点位误差

（或称相关权倒数），在相应协因数（权倒数）连线的两侧，而 Qxix j 、Qxi y j 、 Qyix j 、Qyi y j （ i j ）则是 i 点和 j 点的纵
横坐标 xi 和 yi 与 x j 和 y j 之间的互协因数，它们位于主对角线元素连线的两侧，并成对称关系。
当平差问题中只有一个待定点时，即 k 1,t 2 时
表 6-1
点名
x(m)
y (m)
A
4948.25
2147.51
B
19634.25
2147.51
C
26943.25
19530.51
D
14383.25
28071.51
角号
观测值
1
381914.7
2
595240.5
3
341512.6
表 6-2
角号
观测值
4
312052.0
5
471210.0
6
723217.0
次数）有限，因此不论用何种方法平差，用式 V T PV r 求得的数值只是单位权中误差 0 的估值；另一种情况是在控制网 设计阶段， 0 的确定，只能采用先验值，就是使用经验值或按相应《规范》规定的相应等级的误差值（例如，四等平面控
制网，测角中误差为 2.5 ，此时可取 0 2.5 ）；
4．点位误差实用计算公式
式(6-2-11)即计算 P 点在给定方向 上的位差的公式。
其实用公式为
ˆ2
ˆ
2 0
(Qxx
cos2
Qyy
sin 2
Qxy
sin 2)
(6-2-12)
(6-2-11)
同理，对于任意坐标系 xoy ， P 点在给定方向 上的位差计算实用公式为
ˆ2
ˆ
2 0
(Qxx
cos2 Qyy
sin 2 Qxy
f
T x
P
1
f
x
f yT P 1 f y
f xT f yT
P 1 AT P 1 AT
N 1 aa
N 1 aa
AP1 AP1
f f
x y
Qxy
f xT QLˆLˆ f y
f xT P 1 f y
f
T x
P
1
AT
N
1 aa
AP1
f
y
(6-2-7)
式中， P 1 是观测值的权逆阵， N aa 是条件平差的法方程系数阵。 例[6-1] 如图 6-4 所示的平面控制网， A、B 为已知点，其坐标见表 6-1， C、D、E 是待定点， C、D 点近似坐标见
方向 （ 或 ）。
三、位差的极大值 E 和极小值 F
1．位差的极大值和极小值的概念
式(6-2-12)、(6-2-13)和(6-2-14)是求某一方向上的位差的不同表达方式，从本质上并没有什么区别，只要给出一个
（ 或 ），带入相应的公式，就可以算出对应的位差ˆ2 (ˆ2、ˆ2 ) ，因为 （ 或 ）在 0 ~ 360 范围内有无穷多
1 学时
一、点位误差的计算
§6-2 点位误差
1.利用纵、横坐标协因数计算点位误差 待定点的纵、横坐标的方差是按下式计算的：
2 x
2 y
21 0 px 21 0 py
2 0
Q
xx
2 0
Q
yy
根据(6-1-4)式可求得点位方差：
(6-2-1)
2 P
2 0
(Qxx
Qyy )
2 0
(
1 Px
1 )
Py
个，因此，位差 ˆ 2
(ˆ2、ˆ2 ) 也有无穷多个，其中，应存在一个极大值 MAX
(ˆ
2
)
和一个极小值 MIN (ˆ
2
)。
又因为位差
ˆ
2
ˆ02Q
，当平差问题确定之后
ˆ
2 0
是定值，因此，求位差极值的问题等价于求 Q
的极值问题。
2．求 Q 的极值
（1）极值方向值 0 的确定
要求 Q 的极值，只需要将式（6-2-10）对 求一阶导数，并令其等于零，即可求出使得 Q 取得极值的方向值 0 ，
Qx1
x1
Q XˆXˆ
N 1 bb
(BT PB)1
QQQxyy212
x1 x1 x1
Q Q
xk yk
x1 x1
Qx1 y1 Q y1 y1 Qx2 y1 Q y2 y1
Qxk y1 Q yk y1
Q x1 x2 Q y1 x2 Qx2 x2 Qy2 x2
Qxk x2 Qyk x2
Qx1 y2 Q y1 y2 Qx2 y2 Qy2 y2
f f
T x dLˆ T y dLˆ
(6-2-6)
Qxx Qyy
f xT QLˆLˆ f y T QLˆLˆ
f
x
fy
Qxy
f xT QLˆLˆ
f
y
顾及观测值的平差值 Lˆ 的协因数阵 QLˆLˆ
