小学六年级数学竞赛讲座 第6讲 几何综合之立体几何中的旋转体

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所以扫出的体积为(315−45)×2=540。
8．如图，有一卷圆柱形彩纸，它的高是 13 厘米，底面直径是 8 厘米，彩纸的厚度是 0.2 毫米，那么这卷彩
纸展开后的长度约是
米。（π 取 3.14）
解：圆柱的体积=π×42×13，所以展开后的面积是(π×42×13)÷0.02=800π×13， 展开后是一个长方形，宽是 13 厘米，于是长度是 800π=2512 厘米=25.12（米）。
第六讲 几何综合之立体几何中的旋转体
模块一、圆柱、圆锥基础： 圆锥体积、表面积公式
V 圆锥= 1 r2 h ，S 圆锥= r2 rl ，l 是母线长度，h 是圆锥高度。 3
圆柱体积、表面积公式
V 圆柱= r2 h ，S 圆柱= 2 r2 2 rh ，r 是底面半径，h 是圆柱高度。
说明：允许倾斜放置。
例 2．左边正方形的边长为 4，右边正方形对角线长度为 6，如果按照图中所示的方式
旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是 b : a（最简整数比），则 a+b=
.
解：V1=π×22×4=16π， V2=2× 1 ×π×32×3=18π， 3
所以 b : a=8 : 9，b=8，a=9，a+b=17.
白色部分扫出来的立体图形是一个圆台挖掉一个圆锥，
所以体积 V= 1 ×π×5×(102+10×5+52)− 1 ×π×52×5=250π=785（立方厘米）。
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6．如图，从正方形 ABCD 上截去长方形 DEFG，其中 AB=1 厘米，DE= 1 厘米，DG= 1 厘米，将 ABCGFE
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以 GC 边为轴旋转一周，所得的几何体的表面积是
球体体积、表面积公式
V 球= 4 r3 ，S 球= 4 r2 ，r 是球半径。 3
例 1．如图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为 10 厘米，高为 15 厘米，在侧面距
离底面 9 厘米的地方有个洞，这个容器最多能装
毫升水。（π 取 3.14）
解：V=π×52×9+ 1 52 6 =706.5+235.5=942（毫升）。 2
所以白色部分旋转一周得到的是一个圆柱，挖掉两个圆锥，
体积 V=π×32×10−2× 1 ×π×32×5=60×π=180. 3
例 6．如图，将图中阴影部分按照中轴 AB 旋转一周，问阴影部分扫出的立体图形的体积是多少？
解：V1= 1 ×π×(52+3×5+32)×4− 1 ×π×(32+3×1+12)×4+π×12×4=52π，
以 AB 为轴旋转一周，所形成的几何体的体积是 V= 1 ×π×( 12 )2×5= 48 π.
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5．已知，直角梯形 ABCD，2AB=DC，AB=BC=5 厘米，梯形以 BC 为轴旋转一周，则白色部分扫出来的立
体图形的体积是
立方厘米。（π 取 3.14）
解：AB=BD=5 厘米，所以 CD=2AB=10 厘米，
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模块三、旋转体应用
例 7．图中所示的是我们生活中常用的卷筒卫生纸，你知道每层卫生纸有多厚吗？从卫生纸的包装纸上得到
以下资料：“两层 300 格，每格 11.4cm×11cm”。我们用尺子量出整卷卫生纸的内外半径分别为 2.3cm 和
5.8cm，那么每层卫生纸的厚度为
毫米（π取 3）。（精确到 0.01mm）
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Rr 3
Rr 3
Rr 3
Hr h
R
随堂测试
1．有一根长为 20 厘米，直径为 6 厘米的圆钢，在它的两端各钻一个 4 厘米深，底面直径也为 6 厘米的圆
锥形的孔，做成一个零件（如图所示），这个零件的体积为
立方厘米。（取 3.14）
解：V=π×32×20−2× 1 ×π×32×4=489.84 立方厘米。 3
7．如图，ABCD 是矩形，BC=6 厘米，AB=10 厘米，对角线 AC、BD 相交于 O，图中的阴影部分以 CD 为轴 旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？（π 取 3）
解：从上下两部分看，都是一个圆台挖掉一个圆锥，
圆台体积= 1 ×π×(62+6×3+32)×5=105π=315，圆锥的体积= 1 ×π×32×5=45，
解：以 BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 1 ×π×AC2×BC=16π， 3
