小学六年级数学竞赛讲座 第6讲 几何综合之立体几何中的旋转体
【K12学习】六年级奥数几何综合讲座
六年级奥数几何综合讲座几何综合几何图形的设计与构造．涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题．．今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.【分析与解】如下图所示，我们给出四种不同的排法．2．已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米．求这个六边形的周长．【分析与解】如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母，因为∠BAF=120°，而么∠IAF=180°-∠BAF=60°．又∠EFA=120°，而∠IFA=180°-∠EFA：60°，则△IAF为等边三角形．同理△BcG、△EHD、△IGH均为等边三角形．在△IAF中，有IA=IF=AF=9，在△BGc中，有BG=Gc=Bc=1，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19．则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5，在△EDH中，DH=EH=5，所以cD=GH-Gc-DH=19-1-5=13．于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42．．图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析与解】如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程．于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长．所以，最少的量出下列6段即可．4．将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为3．已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少?【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1．．如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，在正六边形ABcDEF中,与面积相等，12个组成小正六角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为16÷12×=24．而通过下图，我们知道，正六边形ABcDEF可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角的面积相等，所以大正六角星形的积为24÷6×12=48．6．如图12-6所示，在三角形ABc 中，Dc=3BD，DE=EA．若三角形ABc的面积是1．则阴影部分的面积是多少?【分析与解】△ABc、△ADc同高，所以底的比等于面积比，那么有而E为AD中点，所以连接FD，△DFE、△FAE面积相等，设则．的面积也为x，而解得.所以，阴影部分面积为．如图12-7，P是三角形ABc内一点，DE平行于AB，FG平行于Bc，HI平行于cA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGcH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．那么三角形ABc的面积是多少?【分析与解】有平行四边形AIPD与平行四边形PGcH的面积比为IP与PH的比，即为12：15=4：5．同理有FP:PG=20:15=4:3，DP:PE=12:20=3:5．如图12-7，连接Pc、HD，有△PHc的面积为△DPH与△PHc同底PH，同高，所以面积相等，即，而△DPH与△EPH 的高相等，所以底的比即为面积的比，有，所以如图12-7所示，连接FH、BP，如图12-7所示，连接FD、AP，有．如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的，②号正方形的边长是长方形宽的．那么，图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】有①号正方形的边长为长方形长的，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的.而②号正方形的边长为宽的，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的.所以在长方形中有：长=宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12，宽为8，则①号正方形的边长为5，又是整数，所以为整数，有长方形的面积为96,不大于100．所以只能为1，即长方形的长为12，宽为8．于是，图中①号正方形的边长为5，②号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为：9．如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，c，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：c：D：E=1：2：3：4：5．那么这个长方形的长与宽之比是多少?【分析与解】以下用表示E部分横向的长度，竖表示E 部分竖向的长度，其他下标意义类似．有：=5：4，：=l：2．而+=+，所以有：：：=5：4：1：2．而++=+对应为5+1=6，那么对应为3．而A面积：B面积：c面积=1：2：3，所以==．有+竖对应为6，所以=对应为3．那么长方形的竖边为6+对应为9，长方形横边为+6+对应为5+6+4=15．所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3．0．如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是绿色的面积是lo．那么，正方形盒子的底面积是多少?【分析与解】如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变．并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积．所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是．黄色露出面积=绿色露出面积，而它们的和为14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12．有黄：空白=红：绿，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2．1．如图12-11，在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A，B，c，D，E，F，其中AB=EF=130厘米．现在从4处沿45°方向打出一球，碰到桌边后又沿45°方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45°方向弹出，如此继续下去．假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中?【分析与解】将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD的距离，于是A的位置为，球经过的路线为：→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→．因此，该球最后落入E袋．．长方形ABcD是一个弹子盘，四角有洞．弹子从A出发，路线与边成45度角，撞到边界即反弹，并一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止．如图12-12．当AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞．问：若AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前，撞击Bc边多少次?【分析与解】撞击AD边的点，每次由A向D移动2；撞击Bc边的点，每次由c向B移动2．因为次撞击Bc边的点距c点1，次撞击AB边的点距A 点为2，1994÷2=997．所以最后落人D洞，在此之前撞击Bc边997次．3．10个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状．过图中所示两个圆心A，B作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?【分析与解】直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆．那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3．．在图12-14中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】有Ao=oB，所以△AoB为等腰三角形，Ao=oc，所以△Aoc为等腰三角形.∠ABo=∠1=15°，∠AoB=180°-∠1-∠ABo=150°.∠Aco=∠2=15°,∠Aoc=180°-∠2-∠Aco=150°.所以∠Boc=360°-∠AoB-∠Aoc=60°，所以扇形Boc的面积为．．图12-15是由正方形和半圆形组成的图形．其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点．已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?【分析与解】过P做AD平行线，交AB于o点，P为半圆周的中点，所以0为AB中点．有.阴影部分面积为几何综合内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系．与上述知识相关的几何计算问题．各种具有相当难度的几何综合题．典型问题．如图30-2，已知四边形ABcD和cEFG都是正方形，且正方形ABcD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?【分析与解】方法一：因为cEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形cEFG的边长为x，有：又阴影部分的面积为:方法二：连接Fc，有Fc平行与DB，则四边形BcFD为梯形．有△DFB、△DBc共底DB，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBc的面积．阴影部分△DFB的面积为50平方厘米．如图30-4，∠A+∠B+∠c+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I等于多少度?【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有∠I=1800-,而∠1=1800-∠3,∠2=1800-∠4,有∠I=∠3+∠4-1800同理,∠H=∠4+∠5-1800,∠G=∠5+∠6-1800,∠F=∠6+∠7-1800,∠E=∠7+∠8-1800,∠D=∠8+∠9-1800,∠c=∠9+∠10-1800,∠B=∠10+∠11-1800,∠A=∠11+∠3-1800则∠A+∠B+∠c+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×-9×1800而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9边形的内角和为×1800=12600．所以∠A+∠B+∠c+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×12600-9×1800=9000．长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形．考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形．例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示．请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1<a2<a3<a4<a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为,这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一．【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出．类情况：以为特征的有7组：第二类情况：以为特征的有6组：第三类情况有如下三组：共有16组解，它们是：．．,如图30-8，ABcD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为边AB,Bc的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，连接Ec，并在某些点处标上字母，因为AE平行于Dc，所以四边形AEcD为梯形，有AE:Dc=1:2，所以,,且有,所以,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG：GD=1:2，同理FH：HD=1:2．有,而有EG:GD=,所以同理可得,,又=24-12=12所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48．0．图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG．设△AEG的面积为x，显然△EBG、△BFG、△FcG的面积均为x，则△ABF的面积为3x，即，那么正方形内空白部分的面积为.所以原题中阴影部分面积为．．如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的面积．【分析与解】如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等．我们把左下图中的每一部分阴影称为A，右下图中的每一部分阴影称为B．大半圆的面积为小圆的面积而小圆的面积为，则，原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为如图30-14，将长方形ABcD绕顶点c顺时针旋转90度，若AB=4，Bc=3，Ac=5，求AD边扫过部分的面积．【分析与解】如下图所示，如下图所示，端点A扫过的轨迹为，端点D扫过轨迹为，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分．显然有阴影部分面积为,而直角三角形、AcD面积相等．所以即AD边扫过部分的面积为7．065平方厘米．。
立体几何的旋转体特性 → 空间几何的旋转体特性
立体几何的旋转体特性→ 空间几何的旋转体特性立体几何的旋转体特性介绍在立体几何中，旋转体是一种常见的几何体，它通过绕一个轴线旋转而生成。
旋转体具有一些独特的特性，这使得它们在几何学中具有重要的地位。
旋转轴线旋转体的形成依赖于一个旋转轴线。
该轴线可以是直线或曲线。
当轴线是直线时，我们可以通过绕着轴线旋转一个平面图形来形成旋转体。
当轴线是曲线时，我们可以通过将一个曲线图形绕着轴线旋转来形成旋转体。
旋转面积旋转体的旋转面积是指旋转体的表面积。
对于已知的平面图形，我们可以通过旋转来计算旋转体的表面积。
通常，旋转面积与旋转体的高度和形状有关。
旋转体积旋转体的旋转体积是指旋转体所包含的空间体积。
通过旋转一个具有已知面积的平面图形，我们可以计算旋转体的体积。
与旋转面积类似，旋转体积也与旋转体的高度和形状有关。
旋转体的特性旋转体具有以下几个重要的特性：1. 对称性：旋转体具有旋转轴线对称性。
这意味着旋转体的两侧是相同的，并且对称于旋转轴。
2. 单位体积：对于某些旋转体，单位体积的体积和表面积是固定的。
这意味着无论旋转体的大小如何，它们的单位体积是相同的。
3. 稳定性：旋转体具有一定的稳定性。
由于旋转体的对称性和形状，它们在一些情况下更加稳定，比如堆叠和平衡。
应用领域旋转体的特性在许多领域中都有广泛的应用，包括工程、建筑、物理学和生物学等。
在工程和建筑中，旋转体的特性可以用于设计各种物体和结构。
在物理学和生物学中，旋转体的特性可以帮助我们理解物体的行为和性质。
结论立体几何中的旋转体具有独特的特性，包括对称性、单位体积、稳定性等。
它们在几何学中有着重要的地位，并在许多应用领域发挥着重要作用。
通过研究旋转体的特性，我们可以更好地理解和应用几何学的知识。
课件1：11.1.5 旋转体
同理SB=40 cm,所以AB=SB-SA=20(cm).
