将军饮马问题例题讲解及答案
最值问题----将军饮马(一)
本节课你的收获是什么？
【问题解析】 △PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处 M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P'、P''， 化PM+PN+MN为P'N+MN+P''M．当P'、N、M、P''共线时， 得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、OP''， 可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
【问题解析】：此处点P为折点，可以作点D关于折点P 所在直线OA的对称： 也可以作点C的对称：
05 正方形中的将军饮马。
【问题描述】：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，
DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【问题解析】：作点C关于P点 所在直线AB的对称点C'，当C'、 P、D共线时，PC+PD最小， 最小值为5，故选B．
05 正方形中的将军饮马。
【问题描述】：如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上 的一动点，则△DMN周长的最小值是________。
【问题解析】：考虑DM为定值， 故求△DMN周长最小值即求 DN+MN最小值．点N为折点， 作点D关于AC的对称点，即点B， 连接BN交AC于点N，此时 △DMN周长最小．
04 将军饮马模型系列“一定两动”之点到线。
【问题描述】：在OA、OB上分别取点M、N，使得PM+MN最小。
初二将军饮马练习题及答案
初二将军饮马练习题及答案题目一：将军饮马练习阅读下面的短文，然后根据短文内容回答问题。
春秋时期，楚国的将军薛将军因在战场上立下赫赫战功，受到国王的嘉奖，被封为将军。
薛将军深感自己取得的成就来之不易，为了更好地提升自己的军事才能，他经常利用业余时间练习骑射。
一天，他饮酒之后，心血来潮，决定骑马练习。
他醉醺醺地骑在马背上，手握弓箭，身姿挺拔。
突然，他抬头目视远方的鹰，大声喊道：“马儿，你好生奔放，将你的速度发挥到极致。
”马儿似乎听懂了薛将军的话，使出浑身解数奔驰起来。
薛将军稳稳地坐在马背上，准备放箭。
问题：1. 薛将军为什么经常练习骑射？2. 为什么薛将军喊马儿将速度发挥到极致？3. 薛将军的骑射练习中有哪些亮点？答案：1. 薛将军经常练习骑射是为了提升自己的军事才能。
2. 薛将军喊马儿将速度发挥到极致是为了更好地测试自己的骑射技巧。
3. 薛将军的骑射练习中的亮点包括：饮酒后决定进行练习，以更高难度的状态来挑战自己；喊马儿将速度发挥到极致，考验自己的射击准确性和反应能力。
题目二：将军饮马练习答案解析问题：1. 薛将军为什么经常练习骑射？答案解析：薛将军经常练习骑射是为了更好地提升自己的军事才能。
他深感自己在战场上立下的赫赫战功来之不易，因此希望通过练习骑射来增强自己的战斗力。
2. 为什么薛将军喊马儿将速度发挥到极致？答案解析：薛将军喊马儿将速度发挥到极致是为了更好地测试自己的骑射技巧。
他希望在马儿飞驰的情况下，能够准确地射箭，展现出自己的高超技艺。
3. 薛将军的骑射练习中有哪些亮点？答案解析：薛将军的骑射练习中的亮点包括：a) 饮酒后决定进行练习：饮酒之后，薛将军心血来潮，决定骑马练习。
这展现了他的勇气和自信，也体现了他对自己技艺的自豪感。
b) 喊马儿将速度发挥到极致：薛将军对马儿的速度要求极高，希望它能够发挥出最快的速度。
这要求他自己的反应能力和射击准确性都必须达到非常高的水平。
总结：薛将军通过练习骑射来提升自己的军事才能，展示了他在战场上立下的赫赫战功所带来的成就感。
将军饮马问题例题
将军饮马问题例题
例题：一个将军饮马，有三个酒坛，其中一个酒坛里装着毒酒，另外两个酒坛里装着普通的酒。
这三个酒坛外观相同，将军无法通过外观来判断哪个酒坛是有毒的。
在喝下一杯毒酒后，将军将会立即死亡。
现在将军有一匹马，这匹马可以闻出毒酒，如果马喝下一杯毒酒，它将会在30分钟后死亡。
将军只有30
分钟的时间来确定哪个酒坛里装着毒酒，并且不允许酒坛之间进行任何类型的测量。
解法：将军可以按照以下步骤确定毒酒所在的酒坛：
1. 为了节省时间，将将军的马分成三组，每组10匹马。
标记
这三组马为A、B、C。
2. 让A组的马尝试第一个酒坛，让B组尝试第二个酒坛，C
组尝试第三个酒坛。
3. 让所有的马者都喝下一杯酒。
4. 等待15分钟。
5. 如果A组的马中有马死亡，那么第一个酒坛是有毒的；如
果B组的马中有马死亡，那么第二个酒坛是有毒的；如果C
组的马中有马死亡，那么第三个酒坛是有毒的。
6. 如果在15分钟内没有任何马死亡，那么第一个酒坛是安全的，因此第二个酒坛是有毒的；如果A和B组的马都没有死
亡，那么第三个酒坛是有毒的。
这样，将军可以在30分钟内确定哪个酒坛里装着毒酒。
专题02 最值模型之将军饮马(遛马、过桥)模型(解析版)
专题02 最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。
利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！模型1.将军遛马模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA +PQ +QB 的值最小。
（原理用平移知识解）（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线m 同侧：如图1 如图2（1）如图1，过A 点作AC ∥m ,且AC 长等于PQ 长，连接BC ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）如图2，过A 点作AE ∥m ,且AE 长等于PQ 长，作B 关于m 的对称点B ’,连接B ’E ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路l 的一侧有A ，B 两个工厂，A ，B 到公路的垂直距离分别为1km 和3km ，A ，B 之间的水平距离为3km ．现需把A 厂的产品先运送到公路上然后再转送到B 厂，则最短路线的长是_____km ．问题探究（2）如图（2），ACB △和DEF V 是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，90ACB DEF Ð=Ð=°，点A ，D 重合，点B ，F 重合，将ACB △沿直线AB 平移，得到A C B ¢¢¢△，连接QQ P【答案】（1）5km （2）存在，最小值为25（3）最短路线长为15km【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径A B ¢，再利用矩形的性质，求出BE 和A E ¢利用勾股定理即可求出最短路径；（2）根据平移的性质可知四边形CQEC ¢和AQEA ¢均为平行四边形，再利用最短路径作法得出则 AQ A Q ¢=，AQ BQ A Q ¢=\+\ 当点Q 与点P 重合时， AQ 连接AA ¢， 交l 于点C ， 过点由平移知CC AB ¢∥，CC QE ¢\∥．又 CQ EC ¢∥，\四边形 CQEC ¢是平行四边形，CC QE \¢=，CQ EC =¢由平移知CC AA ¢¢=，AA QE\¢=又n AB ∥，\四边形 AQEA ¢是平行四边形，AQ A E \=¢1A E C E AQ CQ QA CQ \+=+=+³¢¢\当点Q 与点P 重合时， A E C E ¢+¢过点C 作 1CG A A ^交 1A A 的延长线于点2AC AE ==Q ，2CG \=，13A G =例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形ABCD 中，42AB BC ==，，G 是AD 的中点，线段EF 在边AB 上左右滑动；若1EF =，则GE CF +的最小值为____________．【答案】【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，+的最小值为∴HG¢===GE CF【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．【答案】35【分析】连接BD与AC交于点O，延长Q四边形ABCD是菱形，AC\\=+=，由平移性质知，246OM\+=FM FD\=，DF DE AF当点A、F、M三点共线时，\+的最小值为：AMDF DE模型2.将军过桥（造桥）模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
专题14 将军饮马问题(解析版)
专题14将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’P’’的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。
模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。
模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。
专题07 最值模型之将军饮马精讲练(11大模型)(解析版)
专题07最值模型之将军饮马精讲练（11大模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模型背景【模型来历】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形--平移；【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。
模型精讲一、两动一定型（2种模型）：两定点到直线上一动点的距离和最小。
例1-1：如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.【证明】图1-2。
PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.图1-2lPABP'lAB图1-1反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。
【变式】例1-2 如图1-3，如图，定点A 和定点B 在定直线l 的同侧 要求：在直线l 上找一点P ，使得PA+PB 值最小 。
作法：图1-41.作A 关于直线CD 对称点A’。
2.连A’B 。
3.交点P 就是要求点。
连线长A’B 就是PA+PB 最小值。
【证明】：图1-5在l 上任取异于点P 的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB ，即AP´+BP´>AP+BP ∴P 为直线AB 与直线l 的交点时，PA+PB 最小.二、造桥选址，移花接木。
初中数学最值系列之将军饮马
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
专题36 几何最值之将军饮马问题【热点专题】(含答案解析)
模型
作法
结论
△PCD 周
点P在 ∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D， OA 边上找点 C，使得△PCD 周长最 小.
