西工大大学物理 大作业参考答案-真空中的静电场2009

第九章 真空中的静电场

一、选择题

⒈ C ； ⒉B ；⒊ C ； ⒋ B ； ⒌ B ； 6.C ； 7.E ； 8.A,D ； 9.B ；10. B,D 二、填空题 ⒈

2

3

08qb R

πε，缺口。 ⒉ 0

q

ε，< ;

⒊ 半径为R 的均匀带电球面（或带电导体球）; ⒋ 12

21

E E h h ε--； 2.21⨯10-12C/m 3; ⒌ 100N/C ；-8.85×10-9C/m 2 ; ⒍ -135V ； 45V ; ⒎

006q Q R πε；0；006q Q R πε- ；006q Q

R

πε ； ⒏ 1

2

22

04()

q x R πε+；

32

22

04()

qx x R πε+

；

2

R ；432.5 V/m ; 9.有源场；无旋场 (注意不能答作“保守场”，保守场是针对保守力做功讲的)。 三、 问答题

1. 答： 电场强度0E F q =r r

是从力的角度对电场分布进行的描述，它给出了一个矢量场分布的图像；而电势V =W /q 是从能量和功的角度对电场分布进行的描述，它给出了一个标量场分布的图像。

空间任意一点的电场强度和该点的电势之间并没有一对一的关系。二者的关系是：

"0"p d grad ,d d P

V

E V V E l n =-=-=⋅⎰r r r 。即空间任一点的场强和该点附近电势的空间变化率相联

系；空间任一点的电势和该点到电势零点的整个空间的场强分布相联系。

由于电场强度是矢量，利用场叠加原理计算时，应先将各电荷元产生的电场按方向进行分解，最后再合成，即：

d d d d ;x y z E E i E j E k =++r r r r

， d ,d ,d x x y y z z E E E E E E ===⎰⎰⎰

而电势是标量可以直接叠加，即：V dV =⎰。但用这种方法求电势时，应注意电势零点的选择。

四、计算与证明题

1. 证：①根据对称性分析，两段带电直线各自在O 点的电场强度大小相等，方向相反，相互抵消，所以只计算带电细线半圆形部分的电场。 取电荷元d q =λd l ，设d E 和y 轴夹角为θ，其大小为：

d E =

根据其对称性有：E x =0；θπελ

θπελd cos 4cos 4d d 020a

a l E y ==

（如果设d E 和x 轴夹角为θ，那么上面表达式中的cos θ1要变成sin θ）

a a E y 0/2/202d cos 4πελθθπελππ==⎰-， j a

E ϖ

ϖ02πελ=

②设带电直线上电荷元d q =λd l 到O 点的距离为l ，则其在O 点的电势为：

l l U 014d d πελ=， 2ln 4d 40

201πελπελ==

⎰a a l l U 半圆形带电细线上任一电荷元在O 点的电势为：

a l U 024d d πελ=，0

0014d 4πελππελπ==⎰a l a U

两段带电直线在O 点的电势相同，故O 点电势为： )2ln 2(40

21ππελ

+=+=U U U 得证。

2. 解：①根据对称性，选半径为r 的同心球面为高斯面，则由高斯定理有：

2S

4d d επ∑⎰⎰⎰⎰=

==⋅q Er s E S E ϖ

ϖ，

当r

r r q 33334πρ， 于是：304R Qr

E πε=内

当r >R:

∑=Q q ， 于是：2

04r Q E πε=

外

②选无穷远点位电势零点。则球内任一点电势为：

⎰⎰⎰∞

∞⋅+⋅=⋅=R

r

r

d d d r E r E r E U R 外内内ϖϖ

R

Q r R R Q r r Q r r R Qr R

r

R r 02

23020

304)(8d 4d 4πεπεπεπε+-=+

=

⎰

⎰ r

E

R

球外一点电势：r Q r r Q r E r E U r r 0

2

r

4d d d πε=⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰

∞∞∞

外外ϖϖ

图：

③同样根据对称性，选半径为r 的同心球面为高斯面，则由高斯定理有：

2

S

4d d επ∑⎰⎰

⎰⎰===⋅q Er s E S E ϖϖ，

当r

r r r R Q r q '''

='=d 41

2d )(d 22

ππυρ， 高斯面内总电量2202d 2d )(r R

Q

r r R Q V r q r V =''='=⎰∑⎰ρ

于是：2

04R

Q E πε=内

得证。

3. 解：①两个球面将空间分为三个区域，据高斯定理， 在Ⅰ区：0

04q E r πε=

；

在Ⅲ区： r >R 2，32

04Q q

E r

πε+=

；则所求电势分别为： 3304r

Q q

V E dr r

πε∞

+==

⎰，024Q q V R πε+==外；

② 2

2

223002

44R r

R q Q V E dr E dr r R πεπε∞

=

+=

+

⎰⎰，020144q q V V

R R πεπε∆=-

；

③ 2

1

2

12301

02

44R R R q

Q V E dr E dr R R πεπε∞

=

+=

+

⎰⎰，0102

44q

Q

V R R πεπε=

+

内

r

R