三角形内角和定理证明方法赏析
三角形的初步知识—证明（详细解析考点分析名师点评）
三角形的初步认识—三角形的内角和定理答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于（）A、2度B、3度C、5度D、7度考点：质数与合数；三角形内角和定理。
专题：探究型。
分析：由题意，根据三个角的内角和是180°可判断出，三个内角中必有一个内角是偶数，找出既是偶数又是质数的数即可．解答：解：∵三个内角的和是180°，是一个偶数，∴必有一个内角为偶数，又∵三角形三个内角的度数都是质数，∴既是偶数又是质数的只有2；∴这三个内角中必定有一个内角等于2°；故选A．点评：本题考查的是质数与合数，知道既是偶数又是质数的只有2，是解答此题的关键．2、如图，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC的度数为（）A、68°B、112°C、121°D、136°3、如图：BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，∠A=100°，则∠BOC的度数为（）A、80°B、90°C、120°D、140°考点：角平分线的定义；三角形内角和定理。
分析：△ABC中，已知∠A即可得到∠ABC与∠ACB的和，而BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，即可求得∠OBC与∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理即可求解．解答：解：△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣100°=80°，∵BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线．∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=40°，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=140°．故选D．点评：本题主要考查了三角形的内角和定理，以及三角形的角平分线的定义．4、如图，AE⊥AB，∠ABC=90°，AC平分∠BAD，∠3=∠4，则下列结论中错误的是（）A、BC∥AEB、∠1+∠7=∠5+∠6C、∠APE=90°﹣∠7D、∠6=∠8故B正确；∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠7=180°，∴（∠1+∠2+∠3+∠4）=180°﹣∠7，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°﹣∠7∴∠APB=180°﹣（∠1+∠3）=90°+∠7，∴∠APE=180°﹣（90°+∠7）=90°﹣∠7，故C正确；∵A、B、C都正确，∴只有D错误．故选D．点评：此题主要考查了角平分线的性质，三角形外角与内角的关系，平行线的判定，题目综合性较强，但是难度不大，较好．5、（2011•昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）A、45°B、60°C、75°D、85°6、（2011•台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（）A、37B、57C、77D、97考点：三角形内角和定理。
第4章三角形证明题型解读1 三角形内角和定理及外角定理题型-2020-2021学年北师大版七数学
《三角形证明》题型解读1：三角形内角和定理及外角定理题型【知识梳理】1.三角形内角和定理①三角形的三个内角的和等于1800。
②证明过程---解题思路：把三角形三个内角，通过平行线性质，转化成一个平角。
如图，过△ABC 的顶点A 作DE//BC ，∵DE//BC ，∴∠B=∠DAB ，∠C=∠EAC ，∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°， ∴∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形的三个内角和是180°.③拓展：n 边形内角和公式（n-2）×18002.三角形的外角①三角形外角的特征：顶点在三角形的一个顶点上；一条边是三角形的一边；另一条边是三角形另一边的延长线；如图2，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6均是△ABC 的外角；由于这6个角中存在三组对顶角，所以一般说一个三角形的外角，是指它的三个外角。
②三角形的外角和定理：三角形的三个外角和等于360º如图2，∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6=360°； ③三角形的外角性质：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，注意：“不相邻”； 如图2，∠1=∠2=∠ACB+∠ABC 、∠3=∠4=∠BAC+∠ACB 、∠5=∠6=∠BAC+∠ABC.④三角形的外角大于和它不相邻的任意一个内角，注意：“不相邻”；⑤拓展：四边形的外角性质:如图，当∠A+∠C=180°时∠EDC=∠B【典型例题】 例1. 已知AB//CD ，求证：∠B=∠E+∠DE D C B AE D C B A E DC B A ∠∠°∠∠∠°∠∠∠∴∠=∠D+∠E （等量代换）21图2654321CB A【解析】：这是平行线中三大典型模型的“牛角模型”，未知外角性质定理时，我们的证明过程如下：当我们学习了外角性质定理时，证明过程就要简洁一些了。