分别作点 P 关 于 OA、OB 的对称点 P′、P″，连接
长的最小 值为 P′P″
P′P″，交 OA、OB 于点 C、D，点 C、
D 即为所求.
点P在 ∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D， OA 边上找点 C，使得 PD＋CD 最小.
【例 11】 11．村庄 A 和村庄 B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直 的桥，桥址应如何选择，才使 A 与 B 之间的距离最短？
试卷第 7页，共 11页
12．如图，在 Rt△ABC 中， ACB 90 ， AC 6 ， AB 12 ，AD 平分 CAB ，点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE EF 的最小值为（ ）
试卷第 10页，共 11页
试卷第 11页，共 11页
参考答案： 1． 3
4 【分析】作 A 关于 x 3的对称点 A ，连接 AB 交直线 x 3与点 C，先求得 BA 的解析式，然 后将 x 3代入直线 BA 的解析式，从而可求得 y 的值． 【详解】解：作 A 关于 x 3 的对称点 A ，连接 AB 交直线 x 3 与点 C．
【例 5】 5．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，且∠AOB＝40°，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和 射线 OB 上的动点，当△PMN 周长取最小值时，则∠MPN 的度数为（ ）
试卷第 4页，共 11页
A．140° 【例 6】
B．100°
C．50°
D．40°
6．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，连接 DF，过点 E
2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马-含答案
2020 中考专题 8 ——最值问题之将军饮马【例题分析】例 1.如图，在平面直角坐标系中， Rt △OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为 (3， 3 )， 点 C 的坐标为 (1 ，0)，点P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA ＋PC 的最小值为．2中，∠ BAE ＝120°，∠ B ＝∠ E ＝90°， AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝ 2， N ． AMN ＋∠ ANM ＝tan ∠ MBC 的值为动在 BC 、 DE 上分别找一点 M 、 (1) 当△ AMN 的周长最小时，∠ (2) 求△ AMN 的(1) 求四边形 BMNE 周长最小值；[ 南瓜讲数学] 系列之中考专题且 CE＝1，长为 2 的线段 MN 在 AC 上运例 4.在平面直角坐标系中，已知点 A（一 2，0），点 B（0 ，4），点 E 在 OB 上，且∠ OAE＝∠ OBA ．如图，将△ AEO 沿 x 轴向右平移得到△ AE′O′，连接 A' B、BE' ．当 AB＋BE' 取得最小值时，求点 E' 的坐标．例 5.如图，已知正比例函数 y＝kx（k>0）的图像与 x轴相交所成的锐角为 70°，定点 A的坐标为（0， 4），P 为 y 轴上的一个动点， M、N 为函数 y＝ kx（ k> 0）的图像上的两个动点，则 AM ＋ MP＋ PN 的最小值为．【巩固训练】1.如图 1 所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为．2.如图 2，在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6，BD＝ 8，点 E、F、 P 分别是边 AB、 BC、AC上的动点， PE＋ PF 的最小值是．3.如图 3，在边长为 2 的等边△ ABC 中，D 为BC 的中点，E 是 AC 边上一点，则 BE＋DE 的最小值为．4.如图 4 ，钝角三角形 ABC 的面积为 9，最长边 AB＝6，BD 平分∠ ABC，点 M、N 分别是 BD、BC 上的动点，则 CM＋ MN 的最小值为．5.如图 5，在△ ABC 中，AM 平分∠ BAC，点 D、E 分别为 AM、AB 上的动点，（1）若AC＝4，S△ABC＝6，则 BD＋DE 的最小值为图1 图2 图4（2）若∠ BAC＝30°， AB＝8，则BD ＋DE 的最小值为．（3）若 AB＝17，BC＝10，CA＝21，则 BD＋DE 的最小值为．6.如图 6，在△ ABC 中， AB ＝BC ＝ 4， S △ ABC ＝ 4 3 ，点 一点，则 PK ＋ QK 的最小值为 ．7.如图 7，AB 是⊙O 的直径， AB ＝8，点M 在⊙O 上， 径 AB 上的一动点，则 PM ＋PN 的最小值为 ． 8. 如图 8，在锐角△ ABC 中，AB ＝4，∠ BAC ＝45°，∠AD 和 AB 上的动点，则 BM ＋MN 的最小值是 ．9. 如图 9 ，圆柱形玻璃杯高为 12 cm 、底面周长为 18 cm ，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm ．10. 如图 10，菱形 OABC 中，点 A 在 x 轴上，顶点 C 的坐标为 （1， 3），动点 D 、E 分别在射线 OC 、OB 上，则 CE ＋DE ＋DB 的最小值是 ．311. 如图 11，点 A （a ，1）、B （－1，b ）都在双曲线 y ＝－ 3（ x< 0）上，点 P 、Q 分别是 x 轴、y 轴上x 的动点，当四边形 PABQ 的周长取最小值时， PQ 所在直线的解析式是 ．12. 如图 12，点 P 是∠AOB 内任意一点， OP ＝5cm ，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的 动点，△ PMN 周长的最小值是 5cm ，则∠ AOB 的度数是 ．13. 如图 13，∠ AOB ＝30°，点 M 、N 分别在边 OA 、OB 上，且 OM ＝ 1， ON ＝ 3，点 P 、Q 分别在 边 OB 、OA 上，则 MP ＋PQ ＋ QN 的最小值是 ．14. 如图 14，在 Rt △ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 是 AB 边的中点，过 D 作DE ⊥BC 于点 E ． （1） 点 P 是边 BC 上的一个动点，在线段 BC 上找一点 P ，使得 AP ＋ PD 最小，在下图中画出点 P ； （2） 在（1）的条件下，连接 CD 交AP 于点Q ，求 AQ 与PQ 的数量关系；BAC 的平分线交 BC 于点 D ，M 、N 分别是 MAB ＝20°， N 是弧 MB 的中点， P是直15.在矩形 ABCD 中， AB＝6， BC＝ 8，G 为边 AD 的中点．(1) 如图 1，若 E 为 AB 上的一个动点，当△ CGE 的周长最小时，求 AE 的长．(2) 如图 2，若 E、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF＝ 4，当四边形 CGEF 的周长最小时，求 AF 的长．1216.如图，抛物线 y x2 2x 4交 y轴于点 B，点A为 x轴上的一点，OA=2，过点A作直线 MNAB 2交抛物线与 M、N 两点.( 1) 求直线 AB 的解析式；(2) 将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度，得到线段 A1B1 ，求 MA1 MB1 取最小值时实数 t 的值 .图2020 中考专题 8 ——最值问题之将军饮马 参考答案例 1. 解：作 A 关于 OB 的对称点 D ，连接 CD 交 OB 于 P ，连接 AP ，过 D 作 DN ⊥OA于 N ， 则此时 PA ＋PC 的值最小，∵DP ＝PA ，∴PA ＋PC ＝PD ＋PC ＝CD ，∵B （3， 3 ） ，∴ AB ＝ 3，OA ＝3， ∵ tan ∠AOB ＝ AB ＝ 3，∴ ∠ AOB ＝30°，∴OB ＝2AB ＝2 3 ，OA 31 1 3 3 由三角形面积公× OA ×AB ＝ ×OB ×AM ，∴AM ＝ ，∴ A D ＝2× ＝ 3，2222∵∠AMB ＝90° ，∠ B ＝60° ，∴∠ BAM ＝30°，∵ ∠ BAO ＝90°， ∴∠ OAM ＝60°， ∵DN ⊥OA ，∴∠ NDA ＝30° 1 3 ，∴ AN ＝1AD ＝ 由勾股定理得：3 DN ＝ 3 ，222∵C（ 1 ，0） ，∴CN＝3﹣ 1 ﹣ 3＝ 1，在 Rt △ DNC 中，由勾股定理得： DC ＝ 31 ，22 22即 PA ＋ PC 的最小值是31例 2. 解：作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A ′， A ″，连接 A ′A ″，交 BC 于 M ，交 ED 于 N ，则 A ′A ″即为△ AMN 的周长最小值．⑴作 EA 延长线的垂线，垂足为 H ，∠ BAE ＝120°，∴∠ AA ′A ″＋∠ AA ″A ′＝ 60 °，∠AA ′A ″＝∠ A ′AM ，∠AA ″A ′＝∠EAN ，∴∠CAN ＝120°－∠AA ′A ″－∠AA ″A ′＝60°， 也 就是说∠ AMN ＋∠ ANM ＝180°－60°＝120°. ⑵过点 A ′作 EA 延长线的垂线，垂足为 H ，∵AB ＝BC ＝1，AE ＝ DE ＝2，∴AA ′＝2BA ＝2，AA ″＝2AE ＝4， 则 Rt △ A ′HA 中，∵∠ EAB ＝ 120°，∴∠ HAA ′＝ 60°，1∵ A ′H ⊥ HA ，∴∠ AA ″H ＝30°，∴ AH ＝1AA ′＝ 1，∴ A ′H ＝ 3 ，A ″H ＝1＋4＝5，2∴A ′A ″＝2 7 ，例3.解：作 EF∥AC 且 EF＝2，连结 DF 交AC 于M，在 AC 上截取 MN＝2，延长 DF 交BC 于 P ，作 FQ⊥BC 于 Q，作出点 E 关于 AC 的对称点 E′，则 CE′＝CE＝ 1，将 MN 平移至E′F′处，则四边形 MNE ′ F ′为平行四边形，当 BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝ BF ′时，四边形 BMNE 的周长最小， 由∠ FEQ ＝∠ ACB ＝45°，可求得 FQ ＝EQ ＝1， tan ∠MBC ＝ tan ∠PDC ＝例 4. 【提示】将△ AEO 向右平移转化为△ AEO 不动，点 移动的轨迹为一平行于 x 轴的直线，所以作点 点 E 1 ，连接 AE 1 ，与该直线交点 F 即为最小时点 长度即可求出点 E 向右平移的距离．例 5. 解：如图所示，直线 OC 、y 轴关于直线 y ＝kx 对称，直线 OD 、直线 y ＝kx 关于 y轴对称，点 A ′是点 A 关于直线 y ＝ kx 的对称点．