16.1坐标轴平移一
坐标平移与旋转
坐标平移与旋转坐标平移和旋转是二维坐标系统中常用的操作，无论是在数学、几何还是计算机图形学领域，它们都占据着重要地位。
本文将详细介绍坐标平移和旋转的概念、原理以及实际应用。
一、坐标平移坐标平移是指在二维坐标系中将所有点的坐标向某个方向移动固定的距离，以达到整体平移的效果。
这个过程可以简单地理解为，将整个坐标系沿着某个方向平行移动。
1.1 平移的概念平移可以用向量表示。
设有平面上一点P(x,y)，平移向量为V(a,b)，则平移后的点P'的坐标为P'(x', y')。
平移操作的计算公式如下：x' = x + ay' = y + b其中，x和y是原来点P的坐标，a和b是平移向量的分量。
1.2 平移的原理平移的原理很简单，即将每个点的坐标分别加上平移向量的分量，即可得到平移后的坐标。
通过改变平移向量的数值，可以实现不同方向和距离的平移效果。
1.3 平移的应用平移在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在计算机图形学中，平移可以用于实现对象的移动效果，比如将一个图形从一个位置平移到另一个位置；在地图导航系统中，平移可以用于地图的拖动功能，使得用户可以自由地浏览地图。
二、坐标旋转坐标旋转是指围绕某个固定点将二维坐标系中的点按照一定角度进行旋转，以改变它们的位置和方向。
旋转是一种常见的几何变换，有着重要的理论和实际应用。
2.1 旋转的概念旋转可以用矩阵运算来表示。
设有平面上一点P(x,y)，以原点为中心进行旋转，旋转角度为θ，则旋转后的点P'的坐标为P'(x', y')。
旋转操作的计算公式如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，x和y是原来点P的坐标，θ是旋转的角度。
2.2 旋转的原理旋转的原理是利用三角函数的性质，通过改变旋转角度θ的数值，可以实现不同角度和方向的旋转效果。
高中数学学习中的坐标系的平移与旋转技巧
高中数学学习中的坐标系的平移与旋转技巧高中数学学习过程中，我们经常会遇到坐标系的平移与旋转问题。
坐标系的平移和旋转是几何变换中的重要内容，掌握了平移和旋转的技巧，可以帮助我们更好地理解和解决与坐标系相关的数学问题。
下面，我将从平移和旋转的基本概念开始，介绍高中数学学习中的坐标系平移与旋转技巧。
首先，我们来了解一下坐标系的平移。
平移是指将坐标系内所有的点按照某个规律进行移动，使得原来的点到达新的位置，而形状保持不变。
平移的基本思想是通过向量的加法来表示移动的规律，其中向量的大小和方向表示了点的移动距离和方向。
在高中数学学习中，我们一般使用平移向量来描述平移的规律。
在解决平移问题时，我们可以利用以下几个技巧：1. 利用平移向量确定新的坐标点位置：对于给定的平移向量，我们可以通过计算原坐标点与平移向量的加法来确定新的坐标点位置。
例如，若平移向量为(a, b)，原坐标点为(x, y)，则新的坐标点位置为(x+a, y+b)。
2. 利用平移不变形质：平移后的图形与原图形之间具有一种特殊的关系，即形状保持不变。
这意味着平移后的图形与原图形拥有相等的边长、角度和面积。
我们可以利用这一性质来解决与图形的对称性、相似性等相关的问题。
3. 应用平移解决方程组问题：对于包含两个变量的方程组，我们可以利用平移将方程组进行转化，从而更容易求解。
例如，若方程组为{x+y=3, x-y=1}，我们可以通过平移操作将第二个方程转化为{x=-2}，然后代入第一个方程求解。
另外一个重要的技巧是旋转。
旋转是指将坐标系内的所有点按照某个规律进行转动，使得原来的点到达新的位置，同时保持形状不变。
旋转的基本思想是通过角度和旋转中心来确定旋转的规律。
在解决旋转问题时，我们可以利用以下几个技巧：1. 利用旋转角度确定新的坐标点位置：对于给定的旋转角度和旋转中心，我们可以通过计算原坐标点相对于旋转中心的位置以及旋转角度来确定新的坐标点位置。
例如，若旋转角度为θ，原坐标点为(x, y)，旋转中心为(a, b)，则新的坐标点位置为((x-a)*cosθ-(y-b)*sinθ+(x-a), (x-a)*sinθ+(y-b)*cosθ+(y-b))。
坐标轴平移公式口诀讲解
坐标轴平移公式口诀讲解在数学中，坐标轴平移是一种常见的操作。
通过平移，我们可以将一个点或者一组点沿着坐标轴的方向进行移动，从而改变它们的位置。
为了方便计算和描述，数学家们总结出了一套简洁的坐标轴平移公式口诀，下面我们就来详细讲解一下。
我们需要了解一些基本概念。
在二维坐标系中，我们用x轴和y轴来表示平面上的点。
每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
而坐标轴平移就是将点沿着x轴或y轴的方向进行移动，改变它们的位置。
接下来，让我们来介绍一下坐标轴平移的具体公式口诀。
1. 沿x轴正方向平移a个单位：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x+a, y)。
2. 沿x轴负方向平移a个单位：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x-a, y)。