S表面积=S侧+S上底+S下底
=π(O1A+OB)·AB+π·O1A2+π·OB2
=π(10+20)×20+π×102+π×202
=1 100π(cm2).
所以圆台的表面积是1 100π cm2.
圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中正确的是
(2)将直角梯形绕其一边所在的直线旋转一周,所得的几何体可能是(
A.棱锥
B.棱台
C.球
D.圆台
.(填序号)
)
【答案】(1)①② (2)D
【解析】(1)①正确;②正确;
③不正确,圆台的母线延长相交于一点;
④不正确,夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体,其他的两截面间
的几何体;
圆锥可看成以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴,将直角三角形旋转一周而形
成的曲面所围成的几何体;
圆台可看成以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,将直角梯形旋转一周而
形成的曲面所围成的几何体.
用类似上述圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体,其中,旋转轴称
为旋转体的轴,在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的高,垂直于轴的边旋转而成的圆
上底半径r'=2 cm,下底半径r=5 cm.
由勾股定理得
h=
2
2
12 -(5-2) =3
15.
(2)设圆锥的母线长为 x cm,由三角形相似得
-12
2
= ,解得 x=20.
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探究三 旋转体的侧面积或表面积
多面体与旋转体复习课件公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
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例：已知圆柱的底面半 径为r,高为h,若一只蚂蚁从某一条 母线的一个端点出发沿 着圆柱表面爬行一周到 该母线的 另一个端点，则蚂蚁所 走的最短路程为？
2r
h
最短路程 h2 4 2r 2
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例：用两个平行平面去 截半径为R的球面，两个截面圆 的半径为15和24，若两截面间的距离为 27, 求球的半径
的直棱柱。
4、直棱柱的性质：（1）侧棱都相等，侧面是 矩形 ；
（2）底面与平行于底面的截面是 全等 的多边形； （3）对角面是 矩形 ；
（4）侧棱长是棱柱的高。
5、正棱柱的性质：
（1）底面与平行于底面的截面是 全等 的正多边形； （2）侧面是全等的 矩形 。
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6、几种特殊的四棱柱：（1）平行六面体：底面是 平行四边形 的四棱柱； （2）直平行六面体：侧棱与底面 垂直 的平行六面体； （3）长方体：底面是 矩形 的直平行六面体； （4）正四棱柱：底面是 正方形 的长方体； （5）正方体：棱长都 相等 的正四棱柱。 7、长方体对角线性质：
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三、圆锥
（一）概念
• 定义：将直角三角形ABC
及其内部绕其始终角边
AB所在直线旋转一周，
母 线
所形成几何体叫做圆锥。
• 名称：轴，顶点，底面，
侧面，母线，高。
A
• 记法和画法：圆锥AB
顶点
S
轴
侧 面
O
底面
B
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四、圆锥的概念与性质： 1、圆锥的概念：以直角三角形 ABC（及其内部）绕其 一条直角边AB所在直线 旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥。其中 AB 所在直线叫做圆锥的轴，圆锥用表示它的轴 的字母表示，如圆锥 AB。直角边 BC 旋转而成的圆面叫圆锥的 底面 ；斜边 AC 旋转而成的 曲面叫圆锥的 侧面 ；斜边 AC 叫圆锥侧面的一条 母线 ；点 A 叫圆锥的顶点；圆锥的顶点 到底面间的距离叫圆锥的高。 2、圆锥的性质： （1）平行于底面的截面是与底 半径不相等的圆； （2）圆锥有无穷多条母线，所有母线相交于顶点，每条母线与轴的 夹角 相等； （3）轴截面是 等腰三角形 。
旋转体(课堂PPT)
圆柱各部分名称
轴
母线
底面
侧面
圆柱
轴: 旋转的直线. 底面: 垂直于轴的边旋转所成的圆面. 侧面: 不垂直于轴的边旋转所成的曲面. 母线: 不垂直于轴的边. 高: 两个底面之间的距离.