作 A ′E ⊥ OD 垂足为 E ，交 y 轴于点 P ，交直线 y ＝ kx 于 M ，作 PN ⊥直线 y ＝ kx 垂足为 N ， ∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小（垂线段最短 ），在 RT △A ′EO 中，∵∠ A ′EO ＝90°， OA ′＝ 4，∠ A ′OE ＝3∠ AOM ＝60°，1∴OE ＝ 1 OA ′＝ 2， A ′E ＝ 42 22 ＝2 3 ．2 ∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为 23 ．PQ ，PQ ＝ 1 ，解PQ ＝ 2 ，PC ＝CD PQ 2 433∵∠ DPC ＝∠ FPQ ，∠ DCP ＝∠ FQP ，∴△ PFQ ∽△PDC ， PQ PQ QE EC2 3由对称性可求巩固训练】答案1.解：连接 BD，∵点 B 与 D 关于 AC 对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE 最小．∵正方形 ABCD 的面积为 12，∴AB＝2 3 ，又∵△ ABE 是等边三角形，∴ BE＝ AB＝ 2 3 ，故所求最小值为 2 3 ．2.解：∵四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E 关于 AC 的对称点 E′，作 E′F⊥BC 于F 交AC 于P，连接 PE，则E′F 即为 PE ＋PF 的最3.解：作 B 关于 AC 的对称点 B′，连接 BB′、B′D，交 AC 于 E，此时 BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知 B′D 就是 BE＋ED 的最小值，∵ B、 B′关于 AC 的对称，∴ AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形 ABC 是边长为 2，D 为 BC 的中点，∴ AD⊥BC，AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，BB′＝2AD ＝2 3 ，作 B′G⊥BC 的延长线于 G，∴ B′G＝ AD＝ 3 ，在Rt△B′BG 中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG 中，B′D＝74.解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M 作 MN⊥BC 于 N，∵BD平分∠ ABC， ME⊥AB 于点 E，MN⊥BC 于 N，∴ MN ＝ ME，∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN 是最小值．1∵三角形 ABC 的面积为 9 ，AB ＝6，∴×6CE ＝ 9，∴ CE＝3．2即 CM＋MN 的最小值为 3．小值，AC BD＝AD E′F，∴E′F＝24，∴ PE＋PF 的最小值为24125.提示：作点 E 关于 AM 的对称点 E′，BH⊥AC 于 H，易知 BD＋DE 的最小值即为BH 的长. 答案： (1)3 ； (2)4 ；(3)8 ．6.解：如图，过 A 作AH⊥BC 交 CB 的延长线于 H，∵ AB＝ CB ＝ 4， S△ABC ＝ 43 ，∴ AH＝2 3 ，∴ cos∠ HAB＝AH＝ 2 3＝3，∴∠ HAB ＝30°，∴∠ ABH ＝60°，∴∠ ABC＝120°，AB 4 2 ∵∠ BAC＝∠ C＝30°，作点 P 关于直线 AC 的对称点 P′，过P′作 P′Q⊥ BC 于 Q 交AC 于K，则 P′Q 的长度＝ PK ＋ QK 的最小值，∴∠ P′AK ＝∠ BAC＝30°，∴∠ HAP′＝90°，∴∠ H ＝∠ HAP ′＝∠ P′QH ＝90°，∴四边形 AP′QH 是矩形，∴ P′Q＝AH＝2 3 ，即 PK ＋QK 的最小值为 23 ．7.解：作点 N 关于 AB 的对称点 N′，连接 OM、ON、ON′、MN′，则 MN′与 AB的交点即为 PM＋ PN 的最小时的点， PM＋ PN 的最小值＝ MN′，∵∠ MAB＝20°，∴∠ MOB ＝2∠ MAB＝2×20°＝40°，11∵N 是弧 MB 的中点，∴∠ BON＝1∠MOB＝1×40°＝20°，22由对称性，∠ N′OB＝∠ BON ＝20°，∴∠ MON ′＝∠ MOB＋∠ N′OB＝40°＋20°＝60°， 1 1∴△ MON ′是等边三角形，∴ MN′＝OM＝OB＝1 AB＝18 ＝4，2 2∴PM＋PN 的最小值为 4，8.解：如图，作 BH ⊥AC ，垂足为 H，交 AD 于 M′点，过 M′点作 M′N′⊥AB，垂足为N′，则 BM ′＋ M′N′为所求的最小值．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴ M′H＝M′N′，∴BH 是点 B 到直线 AC 的最短距离，2∵AB＝4，∠ BAC＝45°，∴ BH＝AB sin45°＝ 4× 2＝2 2．2∵BM＋MN 的最小值是 BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2 2 ．9.解：沿过 A 的圆柱的高剪开，得出矩形 EFGH ，过 C 作 CQ⊥ EF 于 Q，作 A 关于 EH 的对称点 A′，连接 A′C 交 EH 于 P，连接AP，则 AP＋ PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴ AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，1∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝ 12cm，2在 Rt△A′QC 中，由勾股定理得： A′C＝ 15cm，故答案为： 15．10.解：连接 AC，作 B 关于直线 OC 的对称点 E′，连接 AE′，交OC 于D，交OB 于E，此时 CE＋ DE ＋BD 的值最小，∵四边形 OCBA 是菱形，∴ AC⊥ OB，AO＝ OC，即 A 和 C 关于 OB 对称，∴CE＝ AE，∴ DE ＋CE＝ DE＋AE＝AD，∵B 和 E′关于 OC 对称，∴ DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，过C 作 CN⊥OA 于 N，∵ C（1 ，3），∴ON＝1，CN＝3，由勾股定理得： OC＝2，即 AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠ CON＝60°，∴∠ CBA＝∠ COA ＝60°，∵四边形 COAB 是菱形，∴ BC∥ OA，∴∠ DCB＝∠ COA＝60°，∵B 和 E′关于 OC 对称，∴∠ BFC＝90°，∴∠ E′BC＝90°﹣60°＝30°，∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°， CF＝1 BC＝1，由勾股定理得： BF＝3＝E′F，2在 Rt△EBA 中，由勾股定理得： AE′＝4，即 CE＋DE＋DB 的最小值是 4 ．12.解：分别作点 P 关于 OA 、OB 的对称点 C 、D ，连接 CD ，分别交 OA 、OB 于点 M 、N ，连接 OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点 P 关于 OA 的对称点为 D ，关于 OB 的对称点为 C ，∴PM ＝DM ，OP ＝OD ，∠ DOA ＝∠ POA ；∵点 P 关于 OB 的对称点为 C ，∴ PN ＝CN ，OP ＝OC ，∠ COB ＝∠ POB ， ∴OC ＝OP ＝OD ，∠AOB ＝ 1 ∠COD，2 ∵△ PMN 周长的最小值是 5 cm ，∴ PM ＋PN ＋ MN ＝ 5，∴ DM ＋ CN ＋ MN ＝5，即 CD ＝5＝OP ， ∴OC ＝OD ＝CD ，即△ OCD 是等边三角形，∴∠ COD ＝60°，∴∠ AOB ＝30°；13 解：作 M 关于 OB 的对称点 M ′，作 N 关于 OA 的对称点 N ′，连接 M ′N ′，即为 MP ＋ PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠ N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ ONN ′＝60°， ∴△ ONN ′为等边三角形，△ OMM ′为等边三角形，∴∠ N ′OM ′＝90 ∴在 Rt △ M ′ON ′中， M ′N ′＝ 10 ．故答案为 10．3b ）代入 y ＝﹣ 3 （x <0） 得 a ＝ x3），作 A 点关于 x 轴的对称点 C ，B 点关于 y 轴的对称点 D ， 3），连结 CD 分别交 x 轴、 y 轴于 设直线 CD 的解析式为 y ＝ kx ＋ b ，﹣ 3，b ＝3，则 A （ ﹣3，1）、B （ ﹣1，P 点、Q 点，此时四边形 则 3k b 1 ，解得 k b所以 C 点为（﹣3，﹣1），D 点为（1， P 1 ABQ 的周长最小， 214. 解： (1)作点 A 关于 BC 的对称点 A′，连 DA′交 BC 于点 P.(2) 由 (1) 可证得 PA 垂直平分 CD，∴ AQ＝ 3 CQ＝ 3PQ15.解：(1) ∵ E 为 AB 上的一个动点，∴作 G 关于 AB 的对称点 M，连接 CM 交 AB 于 E，那么 E 满足使△ CGE 的周长最小；∵在矩形 ABCD 中， AB＝ 6， BC＝ 8， G 为边 AD 的中点，∴ AG＝AM＝4，MD＝12，CD MA而 AE∥ CD ，∴△ AEM ∽△ DCM ，∴ AE： CD＝ MA ： MD ，∴ AE＝CD MA＝2；MD(2) ∵E 为 AB 上的一个动点，∴如图，作 G 关于 AB 的对称点 M，在 CD 上截取 CH ＝4，然后连接 HM 交 AB 于 E，接着EF＝4，那么 E、F 两点即可满足使四边形中， AB＝ 6， BC＝ 8， G 为边 AD 的中点， MD＝ 12，而 CH＝4，∴ DH＝2，∴△ AEM∽△ DHM ，∴ AE：HD ＝ MA： MD ，∴ AE＝HD MAMD 在 EB 上截取∵在矩形ABCD ∴AG＝AM＝4，CGEF 的周长最小．而AE∥CD，16.解：（ 1）依题B4），A2，0），则 AB 解析式： y 2x（2）∵ AB⊥MN∴直线 MN： y 1 x 12 1 2y2x 4x与抛物线联立可 2y1 x 12解得： M（ -2， -2）将 AB 向负方向平移 t 个单位后， A1（ 2， -t），B1（0，4-t）则 A1 关于直线 x=-2 的对称点 A2 为（ -6，-t）当 A2、M、B1 三点共线时， MA1 MB1 取最小值∴ t 143。
专题07 将军饮马模型(解析版)
专题07.将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
··模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。