3. 沿y轴正方向平移b个单位：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x, y+b)。
4. 沿y轴负方向平移b个单位：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x, y-b)。
通过上面的四条公式，我们可以实现在二维坐标系中沿着x轴和y 轴进行平移。
这些公式口诀非常简洁明了，方便我们进行计算和描述。
除了以上的基本平移方式，我们还可以进行组合和连续的平移操作。
下面我们分别来介绍一下。
1. 组合平移：如果我们需要先沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移b个单位，可以使用以下公式口诀：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x+a, y+b)。
这样就实现了在二维平面上的组合平移。
2. 连续平移：如果我们需要对同一个点进行多次平移操作，可以使用以下公式口诀：对于点(x, y)，先沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移b个单位，平移后的点坐标为(x+a, y+b)。
这样就实现了在二维平面上的连续平移。
通过上面的介绍，我们可以看到坐标轴平移公式口诀非常简单易懂，方便我们进行计算和描述。
在实际应用中，我们可以通过这些公式来解决一些平移相关的问题，比如求解平面上两点之间的距离、求解平面上某点的对称点等等。
坐标轴的平移说课ppt
练 习
作 业
复 习
2分钟
新 课
30分钟
总 结
3分钟
1.坐标轴的平移定义
引入新知
2.坐标轴的平移推导公式（重点）
3.平移公式的运用（难点）
如图
（x-3)2+(y-4)2=25
y'
y
O
'
(3,4)
x'
x
10
如图
（x-3)2+(y-4)2=25
y'
(3,4)
圆心坐标（0,0） x ' 2+y ' 2=25
作业
(1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题2．1（必做）；学习与训练检测题 2．1（选做）
反思
成功之处
不足之处
运用多种教学方法，讲练结合， 并通过从一般到特殊，从易到 难，增强了学生的学习兴趣， 提高课堂的教学效果。
1、 学生课堂练习时间较短。 2、缺少个别学生的指导环节
整改
1.适当增加课堂练习时间。
2.教师走入学生进行个别指导。
通过坐标平移的学习 使学生计算技能和计算 工具使用技能得到锻炼 和提高
通过事物变化过程的内在 联系，认识变与不变的矛 盾对立统一规律
重 点
点的新坐标系坐标和 原坐标系坐标的计算
难 点
坐标轴平移的坐标 变换公式的运用
讲授法
二、教学策略
观察教学过程
4分钟
5分钟 1分钟
导 入
中等职业学校 拓展模块
2.1坐标轴的平移
1
2
教学内容
教学策略
教学过程
3
4
教学反思
坐标变换与参数方程教案全
§16.1坐标轴的平移（一）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算；能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题2.1坐标轴的平移与旋转创设情境兴趣导入在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发生与工件相对的进给运动．为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系．例如，圆心在O1(2,1),半径为1的圆的方程为．对应图形如图2-1所示．如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点处，那么，对于新坐标系，该圆的方程就是．图2-1动脑思考探索新知只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．图2-2如图2-2所示，把原坐标系平移至新坐标系，在原坐标系中的坐标为．设原坐标系两个坐标轴的单位向量分别为i和j，则新坐标系的单位向量也分别为i和j，设点P在原坐标系中的坐标为，在新坐标系中的坐标为，于是有xi+y j，x1i+y1 j，x0i+yo j，因为，所以，即．（转下节）§16.1坐标轴的平移（二）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；（2会利用坐标轴平移化简曲线方程．（3）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算；能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】（接上节）于是得到坐标轴平移的坐标变换公式（2.1）或（2.2）【想一想】公式(2.1)和公式(2.2)的区别在哪里？使用公式要注意些什么问题？巩固知识典型例题例1 平移坐标轴，将坐标原点移至（2，－1），求下列各点的新坐标：O(0,0)，A(2,1)，B(－1,2)，C(2,－4)，D(－3,－1)，E(0,5)．