113集合的基本运算
1.1.3 集合的基本运算
若对任意x∊A，都有x ∊B,则 A⊆B。
Venn图 用平面上封闭 的曲线的内部 表示集合
图 形
语 AB
言
1.1.3.集合的基本运算 ----并集和交集
1.并集
定义:由所有属于集合A或集合B的元素组成的 集合,称为集合A和B的并集。
记作: A B 读作: A并B
即A B={x|xA，或xB} Venn图表示
【练习】设集合A {1，2},则满足A B
{1，2，3}的集合B的个数是（C）.
A.1 B.3 C.4 D.8
[例5] 设A={x | -1< x <2}， B={x | 1< x <3}，求A∪B。
-2 -1 0 1 2 3 x
解：A∪B={x | -1< x <3}。
1、已知A {x x 1},B {x x a}, 且A B R，求a的取值范围.
称集合U为全集，集合B为集合A对于全集U 的补集.
定义：
1.一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集. 记作: U
2. 对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有 元素组成的集合称为集合A对于全集U的补集.
记作：UA，读作（A在U中的补集）
CU A {x | x U, 且x A} U
2.交集
P11练习2,3
定义:由属于集合A且属于集合B的所有元素组成
的集合，称为集合A与B的交集.
记作: A B 读作“A交B”
即A B ＝{x | x A,且x B}.
P127,8.
注意：当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有 交集，而是A∩B＝∅.
113集合的基本运算2
B {x | x bx a 0} ,若 A B {1} ，求 A B
2
{-1，0，1}
课堂小结
１、交集和并集的概念及表示方法；
２、利用求两个集合的交集和并集 ； 3、注意运用数形结合的思想方法。
A
6 6 14
B
画出Venn图右图, 可知没有参加过比赛的 同学有 45 12 20 6 19. 答 这个班共有19 名同学没有参加过比赛.
例3 设A x | x 0 , B x | x 1 , 求 A B 和 A B .
前课复习
补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一 个子集（即A S），由S中所有不属于A的 元素组成的集合，叫做S中子集A的补集。 表示：CsA=｛x|x∈S,但x A｝
练习：1、如果全集U={x|0≤X<6,X∈Z},A=｛1,3,5｝, B=｛1,4｝那么，C A=｛0,2,4｝
U
CUB= ｛0,2,3,5｝。 2、如果全集U={x|0<x<10},A={x|2<x<5}, 则CUA= {x|0<x ≤ 2或5 ≤ x<10}。
A A A, A A
思考3:若 A B ，则 A B 等于什么？反之成 立吗？ A B A B B 思考4:若 A B ，则说明什么？
A B
A 思考5： CU A等于什么？
AC A U
U
常见结论
思考6:集合A、B与集合 A B的关系如何？ A B 与 B A的关系如何？ A A B B A B A B B A
例 2 学校举办了排球 赛 , 某 班 45 名同学中有12 名同学参赛 . 后 来又 举 办了田径 赛, 这个班有 20 名同学参赛已知两项都参赛的 . 有 6 名同学.两项比赛中, 这个班共的多少名同学没参加过比赛 ?