（1）如图1，点A、B在直线m两侧：辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.（2）如图2，点A、B在直线同侧：辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.图1图2例1．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∴AP+BP∵A（0，3），∴A'（0∴P点到A、B的距离最小值为【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）C．D．A B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题关键．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，在ABC 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC 的面积为12，4BC =，则BDM 周长的最小值是_________．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．例4．（2023·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D 在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵1122ACDS AC DT CD AQ==，1122ABDS AB DS BD AQ==，∴11221122ABDACDAB DS BD AQSS AC DT CD AQ==，即：AB BDAC CD=，∴763AB=，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；（2）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（110；（23【分析】（1）作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C 关于直线AB 的对称点C′，作C′N ⊥AC 于N 交AB 于M ，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′．由勾股定理得，22BC AC +2222+2，∵E 是AB 的中点，∴BE=122，∵90C ∠=︒，2AC BC ==，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE 的最小值=A′E=22'A B BE +()()22222+1010；（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=12C′A=1，∴CM+MN的最小值为2221 3．【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’、A’’，连接A’A’’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA 的最小值为A’A’’.例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP ＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．例2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N 共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4，∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．例3．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，30AOB ∠= ，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．【答案】PMN ∆周长的最小值为8【分析】作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，即可快速找到解题思路.【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN ∆周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP ∴∆=++=，且1AO P AO P ∠=∠，2BO P BO P ∠=∠，12260POP AOB ∠=∠=︒，128O P O P O P ===，12PPO ∆为等边三角形，1218PP OP ==即PMN ∆周长的最小值为8.【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知识，方可正确解答.例4.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt △B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB ＋NM ＋BM ＝6，故选C.模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值【模型探究】A ，B 为定点，在定直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小。
将军饮马问题(讲)
将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA 边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC 边上一动点，则DP长的最小值为______.练习1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA3、 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMD CB A5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。
(完整版)将军饮马模型(终稿)
将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马,然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难,据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移;【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之和最小,即PA+PB最小.作法:连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB。
原理：两点之间线段最短。
证明:连接AB,与直线l的交点Q,P为直线l上任意一点，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.关键:找对称点作法:作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处,PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理:两点之间，线段最短证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PA C中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦）2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C,使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’,连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．原理:两点之间，线段最短例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D,使得四边形ABCD周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C,与ON 交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．原理：两点之间，线段最短3.两定两动型最值例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N 左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l 于点N,将点N向左平移长度d，得到点M.作法二：作点A关于直线l的对称点A1,将点A1向右平移长度d得到点A2,连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。
最值系列之将军饮马 - 解析
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？P【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．AP''当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
将军饮马问题例题
将军饮马问题例题将军饮马问题是一个经典的数学谜题，题目如下：【题目】有一座1000级的楼梯，上面站着一位将军和他的马。
将军说：“我每次可以上1级、2级或者3级楼梯，而我的马每次只能上2级或者3级楼梯。
我们两个必须同时到达楼顶。
问，将军和马分别需要多少次才能到达楼顶，并且楼梯的哪些级别才能让他们同时到达楼顶？”【解答】假设将军上x次楼梯，马上y次楼梯。
1. 如果将军上1级楼梯，则马上y次楼梯，剩下的楼梯有999-x-2y级，将剩余楼梯由马上。
2. 如果将军上2级楼梯，则马上y次楼梯，剩下的楼梯有998-x-2y级，将剩余楼梯由马上。
3. 如果将军上3级楼梯，则马上y次楼梯，剩下的楼梯有997-x-2y级，将剩余楼梯由马上。
根据题意，将军和马必须同时到达楼顶，所以剩余的楼梯必须是2的倍数。
而剩余楼梯有999-x-2y、998-x-2y、997-x-2y三种情况，这些数分别除以2后的余数只能是0、1或者2。
又考虑到将军和马上楼梯的次数必须是整数，所以只需考虑将军和马都上奇数次楼梯的情况。
假设将军上奇数次楼梯x=2n+1，马上奇数次楼梯y=2m+1，代入上述条件，有：1. 剩下楼梯为999-(2n+1)-2(2m+1)=998-(2n+2m)-4=2(499-n-m)-4，是2的倍数；2. 剩下楼梯为998-(2n+1)-2(2m+1)=997-(2n+2m)-4=2(498-n-m)-3，不是2的倍数；3. 剩下楼梯为997-(2n+1)-2(2m+1)=996-(2n+2m)-4=2(498-n-m)-2，是2的倍数。