解由公式(2.2)，得将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为O（－2，1），A（0，2），B（－3，3），C（0，－3），D（－5，0），E（－2，6）．例2 利用坐标轴的平移化简圆的方程，并画出新坐标系和圆.解将方程的左边配方，得．这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，使得新坐标原点在点（－2，1），由公式（2.1）得将上式代入圆的方程，得．这就是新坐标系中，圆的方程．新坐标系和圆的图形如图2-3所示．运用知识强化练习1．平移坐标轴，把坐标原点移至（－1，－3），求下列各点的新坐标：A（3，2），B（－5，4），C（6，－2），D（1，－3），E（－5，－1）．2．利用平移坐标轴，化简方程，并指出新坐标系原点的坐标．继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材P40/练习1-2、P41/练习；教材P42/习题1-4§16.3参数方程（一）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】创设情境兴趣导入如图2-6所示，质点M从点（1，0）出发，沿着与x轴成60o角的方向，以10 m/s的速度运动．质点所做的运动是匀速直线运动，其运动轨迹是经过点（1，0），倾斜角为60o的直线（x轴上方的部分）．容易求得其方程为【想一想】为什么要附加条件？动脑思考探索新知但是，这个方程不能直接反映出运动轨迹与时间t的关系．为此，我们分别研究运动轨迹上的点M的坐标与时间t的关系，得即时间t确定后，点M的位置也就随之确定.【想一想】为什么要附加条件？由此看到，曲线上动点M(x，y)的坐标 x和y，可以分别表示为一个新变量t 的函数．即可以用方程组（2.5）来表示质点的运动轨迹．我们把方程（2.5）叫做曲线的参数方程，变量t叫做参变量．相应地把以前所学过的曲线方程f(x，y)＝0叫做普通方程．（转下节）§16.3参数方程（二）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】巩固知识典型例题例1 写出圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程．解如图2-7所示，设圆上任意点P（x，y）联结OP，设角为参变量，则为所求的圆的参数方程．与普通方程相类似，作参数方程所表示的曲线的图形时依然采用“描点法”．首先选取参变量的取值范围内的一些值，求出相应的x与y的对应值，以每一数对（x，y）作为点的坐标描出相应的点，最后将这些点连成光滑的曲线就是所求的图形．例2 作出参数方程的图形．解由于所以．选取参变量的取值范围内的一些值，列表：t …－2.5 －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 2.5 …x …－15.63 －8 －3.38 －1 0 1 3.38 8 15.63 …y … 6.25 4 2.25 1 0 1 2.25 4 6.25 …以表中的每对（x，y）的值作为点的坐标，描出各点，用光滑的曲线联结各点得到图形，如图2-8所示．【想一想】如果例2中的参变量t换为，那么，曲线的范围会不会发生变化？继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材P48练习/1-3；教材P49练习/1-3；教材P52/习题1-4(3)实践调查：辨识专业课本上的参数方程并指出参数方程中的参数．§16.3参数方程与普通方程互化（一）【教学目标】知识目标：（1）掌握由曲线参数方程求曲线普通方程的基本方法，会将简单的参数方程化为普通方程．（2）掌握圆心为坐标原点半径为R的圆的参数方程．了解椭圆及其的参数方程，了解圆的渐开线、摆线的参数方程．能力目标：通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法，提高分析和解决问题的能力．【教学重点】把曲线的参数方程化为普通方程．【教学难点】难点是曲线的参数方程化为普通方程．【教学设计】参数方程与普通方程的互化的重点是将参数方程化为普通方程．这是本章的教学重点和难点．有些参数方程是无法化为普通方程的．我们只能将一些简单的参数方程化为普通方程．常用的方法是代入消元法和加减消元法，加减消元法中经常使用一些三角恒等式．例题3的（1）和（2），在消去参数化为普通方程后，取值范围并没有改变．（3）中给出了参变量的取值范围，化为普通方程后，必须对变量或的取值进行限制，以保证方程是等价变换，不改变方程所表示图形的范围．生产实际中，会遇到用参数方程表示的曲线和用普通方程表示的曲线的交点的问题．解决这类问题的一般的方法是将参数方程代入普通方程，求出对应参变量的值．然后，再将参变量的取值代入参数方程，从而求出交点的坐标．需要注意的是，将参数方程代入普通方程求参变量的值时，必须考虑到各种情况，不要丢解．另一种方法是将参数方程化为普通方程，再联立两个普通方程为方程组，求方程组的解．椭圆、渐开线、摆线是与生产实际相联系的内容．在教学中，要特别注意不要加大难度和添加过多的内容，要考虑到学生的实际水平和生产的实际需要．。
坐标轴平移及参数方程知识点
