24.1.3 弧、弦、圆心角(公开课)
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判断下列各图中的角是不是圆心角，并说 明理由.
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
任意给圆心角，对应出现ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个量：
A
B
弧
·
圆心角
O
弦
这三个量之间会有什么关系呢？
如图，在⊙O中将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到
∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
A'
B
B'
显然∠AOB＝∠A'OB'
A
AB＝A'B'
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆
或等圆中”去掉？为什么？
B'
A'
BA
·
同样，同还圆可或以等得圆到中：，两个圆心角、两条弧、两
在条同弦圆中或有等一圆组中量，相如等果，它两们条所弧对相应等的，其那余么各它组 们量所也对相的等圆．心角_____， 所对的弦________；
5.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.
证明：∵AD=BC. ∴A⌒D=B⌒C. ∴A⌒D+A⌒C=B⌒C+A⌒C, 即C⌒D=A⌒B.∴AB=CD.
综合应用
6. 如图，A,B是⊙O上的两 点，∠AOB=120°，C是A⌒B 的中点，求证：四边形 OACB是菱形.
证明：∵C是A⌒B的中点， ∴A⌒C=B⌒C，∴AC=BC, ∠AOC=∠BOC= 1 ∠AOB=60°. 又∵OA=OC=OB, 2 ∴△AOC与△BOC是等边三角形. ∴∠A=60°. 又∠AOB=120°, ∴AC∥OB. ∵AC=OC=OB, ∴四边形OACB是平行四边形. 又OA=AC, ∴四边形OACB是菱形.
BD AB
AC , CD,
AD
DA,
∴△ADB≌△DAC(SSS).
∴∠ABD＝∠DCA. 在△AEC和△DEB中， ∠DCA＝∠ABD, ∠AEC＝∠DEB,
AC=BD, ∴△AEC≌△DEB(AAS).
(2)解：对称.
理由：连接OB、OC.则OB=OC.
由(1)知BE=CE，
连接BC，则OE垂直平分BC.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它 们所对的圆心角______，所对的弧_______．
理解
① 圆心角
知
②弧
一 得
③弦
二
【对应练习】
E
B
A
O
D
F
如图，AB、CD是⊙O的两条弦.
C
（1）如果AB=CD，那么 AB CD ，∠AOB=∠COD .
（2）如果 AB CD ，那么 AB=CD，∠AOB=∠COD .
第二十四章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
(1)知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋 转不变性. (2)知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、 弦、圆心角的关系定理. (3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一 些简单的问题.
新课导入
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在 哪里？ 问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转 之后的图形还能与原图形重合吗？
C．108°
D．48°
2.如图，已知AB是⊙O的直径，
C、D是半圆上两个三等分点， 则∠COD= 60° .
3.如图，在⊙O中，点C是 A⌒B的中点，∠A=50°，则
∠BOC= 40° ．
4.如图，在⊙O中，A⌒B=A⌒C，∠C=75°，求∠A 的度数. 解：∵A⌒B=A⌒C， ∴AB=AC. ∴∠B=∠C=75°， ∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
A⌒B ＝ A⌒'B'
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠AO'B'，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？
B
A
B'
A'
由∠AOB＝∠AO'B'得到
AB＝A'B'
A⌒B ＝ A⌒'B'
圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦相等.
∵∠AOB＝∠AO'B' ∴AB＝A'B'
A⌒B ＝ A⌒'B'
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 AB=CD， AB CD .
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD， OE与OF相
等吗？为什么？
相等.
例3如图，在⊙O中，A⌒B =A⌒C，∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
证明：∵A⌒B = A⌒C ，
A
∴AB=AC.
又∠ACB=60°，
O·
∴AB=BC=CA.
B
C
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦 的弦心距相等吗?
① 圆心角
C'
C
②
弧
知 一
③
弦得
④ 弦心距 三
随堂演练
基础巩固
1.如图，AB是⊙O的直径，B⌒C=C⌒D=D⌒E,∠AOE=72°，
则∠COD的度数是( A )
A．36°
B．72°
拓展延伸
7.如图，在⊙O中，弦AB与 CD相交于点E，AB=CD． (1)求证：△AEC≌△DEB； (2)点B与点C关于直线OE对 称吗？试说明理由．
(1)证明：连接AD. ∵AB=CD, ∴A⌒B=C⌒D. ∴A⌒B-A⌒D=C⌒D-A⌒D. 即B⌒D=A⌒C. ∴BD=AC. 在△ADB和△DAC中，
这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探 究圆的另一个重要定理.
推进新课 知识点1 圆的旋转不变性及圆心角
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
圆是中心对称图形
· 它的对称中心是圆心
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角
A
B
· O
∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB 所所对对的的弦弧为为AA⌒BB，.
【对应练习】
∴点B与点C关于直线OE对称.
