高等数学 两个重要极限
两个重要极限
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
sin x 1. lim =1 x0 x
1 0.75 0.5 0.25
f ( x)
5
s i nx x
10 15
-15
-10
-5
o
-0.25 -0.5
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
例10
解
求极限
2x 3 x lim( ) . x 2 x 1
2x 3 x 2 l i m( ) l i m(1 )x x 2 x 1 x 2x 1
2 x 1 2 x 2 2 x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 x 1 1 2 2
e
2x x 2 x 1 lim
e.
2 (1 ) 2x 1 lim 1 x 2 2 (1 ) 2x 1
2 x 1 2
e.
高等数学
advanced mathematics
3 1 另解: 2x 3 x 2x )x l i m( ) l i m( x 2 x 1 x 1 1 2x 3 x 3 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2 x lim x 1 x 1 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2x
4x 1 5 x
解
4 2 (2)求 lim(1 ) x 3x 3x 3x 4 2 4 4 2 e2 lim(1 ) lim(1 ) x x 3x 3x
e .3 x
高等数学中两个重要极限的一些认识
莩
《一
：
比较第二种极限 ， ， （ ） ＝ ２ ｓ ｉ ｎ ２ ，可以验证 厂 （ ｒ ） ＝ ｏ，因此
在指数部分要构造出 ， （ ｆ ） 的倒数 ，再利用前面引理 ，则有
ｒ １ ］ “ 。 ｉ ｔ
１
义 。令 Ｙ ｘ ， ＿ ÷ 一 时， Ｙ ０， 那么 ｌ ～ ｉ ａ ｒ （ １ ＋ ） ～ 。故可以将 原极限变形为 ｌ ｉ ｍ ［ １ ＋ ｇ （ ） ， － ｅ ，该式成立的条件是 ： 在 自变量
重 要 。鉴 于 此 ，本 文讨 论 了这 两 个极 限 ，并 给 出 了它们 更 广泛 的 形式 。
关 键词 重要 极 限 函数 极 限 未定 式
在微积分的众 多常用极限中之所以要把 ｌ ｉ ｍ ！ 坚： １ ， ｌ ｉ ｍ （ １ ＋ ）
… …
＝ ｅ 这两个极限称为重要极限是因为在由导数概念到建立初等函
在下面的讨论中 ，记号 “ ｌ ｉ ｍ”下面没有标明 自变量的变化
过 程 ，实际 上 ，下 面 的结 果对
１ ． １ 关 于极 限 ：ｌ
此在指数部分要构造出厂 （ ） 的倒数 ，再利用前面引理 ，则有
‰ 及
ｏ ｏ 都 是 成立 的 。
（ １ ＋ ２ ） ＝ 『 （ １ ＋ ２ ） ］ 了＝ ２ 。
教 Ｎ－ 园 地
肉肛科 技 ２ ０ １ ３ 年第４ 期
高等 数学 中两 个重要 极 限的一些认识
马 红 霞
开 封 市 金 明 中学 ４ ７ ５ ０ ０ ｌ 河 南开 封
摘 要 在 高 等数 学 中， 两个 重要 极 限在 求 函数 极 限 时扮 演 着 重要 角色 ，因 此对 它 们 的理 解和 掌握 对 于本科 生 来说 至 关
高等数学中两个重要极限
X -10 -100
(1 1 ) x 2.868 2.732 x
-1000 -10000
2.720 2.7183
-100000 …
2.71828
li( m 11)xe x x
li(m 11)xe (1 )
x x
令t 1,
lim (1
1
)
x
lim(1
1
t)t
e
x x
x
t 0
1
lim(1 t)t e (1 )
1 x 1 ,
sinx coxs
CD
即coxs sinx1. x
sin x lim 1.
x x0＋
Ox BA
例 1 求 lim tan x x 0 x
解
limtanxlim (sinx1)
x 0 x x 0 cosx x
sinx 1 lim( )
x0 x cosx
limsinxlim 1 x0 x x0 cosx
0.001 …. 0.9999998
X －1 －0.5
sin x
0.84147 0.95885
x
－0.1 0.99833
－0.01 0.99998
－0.001 …. 0.9999998
lim six n1 x 0 x
证明 limsinx1. x x0＋
证
即sinxxtanx
各 式 同 除 以 s i n x ( 因 为 s i n x 0 ) ,得
t0
1
推 广 为 某 过 程 中 的 无 穷 小 量 ,lim (1) e 某过程
使 用lim (11)xe 须 注 意 : x x
(1)类 型 :
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
高等数学1.6极限存在准则、两个重要极限
二、两个重要极限
例4
1 cos x 求 lim . 2 x0 x
2 x x 2 sin 2sin 2 1 lim 2 解 原式 lim 2 x 0 2 x x 0 x 2 2 2
0 0
sin x lim 1 x 0 x
lim cos x 1,
x 0
x x0 x x0
lim f ( u ) A， 则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u )
u a
证明
lim(1 x ) e
x 0
1 x
x x0 1 x
u a
1 1 令 x , lim(1 )t ＝ lim(1 x ) t t t x0
x x0 ( x ) x x0 ( x )
f ( x) lim h( x ) A, 那末 xlim x
( x)
0
存在, 且等于 A 上述两准则称为两边夹准则.