坐标轴平移及参数方程知识点一、坐标轴平移的概念坐标轴平移是指将整个坐标系在平面上进行平移操作，使得所有的点都按照同样的方式移动，保持相互之间的相对位置不变。
平移可以沿着水平方向或者垂直方向进行，也可以同时进行。
平移操作可以通过向所有的点添加或者减去一个常数来实现，这个常数就是平移的大小和方向的表示。
二、坐标轴平移的方法1.水平平移：若(x,y)为原坐标系中的任意一点，(x-a,y)就是新坐标系中的对应点。
其中a为平移的水平位移量，若a>0，则为向右平移；若a<0，则为向左平移。
2.垂直平移：若(x,y)为原坐标系中的任意一点，(x,y-b)就是新坐标系中的对应点。
其中b为平移的垂直位移量，若b>0，则为向上平移；若b<0，则为向下平移。
3.综合平移：若(x,y)为原坐标系中的任意一点，(x-a,y-b)就是新坐标系中的对应点。
其中a为平移的水平位移量，b为平移的垂直位移量。
三、参数方程的概念参数方程是一种用参数来表示函数关系的方法。
通常，一个函数y=f(x)可以写成两个参数x=g(t)和y=h(t)的关系，其中t为参数。
这种关系可以用来表示一条曲线在平面上的轨迹。
四、参数方程的性质1.参数方程表示的曲线可以同时考虑x和y的变化情况，可以更全面地描述曲线的特征。
2.参数方程中的参数可以是任意的，常常根据实际需要来选择。
参数的选择不同，可能得到不同的曲线。
五、参数方程的绘制方法1.把参数t的取值范围确定下来。
2.根据参数方程，依次求出对应于不同t值的x和y的坐标。
可以用表格的方式列出，或者直接用计算器求值。
3.连接所有的点，得到曲线的大致形状。
六、常见的参数方程1.直线的参数方程：x = at + b, y = ct + d，其中a、b、c、d为常数。
2.圆的参数方程：x = rcos(t), y = rsin(t)，其中r为半径，t为参数。
七、坐标轴平移与参数方程的关系x'=x+ay'=y+b将参数方程中的x和y分别替换为x'和y'，可以得到平移后的参数方程。
坐标系的平移公式
坐标系的平移公式在我们学习数学的旅程中，坐标系可是个相当重要的“小伙伴”。
而今天咱们要聊的坐标系的平移公式，就像是给这个小伙伴穿上了一双神奇的“魔法鞋”，能让它在数学的大舞台上更加灵活地跳动。
我还记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
那是一个阳光明媚的上午，教室里的气氛却有些紧张，因为大家即将接触这个新的知识点。
我在黑板上画了一个简单的坐标系，标上了原点和坐标轴。
“同学们，咱们来想象一下，假如这个坐标系是一个大操场，原点就是操场的中心。
现在，整个操场要整体向右移动 5 个单位，向上移动 3 个单位，那原本在操场上的点的位置是不是就变啦？”我一边说，一边比划着。
同学们都瞪大了眼睛，若有所思地点点头。
这时候，有个调皮的小男生举手说：“老师，那这是不是就像我们做课间操换位置一样呀？”大家一听都笑了，课堂的气氛一下子轻松了起来。
“对呀，就是这么个道理！那咱们怎么用数学的语言来描述这个变化呢？这就引出了咱们今天要学的坐标系的平移公式。
”坐标系的平移公式，简单来说，就是如果原坐标系 \(Oxy\) 中的一点 \(P(x,y)\)，在新坐标系 \(O'x'y'\) 中平移后的坐标为 \(P'(x',y')\) ，且新坐标系 \(O'\) 相对于原坐标系 \(O\) 的平移量为 \((a,b)\) ，那么就有 \(x'= x + a\) ， \(y' = y + b\) 。
比如说，原坐标系中有个点 \(A(2, 3)\) ，现在整个坐标系向右平移4 个单位，向上平移 2 个单位，那么在新坐标系中，点 \(A\) 的坐标就变成了 \(A'(2 + 4, 3 + 2)\) ，也就是 \(A'(6, 5)\) 。
咱们再深入一点儿理解这个公式。
它其实就像是一个“位置转换器”，不管坐标系怎么移动，只要我们知道平移的量，就能准确地算出原来的点在新坐标系中的位置，或者反过来，知道新位置也能算出在原坐标系中的位置。
坐标轴平移
2、坐标轴平移的坐标变换公式：
一般地，若坐标系xoy平移至新坐标系xoy ， O 在原坐 y0），则易得坐标轴平移的 标系xoy中的坐标是（x0 ， 坐标变换公式：
x x x0 y y y0
或
x x x0 y y y0
作业：P42
三、应用新知
例1：已知坐标轴平移，原点移至 o(1,2) ，利用坐标轴平移 的坐标变换公式，求下列各点在新坐标系中的坐标： A(0,8)；
B(1,2)；
C(6,0)；
D(-1，-2)；
E(-5,7).
三、应用新知
学生练习：
课本第40页练习题
三、应用新知
例2：填写下列表格：
新原点O′的坐 P在xoy坐标系 标 中的坐标 ( 4, 5) ( -3 ,-1) ( 5, -3 ) ( x, y) ( 3, -6) ( 9, 0 ) ( 3,-2) ( 0, 0)
习题 1, 2
二、新知探究
2、坐标轴平移的坐标变换公式(移轴公式)：
一般地，若坐标系xoy平移至新坐标系xoy ， O 在原坐 y0），则可得坐标轴平移的 标系xoy中的坐标是（x0 ， 坐标变换公式：
x x x 0 y y y 0
或
x x x 0 y y y 0
欢迎各位领导和同仁莅临指导!
