推理与证明复习课(1)

第1课时推理复习课一、习■航自主预习，确立复习目标，检测复习效果◎掌握归纳、类比的概念及其特点•练习： 1.下面一组按规律排列的数：1，32，53，…，第n个数应是()八n f 2n _1 一 /只,、n °一.. 2n_1A.nB.nC.（2n「1）D.（2n「1）◎掌握三段论的一般模式练习: 2. （1）下列函数为增函数的是（2A.y=2x-1B.y=x -2x+11C.y=- —D.y=ta n xx(2)已知通项公式形如an =cq n(c,q = 0)的数列CaJ为等比数列，则数列-2,是等比数列，用的是推理.(填“归纳”或“类比”或“)绎”拨解疑，重在授之以渔.1例1设数列玄』的首项a =a ，且4-a n小为偶数，12务 1 一一1a n•一, n为奇数.L 41记b Pn4 ,n =1.2,3,川.4(1 )求a2，a3；(2)判断数列:b/f是否为等比数列，并证明你的结论分析：本题可以先求出4 1的前几项，根据规律归纳出 2 的通项公式探讨：本题以数列为载体考查运用归纳推理，归纳推理所得的结论是不是一定正确？1变式练习：已知正项数列\a n r的前n项和S n(a n1)2,试求出b i, b2, b3, b4,…并由此归纳出I a n4的通项公式.a + b例2若记“ * ”表示两个实数a与b的算术平均数的运算，即a*b=- b，则两边均含有运算符号2和“ +”，且对于任意3个实数a, b, c都能成立的一个等式可以是 _______________ .分析：由于本题是探索性和开放性问题，答案并不唯一，注意到题目的要求不仅是要类比到三个数，还要求两边都有“ * ”和+”探讨：类比推理的特点是什么？类比时应该针对什么进行推理？类比推理的结果一定是正确的吗？变式练习：已知数列a i,a2,…，a3o，其中a i,a2,…，a io是首项为1,公差为1的等差数列；a®, an,…，a?。

是公差为d的等差数列；a2o,a2i,…,a3o是公差为d2的等差数列(d = 0 ).(i)若a?。

=40，求d ； (2)试写出a3o关于d的关系式，并求a?。

的取值范围；(3)续写已知数列，使得a3o,a3i,…,a4o是公差为d3的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列，你能得到什么样的结论？自主练兵，双基达标训练，会做才算懂了3 •下列推理是归纳推理的是（A. A, B （AB =2c）是定点，动点P满足| PA I • I PB |= 2a |2c|，得点P的轨迹是椭圆B.由a1 =1,a n =3n-1，求出S!,S2, S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式2 2C.由圆X2 y^r2的面积是n2，猜想出椭圆笃爲-1的面积为£ba2 b2D.利学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4 .设二是R上的一个运算，A是R的非空子集•若对于任意a,b・A，有a二b • A，则称A对运算二封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）都封闭的是（）A.自然数集B.整数集C.有理数集D.无理数集5.将“证明函数f（x）=x3，sinx为奇函数”的步骤写成三段论的形式为___________________6•观察下列等式，并从中归纳出一般性的规律：1 =121 3 =2221 3 5=3 1 ■ 3 ■ 5 ^42则_____________________________________ .7 .已知：2 Q 2 Q 2 V 3sin230 sin290 sin 2150 =22 ' 2 ' 2 3sin 5 sin 65 sin 125 .2通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明8.设函数f（x“一2—，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，（1）求2X+V2f( -4) 二(0) 二(5) f (6)的值;(2 )证明函数f(X)的图像关于(-1,-1)对称.四、■评价回味反思，领悟才能提高，自主评价反馈•学完本课，在以下各项的后面的“()”中，用“V”或“？”标注你是否掌握(1)合情推理与演绎推理的概念•()(2)利用归纳和类比进行简单的推理•()(3)“三段论”形式及应用•()(4)认识合情推理与演绎推理在数学中的地位和作用.( )另外，你是否有其他疑问？五、■变■挑战经典，课后拓展演练，提升解题能力.考点：掌握归纳、类比、演绎推理的基本步骤并能应用它们解决数学问题以下各题均有1〜2个变式，请同学们根据自身情况，选做原题或变式9.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列［是等和数列，且a1=2，公和为5,求a18的值为__________ ，数列前n项和S n的计算公式为_________________变式1根据上题的定义，下列数列不是等和数列的是(A. a n =10B.a n 2, n为奇数,2〉，n 为奇数， cos 2 , n 为偶数- 变式2：定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数 列叫做等积数列，这个常数叫做数列的公积. 已知数列｛a n ｝是等积数列，且ai =2 ,公积为8,那么 盹 第二章推理与证明有效学案参考答案第1课时推理复习课一、复习导航I.C.2. (1) A.提示：首先可以排除 CD,判断一个函数是增函数的大前提是：若x € D 时，有f '(X) ■ 0，则函数在D 上是增函数.(2)演绎.二、典例探讨1 证明如下：因为bm -厂 41 1 1 1 1-a 2n (a^——) bn ( n N *).2 4 2 2 4 2 n 所以，b n 匚是首项为a ，公比为1的等比数列.4 2变式练习：解：(见纸稿)2n ,n 为奇数， sin 2 D a n = 2 3n ,n 为偶数• n的值为 ，这个数列的前n 项和S n 计算公式为C. a n 例 1 解：（1） a 2 =a-i 丄,4 41 83 a ? 32 2 (2)因为 1 a 5 a 4 5 2 4 1 1 a . 2 81a 2 =a 3 4 1 3 a 4 161 =a 1 a --41 1 3=2a 8,14，1 1 1 b2 =a3 =評 _；）,4 2 4 1 1 1b 3 二a 5（a-—）•4 4 4 1猜想：：b n ?是公比为一的等比数列.所以，b例 2 解：a (b e) = (a b) (a c).也可以是(a b) • e = (a c) (b c)或(a b) e = (b a) • e变式练习：解：(1 )由a10 =1O,a20 =10 10d =40,可解得d =3.(2)a30 = a20 10d 10 1 ' d ' d i (d 亠0), a30当d ( -：：，0) (0,：：)时，a?。