所以，将军和马必须同时走的是第3种情况，即将军和马都上奇数次楼梯。
最终答案是将军和马各上398次楼梯，并且将军和马会同时站在2、4、6、...、996、998共有499级楼梯上。
初中将军饮马问题题型总结(全)
初中将军饮马问题题型总结(全)题型一：将军饮马之单动点1.三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD、CE是三角形ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()解析：连接PC，由于AB=AC，BD=CD，AD垂直于BC，所以PB=PC。
因此，PB+PE=PC+PE，PE+PC>CE，当P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选B．2.等边三角形中的将军饮马题目描述：在等边三角形ABC中，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为()解析：连接BE交AD于点P'，AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，P'B=P'C，P'E+P'C=P'E+P'B=BE。
根据两点之间线段最短，点P在点P'时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长。
因此，BE=BC/2-CE/2=3，所以P'E+P'C的最小值为3，故选C．3.等腰三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()解析：连接AD、AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，AD垂直于BC，所以S△ABC=1/2×4×AD=16，解得AD=8.EF是线段AC的垂直平分线，所以点C关于直线EF的对称点为点A，MA=MC，AD=AM+MD，因此AD的长为CM+MD的最小值。
且AC6，BM3，因为BM AD，故BM AC，所以BM是AC的中线，故CM3。
又因为AC是菱形的对角线，所以AC平分DAB，即DAM30。
又因为AM MD，所以ADM75。
将军饮马例题
将军饮马例题
将军饮马是一道古代的数学题，题干如下：
有一个酒坛，重50斤，将军要喝酒，每次要从坛中取出1斤酒来喝。
但是由于将军醉得晕头转向，他希望用两个马来帮助他取酒。
其中一个马每次可以往回扛3斤酒，另外一个马每次可以往回扛1斤酒。
问将军最少需要命令这两匹马经过多少次才能够喝掉整坛酒？
思路：
将军每次要喝掉1斤酒，可以让一个马往回扛3斤酒，另一个马往回扛1斤酒。
由于这两个数的最小公倍数是3，因此将军每次可以让这两匹马一起配合，将3斤酒扛回来。
但是由于酒坛只有50斤酒，不是3的倍数，最终会剩下1斤酒，无法一次扛回来。
因此，将军需要多次命令这两匹马来扛酒。
由于每次让这两匹马扛酒，相当于将军喝了1斤酒，因此将军最后需要喝掉酒坛中所有的49斤酒。
以将军刚开始要喝掉1斤酒为第一次命令，那么将军需要命令这两匹马经过48次才能够喝掉整坛酒。
答案：将军最少需要命令这两匹马经过48次才能够喝掉整坛酒。
专题02 将军饮马(解析版)
专题02 将军饮马和最小【例1】如图，抛物线215222y x x =-++与x 轴相交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，与y 轴相交于点C ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA PC +的值最小，求点P 的坐标；【解答】解：（1）当0x =时，则52y =， 5(0,)2C ∴， 当0y =时，2152022x x -++=， 化简，得2450x x --=，解得，1x =-或5x =，(1,0)A ∴-，(5,0)B ；（2）如图，连接BC ，交对称轴于点P ，连接AP ．点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，AP PB ∴=，要使PA PC +的值最小，则应使PB PC +的值最小，BC ∴与对称轴的交点，使得PA PC +的值最小．设BC 的解析式为y kx b =+．将(5,0)B ，5(0,)2C 代入y kx b =+， 得5250b k b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，∴1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为1522y x =-+ 抛物线的对称轴为直线22122x ==-⨯ 当2x =时，1532222y =-⨯+=， 3(2,)2P ∴；【变式训练1】已知抛物线26(0)y ax bx a =++≠交x 轴于点(6,0)A 和点(1,0)B -，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P 是抛物线上位于直线AC 上方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，E ，当PD PE +取最大值时，求点P 的坐标；【解答】解：（1）抛物线26y ax bx =++经过点(6,0)A ，(1,0)B -，∴6036660a b a b -+=⎧⎨++=⎩， ∴15a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为2254956()24y x x x =-++=--+， ∴抛物线的解析式为256y x x =-++，顶点坐标为5(2，49)4；（2）由（1）知，抛物线的解析式为256y x x =-++，(0,6)C ∴，6OC ∴=， (6,0)A ，6OA ∴=，OA OC ∴=，45OAC ∴∠=︒， PD 平行于x 轴，PE 平行于y 轴，90DPE ∴∠=︒，45PDE DAO ∠=∠=︒，45PED ∴∠=︒，PDE PED ∴∠=∠，PD PE ∴=，2PD PE PE ∴+=，∴当PE 的长度最大时，PE PD +取最大值，(6,0)A ，(0,6)C ，∴直线AC 的解析式为6y x =-+，设(E t ，6)(06)t t -+<<，则2(,56)P t t t -++，22256(6)6(3)9PE t t t t t t ∴=-++--+=-+=--+，当3t =时，PE 最大，此时，25612t t -++=，(3,12)P ∴；【变式训练2】如图，抛物线23y ax bx =+-经过点(2,3)A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且3OC OB =．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一点P ，使PB PC +的值最小，求点P 的坐标；【解答】解：（1）令0x =，则3y =-，3OC ∴=，3OC OB =，1OB ∴=，(1,0)B ∴-，(2,3)A -，(1,0)B -在抛物线23y ax bx =+-上，∴423330a b a b +-=-⎧⎨--=⎩， ∴12a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =--；（2）由（1）知，抛物线的解析式为223y x x =--，∴抛物线的对称轴直线为1x =，由（1）知，(0,3)C -，(2,3)A -，∴点A ，C 关于抛物线对称轴直线1x =对称，∴直线AB 与对称轴直线1x =的交点为点P ，设直线AB 的解析式为y kx c =+，点(2,3)A -，(1,0)B -在直线AB 上，∴023k c k c -+=⎧⎨+=-⎩， ∴11k c =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为1y x =--，令1x =，则2y =-，(1,2)P ∴-；【变式训练3】如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A 、(1,0)B ，与y 轴交于点C ，直线122y x =-经过点A 、C ．抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l ． （1）求抛物线的解析式；（2）设点E 为x 轴上一点，且AE CE =，求点E 的坐标；（3）设点G 是y 轴上一点，是否存在点G ，使得GD GB +的值最小，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，对于直线122y x =-，令0y =，得4x =，令0x =，得2y =-，∴点(4,0)A ，点(0,2)C -，将(4,0)A ，(1,0)B ，(0,2)C -代入抛物线解析式得：164002a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩， ∴抛物线解析式为215222y x x =-+-；（2）如图2，由点E 在x 轴上，可设点E 的坐标为(,0)e ，则4AE e =-，在Rt COE ∆中，根据勾股定理得：222222CE OC OE e =+=+，AE CE =，222(4)2e e ∴-=+， 解得：32e =， 则点E 的坐标为3(2，0)； （3）存在．如图3，取点B 关于y 轴的对称点B '，则点B '的坐标为(1,0)-，连接B D '，直线B D '与y 轴的交点G 即为所求的点．22151592()22228y x x x =-+-=--+， ∴顶点5(2D ，9)8，设直线B D '的解析式为(0)y kx d k =+≠，则05928k d k d -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：928928k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线B D '的解析式为992828y x =+， 当0x =时，928y =， ∴点G 的坐标为9(0,)28． 【例2】如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C -三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C -代入2y ax bx c =++得，09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得，123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴抛物线的关系式为223y x x ==--；（2）抛物线223y x x =--的对称轴为212x -=-=， 点M 在对称轴1x =上，且ACM ∆的周长最短，MC MA ∴+最小，点A 、点B 关于直线1x =对称，∴连接BC 交直线1x =于点M ，此时MC MA +最小，设直BC 的关系式为y x b =+，(3,0)B ，(0,3)C -，∴303b b +=⎧⎨=-⎩，解得，13b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的关系式为3y x =-，当1x =时，132y =-=-，∴点(1,2)M -，∴在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短，此时(1,2)M -．