以 AC 边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为 1 ×π×BC2×AC=12π， 3
所以 AC 4 ，代入解得 AC=4，BC=3，所以 AB=5， BC 3
以 AB 为底，三角形的高是 CD= 12 ， 5
解：设每层纸的厚度为 x 厘米， 展开后的面积为 11.4×11×300=37620 平方厘米，体积是 37620×2x 立方厘米； 卷起来之后的体积是 π×(5.82−2.32)×11=935.55， 所以 37620×2x=935.55，解得 x=0.01243 厘米≈0.12 毫米。
例 8．证明圆台的体积公式是 V 圆台= h (R2 Rr r2 ) （h 是圆台的高，R 是下底面 3
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V2=π×82×4−π×(62−32)×2=202π，
V3=π×12×4=4π， V4=π×82×3=192π， V5=π×12×5=5π，
V6= 1 ×π×(32+3×1+12)×2= 26 π， V7=π×12×2− 1 ×π×12×1= 5 π，
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所以 V=52π+202π+4π+192π+5π+ 26 π+ 5 π=465 1 π。
2．将高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱组成一个物体，这个物体的表面积是 平方米。（π 取 3.14）
解：从俯视图看，上下都是一个大圆的面积即 π×1.52=2.25π，所以两个底面面积是 4.5π， 三个侧面分别是 2π×1.5×1、2π×1×1、2π×0.5×1，所以侧面积为 6π， 于是表面积是 10.5π=32.97 平方米。
694517.76+645948.24=1340466，整个旋转体的体积是 2×1340466=2680932.
例 5．如图：，ABCD 是矩形，BC=6cm，AB=10cm，对角线 AC、BD 相交于 O，E、F 分 别是 AD 与 BC 的中点，图中的阴影部分以 EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体 图形的体积是多少立方厘米？（π 取 3） 解：因为 BC=6cm，AB=10cm，
半径，r 是上底面半径）
证明：将圆台补成一个圆锥，截面如图所示
下底面半径为 R，上底面半径为 r，高为 h，
设大圆锥的高为 H，小圆锥的高为 H−h，所以 H h r ， HR
得 H= hR ，H−h= hr ，
Rr
Rr
所以 V 圆台= 1 ×π×R2× hR − 1 ×π×r2× hr = 1 ×π× hR3 hr3 = h (R2 Rr r2 ) 。
模块二、旋转体： 例 3．图中，如果以 CD 为轴旋转一周后得到的物体体积是多少？（π 取 3.14）
解：V=π×32×6− 1 ×π×32×3=45π=141.3 立方厘米. 3
例 4．一个长方形的宽是 120，长是 160，将它绕着对角线旋转一圈，旋转体的体 A
Hale Waihona Puke Baidu
160
D
积是
。
解：长方形的宽是 120，长是 160，对角线 AC 的长是 200， 由两个顶点 B、D 分别向对角线 AC 作垂线，垂线长为 BE=DF=96，
3．已知，直角梯形 ABCD，2AB=DC，AB=BD=5 厘米，梯形以 BD 为轴旋转一周，扫出来的立体图形的体
积是
立方厘米。（π 取 3）
解：AB=BD=5 厘米，所以 CD=2AB=10 厘米，
圆台的体积 V= 1 ×π×5×(102+10×5+52)=875（立方厘米） 3
4．如图，直角三角形如果以 BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 16π，以 AC 边为轴旋转一 周，所形成的圆锥的体积为 12π，那么以 AB 为轴旋转一周，所形成的几何体的体积是多少？（结果保留 π）。
平方厘米，体积是
立方厘米。（结果用 π
表示）
解：所得的几何体是一个大圆柱内挖掉一个小圆柱，
上下看的底面上 2×π×12=2π，侧面是 2π×1×1+2π× 1 × 1 =2 1 π，所以表面积=4 1 π（平方厘米）；
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体积 V=π×12×1−π×( 1 )2× 1 = 11 （立方厘米）。 2 3 12
72
120 96
E 28O
F
小三角形 ABE 的高为 AE=72，OE=100−72=28，
75 200
OC=100，所以 OG=75，
BG
C
△ABE 绕对角线 AC 旋转一周，得到一个圆锥的体积是 V1= 1 ×π×962×72=694517.76， 3
直角梯形 OGBE 绕 AC 旋转一周得到一个圆台的体积是 V2= 1 ×π×(962+96×75+752)×28=645948.24， 3