常微分方程教案(王高雄)第二章

第二章目录

内容提要及其它 (1)

第二章一阶微分方程的初等解法（初等积分） (2)

第一节变量分离方程与变量变换 (2)

一、变量分离方程 (2)

二、可化为变量分离方程的类型 (6)

1、齐次方程 (6)

2、可化为变量分离方程 (7)

三、应用例题选讲 (10)

第二节线性方程与常数变易法 (11)

第三节恰当方程与积分因子 (15)

一、恰当方程 (15)

二、积分因子 (20)

第四节一阶隐含方程与参数表示 (23)

一、可以解出y（或x）的方程 (24)

二、不显含y（或x）的方程 (25)

本章小结及其它 (27)

内容提要及其它

授课题目

（章、节）

第二章：一阶微分方程的初等解法

教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p30-74

主要参考书：

[1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005，

p1-70

[2]常微分方程教程，丁同仁等编，高等教育出版社，1991，p1-20

[3]偏微分方程数值解法（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，2004，

p1-12

[4]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p28-169

[5]微分方程模型与混沌，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999，

p15-158

[6]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p38-124

目的与要求：

掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法．理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．掌握四类典型的一阶隐方程的解法．

能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程．领会变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．

教学内容与时间安排、教学方法、教学手段：

教学内容：

第1节变量分离方程与变量变换；

第2节线性方程与常数变易法；

第3节恰当方程与积分因子；

第4节一阶隐方程与参数表示：可以解出（或

y x）的方程、不显含（或

y x）的方程．时间安排：8学时

教学方法：讲解方法

教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合。

教学重点分析：

熟悉各种类型方程的初等解法，并且能正确而又敏捷地判断方程的类型，从而用初等方法求解。

教学难点分析：

本章的教学难点是判断微分方程的类型，以及方程的转化（即把能转化为用初等方法求解的方程）。

第二章 一阶微分方程的初等解法（初等积分）

一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。

初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的微分方程之求解问题转化为积分（求原函数）问题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程，才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一个很重要而又有实际意义的问题。

本章将着重研究一阶微分方程

),('y x f y =

中几类可积方程的求解问题。同时对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特殊可积函数类型的求解问题，也可作适当地介绍。

第一节 变量分离方程与变量变换

一、变量分离方程

形如

)()('y x f y ϕ= （2.1）

的方程，称为变量分离方程，这里)(),(y x f ϕ分别是y x ,的连续函数。 下面讨论方程（2.1）的解法。 如果0)(≠y ϕ，可将（2.1）改写为

dx x f y dy

)()

(=ϕ 这样，变量就“分离”出来了。两边积分，得到

c dx x f y dy

+=∫∫)()(ϕ （2.2）

这里把积分常数明确写出来，而把

c ∫∫dx x f y dy )(,)(ϕ分别理解为)(,)

(1

x f y ϕ的某一个原函数。 把（2.2）作为确定是y x 的隐函数的关系式。于是，对于任一常数c ，微分（2.2）的两边，就知（2.2）所确定的隐函数满足方程（2.1），因而，（2.2）是（2.1）的通解。

注：如果存在，使0y 0)(0=y ϕ，直接代入，可知0y y =也是（2.1）的解，可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上。

例1 求解方程

y

x dx dy −= 解：将变量分离，得到：

xdx ydy −=

两边积分，有：

2

2222c

x y +−= 因而，通解为：

c y x =+22

这里是任意正常数，或者，解出c y ，写出显函数形式的解

2x c y −±=

例2 求解方程

x y dx

dy

cos 2=，并求满足初始条件：当0=x 时，1=y 的特解。 解：将变量分离，得到：

xdx y

dy

cos 2= 两边积分，有：

c x y

+−=sin 1

因而，通解为：

c

x y +−

=sin 1

这里是任意正常数，此外，方程还有解c 0=y

把初始条件当时，代入通解中，得：0=x 1=y 1−=c ，因而，所求特解为：

x

y sin 11

−=

例3 求

y x p dx

dy

)(=的通解。其中是)(x p x 的连续函数。 解：将原方程进行变量分离，得到

dx x p y

dy

)(= 两边积分，即得：