课堂小结
1.四个元素： 圆心角、弦、弧、弦心距
2.四个相等关系： ① 圆心角 ②弧 ③弦 ④ 弦心距
在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的 弧相等,所对的弦相 等,所对的弦的弦心 距相等．
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
任意给圆心角，对应出现ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个量：
A
B
弧
·
圆心角
O
弦
这三个量之间会有什么关系呢？
如图，在⊙O中将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到
∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
A'
B
B'
显然∠AOB＝∠A'OB'
A
AB＝A'B'
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆
或等圆中”去掉？为什么？
B'
A'
BA
·
同样，同还圆可或以等得圆到中：，两个圆心角、两条弧、两
在条同弦圆中或有等一圆组中量，相如等果，它两们条所弧对相应等的，其那余么各它组 们量所也对相的等圆．心角_____， 所对的弦________；
5.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.
证明：∵AD=BC. ∴A⌒D=B⌒C. ∴A⌒D+A⌒C=B⌒C+A⌒C, 即C⌒D=A⌒B.∴AB=CD.
综合应用
6. 如图，A,B是⊙O上的两 点，∠AOB=120°，C是A⌒B 的中点，求证：四边形 OACB是菱形.
证明：∵C是A⌒B的中点， ∴A⌒C=B⌒C，∴AC=BC, ∠AOC=∠BOC= 1 ∠AOB=60°. 又∵OA=OC=OB, 2 ∴△AOC与△BOC是等边三角形. ∴∠A=60°. 又∠AOB=120°, ∴AC∥OB. ∵AC=OC=OB, ∴四边形OACB是平行四边形. 又OA=AC, ∴四边形OACB是菱形.
BD AB
AC , CD,
AD
DA,
∴△ADB≌△DAC(SSS).
∴∠ABD＝∠DCA. 在△AEC和△DEB中， ∠DCA＝∠ABD, ∠AEC＝∠DEB,
AC=BD, ∴△AEC≌△DEB(AAS).
(2)解：对称.
理由：连接OB、OC.则OB=OC.
由(1)知BE=CE，
连接BC，则OE垂直平分BC.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它 们所对的圆心角______，所对的弧_______．
理解
① 圆心角
知
②弧
一 得
③弦
二
【对应练习】
E
B
A
O
D
F
如图，AB、CD是⊙O的两条弦.
C
（1）如果AB=CD，那么 AB CD ，∠AOB=∠COD .
（2）如果 AB CD ，那么 AB=CD，∠AOB=∠COD .
第二十四章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
(1)知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋 转不变性. (2)知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、 弦、圆心角的关系定理. (3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一 些简单的问题.
新课导入
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在 哪里？ 问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转 之后的图形还能与原图形重合吗？
C．108°
D．48°
2.如图，已知AB是⊙O的直径，
C、D是半圆上两个三等分点， 则∠COD= 60° .
3.如图，在⊙O中，点C是 A⌒B的中点，∠A=50°，则
∠BOC= 40° ．
4.如图，在⊙O中，A⌒B=A⌒C，∠C=75°，求∠A 的度数. 解：∵A⌒B=A⌒C， ∴AB=AC. ∴∠B=∠C=75°， ∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
A⌒B ＝ A⌒'B'
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠AO'B'，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？
B
A
B'
A'
由∠AOB＝∠AO'B'得到
AB＝A'B'
A⌒B ＝ A⌒'B'
圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦相等.
∵∠AOB＝∠AO'B' ∴AB＝A'B'
A⌒B ＝ A⌒'B'
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 AB=CD， AB CD .
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD， OE与OF相
等吗？为什么？
相等.
例3如图，在⊙O中，A⌒B =A⌒C，∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
证明：∵A⌒B = A⌒C ，
A
∴AB=AC.
又∠ACB=60°，
O·
∴AB=BC=CA.
B
C
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦 的弦心距相等吗?
① 圆心角
C'
C
②
弧
知 一
③
弦得
④ 弦心距 三
随堂演练
基础巩固
1.如图，AB是⊙O的直径，B⌒C=C⌒D=D⌒E,∠AOE=72°，
则∠COD的度数是( A )
A．36°
B．72°
拓展延伸
7.如图，在⊙O中，弦AB与 CD相交于点E，AB=CD． (1)求证：△AEC≌△DEB； (2)点B与点C关于直线OE对 称吗？试说明理由．
(1)证明：连接AD. ∵AB=CD, ∴A⌒B=C⌒D. ∴A⌒B-A⌒D=C⌒D-A⌒D. 即B⌒D=A⌒C. ∴BD=AC. 在△ADB和△DAC中，
这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探 究圆的另一个重要定理.
推进新课 知识点1 圆的旋转不变性及圆心角
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
圆是中心对称图形
· 它的对称中心是圆心
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角
A
B
· O
∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB 所所对对的的弦弧为为AA⌒BB，.
【对应练习】
∴点B与点C关于直线OE对称.
课堂小结
1.四个元素： 圆心角、弦、弧、弦心距
2.四个相等关系： ① 圆心角 ②弧 ③弦 ④ 弦心距
在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的 弧相等,所对的弦相 等,所对的弦的弦心 距相等．