一、情境导入
9 6
由于两个人所处的位置不同，对同一事物的描述就不同。 在数控机床上加工工件时，我们用到了两套坐标系： “机床坐标系”和“工件(编程)坐标系” 。
16.1
坐标轴平移
y’
y
O’
3 2 1x’Biblioteka 1-3 -2 -1
[坐标轴的平移——初中数学第五册教案]坐标轴的平移规律
![[坐标轴的平移——初中数学第五册教案]坐标轴的平移规律](https://img.taocdn.com/s3/m/7cbcdddf67ec102de3bd89ce.png)
[坐标轴的平移——初中数学第五册教案]坐标轴的平移规律坐标轴的平移<o:p></o:p>一、教材分析1、坐标变换是化简曲线方程，以便于讨论曲线的性质和画出曲线的一种重要方法。
这一节教材主要讲坐标轴的平移，要求学生在正确理解新旧坐标之间的关系的基础上掌握平移公式;并能利用平移公式对新旧坐标系中点的坐标和曲线的方程进行互化。
这就是本节课的教学目的之一。
2、本教材的重点是平移公式的推导及其简单应用。
为了解决重点，教学中先以圆(x-3)²+(y-2)²=5²化为x"²+y"²=5²这个例子引入来说明，虽然点的位置没有改变曲线的位置、形状和大小没有改变，但是由于坐标系的改变，点的坐标和曲线的方程也随着改变，而且适当地变换坐标系，曲线的方程就可以化简，以此指明平移坐标轴的意义和作用，并由此引出平移的定义，导出平移公式。
在推导平移公式时，先从特殊到一般，通过观察、归纳、猜想和推导，得出平移公式，还引导学生运用代数中刚学过的复数的几何意义来证明，既开阔视野，沟通学科知识，又培养学生的思维能力，同时还可通过一组练习，让学生正用、逆用、变用平移公式，达到进一步加深理解、熟练掌握公式的目的，进而培养学生的发现、推理能力和教学思想方法。
3、本节教材的难点是平移公式两种形式何时运用，学生易产生混淆，教学中应通过实例让学生自己领会，并及时加以小结，掌握其规律，加强公式的记忆并培养灵活运用知识的能力。
4、本节寓德于教的要点，主要是通过事物变化过程的内在联系，认识变与不变的矛盾对立统一规律，对学生进行辩证唯物主义的教育。
二、教学过程(一)提出问题教师先在黑板上画出图形，让学生观察、思考并提问以下问题:1、如图，点O"和○O"关于坐标系xoy的坐标和方程各是什么?点O"和○O"关于坐标系x"o"y"的坐标和方程各是什么?两个方程，那一个较为简单?(学生回答，教师在黑板上板书:)直角坐标系点O"的坐标○O"的方程在xoy中(3，2); (x-3)²+(y-2)²=5²在x"o"y"中(0，0) x"²+y"²=5²两个方程，显然后一个方程简单。
解析几何中的坐标轴旋转与平移操作
解析几何中的坐标轴旋转与平移操作在解析几何中，坐标轴旋转与平移操作是非常常见且重要的操作。
通过对坐标轴进行旋转和平移，我们可以方便地研究图形的性质和变化，从而解决许多几何问题。
本文将对坐标轴的旋转和平移进行详细解析，帮助读者更好地理解和应用这些操作。
一、坐标轴的旋转操作坐标轴的旋转操作是指将坐标轴按照一定的角度旋转，从而改变坐标系的方向和位置。
通过旋转操作，我们可以将几何问题转化为更简单的形式，使得计算和分析更加方便。
1. 二维平面坐标轴的旋转在二维平面中，我们通常使用x轴和y轴构成的直角坐标系来描述点的位置。
当我们需要对坐标轴进行旋转时，可以按照以下步骤进行操作：（1）确定旋转中心：旋转中心是指坐标轴旋转的中心点，可以是原点或者其他点。
（2）确定旋转角度：旋转角度决定了坐标轴旋转的程度，可以是正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。
（3）应用旋转矩阵：根据旋转中心和旋转角度，应用旋转矩阵对坐标轴进行旋转。
旋转矩阵的具体形式如下：| cosθ -sinθ || sinθ cosθ |其中，θ表示旋转角度。
2. 三维空间坐标轴的旋转在三维空间中，我们通常使用x轴、y轴和z轴构成的直角坐标系来描述点的位置。
当我们需要对坐标轴进行旋转时，可以按照以下步骤进行操作：（1）确定旋转中心：旋转中心是指坐标轴旋转的中心点，可以是原点或者其他点。
（2）确定旋转轴：旋转轴是指坐标轴旋转的轴线，可以是x轴、y轴、z轴或者其他直线。
（3）确定旋转角度：旋转角度决定了坐标轴旋转的程度，可以是正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。
（4）应用旋转矩阵：根据旋转中心、旋转轴和旋转角度，应用旋转矩阵对坐标轴进行旋转。
旋转矩阵的具体形式与二维平面类似，根据旋转轴的不同而有所区别。
二、坐标轴的平移操作坐标轴的平移操作是指将坐标轴沿着某个方向进行平移，从而改变坐标系的位置。
通过平移操作，我们可以将几何问题转化为更方便计算和分析的形式。
坐标轴平移 教案
坐标轴平移教案教案标题：坐标轴平移教案目标：1. 理解坐标轴平移的概念和原理。
2. 掌握坐标轴平移的方法和技巧。
3. 能够应用坐标轴平移解决相关问题。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、白板、笔、教学PPT。
2. 学生准备：教材、练习册、笔。
教学过程：步骤一：导入新知1. 引导学生回顾坐标轴的概念和坐标表示方法。