集合的基本运算(一)交集、并集
课时计划年级班第周星期第节月日教材 1.1.3 集合的基本运算（一）交集、并集教学目的理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系，会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题。
重点难点交集与并集的概念，数形结合的思想。
理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。
教具教法教学内容与步骤一、复习准备：1.已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则A S， {x|x∈S且x∉A}= 。
2.用适当符号填空：0 {0} 0 ΦΦ {x|x2＋1＝0,X∈R}{0} {x|x<3且x>5} {x|x>6} {x|x<－2或x>5} {x|x>－3} {x>2}二、讲授新课：1.教学交集、并集概念及性质：①探讨：设{4,5,6,8}A=，{3,5,7,8}B=，试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）.②讨论：如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？③定义交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集。
记作A∩B，读“A交B”，即：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。
④讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？→ A∩A＝ A∩Φ＝⑤图示五种交集的情况：…A BA(B) A B BAB A教学内容与步骤⑥练习（口答）：A＝{x|x>2}，B＝{x|x<8}，则A∩B＝；A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝。
⑦定义并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集。
记作：A∪B，读作：A并B。
用描述法表示是：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}⑧分析：与交集比较，注意“且”与“或”条件；“x∈A或x∈B”的三种情况。
⑨讨论：A∪B与集合A、B的关系？→ A∪A＝ A∪Ф＝ A∪B与B∪A⑩练习（口答）：A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝ ;A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝ ;A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝，A∩B＝。
113集合间的基本运算p_2023年学习资料
AUB-2016.09
性质-1A∩A=AA∩φ =Φ -A∩B-B∩A-2AUA=AAU中=A-AUB =BUA-2016.09
3A∩B-CA-CB-4-ACAUB-BCAUB-2016.09
⑤若A∩B-A,则AB.-反之，亦然，-⑥若AUB=A,则A2B.-2016.09
例题讲解-例1设AxX是等腰三角形-B=X水是直角三角形}，-则A∩B=等腰直角三角形-2016.09
集合之间的适并司数裸-2016.09
1.2004年全国设集合U{1,2,3,4,5A={1,2,3-B=2,5则A1CB=-A.{2}-B.{ ,3}-C,{3}-D.{1,3-2.2006年辽宁设集合A1,2,则满足-AYB=1,2,3的集合B的个 -A.1-B.3-C.4-D.8-3.2006年江苏设A、B、C为三集合，-AYB=BIC,则一定-A.A A-C.A≠C-D.A=中-2016.09
高2019级裸件-1.1.3集合间的基本运算
观寨集合A,BU元素间的关系：-A4,5,6,8,-B=3,5,7,8,-C5,8}-2016.09
定义-一般地，由既属于集合A又属于集合-B的所有元素组成的集合叫做A与B-的交集-记作-A∩B-读作-A交 -即A∩B=XX∈A,且X∈B}-2016.09
A-B-A∩B-2016.09
观察集合A,B,C元素间的关系：-A4,5,6,8-B=3,5,7,8,-C3,4,5,6,7,8}-20 6.09
定义-般地，由属于集合A或属于集合B-的所有元素组成的集合叫做A与B-的并集-记作-AUB-读作-A并BAUB=X丫∈A,或X∈B时-2016.09
4.设集合e{0,1,2,4,57},P-{4,7,-9】-N={1,4,6,8,9,则MNYMIP-D.{1,4}-B.{1,7}-C.{4,7}-D.{1,4,7-AI BYC=-AI BYAIC-AYBI CAYBIAYC-2016.09
高一数学113集合的基本运算(一)1
例2设集合A＝{x |－1＜x＜2}， 集合B＝{x | 1＜x＜3}，
求A∪B．
例2设集合A＝{x |－1＜x＜2}， 集合B＝{x | 1＜x＜3}，
求A∪B．
－1
123 x
例2设集合A＝{x |－1＜x＜2}， 集合B＝{x | 1＜x＜3}，
求A∪B．
1.并 集
定义：由所有属于集合A或B的元素组成 的集合，称为集合A与集合B的并集，记 作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}.
1.并 集 定义：由所有属于集合A或B的元素组成 的集合，称为集合A与集合B的并集，记 作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}.
用Venn图表示为：
AB
新课
示例1：观察下列各组集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}； ② A∩A＝A，A∪A＝A，
A∩＝，A∪＝A； ③ A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A.
课堂练习
教材P.11练习第1、2、3题
课后作业
教材P.12习题1.1A组第6、7、8题 B组第1、2题
2.交 集 定义：由两个集合A、B的公共部分组成 的集合，叫这两个集合的交集，记作 A∩B＝C＝{x|x∈A且x∈B}，读作A交B.
用Venn图表示为：
AB
例4⑴ A＝{2，4，6，8，10}， B＝{3，5，8，12}， C＝{6，8}，
求①A∩B ②A∩(B∩C) ;
⑵ A＝{x |x是某班参加百米赛的同学}， B＝{x |x是某班参加跳高的同学}， 求A∩B.
