答】解：如图，过点O作OE△AB交△O于点E，连接AE、BE，△△AOE=△BOE=△AOB，又△△COD=△AOB，△△AOE=△BOE=△COD，△CD=AE=BE，△在△ABE中，AE+BE＞AB，△2CD＞AB，故选：C．【点评】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据△AOB=2△COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键．变式1．在同圆中，若AB=2CD，则与的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．不能确定【分析】先根据题意画出图形，找出两相同的弦CD、DE，根据三角形的三边关系得到CE与CD+DE的关系，再比较出AB与CE的长，利用圆心角、弧、弦的关系进行解答即可．【解答】解：如图所示，CD=DE，AB=2CD，在△CDE中，△CD=DE，△CE＜CD+DE，即CE＜2CD=AB，△CE＜AB，△＜．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．变式2．如图，已知点A，B，C均在△O上，并且四边形OABC是菱形，那么△AOC与2△OAB之间的关系是（）A．△AOC＞2△OAB B．△AOC=2△OAB C．△AOC＜2△OAB D．不能确定【分析】连接OB易证△OAB和△OBC是等边三角形，据此即可判断．【解答】解：连接OB．△四边形OABC是菱形，△OA=AB，又△OA=OB，△△OAB是等边三角形．同理△OBC是等边三角形．△△A=△AOB=△BOC=60°，△△AOC=2△OAB．【点评】本题考查了菱形性质以及等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键．。

3 弧、弦、圆心角公开课精品课件

∴
弧、弦、圆心角与四边形的综合应用
例2 如图24 - 35所示，A，B是☉O上的两点，
∠AOB=120°，C是的中点，判断四边形 OACB的形状，并证明你的结论.
〔解析〕根据圆心角、弧、弦的关系推知△AOC和 △BOC都是等边三角形,然后由等边三角形的三条边都相等的性质证得OA=OB=AC=BC,最后根据菱形的判定定理(四条边相等的四边形是菱形)即可证得结论.
分别交AD，BC于点E，F，延长 BA交☉A于G，求证
证明:如图64所示,连接AF， ∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠DAF=∠AFB,∠GAE=∠ABF.
∴∠GAE=∠EAF.∴
再根据“HL”可判断Rt△OMC≌Rt△OND,则∠COM=∠DON,
然后根据圆心角、弧、弦之间的关系得到
.
证明:如图24 - 34(2)所示，连接OC,OD,则OC=OD.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠OMC=∠OND=90°, ∵AB是☉O的直径，M,N分别是AO，BO的中点，∴OM=ON.
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL).∴∠COM=∠DON.∴
九年级数学·上
新课标 [人]
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质
弧、弧相等
如图(1)所示，已知AB为☉O的直径，M，N分
别为OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂
足分别为M，N.求证
.
〔解析〕连接OC,OD,由M,N分别是AO,BO的中点得到OM=ON,
.
【解题归纳】在证明圆中弧相等时,常采用“连半径”“连接
弧端点”等方法,巧用圆心角、弧、弦之间的关系定理来解决问题.
1.如图所示，AB为☉O的弦，点C,D为弦AB上的

人教版数学九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角第3课时示范教学课件(共17张PPT)

证明： ∵A⌒B = C⌒D，
∴ AB = AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
A
·O
B
C
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
四、巩固新知
( ( ( (
( (
1. 填一填：如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦．（1）如果AB = CD，那么__A_B__=__C_D___， ∠AOB= ∠COD ．（2）如果AB=CD，那么__A_B__=__C_D____， ∠AOB = ∠COD ．
又 OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
OE OF.
A C
E O·
F
B D
四、巩固新知
2. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE， ∠COD = 35°，求∠AOE 的度数．
E
D
解： ∵ BC=CD=DE， C
B O C C O D D O E = 3 5 ，
（1）如果两个圆心角相等，那么（）
D．以上说法都不对求证: AB ＝ CD.
在⊙O中，如果∠AOB = ∠COD，
如图，在等圆中，如果∠AOB ＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？
（2）弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 °.
四、巩固新知
4. 如图，已知 AB、CD 为⊙O的两条弦，AD BC
（3）如果∠AOB =∠COD，那么___A_B__=__C_D____，_A_B__=__C_D__．
（4）如果AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？

九年级数学上册-24.1.3-弧弦圆心角-公开课课件省市一等奖完整版

同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
思考
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
温馨提示：
由弦相等推出弧相等时，这里弧一般要求都是优弧或劣弧
小试身手
1.判断下列说法是否正确：
的中点，求证：MC=NC
提示：证 MOC NOC
O
M
N
A
B
C
3.如图，BC为⊙O的直径，OA是 ⊙O的半径，弦BE∥OA, 求证：A⌒C=A⌒E
C
O A
E
B
A
知识延伸
B
如图，AC与BD为⊙O的两条互相垂直⌒的直CD=DA;
证明: ∵AACB与=BBDC为=C⊙DO=的D两A条. 互相垂直的直径,
永城市第一初级中学
圆的性质
●O
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
• 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
• 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。
复习回顾 C
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。
数学语言：
.O
∵ ①直线CD过圆心O
P
C
ND
F
变式练习：
P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
BE
M
P
.O
ND
F
BE
.M
CP
O
AN DF
3、已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点， ∠1=∠2。求证：AC=BD
随堂训练