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观察右边图形， 可以得到圆柱的下列性质：
(1) 圆柱的两个底面是半径相等的圆， 且互相平行；
(2) 圆柱的母线平行且相等， 并且等于圆柱的高；
1 3
S底h
3
旋转体
4
情境引入
只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些抽象出来的空间图形 就是圆柱。
5
一、圆柱的定义
如何来定义圆柱体呢？
A′
O′
A
O
6
一、圆柱的定义
圆柱
以矩形的一边所在直线为旋 转轴，其余三边旋转形成的面所 围成的旋转体叫做圆柱．
A′
O′
A
O
7
建构数学
以矩形的一边为旋转轴，其余各边旋 转而成的曲面所围成的几何体， 叫做圆柱。
S O
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四、圆锥的定义
圆锥
以直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转轴，其余两边旋 转形成的面所围成的旋转体叫做 圆锥．
S
母 线
顶点
轴 侧 面
A
O
底面
B
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观察圆锥，可得到圆锥的下列性质：
(1) 平行于底面的截面是圆； (2) 顶点与底面圆周上任一点的 距离都相等，且等于母线的长； (3) 轴截面为等腰三角形，底边 上的高等于圆锥的高．
解 由图知
r l2h2 3cm
故圆锥的体积为
1
V 圆 锥 3(
3)21cm 3
数学竞赛之立体几何专题精讲(例题+练习)
数学竞赛中的立体几何问题立体几何作为高中数学的重要组成部分之一，当然也是每年的全国联赛的必然考查内容．解法灵活而备受人们的青睐，竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中，考查的内容常会涉及角、距离、体积等计算．解决这些问题常会用到转化、分割与补形等重要的数学思想方法．一、求角度这类题常以多面体或旋转体为依托,考查立体几何中的异面直线所成角、直线与平面所成角或二面角的大小 解决这类题的关键是 ,根据已知条件准确地找出或作出要求的角．立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种．其中两条异面直线所成的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的相交直线所成的角，再构造一个包含该角的三角形，解三角形即可以完成；直线和平面所成的角则要首先找到直线在平面内的射影，一般来讲也可以通过解直角三角形的办法得到，其角度范围是[]0,90︒︒；二面角在求解的过程当中一般要先找到二面角的平面角，三种方法：①作棱的垂面和两个半平面相交；②过棱上任意一点分别于两个半平面内引棱的垂线；③根据三垂线定理或逆定理．另外还可以根据面积射影定理cos S S θ'=⋅得到．式中S '表示射影多边形的面积，S 表示原多边形的面积，θ即为所求二面角．例１ 直线OA 和平面α斜交于一点O ，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 点的任一直线，设,,.AOC AOB BOC αβγ∠=∠=∠=，求证：cos cos cos αβγ=⋅．分析：如图，设射线OA 任意一点A ，过A 作AB α⊥于点B ，又作BC OC ⊥于点C ，连接AC ．有：cos ,cos ,cos ;OC OB OCOA OA OBαβγ=== 所以，cos cos cos αβγ=⋅．评注：①上述结论经常会结合以下课本例题一起使用．过平面内一个角的顶点作平面的一条斜线，如果斜线和角的两边所成的角相等，那么这条斜线在平面内的射影一定会落在这个角的角平分线上．利用全等三角形即可证明结论成立．②从上述等式的三项可以看出cos α值最小，于是可得结论：平面的一条斜线和平面内经过斜足的所有直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角最小．例、（1997年全国联赛一试）如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上， F 在棱CD 上，使得：()0AE CFEB FDλλ==<<∞，记()f λλλαβ=+， αOC BAF EDCBAG其中λα表示EF 与AC 所成的角，其中λβ表示EF 与BD 所成的角，则： （A ）()f λ在()0,+∞单调增加；（B ）()f λ在()0,+∞单调减少； （C ）()fλ在()0,1单调增加；在()1,+∞单调减少；（D ）()f λ在()0,+∞为常数．` 分析：根据题意可首先找到与,λλαβ对应的角．作EG ∥AC ，交BC 于G ，连FG ．显然 FG ∥BD ，∠GEF=λα，∠GFE=λβ．∵AC ⊥BD ，∴EG ⊥FG ∴90λλαβ+=︒例五、（1994年全国联赛一试）已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin α= ．分析：正方体的12条棱可分为三组，一个平面与12条棱的夹角都 等于α只需该平面与正方体的过同一个顶点的三条棱所成的角都等于α即可．如图所示的平面A BD '就是合乎要求的平面，于是：sin 3α=二、求体积这类题常是求几何体的体积或要求解决与体积有关的问题 解决这类题的关键是 ,根据已知条件选择合适的面作为底面并求出这个底面上的高例十五、（2003年全国联赛一试）在四面体ABCD 中，设1,AB CD ==直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于 ()()()(11 ; ; 23A B C D 分析：根据锥体的体积公式我们知道：1V=3S h ⋅⋅．从题目所给条件看，已知长度的两条线段分别位于两条异面直线上，而已知距离是两条异面直线之间的距离而非点线距．显然需要进行转化．作BE ∥CD,且BE=CD ，连接DE 、AE ，显然，三棱锥A —BCD 与三棱锥A —BDE 底面积和高都相等，故它们有相等的体积．于是有：111sin 362A BCD A BDE D ABE BDE V V V S h AB BE ABE h ---∆====⋅⋅∠⋅=例十六、（2002年全国联赛一试）由曲线224,4,4,4x y x y x x ==-==-围成的图形绕y 轴旋转一周所ODCBAD 'C 'B ' A 'EDCBA得旋转体的体积为V 1，满足()()22222216,24,24x y x y x y +≤+-≥++≥的点(),x y 组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 2，则： （A ）V 1=12V 2； （B ）V 1=23V 2； （C ）V 1=V 2； （D ）V 1=2V 2； 分析：我国古代数学家祖暅在对于两个几何体体积的比较方面作出了卓越的贡献，祖暅原理告诉我们： 对于两个底面积相同，高 相等的几何体，任做一个 平行于底面的截面，若每 一个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖 原理的思想我们可以将不规则的几何体的体积计算转化为规则几何体的体积计算．如计算球的体积时我们可以将半球转化为圆柱与圆锥的组合体．显然，本题中的两个几何体符合祖暅原理的条件，比较其截面面积如下：取()44y a a =-≤≤，则：()21162164S aa ππππ=-⋅⋅=-当0a <时：()()()22221642164S aa a ππππ=⋅--⋅-+=+ 当0a >时：()()()22221642164S a a a ππππ=⋅--⋅--=-显然，12S S =，于是有：12V V =．例十七、（2000年全国联赛一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是 ．分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：22r a =∴3343424V a a π⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭练习：同样可用体积法求出棱长为a 的正四面体的外 接球和内切球的半径．分析可知，正四面体的内切球 与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连，可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正四面体高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三．故只要求出正四面体的高度即可．又：3h a ===，所以，,412R a r ==．ROEDC APr例十九、（1998年全国联赛一试）ABC ∆中，90,30,2C B AC ∠=︒∠=︒=，M 是AB 的中点．将ACM ∆沿CM 折起，使A 、B 两点间的距离为22A —BCM 的体积等于 ． 分析：关于折叠问题，弄清折叠前后线段之间的变与不变的关系往往是我们解决问题的关键，问题中经常会涉及折叠图形形成二面角，在折叠前作一条直线与折叠线垂直相交，于交点的两侧各取一点形成一个角，于是在折叠过程中，此角始终能代表图形折叠所形成的二面角的大小．此外，通过分析可知解决本例的另一个关键是需要得到棱锥的高，其实只要能找到二面角，高也就能迎刃而解了．如图，作BD ⊥CM 的延长线相交于D ，AF ⊥CM 于F ，并延长到E ，使EF=BD ，连BE ． 显然，AF=EF=BD=3EB=DF=2,所以： A E 2=AB 2-EB 2=8-4=4三棱锥A —BCM 的高即点A 到平面BCM 的距离也就是等腰∆AEF 中点A 到边EF 的距离．根据面积相等FF M ME E D D BB C C A A可求得：h ==∴11132V =⋅⋅=例二十、（1995年全国联赛一试）设O 是正三棱锥P —ABC 底面△ABC 的中心，过O 的动平面与P —ABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记为Q 、R 、S ，则和式111PQ PR PS++ （A ）有最大值而无最小值； （B ）有最小值而无最大值； （C ）既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等； （D ）是一个与平面QRS 位置无关的常量． 分析：借助于分割思想，将三棱锥P —QRS 划分成三个以O 为顶点，以三个侧面为 底面的三棱锥O —PQR ，O —PRS ，O —PSQ ． 