例5设集合A＝{y|y＝x2，x∈R}， B＝{(x, y)|y＝x＋2，x∈R}，
则A∩B ＝( )
A.{(－1, 1)，(2, 4)} B. {(－1, 1)}
113集合的基本运算
引导学生通过观察，类比§ 1.1.3集合的基本运算一.教学目标：1. 知识与技能(1) 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集(2) 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3) 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用2. 过程与方法学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算.3. 情感.态度与价值观(1) 进一步树立数形结合的思想.(2) 进一步体会类比的作用.(3) 感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确二.教学重点.难点重点：交集与并集，全集与补集的概念.难点：理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系.三.学法与教学用具1. 学法：学生借助Venn图，通过观察.类比.思考.交流和讨论等，理解集合的基本运算2. 教学用具：投影仪.四.教学思路(一)创设情景，揭示课题问题1:我们知道，实数有加法运算。
类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A.B之间的关系吗？(1) A 二｛1,3,5｝, B 二｛2,4,6｝, C 二｛1,2,3,4,5,6｝;(2) A二｛x|x是理数｝, B二｛x|x是无理数｝, C二｛x|x是实数｝.思考和交流，得出结论。
教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容。
(二)研探新知I. 并集—般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：A U B.读作：A并B.其含义用符号表示为：A U B=｛x|x A, 或x B｝用Venn图表示如下：请同学们用并集运算符号表示问题1中A, B, C三者之间的关系•练习.检查和反馈(1) 设A={4, 5, 6, 8) , B={3, 5, 7, 8)，求A U B.(2) 设集合A ={x| —1 ：：： x ::: 2},集合B ={ x|1 ：：：x ：：：3},求AU B.让学生独立完成后，教师通过检查，进行反馈，并强调：(1)在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次(2) 对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题.2. 交集(1)思考：求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？请同学们考察下面的问题，集合 A.B与集合C之间有什么关系？② A 二{2,4,6,8,10}, B 二{3,5,8,12}, C 二{8};②A二{x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级女同学}. B={x| x是新华中学2004年9月入学的高一年级同学} , C={x| x是新华中学2004年9月入学的高一年级女同学}.教师组织学生思考.讨论和交流，得出结论，从而得出交集的定义；一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：A A B.读作：A交B其含义用符号表示为：A“B 二{x|x A,且x B}.接着教师要求学生用Venn图表示交集运算.(2)练习.检查和反馈①设平面内直线h上点的集合为L1，直线h上点的集合为L2，试用集合的运算表示h的位置关系.②学校里开运动会，设A={ x | x是参加一百米跑的同学}, B={ x | x是参加二百米跑的同学}, C={ x | x是参加四百米跑的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释集合运算A n B与A n C的含义.学生独立练习，教师检查，作个别指导.并对学生中存在的问题进行反馈和纠正.(三)学生自主学习，阅读理解1 •教师引导学生阅读教材第10〜11页中有关补集的内容，并思考回答下例问题：Venn 图又表示? A . 1 B. 2 , 0 或—1 2.设集合 A = Xx=2k,k N 】, C. 2或十1 D.不存在B J xx =3k,k N?,则 A B3.已知全集U 」1,2,3,4,5,6,7,8匚 (1) 什么叫全集？(2) 补集的含义是什么？用符号如何表示它的含义？用(3)已知集合A ={x|3乞x ：：： 8},求*(4 )设S={x | x 是至少有一组对边平行的四边形 }，A={x | x 是平行四边形}，B={ x | x 是菱形}，C={x | x 是矩 形}，求 B P1C,痧B, S A .在学生阅读•思考的过程中，教师作个别指导，待学生经过阅读和思考完后，请学生回答上述问题，并及时给予评 价•(四) 归纳整理，整体认识1 •通过对集合的学习，同学对集合这种语言有什么感受?2 .并集.交集和补集这三种集合运算有什么区别？(五) 作业1 •课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？