2. 提问：你们知道坐标轴平移是什么意思吗？有什么作用？3. 通过示例或图片展示坐标轴平移的概念和原理，引发学生对该知识点的兴趣。
步骤二：讲解坐标轴平移的方法和技巧1. 使用教学PPT或白板，详细讲解坐标轴平移的方法和技巧。
2. 强调平移的方向和距离对坐标的影响。
3. 提供一些实例，让学生通过观察和分析来理解平移的规律。
步骤三：示范和练习1. 通过示范，展示如何进行坐标轴平移操作。
2. 让学生跟随示范，进行一些简单的练习，巩固平移的方法和技巧。
3. 提供一些练习题，让学生独立完成，检验他们对平移的理解程度。
步骤四：拓展应用1. 引导学生运用坐标轴平移的知识解决一些实际问题。
2. 提供一些复杂的应用题，让学生思考和解决，培养他们的问题解决能力。
步骤五：总结和归纳1. 回顾本节课所学内容，总结坐标轴平移的要点。
2. 强调坐标轴平移在解决问题中的重要性和应用价值。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习和探究坐标轴平移的更多应用。
2. 带领学生深入了解坐标轴平移在数学和其他学科中的应用领域。
教学评估：1. 在课堂上观察学生对坐标轴平移的理解和操作情况。
2. 布置作业，检验学生对坐标轴平移的掌握程度。
3. 针对学生的错误和困惑，进行适当的辅导和指导。
教学反思：1. 分析学生的学习情况和表现，评估教学效果。
2. 总结教学中存在的不足和改进的方向，为下一次教学做准备。
数学教案-坐标轴的平移
数学教案－坐标轴的平移一、教学目标通过本堂课的学习，学生能够：1.理解坐标轴的平移概念；2.掌握坐标轴的平移规律；3.能够用坐标轴的平移解决相关问题。
二、教学准备1.教师：准备教学课件、黑板、粉笔；2.学生：准备纸和铅笔。
三、教学过程1. 导入新知教师可以通过引入实际生活中的例子，让学生思考什么是平移。
比如，一张纸上画了一条线段，我们怎么将这条线段平行地移动到另一个位置上。
通过这样的引导，让学生了解到平移的概念。
2. 引入坐标轴的平移教师将屏幕上的坐标轴复制到黑板上，然后解释坐标轴的平移是什么意思。
平移即在平面上将一个点或一条线段按照规定的方向和距离移动到另一个位置上，移动后的点或线段与原来的位置保持平行。
在教学过程中，通过示意图和文字解释，让学生理解平移的概念。
3. 坐标轴的平移规律3.1 沿x轴平移教师在黑板上绘制一条线段AB，并给出一个平移向量(2, 0)，解释说将点A和点B按照向量的方向和距离移动即可实现坐标轴的平移。
根据这个原则，教师让学生自己尝试绘制一条线段并进行平移。
3.2 沿y轴平移与沿x轴平移类似地，教师在黑板上绘制一条线段CD，并给出一个平移向量(0, 3)，让学生自己尝试绘制一条线段并进行平移。
3.3 沿任意直线平移教师在黑板上绘制一条线段EF，并给出一个平移向量(2, 3)，解释说将点E和点F按照向量的方向和距离移动即可实现坐标轴的平移。
根据这个原则，教师让学生自己尝试绘制一条线段并进行平移。
4. 练习为了巩固学生对坐标轴的平移的理解，教师设计一些练习题，让学生在纸上完成。
例如，给出一条线段GH和一个平移向量(4, 2)，让学生计算出平移后的线段的坐标并绘制出来。
5. 拓展思考通过让学生思考和探索，教师可以引导学生思考更深层次的问题。
例如，如何通过计算得到两个点的平移向量？如何根据平移向量计算出平移后的点的坐标？四、教学总结通过本堂课的学习，学生了解到了坐标轴的平移概念和规律。
数学坐标平移知识点总结
数学坐标平移知识点总结一、基本概念1.1 坐标平移的定义在二维平面直角坐标系中，假设有一个点P(x,y)，若将点P沿着x轴方向平移a个单位，y轴方向平移b个单位，则新坐标为P'(x+a, y+b)。
这个过程就是坐标平移，其中(a, b)称为平移向量，通常记作T(a, b)。
坐标平移可以表述为：P'(x+a, y+b) = T(a, b) (x, y)1.2 坐标平移的表示坐标平移的表示方法有很多种，最常见的有向量表示和矩阵表示。
以向量表示为例，对于二维平面中的点P(x, y)，其平移向量为T(a, b)，则P' = P + T = (x+a, y+b)。
1.3 平移方向坐标平移的方向通常有水平方向和垂直方向平移两种。
水平方向平移是指点P沿着x轴平移，垂直方向平移是指点P沿着y轴平移。
1.4 平移距离坐标平移的距离由平移向量的两个分量a和b来确定，分别表示在x轴和y轴上的平移距离。
通常可以通过计算平移向量的模来确定平移的距离，即d = √(a^2 + b^2)。
1.5 坐标平移的例子下面以一个简单的例子来说明坐标平移的过程。
假设有点P(3,4)，要对其进行平移，平移向量为T(2,-1)。
那么根据坐标平移的定义，点P'的坐标为P'(3+2, 4-1) = (5, 3)。
这就是对点P进行平移后得到的新点P'的坐标。
二、性质2.1 坐标平移的性质坐标平移有一些基本的性质，其中最重要的是平移不改变图形的形状和大小。
这个性质直接来自于平移的定义，即只是将点在坐标系中的位置移动了，而没有改变其原来的位置关系。
2.2 平移向量的性质平移向量也有一些重要的性质，如平移向量的加法和数量乘法。
两个平移向量相加即是将两个平移向量的分量分别相加，数量乘法即是将平移向量的每个分量分别乘以一个常数。