例1 求 lim( n 解：
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n n n
2
n
x 1 sin x 1, cos x 1 sin x cos x x
A
下面证 lim cos x 1,
x0
2 x x x 2 2 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2
0 cos x 1 x2 lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 x0 2 sin x lim cos x 1, lim1 1, lim x 0 x0 x0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.3 两个重要极限
() ≤ () ≤ ()，
那么当 → 0 时，有 ≤ () ≤ ()，
即
故
≤ () ≤ ，
() = .
→0
= 1.
(−)
证：因为
−
−
−
=
=
，
所以我们只需讨论 → 0+ 的情形，
→∞
→∞ 2 + 1
1+
= 1 +
→∞
方法二
2 + 3
→∞ 2 + 1
=
2
2+1
2
2+1
3
1+
2
=
1
→∞
1+
2
+1
→∞
→∞
1+
1+
3
2
1
2
2 3
3 ×2
1
2×2
2+1
2
2+1
2
⋅ 1+
2
2+1
∙ 1 +
→∞
1
2
2
2+1
1
2
= ⋅ 1 = .
+1
∙ 1+
∙ 1+
3
2
1
2
=
3
2
×1
1
2
×1
=
→0
例3 计算
解
≠ 0， ≠ 0）
→0
=
两个重要极限及其应用
两个重要极限及其应用作者：刘凤艳来源：《科技资讯》2011年第31期摘要：本文讨论两个重要极限及它们的应用，使学生快速找到解决此类求极限问题的方法。
关键词：重要极限应用方法中图分类号:G4 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2011)11(a)-0189-01《高等数学》微积分学中有两个重要极限公式，这两个重要极限的变形，在求解极限问题时也有一些重要应用。
1 第一个重要极限的推广式其中是连续的函数。
也就是说首先分子分母的比值是型，其次正弦后面的表达式和分母的表达式是相同的，这时就可以应用重要极限的推广式。
例1:求。
解：例2:求。
解：例3:求。
解：从以上三例题可以看出，只要是，都有，而又分为这三种情况。
2 第二个重要极限的两种推广形式(1)例4:求。
解：例5:求。
解：例6:解：从这几道例题可以看出，只要满足推广形式1即可应用第二个重要极限。
而又有三种情况：(2)例7:求解：故也可利用以下结论：，，则只要满足推广形式2即可应用第二个重要极限。
而又有三种情况：。
无论是哪个重要极限，无论是或者是，都不是单指一个数的变化趋势，而是一个式子或者是一个函数的变化趋势。
参考文献[1] 同济大学数学系.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,2007:50.[2] 张喜堂.两个重要极限,函数的连续性[J].数学通讯，2001:38～39.[3] 郭爱主.谈两个重要极限的应用[J].湖南民族职业学院学报.2010:82～84.。
高等数学 第六节 极限存在准则 两个重要极限
1 + 2 +⋯+ n < I n 2 2 2 n +n n +n n +n < 1 + 2 +⋯+ n , n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1
+ 即 1 + 22 ⋯ + n < In < 1 + 2 + ⋯ + n , n +n n2 + 1
n(n + 1) n(n + 1) < In < , 2 2 2(n + 1) 2(n + n)
n
或 lim(1+ x)
x→0
1 x
=e .
e = 2.7182818284 59045⋯ (无理数 ⋯ )
sin x =1 . 2) . lim x→0 x
弦长 AB = 2 sin x , 弧长 AB = 2 x , 切线长 CD = 2 tan x .