证明：∵AB//CD （已知）， ∴∠B=∠1（两直线平行，同位角相等），∵∠1=∠D+∠E （三角形外角性质），∴∠B=∠D+∠E （等量代换）.例2.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，则这个“特征三角形”的最小内角的度数为____.【解析】：定义新运算题型，考查数学阅读理解能力，运用三角形的内角和定理即可解答。
三角形内角和证明方法
三角形内角和证明方法三角形内角和是指三角形的三个内角的度数之和，它是三角形最基本的性质之一。
在本文中，我们将介绍一些关于三角形内角和的证明方法。
1.我们可以使用三角形内角和定理来证明三角形内角和的性质。
根据该定理，三角形的内角和等于180度。
证明方法：假设ABC是一个三角形，我们可以作三角形的外接圆O。
连接AO，BO，CO，以及连接AO与BC的垂线OD。
根据外接圆的性质，AO的长度等于半径R，而R为定值。
又因为AO与OD相交，所以AO的垂足D到外接圆的距离等于OD的长度。
由于OD与BC垂直，并且是BC的中线，所以OD的长度等于BC的一半，即OD=BC/2。
根据三角形ABC的内角和定理，∠A+∠B+∠C=180度，而∠A和∠B是三角形的两个锐角，它们可以理解为AO和BO在三角形内角A和B上的倒影，所以∠A和∠B的和等于AO和BO的倒影两个角之和，即∠A+∠B=∠DOA+∠DOB。
同理，∠B+∠C=∠BOC+∠BOA，∠C+∠A=∠COA+∠COD。
因为∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD=360度，而∠A+∠B+∠C=180度，所以∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD-∠A-∠B-∠C=360度-180度=180度。
同理∠DOA+∠COA=180度-∠A-∠C，∠DOB+∠BOA=180度-∠A-∠B，∠BOC+∠COD=180度-∠B-∠C。
将上述等式代入∠A+∠B+∠C=180度，得到：(180度-∠A-∠C)+(180度-∠A-∠B)+(180度-∠B-∠C)=180度。
化简上述等式，可以得到3*180度-2*(∠A+∠B+∠C)=180度，即3*180度=2*(∠A+∠B+∠C)，进一步化简为∠A+∠B+∠C=180度。
证明完毕。
2.另一种证明三角形内角和的方法是使用拓扑学中的欧拉公式。
根据欧拉公式，一个简单多边形的顶点数、边数和面数之间存在着一个关系。
三角形的内角和定理的证明反思
《三角形的内角和定理的证明》教学反思古交市实验中学王巧珍《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖与记忆，动手实践自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式”。
要使学生逐步探究发现三角形三个内角的度数和等于180°，最有效方法是让学生真正投入到探究活动的全过程中，本节课我让学生寻求拼折以外的其它方法来求出三角形的内角和。
通过小组讨论，学生从已有的知识出发，通过作平行线，利用同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，很快推理出三角形的内角和是180度。
温故而知新，让学生在自主探究，合作交流中经历，猜想、验证、结论这一个过程，体验探究学习的乐趣。
学生分组，探讨证明方法，教师巡回指导。
之后总结学生探讨出来的各种证明方法，由学生相互评价，教师在对学生的各证明方法给出鼓励性的评价。
另外，利用电子白板进行本节教学，也给我带来很大的方便。
例如配合利用智能感应电子白板的手写笔就能代替鼠标操作，可以在上面进行任意的书写、批注以及操作电脑，从而提高教学效率和课件演示的生动性。
还有，电子白板还可以模拟黑板、绿板、白板等的板书教学模式，在板书写满时候，只需一键选择清屏，或者新建页面教学，这样也可以节省很多传统的擦除字迹的时间，而且没有粉尘。
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通过这节课的教学我认为：在素质教育不断发展的今天，作为教师，我们应该不断更新自己的教学观念，树立先进的教学理念，并把先进的教学理念化为教学行为，只有这样，我们才能改变长期形成的、习惯了的旧的教学方式，才会树立“以学生发展为本”的理念，让学生充分从事数学探究活动，发挥学生学习的自主性、主动性、选择性和创造性，让学生在自主探索中不断地发展！。
三角形内角定理
三角形内角定理介绍三角形内角定理是几何学中的重要定理之一，它揭示了三角形内角之间的关系。
本文将全面探讨三角形内角定理及其相关概念，包括定义、性质、证明方法等。
通过深入研究此定理，我们可以更好地理解三角形的性质和几何学的基本原理。
三角形的定义在几何学中，三角形是由三条线段连接在一起的平面图形。
其中的三个线段称为边，连接边的点称为角。
三角形有三个内角和三个外角，内角是指三角形内部的角度，外角则是指三角形内一点与两条邻边所形成的角度。
下面是三角形定义的形式化表示：定义 1：三角形是由三个不共线的点所确定的一个平面图形。
三角形内角和对于任意一个三角形ABC，它的三个内角分别为∠A、∠B、∠C。
根据三角形内角和定理，这三个内角的和等于180°，即：三角形内角和定理：∠A + ∠B + ∠C = 180°内角和定理是三角形的基本性质，它适用于任何三角形，无论是等边三角形、等腰三角形还是一般的三角形。
这个定理可以通过多种方法进行证明，下面我们将介绍两种常用的证明方法。
证明方法一：平行线相交定理在平面几何中，平行线相交定理指出，如果一条直线和两条平行线相交，那么所形成的对应内角相等。
我们可以利用这个定理来证明三角形内角和定理。
证明方法二：直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个内角为90°的角。
我们可以通过构造直角三角形来证明三角形内角和定理。
三角形内角和定理的应用三角形内角和定理在几何学的应用中非常广泛。
它可以帮助我们解决各种与三角形有关的问题，例如计算缺失的角度、证明两个三角形相似或全等等。
应用一：计算缺失的角度在已知一个三角形的两个内角，我们可以利用内角和定理计算出第三个内角。