部编人教版九年级数学上册优质课件 24.1.3 弧、弦、圆心角

任意给圆心角，对应出现三个量：
A
B
弧
·
圆心角
O
弦
这三个量之间会有什么关系呢？
如图，在⊙O中将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到
∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
A'
B
B'
显然∠AOB＝∠A'OB'
A
AB＝A'B'
A⌒B ＝ A⌒'B'
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠AO'B'，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？BD ABAC源自, CD,ADDA,
• ∴△ADB≌△DAC(SSS).
∴∠ABD＝∠DCA. 在△AEC和△DEB中， ∠DCA＝∠ABD, ∠AEC＝∠DEB,
AC=BD, ∴△AEC≌△DEB(AAS).
• (2)解：对称.
• 理由：连接OB、OC.则OB=OC.
• 由(1)知BE=CE，
• 连接BC，则OE垂直平分BC.
• ∴点B与点C关于直线OE对称.
课堂小结
1.四个元素：圆心角、弦、弧、弦心距
2.四个相等关系： ① 圆心角 ②弧 ③弦 ④ 弦心距
在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等．
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
③弦
得
④ 弦心距三
随堂演练
基础巩固
• 1.如图，AB是⊙O的直径，BC⌒=CD⌒=DE⌒,∠AOE=72°，
则∠COD的度数是( A)
• A．36°
B．72°
• C．108°

九年级数学上册 24.1.3 弧,弦,圆心角市级公开课课件人教新课标版

24.1.3 弧、弦、圆心角
第一页，编辑于星期五：十三点三十五分。
第二页，编辑于星期五：十三点三十五分。
船能过拱桥吗
解:如图,用表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.
由题设得 A B 7 .2 ,C D 2 .4 ,H N 1M 1 N .5 .
相等
因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD.
又因为AO=CO，BO=DO，
A
E
B
所以△AOB ≌ △COD.
又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，
O·
D
所以 OE = OF.
F
C
第十四页，编辑于星期五：十三点三十五分。
2.如图，AB是⊙O的直径，
⌒
BC
=
⌒
CD
= ,⌒ D∠ECOD=35°，
N'
N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。
第九页，编辑于星期五：十三点三十五分。
二、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A
O·
B 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
第十页，编辑于星期五：十三点三十五分。
三、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些
AB = A1B1 ABA'B'.
第十一页，编辑于星期五：十三点三十五分。
四、定理
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
同样，还可以得到：

24.1.3 弧、弦、圆心角教案2

24.1.3 弧、弦、圆心角教案探究剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？结论：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.把圆绕圆心旋转任意的一个角度呢？把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形完全重合通过上面的观察，你能得到什么结论呢？圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.师提出提问，并让学生拿出事先准备好的圆形纸片，动手操作，观察，最后教师PPT动态展示.教师在上一问题的基础上追问，仍然让学生先动手操作，观察，然后教师任选几个角度(如30°，60°，120°，210°等)进行PPT动态展示.活动意图说明：让学生通过动手实践来感受圆的中心对称性.引导学生来归纳出圆是中心对称图形.培养学生的观察能力与语言组织能力.环节三：典例精析教师活动3：观察下面几个角的顶点，有什么共同特征？顶点都在圆心.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？学生活动3：引导学生观察思考，然后总结出圆心角的概念:如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A'O'B'，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.简述同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．教师提出问题，学生通过观察与思考学生讨论、交流，并用语言进行总结，教师引导、点拨，得到结论活动意图说明：通过观察，使学生对圆的旋转不变性的认识从感性上升到理性. 理解弧、弦、圆心角之间的关系.培养学生的观察发现能力及对概念的理解能力.环节四:典例精析教师活动4：例 3 如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.学生活动4：学生独立思考，当堂练习证明：∵AA ̂=AA ̂， ∴AB=AC ，△ABC 是等腰三角形.∵∠ACB=60°，∴△ABC 是等边三角形 ,AB=BC=CA.∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.和劣弧分别相等.【知识技能类作业】必做题：1.如图1，AB 是⊙O 的直径，BC⏜ =CD ⏜ =DE ⏜ ，∠AOE=66°，则∠COD 的度数是( )A ．108°B ．72°C ．48°D ．38°2.如图2，已知AB 是⊙O 的直径，点C 和点D 是半圆上两个三等分点，则∠COD= .3.如图3，在⊙O 中，点C 是AB⏜的中点，∠A=70°，则∠BOC=_____.选做题：4.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为 .5.如图AAÂ=AAA ̂,若AB=3,则CD=___________.6.如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦．如果AB=CD ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ， OE 与OF 相等吗？为什么？【综合拓展类作业】7．如图，D 、E 分别是⊙O 两条半径OA 、OB 的中点，．（1）求证：CD=CE．（2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式【知识技能类作业】必做题：1.下列语句中，正确的有( )①圆心角相等,所对的弧也相等;②圆心角相等，所对的弦也相等;③长度相等的两条弦所对的弧是等弧;④同圆中,相等的弧所对的圆心角相等.A.1个B.2个C.3个D.4个2.在半径为1的☉O中，长为√2的弦所对圆心角的度数为( )A.145°B.135°C.90°D.90°或135°选做题：3.如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P=30°，∠AOC=⏜的度数是（）80°，则BDA．30°B．25°C．20°D．10°【综合拓展类作业】̂＝4.如图，M为⊙O上一点，OD∠AM于D，OE∠BM于E，若OD＝OE．求证：AA ̂．AA。