2 •请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集 •交集和补集的现实含义3 .书面作业：教材第 12页习题1.1A 组第7题和B 组第4题.A 组一、选择题1 •集合 M = 1,3,t \ N 」t 2-t ，1 [若 M N 二 M ，则 t 的值是( )C. {xx=2k,“ N}A ='3,4,5[B 「1,3,6：,那么集合「2,7,8是A . AB B. A B C.C U A B D. C U A B4. 非空集合P , Q , R 满足关系P Q =Q , Q R =Q ，则P , R 的关系是（）A . P=R B. P R C. R P D. Q R 二 Q5. 已知I 为全集，集合 M , Nb I ，则M N = N ，则（ ）A. G M 二G NB. M M G NC. G M J G ND. M 二G N6.设全集I =*x,y k,y E R，集合M =』（x,y）士弓=1 >, N = Qx,y b y 式x+ "，那么°M 等于（）x —2A •.一 B. 〈2,3 1 C. 2,3 D. ；x,yy^x !二、填空题7 •设集合M =旬—1兰x <2}, N =如Ea}，若M “N =0，则实数a的取值范围是_____________________________ .&已知集合P={XX K2,X^R}, Q= {xx2_x_2=0,xE N }，贝卩P^Q=________________ •9 •已知全集1 = 2,0,3- a2子集P =「2,a2-a-2：, GP—-心，则实数a= __________________ .10.已知A = .x2- ax E x—a,a^ R >, B = &2E x+1 兰4〉，若A J B = B，贝V a 的取值范围为 ___________________________11 •设U，2,3,a22a—3^, A = b,2?, CuA「5)贝V a+b= ______________ .12 .已知集合A = "x x2-4mx • 2m • b = 0, x ：= B - ；xx ：：：0, x ■ R，若A B 1，则实数m 的取值范围为三、解答题13 •已知集合A = J|x2+px+q=0>, B=Jx2—px—2q=0>，且A^B = i-1，求A J B .14 •全集U=Z.集合A = ( x2—3x -28 兰0〉, B = J] x -1 < 2a>,若B C u A = B，求a 的取值范围.高考练习：1•设U={x | x 是小于9 的正整数} A={1,2,3,4} , B={3,4,5,6},贝U C u A QC U B=()。
113集合的基本运算
§1.1.3集合的基本运算上一节，我们学习了集合间的基本关系，熟悉了子集、真子集的概念，学会了用图形表示集合的方法：Venn图法和数轴法.知道了一个集合的子集个数的计算公式，明确了凡是⊆的问题，要注意考虑两种情况：①当B=∅时，……；②当B≠∅时，…….遇到B A本节接着学习集合的基本运算，我们应该学好哪些知识点呢？1．并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）.记作：A B（读作“A并B”），即A B ={x|x∈A，或x∈B})．并集的Venn图表示：Array释义：①两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）.如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝.②连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示.如：｛x|-2≤x≤2｝ ｛x|1≤x≤5｝=｛x|-2≤x≤5｝的图形表示为下图：③并集“A B ={x|x∈A，或x∈B})”中的“或”(数学中的“或”)与日常生活中的“或”意义有所不同.日常生活中的“或”常具有排斥、非此即彼的意思．“我或你去参加比赛”通常意味着我和你之间只有一个人能去．而数学上，集合“并”的运算规定A∪B：“在A中或在B中的元素全体”，它除了包括在A中但不在B中，以及在B中但不在A中的情况外，还包括既在A又在B中的情况．在日常生活中，将两堆东西合并，意味着数量的增加，而在数学中则不同，A∪B（B≠∅）却可能仍然等于A．④并集的性质：A A=A ；A ∅=A ；A B=B A ；A B⊇Ａ,A B⊇B.2．交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）.记作：A∩B（读作“A交B”），即A∩B={x|∈A，且x∈B}交集的Venn图表示：释义：①两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合.如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝；｛a,b,c,d,e｝ {c,d,e,f} ={c,d,e}；｛x|x是等腰三角形｝ ｛x|x是直角三角形｝=｛x|x是等腰直角三角形｝.②连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示.如：｛x|-2≤x≤2｝ ｛x|1≤x≤5｝=｛x|1≤x≤2｝的图形表示为下图：③当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.如：｛x|x是锐角三角形｝ ｛x|x是钝角三角形｝=∅．④交集的性质：A A=A ；A ∅=∅；A B=B A；A B⊆A, A B⊆B．