这些性质使得平移向量在坐标平移中有着重要的作用。
2.3 平移和向量的关系平移向量和向量有着密切的关系。
坐标轴的平移初中数学教案
坐标轴的平移（初中数学教案）一、教学目标：1. 让学生理解坐标轴平移的概念，掌握坐标轴平移的规律。
2. 培养学生运用坐标轴平移解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作探究、归纳总结的能力。
二、教学内容：1. 坐标轴平移的定义及规律。
2. 坐标轴平移在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 坐标轴平移的规律。
2. 运用坐标轴平移解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究坐标轴平移的规律。
2. 利用实例分析，让学生了解坐标轴平移在实际问题中的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过一个简单的实例，让学生初步了解坐标轴平移的概念。
2. 自主探究：引导学生发现坐标轴平移的规律，学生可以画图、讨论，总结平移的规律。
3. 讲解与演示：讲解坐标轴平移的规律，并通过几何画板或实物演示，让学生更直观地理解平移的过程。
4. 应用拓展：给出一些实际问题，让学生运用坐标轴平移的规律解决问题。
5. 总结与反馈：让学生总结本节课所学内容，并对学生的学习情况进行反馈。
6. 布置作业：设计一些有关坐标轴平移的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课堂表现，评价学生对坐标轴平移概念和规律的理解程度。
2. 通过小组讨论和问题解答，评估学生在实际问题中应用坐标轴平移的能力。
3. 通过课后练习和拓展活动，检测学生对所学知识的掌握和运用情况。
七、教学资源：1. 教学PPT或黑板，用于展示和讲解坐标轴平移的规律。
2. 几何画板或实物模型，用于演示坐标轴平移的过程。
3. 练习题和实际问题案例，用于学生的应用和实践。
八、教学进度安排：1. 第1-2课时：介绍坐标轴平移的概念和规律。
2. 第3-4课时：讲解坐标轴平移的原理和实际应用。
3. 第5-6课时：进行小组讨论和问题解答，巩固坐标轴平移的应用。
4. 第7-8课时：通过课后练习和拓展活动，评估学生的学习成果。
坐标平移规律
坐标平移规律坐标平移规律是指在几何中，将一个图形的所有点按照一定的规律向某一方向进行位置的变换。
它利用了原来位置的坐标信息，以及新位置的坐标信息，来推导出变换规律。
一般来讲，坐标平移规律有三种形式：一、直角坐标系下的平移（以水平和竖直方向平移为例）：对于水平方向而言，新的x坐标 = 传入的x坐标 + 水平平移量；而对于竖直方向而言，新的y坐标 = 传入的y坐标 + 竖直平移量；二、极坐标系下的平移：新的极坐标半径r = 传入的极坐标半径r；新的极坐标角度α = 传入的极坐标角度α + 极坐标平移量；三、椭圆坐标系下的平移：新的椭圆坐标u = 传入的椭圆坐标u + 椭圆坐标平移量；新的椭圆坐标v = 传入的椭圆坐标v + 椭圆坐标平移量；无论是直角坐标系、极坐标系还是椭圆坐标系，坐标平移规律都是一样的，都是以原来位置的坐标信息，加上一定的平移量，来确定新位置的坐标信息。
坐标平移是几何变换的一种，也是一种常见的图形变换方法。
它可以用来将一个图形从某一位置移动到另一位置，或者将一个图形的某一部分移动到另一位置。
坐标平移的基本思想是，将一个图形的所有点按照一定的规律向某一方向进行平移，使得图形的外观不变，只是位置改变了。
坐标平移也可以用来实现多边形的旋转，其思想是，将一个多边形的各个顶点按照一定的规律进行平移，使得多边形的内角不变，只是位置改变了，因此可以实现多边形的旋转。
坐标平移还可以用来实现缩放，其思想是，将一个图形的各个点按照一定的规律进行平移，使得图形的外观不变，但是坐标之间的距离发生变化，从而实现缩放效果。
坐标平移规律可以用来实现各种形状的变换，这在计算机图形学中有重要意义，是计算机图形学中一种重要的算法。
它可以用来实现平移、旋转、缩放等几何变换，也可以用来求解各种形状的外观参数。
坐标平移规律的应用可谓无处不在，它可以作为一种简单而高效的变换方法，用于处理复杂的几何图形。
16.1坐标轴平移(第1课时)
利用坐标轴平移，化简圆的方程x2＋y2＋2x－4y＋1＝0．
平移坐标轴，使原点O移动到O′(-2，1)，求曲线 x2＋4x－y＋5＝0在新坐标系中的方程． 解：根据题意，x0=-2，y0=1
x x x0 x x 2 由公式 得 y y y0 y y 1 代入原方程，得 (x′-2)2＋4(x′-2)－(y′+1)+5＝0
进而各点坐标分别是： A'(-1，4) 、B'(-4，0) 、C'(0，5) E'(-3，6) 、D'(-8，-2)
已知点A在坐标系xOy中的坐标是(-3，1)，在新坐标 系xOy中的坐标是(4，2)，问坐标原点O移到了何处？ 解： x 3, y 1; x 4, y 2. x0 x x 3 4 7 x x x0 得 由公式 y0 y y 1 2 1. y y y0
坐标平移的坐标变换公式.