F
A C
x
B
E
D
7
sin x < x < tan x . ( x > 0)
∀ε > 0 , ∃ N1 , 当 n > N1 时, A − ε < yn < A + ε ;
∃ N 2 , 当 n > N 2 时, A − ε < zn < A + ε , 从而 , 当 n > max{ N1 , N 2 } 时 ,
A − ε < yn ≤ xn ≤ z n < A + ε
n→∞
13
uk + uk uk −1 − uk −1 − uk −1uk uk uk−1 = − (1 + uk ) (1 + uk −1 ) 1+ uk 1+ uk−1 uk − uk −1 = > 0 ⇒ uk +1 > uk , { un } 单调增加 . (1 + uk ) (1 + uk −1 )
同济大学高等数学§1.3.2 两个重要极限
n n
n n n n
lim (1 1 )n n n 1
由夹逼准则
lim (1
n
1 )n1 lim (1
n1
n
n
1
)1 1
e,
lim (1 x
im (1 1 )x e 令 t x, x x
lim (1
x
1 )x x
lim (1 1)t t t
x
x2
x2
1
又 lim (1 xe x ) x , lim (1 1 )5n .
x0
n 2n
3
例5 求 lim(3 2x)x1
x1
3
1
解：原式 lim[1 2(1 x)]x1 lim[(1 2) 2 ]6 e 6
x1
0
sin 1
例6
求lim
x
x ln(1 x) ln x
sin 1
x
2n
故 lim y lim 2n
lim ( 2n sin x ) sin x 。
n
n
x sin 2n
n
x sin 2n
x
x
②当 x 0 时， y 1 ， lim y lim 11 。
n n
∴ lim cos x cos x n 2 22
cos x 2n
sin x
x
,
x0
1, x 0
。
4）
lim (1
t
1 )t t 1
lim (1
t
1 )t 1(1 1 )
t 1
t 1
e.
lim (1 1 )x e x x
令t 1, x
lim(1
1
高等数学教案 1.4 两个重要极限
§1.4 两条极限存在准则 两个重要极限【教学内容】：1、夹逼准则2、单调有界准则3、两个重要极限【教学目的】：1、了解函数和数列的极限存在准则2、会用两个重要极限求极限【教学重点】：应用两个重要极限求极限【教学难点】：应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】：首先通过几个具体的数列的求极限例子：从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识。
介绍两条极限存在准则（夹逼准则，单调有界准则）及其利用他们求数列函数的极限（50分钟）。
再介绍两个重要极限及x xxx (1sin lim 0=→为弧度）的证明（20分钟），讲解例题（20分钟），课堂练习（10分钟）。
【教学内容】：引入：考虑下面几个数列的极限1、∑=∞→+1000121limi n i n 1000个0相加，极限等于0。
2、∑=∞→+ni n in 121lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、n n x ∞→lim ，其中12-+=n n x x ，21=x ，极限不能确定。
对于2、3就需要用新知识来解决 一、夹逼准则夹逼准则：当),(0δx U x o∈时，有)()()(x h x g x f ≤≤，且A x f x x =→)(lim 0=)(lim 0x h x x →，则A x g x x =→)(lim 0。
推论：设}{n x 、}{n y 、}{n z 都是数列，且满足n n n z y x ≤≤，又=∞→n n x lim A z n n =∞→lim ，则有A y n n =∞→lim 。
例1、 求∑=∞→+ni n in 121lim 。
解：因为=+12n n 111111222++++++n n n ≤++++++≤n n n n 22212111nn nn nn ++++++222111 nn n +=2而=++∞→1lim2n nn 1lim 2=++∞→nn nn所以∑=∞→+ni n in 121lim =1注意：夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 二、单调有界准则单调有界数列必有极限（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在； （2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。
高等数学常见的极限
高等数学常见的极限高等数学常见的极限：最重要的是无穷小量，可以理解为等于0的极限。
当两个无穷小量的比等于1时，我们就称它们为等阶无穷小量，可以在求极限时，进行等价替换。
比如x和sinx是等阶无穷小量，记做x~sinx，或sinx~x.有一些常用的等阶无穷小量必须牢记，其中最常用的有：x~sinx~tanx和x^2~(cosx)^2/2. 而x~sinx更是构成了第一个重要极限lim(x->0)sinx/x=1. 要注意它与lim(x->∞)sinx/x的区别，后者是无穷小量与有界量的积，结果等于0.第二个重要极限是：lim(x->∞)(1+1/x)^x=e，它还有数列极限的形式：lim(n->∞)(1+1/n)^n=e. 它涉及到一类未定式极限1^∞，只要是这种类型的极限，都与e有关。
与无穷小对应的是无穷大量，不过无穷大量的倒数就是无穷小量，所以我们可以把它们统一起来，求无穷大量有关的极限时，都可以先把无穷大量化为无穷小量来解。
函数极限又包括两个方面，一是当函数自变量趋于无穷大时的函数极限；二是当函数自变量趋于某一个点时的函数极限。
而其中第一方面又分成三种情况，一是自变量越于正无穷大时，二是自变量趋于负无穷大时，三是自变量同时趋于正无穷大和负无穷大，即越于无穷大时。
数列极限可以近似看作是函数极限在自变量趋于正无穷大时的特例。
1、关于极限的知识点，首先当然是极限的定义了。
数列的极限有ε-N定义：设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，记作：lim(n->∞)an=a. 对应的还有数列发散的定义。
函数极限则有趋于无穷的定义：设f为定义在[a,+∞)上的函数，A为定数.若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作：lim(x->+∞)f(x)=A. 对应的有趋于负无穷和趋于无穷的定义。
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