显然三个三棱锥的高相等，设为h ，又设QPR ∠=RPS SPQ α∠=∠=，于是有：()13P QRS O PQR O PRS O PSQ PQR PRS PSQ V V V V S S S h ----∆∆∆=++=++⋅ ()1sin 6PQ PR PR PS PS PQ h α=⋅+⋅+⋅⋅⋅ 又：1sin sin 6P QRS Q PRS V V PQ PR PS αθ--==⋅⋅⋅⋅，其中θ为PQ 与平面PRS 所成的角．()sin sin sin PQ PR PR PS PS PQ h PQ PR PS ααθ∴⋅+⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅于是得：111PQ PR PS ++sin hθ= 例二十一、（1993年全国联赛一试）三棱锥S —ABC 中，侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，M 为三角形ABC 的重心，D 为AB 中点，作与SC 平行的直线DP ． 证明：（1）DP 与SM 相交；OSRQCBAP（2）设DP 与SM 的交点为D '，则D 为三棱锥S —ABC 的外接球的球心． 分析：根据题中三棱锥的特点，可将三棱锥补形成为一个如图所示的长方体，因为 C 、M 、D 三点共线，显然，点C 、S 、D 、M 在同一平面内．于是有DP 与SM 相交． 又因为：12DD DM SC MC '==，而点D 为长 方体的底面SAEB 的中心，故必有点D '为 对角线SF 的中点，即为长方体的也是三棱 锥的外接球的球心．例二十二、（1992年全国联赛一试）从正方体的棱和各个面的面对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是 ． 分析：本题可以采用构造法求解．考查图中的 四条线段：A 1D 、AC 、BC 1、B 1D 1，显然其中任意 两条都是异面直线．另一方面，如果满足题目 要求的线段多于4条，若有5条线段满足要求， 因为5条线段中任意两条均为异面直线，所以其中任意两条没有公共点，于是产生这些线段的端点几何体的顶点的个数必定大于或等于10个，这与题中的正方体相矛盾．故：4k =．例二十三、（1991年全国联赛一试）设正三棱锥P —ABC 的高为PO ，M 为PO 的中点，过AM 作与棱BC 平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分的体积比． 分析：取BC 的中点D ，连接PD 交AM 于G ，设 所作的平行于BC 的平面交平面PBC 于EF ，由 直线与平面平行的性质定理得：EF ∥BC ，连接AE ，AF ，则平面AEF 为合乎要求的截面．GFMED 'DCBA SH A 1DCBA D 1C 1B 1F E OM D CBAPHG作OH ∥PG ，交AG 于点H ，则：OH=PG ．51112BCPD PG GDGD GD AD EF PG PG PG OH AO +===+=+=+=； 故：2425A PEF PEF A PBC PBC V S EF V S BC -∆-∆⎛⎫=== ⎪⎝⎭；于是：421A PEF A EFBC V V --=． 三、求面积这类题常设计为求几何体中某一特殊位置的截面面积 解决这类题的关键是 ,封断出截面的形状及截面和已知中相关图形的关系四、求距离这类题常是以几何体为依托 ,求其中的某些点 、线 、面之间的距离 解决这类题的关键在于 ,根据已知条件判断出或作出符合题意的线段 ,其长度就是符合题意的距离4、（1996年全国联赛一试）已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a ，侧棱为b ．取CD 中点G ，则AG ⊥CD ，EG ⊥CD ，故∠AGE 是二面角A —CD —E 的平面角．由BD ⊥AC ，作平面BDF ⊥棱AC 交AC 于F ，则∠BFD 为二面角B —AC —D 的平面角．AG=EG=b 2－a 2，BF=DF=2a b 2－a 2b，AE=2b 2－(233a )2=2b 2－43a 2．由cos ∠AGE=cos ∠BFD ，得2AG 2－AE 22AG 2=2BF 2－BD 22BF 2．∴ 4(b 2－432a 2)b 2－a 2=4a 2b 24a 2(b 2－a 2)⇒9b2=16a 2，⇒b=43a ，从而b=2，2a=3．AE=2．即最远的两个顶点距离为3． 分析：设正三棱锥的底面边长为a ，侧棱长为b ，则：2222223244a a b a aa b b -=⋅--即：2223b a b =-化简得： 32ba =所以，3,2a b ==．于是可求得线段PP '的长：2432pp '=-=．于是有最远距离为底边长3．2ababbGEFBCDAACBD EFOP 'P五、求元素个数这类题常以长方体或三棱锥等几何体为背景,通过计算符合题意的元素个数,来考查学生对计数问题的理解程度解决这类题的关键是计数时要有规律的数,作到不重复、不遗漏8、如果空间三条直线a ，b ，c 两两成异面直线，那么与a ，b ，c 都相交的直线有(A ) 0条 (B ) 1条 (C )多于1 的有限条 (D ) 无穷多条 解：在a 、b 、c 上取三条线段AB 、CC '、A 'D '，作一个平行六面体ABCD —A 'B 'C 'D '，在c 上取线段A 'D '上一点P ，过a 、P 作 一个平面，与DD '交于Q 、与CC '交于R ，则QR ∥a ，于是PR 不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交．由于可以取无穷多个点P ．故选D ．9、给定平面上的5个点A 、B 、C 、D 、E ，任意三点不共线. 由这些点连成4条线，每点至少是一条线段的端点，不同的连结方式有 种.解：图中，4种连结方式都满足题目要求.（图中仅表示点、线间连结形式，不考虑点的位置) .情况（1），根据中心点的选择，有5种其连结方式；情况（2），可视为5个点A 、B 、C 、D 、E 的排列，但一种排列与其逆序排列是同一的，且两者是一一对应的，则有连结方式5!602=种；情况（3），首先是分歧点的选择有5种，其次是分叉的两点的选择有246C =种，最后是余下并连两点的顺序有别，有2!种，共计56260⨯⨯=种；情况（4），选择3点构造三角形，有3510C =种. 共有5606010135+++=种连结方式.B‘C’D’A‘CDASQ PR acb（1） （2） （3） （4）3. 设四棱锥P ABCD -的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α( )(A) 不存在 (B)只有1个 (C) 恰有4个 (D)有无数多个例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为 （A ）4； （B ）8； （C ）12； （D ）24．分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线．考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可与其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现两次，故所有边共出现112224C =次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成的等边三角形个数为2483=个． 例二、（1995年全国联赛一试）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 ．分析：就四棱锥P —ABCD 而言，显然顶点P 的颜色必定不同于A 、B 、C 、D 四点，于是分三种情况考虑：① 若使用三种颜色，底面对角线上的两点可同色，其染色种数为：3560A =（种） ② 若使用四种颜色，底面有一对对角线同色，其染色种数为：1425240C A ⋅=（种）③ 若使用五种颜色，则各顶点的颜色各不相同，其染色种数为：55120A =（种）故不同染色方法种数是：420种．六、特殊四面体1．四面体 由于四面体是三角形在空间中的推广，因此三角形的许多性质也可以推广到四面体： （1）连接四面体的棱中点的线段交于一点，且在这里平分这些线段；（2）连接四面体任一顶点与它对面重心的线段交于一点，且这点将线段分成的比为3：1，G 称为四面体的重心．（3）每个四面体都有外接球，球心是各条棱的中垂面的交点．（4）每个四面体都有内切球，球心是四面体的各个二面角的平分面的交点． 例10（1983年全国）在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论．2．特殊四面体（i ）等腰四面体：三组对棱分别相等的四面体．性质（1）等腰四面体各面积相等，且为全等的锐角三角形；（2）体积是伴随长方体的13．（ii ）直角四面体 从一个顶点出发的三条棱相互垂直的四面体．性质（1）直角四面体中，不含直角的面是锐角三角形（称该面为底面）；（2）任一侧面面积是它在底面投影的面积和地面面积的比例中项，且侧面面积的平方和是底面面积的平方；（3）三个侧面与底面所成三个二面角的余弦的平方和是1．3．正四面体 每个面都是全等的等边三角形的四面体．性质（1）若正四面体的棱长为a ，则四面体的全面积S ＝3a 2，体积V ＝212a 3；（2）正四面体对棱中点的连线长d ＝22a ；（3）正四面体外接球的半径64a ，内切球的半径为612a ．七、“ 多球” 问 题在解决立体几何问题时， 常会遇到若干个球按照一定的法则“ 叠加” 的问题， 我们将 这类问题简称为“ 多球” 问题． 对于“ 多球” 问 题， 我们往往可以从多球中提炼出球心所组成的立体图形， 将问题简化， 然后通过解决这简化的问题， 获得原问题的待求结论，这是 解决“ 多球” 问题的一个常用方法．5、将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．解：如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45 而得．设E 的射影为N ，则MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．6、底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3． 填(13＋22)π． 解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形．所以注水高为1＋22．故应注水π(1＋22)－4×43π(12)3＝(13＋22)π． 例 1在桌面上放着四个两两相切、 半 径均为r 的球， 试确定其顶端离桌面的高度；并求夹在这四个球所组成图形空隙中与四个 球均相切的小球的半径．例 2 制作一个底圆直径为4 c m的圆柱形容器，要内装直径为2 c m的钢珠2 6 只，那么这容器至少要多高?