《数学拓展教程》P47-52 §16.1（第1课时）
平移坐标轴，化简曲线方程x2＋4x－y＋5＝0．
解：由 x2＋4x－y＋5＝0得 (x＋2)2＝y－1．
若令 x＋2＝x′，y－1＝y′，
则曲线方程可化为x′2＝y′．
因此将坐标轴平移，使原点O移到O′(-2，1)，
曲线方程可化为x′2＝y′．
§16.1坐标轴平移
？
这是两幅意大利比萨斜塔的照片，你知道为什么第 二幅照片中的斜塔不斜了呢？
为什么 会这样 呢？
远 近 高 低 各 不 同
横 看 成 岭 侧 成 峰
题 西 林 壁
苏 轼
9
6
处于不同位置的人对同一事物有不同描述
9
坐标系的平移变换
坐标系的平移变换把一个坐标系的原点移动到一个新的位置，在移动的过程中不改变坐标轴的方向，坐标系的这种变换被称为坐标系的平移变换。
要定量地研究一个物理问题，可以选择不同的坐标系，这自然就带来一个很重要的问题：同一个物理量在不同的坐标系中的表述形式之间有何关系？我们把这种关系称为物理量的坐标变换，简称为坐标变换。
最简单的坐标变换是坐标系平移的变换。
假定有一个直角坐标系，把这个坐标系的原点移动到一个新的位置，在移动的过程中不改变三根坐标轴的方向，坐标系的这种变换被称为坐标系的平移变换。
原来的坐标系经过移动后在新的位置上构成一个新的直角坐标系，用标记。
在平移变换下，新旧两个坐标系的原点相互错开了一段距离。
在下面的平移变换示意图中，为了作图简单起见，只画成了一个平面直角坐标系。
从的原点向的原点引一段有向线段，用标记，则在平移变换下，空间中任意一点在变换前后两个坐标系中的位置矢量与之间按照以下方式相互转换：由于变换前后的两个坐标系都是直角坐标系，这个变换的分量表达式是：大家可能已经留意到，这个变换公式与在参照系的变换中位置矢量的变换公式很相似。
确实如此，不过，需要注意的是，在参照系的变换中，两个参照系是有相对运动的，这导致固定在两个参照系上的两个坐标系也是有相对运动的。
由于这个原因，两个坐标系的原点之间的距离会随时间发生改变。
在坐标系的变换问题中，我们在同一个参照系中讨论问题，并且两个坐标系都固定在同一个参照系中，彼此之间只是原点错开了一段距离，并没有相对运动。
因此，两个坐标系的原点之间的距离是一个确定的常数。
除了位置矢量，其他物理量的变换会怎样？观察示意图不难明白，一个矢量在两个坐标系中的各个对应分量的长度相同，这导致该矢量的长度和方向不会由于坐标系的不同而改变。
其实，这个性质不仅适用于两个直角坐标系相互错开一段距离的情况，也适用于各种不同的坐标系和各种形式的坐标变换：一个物理量在两个不同的坐标系之间变换的矢量式都以这样的形式出现。
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淮海技师学院教案
编号：SHJD—508—14 版本号：A/0 流水号：
授课日期新课班级 2 课题：16.1坐标轴平移一
教学目的、要求：理解坐标平移的概念，利用坐标平移化简曲线方程；
教学重点：坐标轴平移，点的新旧坐标间的互化
教学难点：对知识点的灵活运用
授课方法：讲练结合、启发式、讨论法
教学参考及教具（含电教设备）：
板书设计：
16.1坐标轴平移一
1、定义：只改变坐标原点位置，而不改变坐标轴方向和单位长度的坐标系变换，叫做坐标轴平移．例1、将坐标原点平移至
O'(1，2)，求下列各点在
新坐标系中的坐标：
A(0，8)、B(1，2)、C(6，
0)、D(-1，-2)、E(-5，7)．
（分析过程）
练习、将坐标原点平移至
O'(3，1)，求下列各点在
新坐标系中的坐标：
A(2，5)、B(-1，1)、
C(3，6)、D(-5，-1)、E(0，
7)．
练习
二、小结
教案纸
教学过程学生活动学时分配
一．新课引入
给学生展示两张图片学生思考为什么会出现以上的情况
探究：课本38页（从简单的数轴坐标变换入手）
二、新课
1、定义：只改变坐标原点位置，而不改变坐标轴方向和单位长度的坐标系变换，叫做坐标轴平移．
2、学生观察投影仪的坐标变换
点A B C D
坐标
点A B C D
坐标
结论：点在xOy中的坐标减去在坐标系x'O'y'的坐标的差都是(-2,-1)
坐标系xOy平移后得到新坐标系x'O'y'，O'在原坐标系xOy中的坐标是(x0，y0)，则有
其中(x，y)为点在坐标系xOy中的坐标，(x'，y')为点在坐标系x'O'y'中的坐标．
这个公式叫做坐标轴平移的坐标变换公式．复习
学生讨论两
个坐标系中
的坐标有何
关系？
师生共同总
结：
10
10
10
15
三、例题讲解
例1、将坐标原点平移至O'(1，2)，求下列各点在新坐标系中的坐标：
A(0，8)、B(1，2)、C(6，0)、D(-1，-2)、E(-5，7)．
（教师讲解例题）
练习、将坐标原点平移至O'(3，1)，求下列各点在新坐标系中的坐标：
A(2，5)、B(-1，1)、C(3，6)、D(-5，-1)、E(0，7)．例2、已知点A在坐标系xOy中的坐标是(-3，1)，在新坐标系x'O'y'中的坐标是(4，2)，问坐标原点O移到了何处？
练习导练39页
（学生做练习教师巡视查漏补缺）
小结：1、坐标平移的定义
2、坐标平移的应用
作业:导练学生板书
学生小结：
45
10
10
10
15
90
教后记：。