【变式训练1】如图，抛物线213y x mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，且对称轴1x =．（1）求出抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；（2）在对称轴上方是否存在点D ，使三角形ADC 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标；若不存在．说明理由（使用图1)；【解答】解：（1）抛物线与y 轴交于点(0,1)C -，且对称轴x l =， 则11231m n -⎧-=⎪⎪⨯⎨⎪=-⎪⎩，解得231m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线解析式为212133y x x =--，令2121033y x x =--=，得：11x =-，23x =， (1,0)A ∴-，(3,0)B ；（2）在对称轴上存在D 使三角形形DAC 的周长最小，连接CB 交对称轴于点D ，此时三角形DAC 周长最小．设BC 的解析式为y kx b =+，把(3,0)B 、(0,1)C -分别代入上式得：130b k b =-⎧⎨+=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故直线BC 的解析式为113y x =-， 当1x =时，23y =-， 所以点D 的坐标为2(1,)3-； 【变式训练2】如图，已知二次函数24(0)y ax x c a =-+≠的图象与坐标轴交于点(1,0)A -和点(0,5)B -．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得ABP ∆的周长最小，请求出点P 的坐标；【解答】解：（1）将点A 、点B 的坐标代入， 得405a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：15a c =⎧⎨=-⎩，∴二次函数解析式为245y x x =--；（2）二次函数解析式为245y x x =--，∴对称轴方程为：2x =，令0y =，则2450x x --=， 解得：11x =-，25x =，则抛物线与x 轴的另一个交点C 的坐标为(5,0)， 设直线BC 的解析式为：y kx b =+， 将点B 、C 的坐标代入得：505k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：15k b =⎧⎨=-⎩，即直线BC 的解析式为：5y x =-，点P 在抛物线对称轴上，∴点P 的坐标为(2,3)-；【例3】如图，抛物线2y =+x 轴交于A ，B 两点(A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ． （1）求顶点D 的坐标及直线AC 的解析式；（2）如图，P 为直线AC 上方抛物线上的一动点，连接PC 、PA ，当PAC ∆面积最大时，过P 作PQ x ⊥轴于点Q ，M 为抛物线对称轴上的一动点，过M 作y 轴的垂线，垂足为点N ．连接PM ，NQ ，求PM MN NQ ++的最小值．【解答】解：（1）2y=+20y=-=，解得：4x=-或1，故点A、B的坐标分别为：(4,1)-、(1,0)，点C，由抛物线的表达式知，顶点3(2D-；将点A、C的坐标代入一次函数：y kx b=+得：40k bb-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线AC的表达式为：y=+（2）设直线PQ交AC于点H，设点2(,P x x-+，则点(Hx+，则PAC∆面积2212[4)2PHC PHAS S PH OA x x∆∆=+=⨯⨯=⨯-+=+，36-<，故PAC∆面积存在最大值，此时2x=-，故点(2P-，，则点(2,0)Q-；将点P向右平移32个单位得到点1(2P'-，，作点P'关于y轴的对称点1(2P''，，连接P Q''交y轴于点N，过点N作NM垂直于函数的对称轴于点M，则点M、N为所求点，理由：连接PM、P N'，//PP MN '，32PP MN '==，故四边形PPNM 为平行四边形，故PM P C P C ='=''， 则PM MN NQ P C MN NQ MN P Q ++=''++=+''为最小，PM MN NQ ∴++最小值32MN P Q =+''=【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 与x 轴、y 轴的交点分别为(8,0)C ，(0,6)B ，5CD =，抛物线215(0)4y ax x c a =-+≠过B ，C 两点，动点M 从点D 开始以每秒5个单位长度的速度沿D A B C →→→的方向运动到达C 点后停止运动．动点N 从点O 以每秒4个单位长度的速度沿OC 方向运动，到达C 点后，立即返回，向CO 方向运动，到达O 点后，又立即返回，依此在线段OC 上反复运动，当点M 停止运动时，点N 也停止运动，设运动时间为t ． （1）求抛物线的解析式； （2）求点D 的坐标；（3）当点M ，N 同时开始运动时，若以点M ，D ，C 为顶点的三角形与以点B ，O ，N 为顶点的三角形相似，求t 的值；（4）过点D 与x 轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q ，将线段BA 沿过点B 的直线翻折，点A 的对称点为A '，求A Q QN DN '++的最小值．【解答】解：（1）将(8,0)C ，(0,6)B 代入2154y ax x c =-+，得15648046a c c ⎧-⨯+=⎪⎨⎪=⎩， 解得386a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：2315684y x x =-+；（2）如答图1，作DE x ⊥轴于点E ，(8,0)C ，(0,6)B ，8OC ∴=，6OB =． 10BC ∴=．BOC BCD DEC ∠=∠=∠， ~BOC CED ∴∆∆．∴BC BO OCCD CE DE==． 3CE ∴=，4DE =． 11OE OC CE ∴=+=．(11,4)D ∴．（3）若点M 在DA 上运动时，5DM t =，4ON t =， 当~BON CDM ∆∆，则BO ONCD DM=，即6455t t =不成立，舍去； 当~BON MDC ∆∆，则BO ONMD DC=，即6455t t =，解得：t = 若点M 在BC 上运动时，255CM t =-．当~BON MCD ∆∆，则BO ON MC CD =，即62555ONt =-， ∴65ON t=-． 当34t <时，164ON t =-．∴61645t t=--，解得1t =，2t =．当45t <时，416ON t =-∴64165t t=--，无解； 当~BON DCM ∆∆，则BO ON DC CM =，即65255ONt=-， 306ON t ∴=-；当34t <时，164ON t =-，306164t t ∴-=-，解得7t =（舍去）；当45t <时，416ON t =-，306416t t ∴-=-，解得235t =．综上所示：当t =时，~BON MDC ∆∆；t =时，~BON MCD ∆∆；235t =时，~BON DCM ∆∆；（4）如答图2，作点D 关于x 轴的对称点F ，连接QF 交x 轴于点N ，点(11,4)D ，∴点(11,4)F -．由2315684y x x =-+得对称轴为5x =，∴点(5,4)Q ．∴10QF ，BQ ==∴5105A Q QN DN BQ BA QF ''++=-++．故A Q QN DN '++5．差最大【例1】如图，已知抛物线23(0)y ax bx a =++≠经过点(1,0)A 和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ． （1）求此抛物线的解析式；（2）①若点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点，则PBC ∆的面积最大值为 ； ②若点T 为对称轴直线2x =上一点，则TC TB -的最大值为 ．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为2212()()(1)(3)(43)3y a x x x x a x x a x x ax bx =--=--=-+=++，解得1a =，故抛物线的表达式为243y x x =-+①；（2）①如图1，过点P 作//PH y 轴交BC 于点H ，由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为3y x =-+， 设点2(,43)P x x x -+，则点(,3)H x x -+，PBC ∆的面积2211393(343)2222PHC PHB S S PH OB x x x x x ∆∆=+=⨯⨯=⨯⨯-+-+-=-+， 302-<，故PBC ∆的面积有最大值，当32x =时，其最大值为278，故答案为278；②点B 关于函数对称轴的对称点为点A ，连接CA 交函数对称轴于点T ，则点T 为所求点，则TC TB TC TA AC -=-=为最大，故TC TB -的最大值为AC =【变式训练1】如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，抛物线交x 轴于C 、D 两点，已知(3,0)C - （Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使||MB MD -的值最大，请求出点M 的坐标及这个最大值．【解答】解：（Ⅰ）当0x =时，1332y x =+=，则(0,3)A ，把(0,3)A ，(3,0)C -代入212y x bx c =++得39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为215322y x x =++；（Ⅱ）抛物线的对称轴为直线522b x a =-=-， C 点和D 点关于直线52x =-对称， MC MD ∴=，||MB MC BC -（当B 、C 、M 共线时，取等号）， ||MB MC ∴-的最大值为BC 的长，解方程组213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，解得0431x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或，则(4,1)B -，BC ∴设直线BC 的解析式为y kx t =+，把(4,1)B -，(3,0)C -代入得4130k t k t -+=⎧⎨-+=⎩，解得13k t =-⎧⎨=-⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =--，当52x =-时，132y x =--=-，则此时M 点的坐标为5(2-，1)2-，∴点M 的坐标为5(2-，1)2-时，||MB MD -．