准则的适用范围与注意事项
适用范围
夹逼准则适用于被夹逼的数列或函数在某点的极限求解；单调有界准则适用于单调且有界的数列极限求解。
注意事项
在使用夹逼准则时，需要找到合适的夹逼数列，并确保它们的极限相等；在使用单调有界准则时，需要证明数列 的单调性和有界性。同时，两个准则都只能用于求解数列或函数的极限值，不能用于求解其他数学问题。
数列极限存在的条件可以归结为数列 的单调性和有界性。如果数列单调增 加（或减少）且有上界（或有下界） ，则数列收敛，即存在极限。
03
序列极限的求法
可以通过对数列进行变形、放缩、裂 项、分组等方法来求解数列的极限。
其他相关的重要极限
第一个重要极限
lim(x→0)sinx/x=1，这个极限在三角 函数的求导以及某些复杂极限的求解 过程中有重要作用。
第一个重要极限可以用于求解三角函数的极限问题，也可以用于证明一 些三角恒等式和不等式。
第二个重要极限是自然对数的底数e的定义基础，也是求解一些复杂极限 问题的重要工具。同时，它也与指数函数、对数函数等有着密切的联系。
准则一：夹逼准则
01 02
定义
如果数列${x_n}$、${y_n}$和${z_n}$满足条件$y_n leq x_n leq z_n$， 且$lim_{n to infty} y_n = lim_{n to infty} z_n = a$，则数列${x_n}$ 的极限存在且等于$a$。
02 两个重要极限的详解
第一个重要极限：sinx/x的极限
01
02
03
定义与表达式
当x趋近于0时，sinx/x的 极限值为1，即lim(x->0) sinx/x = 1。
几何意义
1-6高等数学—极限存在准则(两个重要极限)
• 一、极限存在准则 • 二、两个重要极限 • 三、小结 思考题
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列xn , yn 及zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
x
[ lim (1
2x )2
]4
e6 e4
x
x
e2
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小 ,
10 lim sin 1; 某过程
1
20 lim (1 ) e. 某过程
思考题
1
求极限 lim 3x 9x x x
且lim n
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n
N
时恒有
2
zn
a
,
取 N max{N1 , N 2 }, 上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
x 是有界的; n
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x2 n1
lim(3
n
高等数学 第二章 极限和导数2-6极限存在准则 两个重要极限
所以 lim ( 3 n +
n→ ∞
1 9n )n
= 9.
2 例2 求 lim x x ， 其 中 [ x ]是 不 超 过 x 的 x→ 0 最 大 整 数. 2 2 2 解Q ( x ≠ 0) −1< ≤ x x x 2 o 1 当x > 0时， 2 − x < x x ≤ 2 ( x > 0)
x2 )2 = → 0, ( x → 0) 2
∴
x→ 0+
lim ( 1 − cos x ) = 0
即
x→ 0
lim cos x = 1
sin x lim =1 x→ 0 x
例5 解
1 − cos 2 x . 求 lim x → 0 x sin x
0 型 0
2 1 − cos 2 x 2 sin x lim = lim x → 0 x sin x x → 0 x sin x
n→ ∞
lim x n = a ( ≤ M )
a
(单调减少有下界 单调减少有下界) 单调减少有下界
n→ ∞
lim x n = b ( ≥ m )
( 证明略 )
b
准 则 I I ′ ( 单 调 有 界 准 则) 若 f ( x ) 是 ( a , b )内 的 单调有界函数，
则 lim f ( x )与 lim f ( x ) 都 存 在 。
2 lim x = 2 x→ 0− x
故 2 lim x = 2 . x→ 0 x
x → x0 − f ( x0 )
lim f ( x ) = A ⇔ = f
+ ( x0 )
2 −1< x
2 2 ≤ x x
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n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
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准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x0 , ) (或 | x | X )时,有
o
(1) g ( x ) f ( x ) h( x ), ( 2) x lim g ( x ) A , lim h ( x ) A , x x x
x
2 x 2 x 1 2 解一 原式 lim(1 ) (1 ) ) lim(1 x x x 1 x 1 x 1
2 lim (1 ) x x 1
x 1 2
2 ) (1 x 1
2
e
2
解二
1 x (1 ) x 原式 lim x 1 x (1 ) x
第一章
第七节
两个重要极限
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一、
sin x lim 1 x 0 x
如果数列{ xn },{ yn } 及 { zn } 满足下列条件:
1.夹逼准则
准则Ⅰ
(1) yn xn zn
n
( n 1,2,3)
n
( 2) lim yn a , lim zn a ,
x 2 sin 2 2 lim 2 x 0
xLeabharlann 1 sin 1 2 lim x 1 2 2 x0 2
x 2
2
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tan x sin x 例6 求 lim x 0 x3 sin x(1 cos x) 原式 lim 3 x 0 x cos x 1 1 sin x 1 cos x 1 lim( ) 1 1 2 x 0 2 2 x x cos x
0
1 x
9 e 9
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( x )
0
( x )
0
那么 lim f ( x )存在, 且等于
x x0 ( x )
A.