P 1
P
1
AT
N
1 aa
AP1
，则
Qxx Qyy
f xT QLˆLˆ f y T QLˆLˆ
fx fy
进而可求得点位中误差
P 0
Qxx Qyy 0
11 Px Py
(6-2-2)
从式(6-2-2)中可以看出，若想求得点位中误差
P
，要解决两个问题，一个是方差因子
2 0
（或中误差
0
）；另一个
就是 P 点的坐标未知数 x 和 y 的协因数 Qxx 和 Qyy 。下面就针对这两个问题的解决方法简要说明：
1 2
(Qxx
Qyy ) (Qxx
Qyy ) cos20
2Qxy sin 20
1 2
(Qxx
Qyy
2Qxy tg20
cos20
2Qxy
sin
20
)
1 2
(Qxx
Qyy ) 2(ctg 2 20
1)Qxy sin 20
(6-2-16)
在式(6-2-16)中，根据测量平差的特点，第一项 (Qxx Qyy ) 恒大于零，第二项中的值有可能大于零，也可能小于零；当 第二项中的值大于零时， Q 取得极大值，当第二项中的值小于零时， Q 取得极小值。
5.0 4.0 3.24
9.333..422349
N 1 aa
0.279 0.083 0.069
0.083 0.373 0.100
000...110606609
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由 B 点推算 D 的坐标可用下式
xD
xB
xBD
S BD
cos BD
S AB
sin Lˆ1 sin Lˆ7
s
in(Lˆ6 sin
tg20 tg(20 180 )
(6-2-15)
所以(6-2-15)有两个根，一个是 2 0 ，另一个是 20 180 。即，使 Q 取得极值的方向值为 0 和0 90 ，其中一个为
极大值方向，另一个为极小值方向。
（2）极大值方向 E 和极小值方向 F 的确定
公式变换 0 和0 90 是使 Q 取得极值的两个方向值，但是还要确定哪一个是极大方向值 E ，哪一个是极小方向
sin 2)
(6-2-13)
对于特殊方向 AP 方向和垂直于 AP 的方向组成的坐标系（如图 6-2 示），P 点在给定方向 上的位差计算实用公式应
为
ˆ2
ˆ
2 0
(Qss
cos2 Quu
sin2
Qsu
sin 2)
(6-2-14)
从上几式可以看出，当平差完成后，单位权方差ˆ 0 以及 P 点上的 Qxx 、 Qyy 、 Qxy 均为常量，因此，ˆ2 的大小取决于
Qyy
f yT QLˆLˆ
fy
f yT
fy
f
y
T
AT
N
1 aa
Af
y
10.781 60691 4.090
Qxy
f xT QLˆLˆ
fy
fxT
fy
f
T x
AT
N 1 aa
Af
y
1.517 (0.595)
0.922
3. 0 的确定
0 的确定，分两种情况，一是在平差计算时，用式 V T PV r 计算，但是由于子样的容量（即观测值的个数以及观测
值F 。
将三角公式
cos2 0
1 cos20 2
, sin 2 0
1 cos20 2
，
sin 2
2 0
1 1 ctg 2 20
, cos2
2 0
1 1 tg 2 20
带入（6-2-10）式并顾及(6-2-15)式，得
Q
(Qxx
1
c
os2 2
0
Qyy
1 cos20 2
Qxy sin 20 )
以上两种情况得到的都是 0 的估值，习惯上用ˆ 0 (或m0 ) 表示，所以实用上只能得到待定点纵、横坐标的方差估值以及
相应的点位方差的估值，即
ˆ
2 x
ˆ
2 y
ˆ ˆ
02Q
2 0
Q
xx yy
和
(6-2-8)
ˆ
2 P
ˆ
2 0
(Qxx
Qyy )
则点位中误差为ˆ P ˆ 0 Qxx Qyy （有时也用 M 表示，即 M ˆ P ）。
设待定点 P 的最或然坐标为 xˆ P 和 yˆ P ，计算 xˆ P 和 yˆ P 使用的已知点坐标为 x0 和 y0 （认为没有误差），则应有以下函数
式
xˆ P yˆ P
x0 y0
x(Lˆ) y(Lˆ)
对(6-2-5)求微分，得其权函数式为
(6-2-5)
按协因数传播律得
dx p dy p