( 上海市1 9 8 6 年竞赛试题)例 3 在正四面体内装入半径相同的球，使相邻的球彼此相切，且外层的球又和正四面体的面都相切，如此装法，当球的个数无穷大时，求所装球的体积与正四面体体积之比的极限．( 第八届希望杯高二数学培训题)八、体积法及其应用体积法是处理立体几何问题的重要方法．在高中数学竞赛中，利用体积法解题形式简洁、构思容易，内涵深刻，应用广泛，备受青睐．几何体的体积包括基本几何体的体积计算、等积变换等方法，同时有以下常用方法和技巧：( 1 ) 转移法：利用祖咂原理或等积变换，把所求几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积．( 2 ) 分割求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积．( 3 ) 补形求差法：通过补形化归为基本几何体的体积．( 4 ) 四面体体积变换法．( 5 ) 算两次法：对同一几何体的体积，从两种方法计算，建立出未知元素的等量关系，从而使问题求解．利用这种方法求点到平面的距离，可以回避作出表示距离的垂线段．另外，体积法中对四面体的体积变换涉及较多应用广泛．关于四面体的体积有如下常用性质：( 1 ) 底面积相同的两个三棱锥体积之比等于对应高之比；( 2 ) 高相同的两个三棱锥的体积比等于其底面积之比；( 3 ) 用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方；九、立体几何中的截面问题截面问题涉及到截面形状的判定、截面面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形的性质及截面图形的最值．本文介绍此类问题的求解方法．1 判断截面图形的形状2 截面面积和周长的计算3 计算截面图形的个数4 确定截面图形的性质5 求截面图形的最值九、综合问题7、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且P A=4，C 为P A 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，⇒PB ⊥AB ，⇒AB ⊥面POB ，⇒面P AB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，⇒OH ⊥面P AB ，⇒OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，⇒PC ⊥面OCH ．⇒PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而∆OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30︒，OB=PO tan30︒=263．解2：连线如图，由C 为P A 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，而V O －PHC ∶V O －PBC =PHPB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=α，则V P —AOB =16R 3sin αcos α=112R 3sin2α，A BP OH CV B －PCO =124R 3sin2α．PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2α=11+cos 2α=23+cos2α．⇒V O －PHC=sin2α3+cos2α⨯112R 3．∴ 令y=sin2α3+cos2α，y '=2cos2α(3+cos2α)－(－2sin2α)sin2α(3+cos2α)2=0，得cos2α=－13，⇒cos α=33，∴ OB=263，选D ．例19把一个长方体切割成k 个四面体，则k 的最小值是 .例20已知l αβ--是大小为45的二面角，C 为二面角内一定点，且到半平面α和β和6，A ，B 分别是半平面α，β内的动点，则ABC ∆周长的最小值为_____．例21如图所示，等腰ABC △的底边AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积． （1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？ （3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值．例六、设锐角,,αβγ满足：222cos cos cos 1αβγ++=．求证：tan tan tan αβγ⋅⋅≥分析：构造长方体模型．构造如图所示的长方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1，连接AC 1、A 1C 1、BC 1、DC 1． 过同一个顶点的三条棱AD 、AB 、AA 1与对角线AC 1所成的角为锐角,,αβγ，满足：222cos cos cos 1αβγ++=不妨设长方体过同一个顶点的三条棱AD 、AB 、AA 1的长分别为,,a bc ．则：tan tan tan aa b b c cαβγ=≥=≥=≥ 以上三式相乘即可．证明二：因为,,αβγ为锐角，故：2222sin 1cos cos cos 2cos cos ααβγβγ=-=+≥⋅，sin α∴≥同理：sin βγP ED F BCAD 1C 1B 1 A 1DC BA例22已知三棱锥ABC P -的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面PAB 、PBC 、PCA 与底面ABC 所成的二面角的平面角的大小分别为1θ、2θ、3θ，底面ABC 的面积为34. (1)证明:22tan tan tan 321≥⋅⋅θθθ；(2)若23tan tan tan 321=++θθθ，求该三棱锥的体积ABC P V -. 练 习 题例七、（1994年全国联赛一试）在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 （A ） 2,n n ππ-⎛⎫⎪⎝⎭； （B ） 1,n n ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭； （C ） 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭； （D ） 21,n n n n ππ--⎛⎫⎪⎝⎭．分析：根据正n 棱锥的结构特征，相邻两侧面所成的二面角应大于底面正n 边形的内角，同时小于π，于是得到（A ）．例八、（1992年全国联赛一试）设四面体四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，它们的最大值为S ，记1234S S S S Sλ+++=，则λ一定满足（A ） 24λ<≤； （B ） 34λ<<； （C ） 2.5 4.5λ<≤； （D ） 3.5 5.5λ<<． 分析：因为 i S S ≤ ()1,2,3,4i =所以12344S S S SS+++≤．特别的，当四面体为正四面体时取等号．另一方面，构造一个侧面与底面所成角均为45︒的三棱锥，设底面面积为S 4，则：()()1231231234123cos 451 2.5cos 45S S S S S S S S S S S S S S λ+++++⋅︒+++===+++⋅︒，若从极端情形加以考虑，当三棱锥的顶点落在底面上时，一方面不能构成三棱锥，另外此时有1234S S S S ++=，也就是2λ=，于是必须2λ>．故选（A ）．。
第六章 立体几何.ppt
６．２空间两条直线
三、两条异面直线所成的角
直线ａ，ｂ是异面直线，经过空间任意一点Ｏ，分别引直线ａ ′∥ａ，ｂ′∥ｂ，因为这两条相交直线和另外两条相交直线分别平行 时，两组直线所成的锐角（或直角）相等，所以直线ａ′和ｂ′所成的 锐角（或直角）的大小，只由直线ａ、ｂ的相互位置来确定，与点Ｏ 的位置无关，我们把直线ａ′和ｂ′所成的锐角（或直角）叫做异面直 线和ｂ所成的角，如图６－１５（ａ）～（ｃ）所示。
两个平面平行的判定定理１：如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （三）二面角
修筑堤坝时，为了使它经济耐久，必须使水坝面和水平面成适当 角度；车刀刀口也要根据用途的不同，磨成不同的角度，这些都说明 有必要讨论两个平面相交所成的角的问题．
平面内的一条直线，把这个平面分面两部分，每一部分叫做半平 面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直 线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面．
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６．１平面和平面的基本性质
图为几何里的平面是无限延展的，所以平行四边形仅是它所表 示的平面的一部分．平面通常用一个希腊字母α，β，γ等来表示。有 时亦用表示平面的平行四边形的两个相对顶点字母表示，如图６－１ （ａ）所示的平面记作平面ＡＣ。 （二）平面的基本性质
公理１ 如果一条直线上的两个点在一平面内，那么这条直线上 所有的点都在这个平面内。如图６－２（ａ）所示。
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６．５多面体
（三）棱柱的种类 ①以侧棱的位置分 侧棱和底面斜交，叫做斜棱柱；侧棱和底面垂直，叫做直棱柱； 底面是正多边形的直棱柱，叫做正棱柱． ②以侧棱的条数分 一个棱柱有几条侧棱就是几棱柱，也可说底面是几边形就是几棱 柱．
六年级下册数学课件图形的旋转一北师大版1
小结
(1)首先确定绕哪个端点旋转。 (2)从另一端点开始按旋转方向运动找到垂线位置。 (3)找到运动的端点的对应点,连接旋转点与对应点。
六 年 级 下 册 数学课 件-第1 节 图 形 的 旋 转（ 一）-北 师大版 (共12 张PPT)
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随堂小测
1.⑴下面两个钟面上，时针分别从几时走到了几时？ 哪个钟面的时针旋转的角度大？
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2时到4时
旋转角度大 3时到6时
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三 图形的运动
3.1 图形的旋转（一）
学习目标
1. 通过生活实例认识图形的旋转，体会图形旋转的基本要素。 2. 能在方格纸上画出绕线段的一个端点旋转90°后的线段。 3. 在活动中培养观察和动手操作能力，发展空间观念。
回顾复习
下面哪些运动是平移?哪些运动是旋转?