⑤联系并集与交集的性质有结论：∅⊆A B⊆A⊆A B．3.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U.4.补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，记作：CUA，即C U A={x|x∈U，且x∉A}补集的Venn图表示释义：①A必须是全集U的一个子集；②补集的概念必须要有全集的限制；如：U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，由补集的定义得C U A={2，4，6};A={0}，U=N={0,1,2,3,4,…}，由补集的定义得C N A=N*.③在不会混淆的情况下，为方便叙述起见，我们将集合A的补集C U A简读为“A之外”；④补集的补集是其本身，全集的补集为空集，空集的补集为全集.即C U（C U A）=A ，C U U=∅，C U∅=U.⑤连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的图形来表示.如：全集U＝R，集合A＝｛x｜1≤2x＋1＜9｝=｛x|0≤x＜4｝，则CUA=｛x｜x＜0，或x≥4｝如下图所示：⑥德摩根律：(C u A) (C u B)= C u (A B), (C u A) (C u B)= C u (A B)可以用韦恩图来理解：⑦结合补集还有A (C u A)=U ，A (C u A)= ∅．5.集合中元素个数的问题：一般地把有限集A 的元素个数记作card(A).对于两个有限集A ，B ，有card(A ∪B)= card(A)+card(B)- card(A ∩B)．这个问题在教材的阅读与思考中介绍的比较详细.以上是本节应该掌握和理解的重要的知识点，那么除了教材上的例题题型，我们还需要熟悉什么题型？希望大家注意通过课外参考资料扩充. 在这里，给出几个例题以加深对集合运算的记忆和理解，以及用韦恩图帮助思考问题的应用.例1.集合P=(){}0,=+y x y x ，Q=(){}2,=-y x y x ，则P ∩Q= 分析：由交集的意义，P ∩Q 就是既属于集合P 又属于集合Q 的元素所组成的集合，所以，元素(x,y)既要满足x+y=0，又要满足x-y=2.即(x,y)是方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩的解，易得x=1,y=－1.∴P ∩Q=(){}0,=+y x y x ∩(){}2,=-y x y x =0{(,)|}2x y x y x y +=⎧⎨-=⎩=1{(,)|}1x x y y =⎧⎨=-⎩ =(){}1,1- 例2.已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1()(){},7,4=⋂B C A C U U ()B C A U ⋂{},8,1=()B A C U ⋂{}6,2=,则集合A=分析：将U={},8,7,6,5,4,3,2,1()(){},7,4=⋂B C A C U U ()B C A U ⋂{},8,1=()B A C U ⋂{}6,2=,填到韦恩图中，看下图：上图中的四部分，只有①A ∩B(A 之内且B 之内)的元素未知.由于这四部分的并集为全集U ，所以A ∩B(A 之内且B 之内)应该是已知三部分并集的补集.从而可知A ∩B={3,5}. 因此，A={}8,5,3,1. 例3.已知集合A={x|x 2+4x-12=0}、B={x|x 2+kx-k=0}.若B B A = ，则k ∈_______. 分析：集合A={x|x 2+4x-12=0}、B={x|x 2+kx-k=0}中，可以得到A={-6,2}是确定的，但B 是不确定的.由于B B A = ，可知B A ⊆，需要考虑两种情况：⑴当B=∅时，方程x 2+kx-k=0无解，从而240k k ∆=+<，解得-4<k<0；⑵当B ≠∅时，又有三种情况：①若B={-6}时，方程x 2+kx-k=0仅有解x=-6，由一元二次方程根与系数的关系得(6)(6)(6)(6)k k-+-=-⎧⎨-⨯-=-⎩，解得k ∈∅；②若B={2}时，方程x 2+kx-k=0仅有解x=2，由一元二次方程根与系数的关系得2222k k+=-⎧⎨⨯=-⎩，解得k=-4；③若B={-6,2}时，方程x 2+kx-k=0有两解x=-6和x=2，由一元二次方程根与系数的关系得(6)2(6)2k k-+=-⎧⎨-⨯=-⎩，解得k ∈∅； 综上，-4≤k<0. 故应填{k|-4≤k<0}.我们发现，运算的对象不再是数、字母和式子，而是“集合”．运算的类型，也不再是加、减、乘、除、乘方和开方，而是“交”、“并”、“补”．这是我们从数学内部发展的需要来加以定义的．这样，不仅可以开拓同学们的视野，提高我们的数学素养，并为今后学习其他的数学运算打下基础．同学们可以结合生活中的实例来感受和领悟集合的运算．需要注意的是，当我们结合生活中的实例来感受和理解集合的概念和运算时，应了解数学语言与生活语言有时存在差异．例如，日常生活中的“或”常具有排斥、非此即彼的意思．“我或你去参加比赛”通常意味着我和你之间只有一个人能去．而数学上，集合“并”的运算规定A ∪B ：“在A 中或在B 中的元素全体”，它除了包括在A 中但不在B 中，以及在B 中但不在A 中的情况外，还包括既在A 又在B 中的情况．在日常生活中，将两堆东西合并，意味着数量的增加，而在数学中则不同，A∪B（B≠∅）却可能仍然等于A．•Gods determine what you're going to be. -- Julius Erving •人生的奋斗目标决定你将成为怎样的人. -- 欧文。