Q Qxx cos2 Qyy sin 2 2Qxy sin cos Qxx cos2 Qyy sin 2 Qxy sin 2
Q 即为求方向 上的位差时的协因数（权倒数）。 因此，方向 的位差为
( 6-2-10 )
2
02Q
02 (Qxx cos2 Qyy sin 2 Qxy sin 2)
表 6-1，同精度观测了 9 个角度，观测值见表 6-2，采用条件平差法进行平差，列出的条件方程如下，
2 个图形条件，以 B 点为极的 1 个极条件 v1 v3 v4 v5 v7 0.1 0
v3 v6 v7 v9 1.7 0 0.04v1 1.31v2 0.22v4 1.45v5 0.20v6 2.02v7 0.56v8 1.02v9 2.2 0 试计算 D 点坐标的协因数 Qxx、Qyy、Qxy 。
角号
观测值
7
285230.8
8
705926.8
9
442001.3
解：（1）条件方程系数阵
1
0 11 1
0
1
0
0
A 0
0 10 0
1
1 0 1
0.04 1.31 0 0.22 1.45 0.20 2.02 0.56 1.02
（2）法方程系数阵和逆阵为
（3）列权函数式
N aa
5.0 2.0 3.29
Lˆ9
Lˆ7
)
c
os(
BA
Lˆ4
Lˆ5 )
yD
yB
y BD
S BD
sin BD
S AB
sin Lˆ1 sin Lˆ7
s
in(Lˆ6 sin
Lˆ9
Lˆ7
)
sin(
BA
Lˆ4
Lˆ5 )
由此得权函数式为
dxD 0.32v1 1.26v4 1.26v5 0.05v6 0.51v7 0.26v9 dyD 1.59v1 0.25v4 0.25v5 0.25v6 2.531v7 1.29v9
QXˆXˆ
(BT PB)1
Qxx Qyx
Qxy
Q
yy
计算方法参见间接平差一章。 （2）条件平差法计算
(6-2-4)
当平面控制网按条件平差时，首先求出观测值的平差值 Lˆ ，由平差值 Lˆ 和已知点的坐标计算待定点最或然坐标，因此说，
待定点最或然坐标是观测值的平差值的函数。 故欲求待定点最或然坐标的协因数（权倒数），需按照条件平差法中求平差值函数的权倒数的方法进行计算。
其过程如下：
由
d d
(Qxx cos2
Qyy sin 2
Qxy sin 2) 0
0
可得 即 由此可得
又因为
2Qxx cos0 sin 0 2Qyy cos0 sin 0 2Qxy cos 20 0 (Qxx Qyy ) sin 20 2Qxy cos 20 0
tg 2 0
2Qxy (Qxx Qyy )
Qxk y2 Qyk y2
Qx1xk Q y1xk Qx2 xk Qy2 xk Qxk xk Qyk xk
Qx1 yk
Q y1 yk Qx2 yk Qy2 yk
Qxk Qyk
yk yk
(6-2-3)
其中主对角线元素 Qxixi , Qyi yi 就是待定点坐标 xi 和 yi 的协因数（或称权倒数）， Qxi yi 和 Qyixi 则是它们的相关协因数
2． Qxx , Qyy 的计算问题
按条件平差和间接平差两种平差方法介绍。 （1）间接平差法计算
当 控 制 网 中 有 k 个 待 定 点 ， 并 以 这 k 个 待 定 点 的 坐 标 作 为 未 知 数 （ 未 知 数 个 数 为 t 2k ） ， 即
Xˆ x1 y1 x2 y2 xk yk T ，按间接平差法进行平差时，法方程系数阵的逆阵就是未知数的协因数阵 QXˆXˆ ，即
二、任意方向 上的位差
(6-2-9)
如图 6-5，在 P 点有任意一方向，与 x 轴 的夹角为 ， P 点的点位真误差 PP 在方向上的投影值为 PP，在
x 轴和 y 轴上的投影为 x 和 y 。则 与 x 和 y 的关系为
PP PP x cos y sin
根据协因数传播律得
则
f
T x
f
T y
0.32 1.59 0
0 0
0 1.26 1.26 0.05 0.25 0.25 0.25
0.51 0 0.26 2.531 0 1.29
（4）计算协因数 将上述数据代入得
Qxx
f xT QLˆLˆ f x
f xT
fx
f
T x
AT
N 1 aa
Af
x
3.608 1.736 1.872