(1)小明向前笔直走了3米。 ( 平移 )
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
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⑴ 画出线段AB绕点B顺时针旋转90°后的线段 。⑵ 画出线段AB绕点A逆时针旋转90°后的线段
。
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小学六年级数学竞赛讲座 第6讲 几何综合之立体几何中的旋转体
平方厘米，体积是
立方厘米。（结果用 π
表示）
解：所得的几何体是一个大圆柱内挖掉一个小圆柱，
上下看的底面上 2×π×12=2π，侧面是 2π×1×1+2π× 1 × 1 =2 1 π，所以表面积=4 1 π（平方厘米）；
23 3
3
体积 V=π×12×1−π×( 1 )2× 1 = 11 （立方厘米）。 2 3 12
694517.76+645948.24=1340466，整个旋转体的体积是 2×1340466=2680932.
例 5．如图：，ABCD 是矩形，BC=6cm，AB=10cm，对角线 AC、BD 相交于 O，E、F 分 别是 AD 与 BC 的中点，图中的阴影部分以 EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体 图形的体积是多少立方厘米？（π 取 3） 解：因为 BC=6cm，AB=10cm，
7．如图，ABCD 是矩形，BC=6 厘米，AB=10 厘米，对角线 AC、BD 相交于 O，图中的阴影部分以 CD 为轴 旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？（π 取 3）
解：从上下两部分看，都是一个圆台挖掉一个圆锥，
圆台体积= 1 ×π×(62+6×3+32)×5=105π=315，圆锥的体积= 1 ×π×32×5=45，
所以白色部分旋转一周得到的是一个圆柱，挖掉两个圆锥，
体积 V=π×32×10−2× 1 ×π×32×5=60×π=180. 3
例 6．如图，将图中阴影部分按照中轴 AB 旋转一周，问阴影部分扫出的立体图形的体积是多少？
解：V1= 1 ×π×(52+3×5+32)×4− 1 ×π×(32+3×1+12)×4+π×12×4=52π，
曲线绕x轴旋转一周所得旋转体体积
曲线绕x轴旋转一周所得旋转体体积1. 引言曲线绕x轴旋转一周所得旋转体体积，是数学中一个经典的问题。
通过对该问题的深入探讨，不仅可以理解数学中的立体几何知识，更可以体会数学之美，感受数学的魅力。
在本文中，将从简单到复杂，由表面到深层，逐步探讨这一问题，希望能给读者带来不同的视角和思考方式。
2. 曲线绕x轴旋转一周所得旋转体体积的计算公式在学习曲线绕x轴旋转一周所得旋转体体积时，我们首先需要掌握的是计算公式。
一般而言，对于曲线y=f(x)在区间[a,b]上的一段弧段绕x轴旋转一周所得旋转体体积V的计算公式为：V = π∫[a,b] (f(x))^2 dx其中，π为圆周率，f(x)为曲线在x轴上的函数表达式。
3. 简单曲线的旋转体体积计算接下来，我们以一些简单的曲线为例，来计算其绕x轴旋转一周所得旋转体体积。
当给定曲线y=x^2在区间[0,2]上绕x轴旋转一周时，我们可以通过上述公式进行计算，得到旋转体体积为：V = π∫[0,2] x^4 dx通过简单的积分运算，即可得到该旋转体的体积。
这样的例子可以帮助我们更好地理解计算公式的实际运用过程。
4. 复杂曲线的旋转体体积计算除了简单曲线外，我们还需要关注一些复杂曲线的旋转体体积计算。
当给定曲线y=2x-1在区间[0,3]上绕x轴旋转一周时，将会涉及到更复杂的积分运算和处理。
这时，我们需要运用数学知识，进行分段函数的积分计算，才能得到准确的旋转体体积。
5. 总结与回顾通过以上探讨，我们对曲线绕x轴旋转一周所得旋转体体积有了更深入的理解。
我们学习了计算公式的运用，掌握了简单和复杂曲线的旋转体体积计算方法。
这不仅让我们了解了数学中立体几何的知识，更让我们体会到数学问题的复杂和美妙之处。
6. 个人观点和理解在我看来，曲线绕x轴旋转一周所得旋转体体积的问题虽然看似简单，但其中蕴含着丰富的数学内涵。
通过学习和探讨这一问题，我们不仅可以提升自己的数学能力，更能感受到数学所蕴含的智慧和美感。
6年级奥数培优讲义-6-立体图形与旋转体综合-难版
- 1 - 精品资料之奥数培优讲义适用：华杯、希望、年级：六年级科目：小学奥数内容：奥数培优教程（资料来源于学校内部，供各位老师学习交流使用，欢迎大家下载参考）在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下．见下图．在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。
【例1】★一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积．典型例题知识梳理【解析】一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．解题的关键在于求出底周长．根据条件：高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C ＝12.56÷2＝6.28（厘米）．这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了． 解答过程：底面周长（也是圆柱体的高）：12.56÷2＝6.28（厘米）． 侧面积：6.28×6.28＝39.4384（平方厘米） 两个底面积（取π＝3.14）：表面积：39.4384＋6.28＝45.7184（平方厘米）【例2】★★如图1，ABCD 是直角梯形(单位：厘米，3π=) ，（1）以AB 为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少? （2）如果以CD 为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到的旋转体体积是多少?【解析】（1）如图2所示，所求体积可看作BCDE 绕AB 的旋转体与△AED 绕AB 的旋转体之和，即22133361083πππ⨯+⨯⨯==(立方厘米)． （2）如图3所示，所求体积可看作ABCE 绕EC 的旋转体与△ADE 绕EC 的旋转体之差，即221363451353πππ⨯⨯-⨯⨯==(立方厘米)．【小试牛刀】（05年华罗庚金杯）一个直角三角形三条边的长度是3，4，5，如果以边长4为轴旋转一周，得到一个立体．求这个立体的体积．（对照例题11）【解析】 以长为4的直角边为轴旋转得到的立体也是圆锥，底面半径是3，由圆锥的体积公式得：2134123V ππ=⨯⨯=【例3】★★一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）．圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米．求这个粮囤的体积是多少立方米？【解析】按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积．但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆柱体，这时圆柱的高等于10.60.23⨯=（米）那么原来两个形体变成一个圆柱体，高是（2＋0.2）米．这样求出变化后直圆柱的体积就可以了．圆锥体化为圆柱体的高：10.60.23⨯= 底面积：体积：7.065×（2＋0.2）＝15.543（立方米）．【例4】★★皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中．皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为 60厘米．皮球有 2/3的体积浸在水中（下图）．问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？【解析】 皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高．这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积，就得到水面升高的高度． 球的体积：水桶的底面积：π×302＝900π（平方厘米）．【例5】★★下图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（保留一位小数）．【解析】直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等．剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积．正方体体积：63＝216（立方厘米）剩下体积占正方体的百分之几．（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％．答：剩下体积占正方体体积的73.8％【例6】★★有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？【解析】解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还要注意到零件的底面是圆环．由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略．但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面． 【解析】涂漆面积：＝3.14×（18＋60＋20）＝3.14×98＝307.72（平方厘米）． 答：涂油漆面积是307．72平方厘米．【例7】★★有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为266π10π()24π560π18π20π98π307.722⨯+⨯⨯+⨯=++==(平方厘米)．【小试牛刀】(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示) 【解析】当圆柱的高是12厘米时体积为210300π()122ππ⨯⨯=(立方厘米) 当圆柱的高是12厘米时体积为212360π()102ππ⨯⨯=(立方厘米)．所以圆柱体的体积为300π立方厘米或360π立方厘米．【例8】★★把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【解析】沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.562 6.28÷=厘米，底面半径为6.28 3.1421÷÷=厘米，所以原来的圆柱体的体积是2π188π25.12⨯⨯==(立方厘米)．【小试牛刀】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方 厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24412.56÷=(厘米)，侧面积是：12.5612.56157.7536⨯=(平方厘米)，两个底面积是：()23.1412.56 3.142225.12⨯÷÷⨯=(平方厘米)．所以表面积为：157.753625.12182.8736+=(平方厘米)．【例9】★★如图，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少水?【解析】设圆锥容器的底面半径为r ，则水面半径为2r ，容器的容积为：213r h π， 水的体积为：2221111()3222483r h r h r h πππ∙∙==⨯ 说明容器可以装8份3升水，故还能装水：3×(8－1)=21(升)．1. 在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积。
旋转体【公开课教学PPT课件】
• 下列说法中正确的是( ) • A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段
是圆柱的母线
• B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还 是一个圆柱体
• C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 • D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 • [答案] C
• 4．以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形 成的旋转体是________．
• [答案] 圆台
• [解析] 等腰梯形的对称轴将等腰梯形分成两 个全等的直角梯形，故旋转后形成圆台．
• 5．边长为4的等边三角形ABC绕∠BAC的平 分线所在的直线旋转所得圆锥的高h＝ ____________，底面半径r＝__________.