y h( x ) y f ( x) y g( x )
A
A
A
（ （ x0
1
） ） x0 x0
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2
sin x 首先注意到 函数 对一切x 0都有定义 x sin x 设法构造一个“夹逼不等式”，使函数 x
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例1. 求
解: 令 t x ,
t 则 x 时， 1 t lim (1 1) lim
t
t
t
说明
( x) 1 ：若利用 lim (1 ( x ) ) ( x )
1 ) x lim ( 1 原式 x x
练习.
tan ( x ) lim 1 ( x ) 0 ( x)
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例3. 求 解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim t 0 sin t
练习.
sin t t
1
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例4. 求
解: 原式 = 例5. 解:
sin x cos x 1 x
注
注
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例1
注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：
sin ( x) 1 说明: 计算中注意利用 (lim x ) 0 ( x )
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练习. 求下列极限:
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例2. 求
sin x 1 sin x 1 tan x lim lim 解: lim 1 lim x 0 cos x x 0 x cos x x 0 x x 0 x
e 2 1 e e
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练习1.
解
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练习2. 解 或
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内容小结
两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 )
sin x 0 ; 1. lim _____ x x 1 1 ; 2. lim x sin ____ x x
在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个 函数 g(x), h(x) 之间，以便应用准则Ⅰ‘.
设单位圆 O , 圆心角AOB x , (0 x
2
)
O C A
1 x
扇形 OAB 的圆心角为 x ,
B D
OAB的高为BC , 作单位圆的切线，得ADO.
sin x BC ,
x 弧AB,
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1 z
利用变量代换可导出上述极限的一般形式：
（x ) 0
lim（ 1 ( x))
1 ( x)
e
( x )
lim (1
1 ( x) ( x)
)
e ,
1
型
注意这个极限的特征： 底为两项之和，第一项为1，第二项 是 无穷小量，指数与第二项互为倒数 。
结束
思考题
求极限
x
lim 3 9
x
1 x x
思考题解答
x
lim 3 9
x
1 x x
lim 9
x
3x
1 x x
1 9 lim 1 x x 3
1 3x x
1 x 1 3
x
e, 则
1 e 1
k k lim 1 e 一般地 x x
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例2 解
k 结论： lim 1 x x
ax b
e
ka
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例3 求
x 1 lim x x 1
1 0 ; 3. lim x sin ____ x 0 x 1 n e 1 4. lim (1 ) ____ ; n n
作业
P34 1 (1) (3) (5) (8) (9) (12) ; 2
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
练 习 题
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tan x AD,
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当 x ( 0 , π ) 时，
2
O C A
1 x
B D
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积 即 故有 亦即 显然有
1 sin x 2
1 tan x 2
(0 x π ) 2 (0 x π ) 2
sin x x tan x
例7 求 解 于是
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演示文稿
后 等
卷板机 卷板机 岶奣尛 目录 上页 下页 返回 结束
二、
lim(1 ) e
x 1 x x
1 n n
lim(1 ) e
n
lim(1
n
1 n 1 n 1
)
?e
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用x代替n,可得 (1) 当x 取实数
对任意正数 x，总有
时情形
n为非负整数，则有
1 x lim (1 ) e . x x
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(2) 当x 取实数
时情形
1 x lim (1 ) e x x
令 则
z 0
此极限也可写为
lim (1 z ) e