〔7.5,10 10,：：(3)所给数列可推广为无穷数列:a n I其中a1,a2,…，印。

是首项为1,公差为1的等差数列，当n_1时,数列3伽2伽1,…，ag 1)是公差为d n的等差数列.三、基础训练3. B.4. C.5•若对定义域内的任意的x都有f(-x) - -f(x)，则称函数f(x)为奇函数.(大前提)，而f (「X)二-x3「sin x 二- f (x)(小前提)，所以f (x)为奇函数(结论).6. 1 3 5 丨1( • (2n -1) = n2.7.解：一般性的命题为2 2 2 3sin (: -60 ) sin : sin (：60J .证明：左边21_cos(2〉_120°) 1_cos2：・ 1 _cos(2：・120°)= ------------------------------------- "T --------------------- ~T~--------------------------------------------------------------------------2 2 23 [cos(2: _120°) cos2: cos(2: -120°)]2二3=右边.28.解：（1）因为2x,所以f (x) f (1 - x)= 二1.发现f （x）• f （1 - x）正好是一个定值,所以2S =1 12，所以S =6.1 1（2）证明：函数f （x）的定义域为R,任取一点（x, y）,它关于点（了?）对称点的坐标为（由1-x, 1-y)1 -y =12 _ 2x2x2 2 2x1 1所以函数y=f（x）的图象关于（丄，丄）五、考题变式9.3，5 n, 2提示：由等和数列的定义，易知a2n 4 = 2,a2n = 3 ( n =1, 2,…)，故a18 = 3.5 5 1当n为偶数时，S n n ；当n为奇数时，S n n •2 2 2所以S n52n,> 1—n 一一! 2（n为偶数）,变式1: C.提示：C选项中的数列为2, 9, 8, 81, …，明显不是等和数列变式2：9.4, ]3n T,当n为奇数时；S^ =3n, 当n为偶数时.提示：由题意知等积数列满足日 2 = a2色=丨I （= a n a n 1 =a n 1 a n・2 =a n一常数，由a^2，得a2 =4,a3 =2^4 =4,||山丨所以数列的所有奇数项成2为首项的常数列，偶数项3n「1，当n为奇数时；成4为首项的常数列，所以站8 =4，这个数列的前n项和为S n :、3n, 当n为偶数时.。