• [错解] A
• [辨析] 若两点连线恰为球的直径，则可作无 数个大圆；若两点连线不是直径，则可作一 个大圆．
• [正解] B
被不经过___球_心____的平面截得的圆叫作球的小圆．
• 把地球看作一个球时，经线是球面上从北极到南极 的半个___大_____圆，赤道是一个___大_____圆，其 余的纬线都是___小_____圆．
• ②球面距离
• 在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的 大圆在这两点间的一段劣弧的长度．这段弧长叫作 两点的_球__面_距__离__．
第一章 立体几何初步
第一章
§1 简单几何体 1．1 简单旋转体
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
3 易错疑难辨析
课前自主预习
• 新华网西昌2010年1月17日电：1月17日0时 12分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三 号”运载火箭发射第三颗北斗导航卫星．这 是中国今年的首次卫星发射，也是长征系列 运载火箭的第122次飞行．众所周知，要发 射卫星必须要有大推力的运载火箭，那么运 载火箭什么模样？
高中数学第六章立体几何初步6.1.3简单旋转体_球圆柱圆锥和圆台课件北师大版必修第二册
2.下列几何体中不是旋转体的是 ( ) 【解析】选D.由旋转体的概念可知,选项D不是旋转体.
3.(教材二次开发:练习改编)用一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则
这个几何体一定是
()
A.圆柱
B.圆锥
C.球
D.圆台
【解析】选C.由球的性质可知,用平面截球所得截面都是圆面.
关键能力·合作学习
类型一 旋转体的结构特征(直观想象) 【题组训练】 1.给出下列命题: ①用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和圆台;②圆锥的顶点、底面圆的圆心与 圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形;③一直角梯形 绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;④圆柱的任意两 条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是________(只填序号).
1.圆锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为1∶2,则此圆
锥的高被分成的两段之比为 ( )
A.1∶2
B.1∶4
C.1∶( 2 +1)
D.1∶( 2 -1)
【解析】选D.根据相似性,若截面面积与底面面积之比为1∶2,则对应小圆锥
与原圆锥高之比为1∶ 2,那么圆锥的高被截面分成的两段之比为1∶( -1)2 .
【解题策略】 旋转体的轴截面中有母线、底面半径、高等主要元素,因而在涉及这些元素的 计算时,通常利用轴截面求解.在圆台的轴截面中,将等腰梯形的两腰延长,在 三角形中可借助相似求解.将立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用 的方法.
【跟踪训练】 已知一个圆锥的底面半径为r,高为h,在此圆锥内有一个内接正方体,这个内接 正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上,求此正方体的棱长.
2.表示方法:用表示它的旋转轴的字母来表示,
奥数六年级千份讲义9005立体图形和旋转体
✧ 参考书目：导引六年级第6讲；课本六年级上学期第5，6，7讲。
✧ 本讲重点内容总结：一、旋转体的概念：轴，高，底面，侧面，母线。
二、长方体，正方体，圆柱体，圆锥体的体积公式，侧面积公式，表面积公式。
三、正方体的剪拼以及染色问题。
四、能够熟练、清晰、准确的画出常见立体图形，要求画出的图形能够看见图形背后被挡住的部分，并能够在图形上面任意添加辅助线。
✧ 例题以及练习1. 从一个底边半径为10的圆柱体原材料上斜着切了一刀，得到一个零件，它的左边最矮处的高度为40，右边最高处为50，那么这个零件的体积为多少？侧面积为多少？2. 一个长和宽分别为10和5的长方形可以将两个宽粘在一起，围成一个圆柱体；也可以将两个长粘在一起围成一个圆柱体。
这两个圆柱体的体积比为多少？3. 从一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到一个如下图的几何体。
求这个几何体的表面积和体积。
4. 在如图所示的圆锥中，AB 和BC 长均为10厘米，底面圆周长为 10厘米。
这个圆锥体的侧面积为多少？有一只小虫准备从A 点出发，沿着锥面爬到线段BC ，那么它爬行的最短距离是多少厘米？5. 一个盛有水的正方体容器的棱长为20，水深为15。
今将一个底面半径为5，高为20的铁圆柱垂直放入容器中，求这时容器的水深是多少？(取π为227)6. 一个盛水的容器是由两个圆柱体组成的，大圆柱体底面半径10cm ，并且它的底面半径和高都是小圆柱体的2倍。
现在容器里有一些水，水面距离容器还有11cm ，如果把容器倒过来，水面距离顶部有5cm ，那么这个容器的容积是多少？BAC7. 用棱长是1厘米的立方体拼成下图所示的立体图形。
求这个立体图形的表面积。
8. 如图，同样大小的立方体木块堆放在房间的一角，一共垒了40层，那么在这40层中的木块共有多少个？如果每个木块的棱长为1，那么可以看见的表面积一共为多少？9. 将一个棱长为25的立方体的8个角分别切掉棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的立方体后表面积为多少？10. 今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体．问剩下的体积是多少立方厘米？11. 图中是一个边长为5厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，它的表面积是多少平方厘米？如果将它的表面刷上红漆，然后将它分割成119块棱长为1厘米的小正方体，那么有多少个小正方体的1个面被染了红漆？有多少个小正方体的2个面被染了红漆？有多少个小正方体的3个面被染了红漆？12. 思考题：图中是一个边长为5厘米的正方体，分别在前、右、上三个面的中心位置垂直将正方体挖穿，形成一个边长1厘米的正方形空洞。
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解：设每层纸的厚度为 x 厘米， 展开后的面积为 11.4×11×300=37620 平方厘米，体积是 37620×2x 立方厘米； 卷起来之后的体积是 π×(5.82−2.32)×11=935.55， 所以 37620×2x=935.55，解得 x=0.01243 厘米≈0.12 毫米。
例 8．证明圆台的体积公式是 V 圆台= h (R2 Rr r2 ) （h 是圆台的高，R 是下底面 3
33
3
模块三、旋转体应用
例 7．图中所示的是我们生活中常用的卷筒卫生纸，你知道每层卫生纸有多厚吗？从卫生纸的包装纸上得到
以下资料：“两层 300 格，每格 11.4cm×11cm”。我们用尺子量出整卷卫生纸的内外半径分别为 2.3cm 和
5.8cm，那么每层卫生纸的厚度为
毫米（π取 3）。（精确到 0.01mm）
以 AB 为轴旋转一周，所形成的几何体的体积是 V= 1 ×π×( 12 )2×5= 48 π.