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C．108°
D．48°
2.如图，已知AB是⊙O的直径，
C、D是半圆上两个三等分点，则∠COD= 60° .
3.如图，在⊙O中，点C是 A⌒B的中点，∠A=50°，则
∠BOC= 40° ．
4.如图，在⊙O中，A⌒B=A⌒C，∠C=75°，求∠A 的度数. 解：∵A⌒B=A⌒C， ∴AB=AC. ∴∠B=∠C=75°， ∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
第二十四章圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
(1)知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋转不变性. (2)知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理. (3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.
新课导入
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？
A⌒B ＝ A⌒'B'
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠AO'B'，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？
B
A
B'
A'
由∠AOB＝∠AO'B'得到
AB＝A'B'
A⌒B ＝ A⌒'B'
圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦相等.
∵∠AOB＝∠AO'B' ∴AB＝A'B'
A⌒B ＝ A⌒'B'
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
任意给圆心角，对应出现三个量：
A
B
弧
·
圆心角
O
弦
这三个量之间会有什么关系呢？
如图，在⊙O中将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到
∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
A'
B
B'
显然∠AOB＝∠A'OB'
A
AB＝A'B'
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角______，所对的弧_______．
理解
① 圆心角
知
②弧
一得
③弦
二
【对应练习】
E
B
A
O
D
F
如图，AB、CD是⊙O的两条弦.
C
（1）如果AB=CD，那么 AB CD ，∠AOB=∠COD .
（2）如果 AB CD ，那么 AB=CD，∠AOB=∠COD .
5.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.
证明：∵AD=BC. ∴A⌒D=B⌒C. ∴A⌒D+A⌒C=B⌒C+A⌒C, 即C⌒D=A⌒B.∴AB=CD.
综合应用
6. 如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是A⌒B 的中点，求证：四边形 OACB是菱形.
证明：∵C是A⌒B的中点， ∴A⌒C=B⌒C，∴AC=BC, ∠AOC=∠BOC= 1 ∠AOB=60°. 又∵OA=OC=OB, 2 ∴△AOC与△BOC是等边三角形. ∴∠A=60°. 又∠AOB=120°, ∴AC∥OB. ∵AC=OC=OB, ∴四边形OACB是平行四边形. 又OA=AC, ∴四边形OACB是菱形.
O·
∴AB=BC=CA.
B
C
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦的弦心距相等吗?
① 圆心角
C'
C
②
弧பைடு நூலகம்
知一
③
弦得
④ 弦心距三
随堂演练
基础巩固
1.如图，AB是⊙O的直径，B⌒C=C⌒D=D⌒E,∠AOE=72°，
则∠COD的度数是( A )
A．36°
B．72°
BD AB
AC , CD,
AD
DA,
∴△ADB≌△DAC(SSS).
∴∠ABD＝∠DCA. 在△AEC和△DEB中， ∠DCA＝∠ABD, ∠AEC＝∠DEB,
AC=BD, ∴△AEC≌△DEB(AAS).
(2)解：对称.
理由：连接OB、OC.则OB=OC.
由(1)知BE=CE，
连接BC，则OE垂直平分BC.
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆
或等圆中”去掉？为什么？
B'
A'
BA
·
同样，同还圆可或以等得圆到中：，两个圆心角、两条弧、两
在条同弦圆中或有等一圆组中量，相如等果，它两们条所弧对相应等的，其那余么各它组们量所也对相的等圆．心角_____，所对的弦________；
拓展延伸
7.如图，在⊙O中，弦AB与 CD相交于点E，AB=CD． (1)求证：△AEC≌△DEB； (2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．
(1)证明：连接AD. ∵AB=CD, ∴A⌒B=C⌒D. ∴A⌒B-A⌒D=C⌒D-A⌒D. 即B⌒D=A⌒C. ∴BD=AC. 在△ADB和△DAC中，
这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.
推进新课知识点1 圆的旋转不变性及圆心角
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
圆是中心对称图形
· 它的对称中心是圆心
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角
A
B
· O
∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB 所所对对的的弦弧为为AA⌒BB，.
【对应练习】
∴点B与点C关于直线OE对称.
课堂小结
1.四个元素：圆心角、弦、弧、弦心距
2.四个相等关系： ① 圆心角 ②弧 ③弦 ④ 弦心距
在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 AB=CD， AB CD .
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD， OE与OF相
等吗？为什么？
相等.
例3如图，在⊙O中，A⌒B =A⌒C，∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
证明：∵A⌒B = A⌒C ，
A
∴AB=AC.
又∠ACB=60°，