【变式训练2】如图，已知抛物线上有三点(4,0)A -、(1,0)B 、(0,3)C -． （1）求出抛物线的解析式；（2）是否存在一点D ，能使A 、B 、C 、D 四点为顶点构成的四边形为菱形，若存在，请求出D 点坐标，若没有，请说明理由．（3）在（2）问的条件，P 为抛物线上一动点，请求出||PD PB -取最大值时，点P 的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++， (4,0)A -、(1,0)B 、(0,3)C -，∴016403a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩， 解得：34a =，94b =，3c =-， ∴抛物线的解析式为239344y x x =+-；（2）存在一点(5,3)D -，使得以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形，理由为：1OB =，3OC =，4OA =，5AC ∴，AB AC ∴=，当CD 平行且等于AB 时，四边形ACDB 为菱形，5CD AB ∴==，∴点D 的坐标为(5,3)-，当点D 在第二、三象限时，以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，∴存在一点(5,3)D -，使得以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为菱形．（3）设直线DB 的解析式为(0)y kx b k =+≠， (1,0)B ，(5,3)D -，∴53k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得：34k =-，34b =，∴直线DB 的解析式为3344y x =-+，当点P 与点D 、B 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系||PD PB DB -<， 当点P 与点D 、B 在同一直线上时，||PD PB DB -=，∴当点P 与点D 、B 在同一直线上时，||PD PB -的值最大，即点P 为直线DB 与抛物线的交点，解方程组2334439344y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，得1110x y =⎧⎨=⎩（舍去）或22592x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点P 的坐标为9(5,)2-时，||PD PB -的值最大．【变式训练3】如图，二次函数21212y x x =-++的图象与一次函数1y x =-+的图象交于A ，B 两点，点C 是二次函数图象的顶点，P 是x 轴下方线段AB 上一点，过点P 分别作x 轴的垂线和平行线，垂足为E ，平行线交直线BC 于F ．（1）当PEF ∆面积最大时，在x 轴上找一点H ，使||BH PH -的值最大，求点H 的坐标和||BH PH -的最大值；【答案】（1）点(1,0)H ，||BH PH -； 【解答】解：（1）设点(,1)P m m -+，则点(,0)E m ， 联立两个函数表达式得212121y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=-+⎩，解得0615x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或， 即点A 、B 的坐标分别为(0,1)、(6,5)-，由抛物线的表达式知，点(2,3)C ，由B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为27y x =-+， 当271y x m =-+=-+时，62m x +=，故点6(2m F +，1)m -+， PEF ∆面积1161(1)()(1)(6)2224m PE PF m m m m +=⨯=⨯--=---， 104-<，故PEF ∆面积有最大值，此时17(16)22m =+=， 故点7(2P ，5)2-， 当P 、B 、H 三点共线时，||BH PH -的值最大，即点H为直线AB 与x 轴的交点，故点(1,0)H ，则||BH PH -的最大值BH PH BP =-===；。
专题4：坐标系中的将军饮马问题(作1次;2次对称)
19.19专题4：坐标系中的将军饮马问题（作1次；2次对称）一．【知识要点】1.坐标系中的将军饮马问题（作1次；2次对称）二．【经典例题】1.如图，直线3x + 4y－12 = 0与x轴、y轴分别交于点B、A两点，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD．若点P为x轴上的一个动点，求当PC + PD的长最小时点P的坐标．2.在如图所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的动点,A(1,0),B(2,0)是x轴上的两点，当PA+PB为最小值时，求点P的坐标和PA+PB的最小值。
3．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的解析式为，直线交轴于点，交轴于点．（1）若一个等腰直角三角形OBD的顶点D与点C重合，直角顶点B在第一象限内，请直接写出点B的坐标；（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标.xOy AC122y x=-+AC xC y AOABDCxyP三．【题库】 【A 】1.已知A （5，5），B （2，4），M 是x 轴上一动点，求使得M A ＋MB 最小时的点M 的坐标．【B 】1．如图，平面直角坐标系中两点A （2，3），B （1，0），点P 是y 轴上一动点． （1）画图的出点P 的位置，使△APB 的周长最短；（不用证明） （2）当△ABP 的周长最短时，求点P 的坐标．【C 】1.如图，直线432+=x y 与x 轴，y 轴分别交于A 点和B 点，点C 和点D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC+PD 最小时，点P 的坐标为（ ） A.（-3，0） B.（-6，0） C.（23-，0） D.（25-，0）2.如图，菱形OABC 在平面直角坐标系中，顶点A(5，0)，对角线OB=P 是对角线OB 上的一动点，D(0，1)，则当PC+PD 最短时，点P 的坐标为（ ）()163105.0,0.1,.,.,25577A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【D 】1．平面直角坐标系xOy 中，已知点A （8，0）及第一象限的动点P （x ，y ），且x + y = 10．设△OPA 的面积为S ，周长为l ．给出下列结论：① 0≤x ≤10 ② S =－4x + 40（0＜x ＜10） ③ 2≤PA ＜412 ④ l 的最小值为2628+；其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2.已知坐标平面内D （3，-2），E （5，2） (1)求经过D 、E 的直线1l 的解析式。
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将军饮马问题路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.3.已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱<AB，即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交于点P，点P即为所求；理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.典型例题1-1x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分如图，直线y=23别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P ，此时PC+PD 值最小．令y=23x+4中x=0，则y=4， ∴点B 坐标（0，4）；令y=23x+4中y=0，则23x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A 的坐标为（﹣6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴CD 为△BAO 的中位线， ∴CD ∥x 轴，且CD=21AO=3，∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴O 为DD ′的中点，D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21CD=23，∴点P 的坐标为（﹣32，0）．在Rt △CDD ′中，CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析式，再求其与x 轴的交点P 的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B的坐标为（32，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最 大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣x 的交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC的方程为y=﹣54x ﹣54，与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223)2()1(−++=241；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB=4√5，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短时，点P 的坐标为（ ）A ．（0，0）B ．（1，12）C ．（65，35）D ．（107，57）变式训练1-2如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2，BD=2√3,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为__________.