35
5
5．已知，直角梯形 ABCD，2AB=DC，AB=BC=5 厘米，梯形以 BC 为轴旋转一周，则白色部分扫出来的立
体图形的体积是
立方厘米。（π 取 3.14）
解：AB=BD=5 厘米，所以 CD=2AB=10 厘米，
2．将高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱组成一个物体，这个物体的表面积是 平方米。（π 取 3.14）
解：从俯视图看，上下都是一个大圆的面积即 π×1.52=2.25π，所以两个底面面积是 4.5π， 三个侧面分别是 2π×1.5×1、2π×1×1、2π×0.5×1，所以侧面积为 6π， 于是表面积是 10.5π=32.97 平方米。
72
120 96
E 28O
F
小三角形 ABE 的高为 AE=72，OE=100−72=28，
75 200
OC=100，所以 OG=75，
BG
C
△ABE 绕对角线 AC 旋转一周，得到一个圆锥的体积是 V1= 1 ×π×962×72=694517.76， 3
直角梯形 OGBE 绕 AC 旋转一周得到一个圆台的体积是 V2= 1 ×π×(962+96×75+752)×28=645948.24， 3
白色部分扫出来的立体图形是一个圆台挖掉一个圆锥，
所以体积 V= 1 ×π×5×(102+10×5+52)− 1 ×π×52×5=250π=785（立方厘米）。
3
3
6．如图，从正方形 ABCD 上截去长方形 DEFG，其中 AB=1 厘米，DE= 1 厘米，DG= 1 厘米，将 ABCGFE
2
3
以 GC 边为轴旋转一周，所得的几何体的表面积是
模块二、旋转体： 例 3．图中，如果以 CD 为轴旋转一周后得到的物体体积是多少？（π 取 3.14）
解：V=π×32×6− 1 ×π×32×3=45π=141.3 立方厘米. 3
例 4．一个长方形的宽是 120，长是 160，将它绕着对角线旋转一圈，旋转体的体 A
160
D
积是
。
解：长方形的宽是 120，长是 160，对角线 AC 的长是 200， 由两个顶点 B、D 分别向对角线 AC 作垂线，垂线长为 BE=DF=96，
解：以 BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 1 ×π×AC2×BC=16π， 3
以 AC 边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为 1 ×π×BC2×AC=12π， 3
所以 AC 4 ，代入解得 AC=4，BC=3，所以 AB=5， BC 3
以 AB 为底，三角形的高是 CD= 12 ， 5
半径，r 是上底面半径）
证明：将圆台补成一个圆锥，截面如图所示
下底面半径为 R，上底面半径为 r，高为 h，
设大圆锥的高为 H，小圆锥的高为 H−h，所以 H h r ， HR
得 H= hR ，H−h= hr ，
Rr
Rr
所以 V 圆台= 1 ×π×R2× hR − 1 ×π×r2× hr = 1 ×π× hR3 hr3 = h (R2 Rr r2 ) 。
7．如图，ABCD 是矩形，BC=6 厘米，AB=10 厘米，对角线 AC、BD 相交于 O，图中的阴影部分以 CD 为轴 旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？（π 取 3）
解：从上下两部分看，都是一个圆台挖掉一个圆锥，
圆台体积= 1 ×π×(62+6×3+32)×5=105π=315，圆锥的体积= 1 ×π×32×5=45，
3
3
所以扫出的体积为(315−45)×2=540。
8．如图，有一卷圆柱形彩纸，它的高是 13 厘米，底面直径是 8 厘米，彩纸的厚度是 0.2 毫米，那么这卷彩
纸展开后的长度约是
米。（π 取 3.14）
解：圆柱的体积=π×42×13，所以展开后的面积是(π×42×13)÷0.02=800π×13， 展开后是一个长方形，宽是 13 厘米，于是长度是 800π=2512 厘米=25.12（米）。
所以白色部分旋转一周得到的是一个圆柱，挖掉两个圆锥，
体积 V=π×32×10−2× 1 ×π×32×5=60×π=180. 3
例 6．如图，将图中阴影部分按照中轴 AB 旋转一周，问阴影部分扫出的立体图形的体积是多少？
解：V1= 1 ×π×(52+3×5+32)×4− 1 ×π×(32+3×1+12)×4+π×12×4=52π，
694517.76+645948.24=1340466，整个旋转体的体积是 2×1340466=2680932.
例 5．如图：，ABCD 是矩形，BC=6cm，AB=10cm，对角线 AC、BD 相交于 O，E、F 分 别是 AD 与 BC 的中点，图中的阴影部分以 EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体 图形的体积是多少立方厘米？（π 取 3） 解：因为 BC=6cm，AB=10cm，
平方厘米，体积是
立方厘米。（结果用 π
表示）
解：所得的几何体是一个大圆柱内挖掉一个小圆柱，
上下看的底面上 2×π×12=2π，侧面是 2π×1×1+2π× 1 × 1 =2 1 π，所以表面积=4 1 π（平方厘米）；
21 )2× 1 = 11 （立方厘米）。 2 3 12
3
Rr 3
Rr 3
Rr 3
Hr h
R
随堂测试
1．有一根长为 20 厘米，直径为 6 厘米的圆钢，在它的两端各钻一个 4 厘米深，底面直径也为 6 厘米的圆
锥形的孔，做成一个零件（如图所示），这个零件的体积为
立方厘米。（取 3.14）
解：V=π×32×20−2× 1 ×π×32×4=489.84 立方厘米。 3
3
3
V2=π×82×4−π×(62−32)×2=202π，
V3=π×12×4=4π， V4=π×82×3=192π， V5=π×12×5=5π，
V6= 1 ×π×(32+3×1+12)×2= 26 π， V7=π×12×2− 1 ×π×12×1= 5 π，
3
3
3
3
所以 V=52π+202π+4π+192π+5π+ 26 π+ 5 π=465 1 π。
说明：允许倾斜放置。
例 2．左边正方形的边长为 4，右边正方形对角线长度为 6，如果按照图中所示的方式
旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是 b : a（最简整数比），则 a+b=
.
解：V1=π×22×4=16π， V2=2× 1 ×π×32×3=18π， 3
所以 b : a=8 : 9，b=8，a=9，a+b=17.
球体体积、表面积公式
V 球= 4 r3 ，S 球= 4 r2 ，r 是球半径。 3
例 1．如图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为 10 厘米，高为 15 厘米，在侧面距
离底面 9 厘米的地方有个洞，这个容器最多能装
毫升水。（π 取 3.14）
解：V=π×52×9+ 1 52 6 =706.5+235.5=942（毫升）。 2
第六讲 几何综合之立体几何中的旋转体
模块一、圆柱、圆锥基础： 圆锥体积、表面积公式
V 圆锥= 1 r2 h ，S 圆锥= r2 rl ，l 是母线长度，h 是圆锥高度。 3
圆柱体积、表面积公式
V 圆柱= r2 h ，S 圆柱= 2 r2 2 rh ，r 是底面半径，h 是圆柱高度。
3．已知，直角梯形 ABCD，2AB=DC，AB=BD=5 厘米，梯形以 BD 为轴旋转一周，扫出来的立体图形的体
积是
立方厘米。（π 取 3）
解：AB=BD=5 厘米，所以 CD=2AB=10 厘米，
圆台的体积 V= 1 ×π×5×(102+10×5+52)=875（立方厘米） 3
4．如图，直角三角形如果以 BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 16π，以 AC 边为轴旋转一 周，所形成的圆锥的体积为 12π，那么以 AB 为轴旋转一周，所形成的几何体的体积是多少？（结果保留 π）。