变式训练1-3如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=12x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标.1.已知：如图，A为锐角∠MON外一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.解：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此时，AP+PQ最小；理由：AP+PQ≧AQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ON时，AQ最小.2.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型13.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使△APQ的周长最小解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，△APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线时，其值最小.4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON内两个定点；要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A´，作点B关于直线ON的对称点B´，连接A´B´交OM于P，交ON于Q，则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A´B´的长度之和；理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA´,将QB转化为QB´，当A´、P、Q、B´四点共线时，PA´+PQ+ QB´的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.6.已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´，使AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a理由：易知四边形APQA´为平行四边形，则PA=QA´，当A´、Q、B三点共线时，QA´+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.7.已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ 的位置，使得四边形APQB 周长最小分析：AB 长度确定，只需AP+PQ+QB 最小，通过作A 点关于l 的对称点，转化为上述模型3解：作A 点关于l 的对称点A ´，将点A ´沿着平行于l的方向，向右移至A ´´，使A ´A ´´=PQ=a ，连接A ´´B交l 于Q ，在l 上截取QP=a （P 在Q 左边），线段PQ 即为所求，此时四边形APQB 周长的最小值为A ´´B+AB+PQ ，即A ´´B+AB+a典型例题2-1如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，若点M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为 ．【分析】符合拓展模型2的特征，作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作AB 的垂线段，该垂线段的长即BM+MN 的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作EN ⊥AB 于N ，则BM+MN=EM+MN ，其最小值即EN 长；∵AB=10，BC=5，∴AC=22BC AB +=55，等面积法求得AC 边上的高为55510⨯=25，∴BE=45， 易知△ABC ∽△ENB ，∴，代入数据解得EN=8． 即BM+MN 的最小值为8．【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）A ．B ．C ．6D ．3【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC、OD，分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD. 【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，CH=OH=，∴CD=2CH=3．即△PMN周长的最小值是3；故选：D．【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题2-3如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；（2）符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，此时P点为直线OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P点坐标；【解答】（1）在Rt△ADO中，∵∠A=60°，AD=2，∴OD=2•tan60°=2，∴A（﹣2，2），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）（2）如图，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形,∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，4a-2b+c=0由题意，得 16a+4b+c=0c=4解得a=-12，b=1，c=4，∴所求抛物线的解析式为y=-12x²+x+4；（3）只需AF+CE最短，抛物线y=-12x²+x+4的对称轴为x=1，将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为y=-14x+2，当x=1时，y=74，∴点E的坐标为(1,74)，点F的坐标为(1,34)．【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换.变式训练2-1几何模型：条件：如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，即为所求.（不必证明）模型应用：（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时PA+PB= ．（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是．（3）如图4，在菱形ABCD中，AB=10，∠DAB=60°，P是对角线AC上一动点，E，F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是．（4）如图5，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E．F分别是AG，AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．变式训练2-2如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长的最小值是___________.变式训练2-3如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．变式训练2-4如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A ．（0，）B ．（0，）C ．（0，2）D ．（0，）3.如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足S △PAB =31S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为（ ）A ．B ．C ．5D ．4.已知抛物线y=x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（，3），P 是抛物线y=x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65.如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线y=上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D 、E 分别是AB 、BC 边上的动点，则AE+DE 的最小值为（ ）A ．B ．C ．5D ．7.如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA+DE 的最小值为 ．8.如图，等腰△ABC 的底边BC=20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF=3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为 ．9.如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB+PM 的值最小时，PM 的长是（ ）A．B．C．D．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是（）A．6B．10 C．2D．212.如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是．13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．15.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值．16.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．17.如图1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．18.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），P是第一象限内抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x=，y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形ABC，使得BC∥OA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P 运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．。