例如，如果已知一个三角形的两个内角分别为60°和90°，我们可以使用内角和定理计算第三个内角：180° - 60° - 90° = 30°。
应用三角形内角和定理及其推论解题例析
应用三角形内角和定理及其推论解题例析三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论1：直角三角形的两个锐角互余；推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； 推论3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
以上关于三角形的内角和定理及其推论在解题中有比较广泛的应用，下面举例说明。
一、求角度的大小例1：在△ABC 中，若∠A: ∠B: ∠C=1:2:3，则∠C=_______。
解：依题意，不妨设∠A=x ，则∠B=2x ，∠C=3x ，因此由三角形的内角和定理可得：x+2x+3x=180°，解之得：x=30°，故∠C=3x=90°。
例2：如图1，已知∠1=20°，∠=25°，∠A=35°，则∠BDC 的度数为_______。
图1 图2 解：在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-35°=145°， ∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)-( ∠1+∠2)=145°-(20°+25°)=100°. 在△BDC 中，∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-100°=80°.例3：如图2，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于E ，交AC 于D 。
若∠B=53°，则∠CDE=_______.解：∵△ABC 是直角三角形，∠B=53°，∴由三角形内角和定理的推论1，得∠A=90°-53°=37°。
再由三角形内角和定理的推论2，得∠CDE=∠A+∠AED=37°+90°=127°。
二、求多角的和例4：如图3，一个任意的五角星，它的五个角(∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E)的和为（ ） A.50° B.100° C.180° D.200°BCD1 1BCDAEA图3 图4解：由推论2知，∠2=∠B+∠D ，∠1=∠C+∠E ；又由定理知：∠1+∠2+∠A=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故本题应选C 。
三角形内角和定理的证明剖析
三角形内角和定理的证明剖析首先，我们可以从实际中观察到三角形的内角和等于180度。
我们可以绘制一个实际的三角形，并利用一个转角器测量三个内角的度数，然后相加。
例如，我们可以绘制一个直角三角形，其中两个直角边的长度分别为3cm和4cm。
通过使用一个转角器，我们可以发现三个内角的度数分别为90度、45度和45度。
相加后得到180度，与三角形内角和定理一致。
接下来，我们来分析三角形内角和定理的几何证明。
设有一个任意的三角形ABC，我们通过将角A的边BC边上面画一条高AD，将三角形ABC分为两个小三角形ABD和ACD。
由于三角形ABD和ACD是由相等的直角和边AD分割而成的，所以它们是相似三角形，即具有相等的对应角。
因此，角DAB等于角DAC，记作∠DAB=∠DAC。
再来考虑三角形ABC的另一个内角B。
我们可以通过在角B的边AC上面画一条高BE，将三角形ABC分为两个小三角形AEB和CEB。
同样地，由于三角形AEB和CEB是由相等的直角和边BE分割而成的，所以它们是相似三角形，即具有相等的对应角。
所以，角AEB等于角CEB，记作∠AEB=∠CEB。
因为∠DAB=∠DAC，∠AEB=∠CEB，并且两个相似三角形ABD和ACD以及AEB和CEB共享一条边AB和AE，所以根据共享边的夹角相等原理，角ABD等于角ACD（∠ABD=∠ACD），角AEB等于角CEB（∠AEB=∠CEB）。
综上所述，我们利用相似三角形和共享边的夹角相等原理，证明了角ABD等于角ACD，角AEB等于角CEB。
再来考虑三角形ABC的第三个内角C。
我们可以通过在角C的边AB上面画一条高CF，将三角形ABC分为两个小三角形ACF和BCF。
同样地，由于三角形ACF和BCF是由相等的直角和边CF分割而成的，所以它们是相似三角形，即具有相等的对应角。
所以，角ACF等于角BCF，记作∠ACF=∠BCF。
同样地，由于∠ACF=∠BCF，并且两个相似三角形ACF和BCF共享一条边CF，根据共享边的夹角相等原理，可以得出角ACB等于角CAB（∠ACB=∠CAB）。
三角形内角和定理的应用
三角形内角和定理的应用三角形内角和定理是中学数学中的重要知识点之一。
它可以帮助我们计算三角形内角的和，从而解决各种和三角形相关的问题。
本文将介绍三角形内角和定理的定义和公式，并运用定理解决几个实际问题。
一、三角形内角和定理的定义和公式在开始讨论三角形内角和定理的应用之前，我们先来回顾一下定理的定义和公式。
三角形内角和定理是指：一个三角形的内角的和等于180度，或者说三角形的三个内角的和等于180度。
根据上述定理，我们可以得到以下公式：对于任意一个三角形ABC，其三个内角分别记作∠A、∠B、∠C，则有∠A + ∠B + ∠C = 180度。
接下来，我们将通过一些具体的例子来展示三角形内角和定理的应用。
二、应用举例例1：已知某个三角形的两个角分别为70度和45度，求第三个角的度数。
解：根据三角形内角和定理，三个内角的和等于180度。
设第三个角的度数为x，则有70 + 45 + x = 180。
整理方程，得到x = 180 - 70 - 45 = 65。
因此，第三个角的度数为65度。
例2：在某个三角形中，一个角的度数是其它两个角的和的2倍，求这三个角的度数。
解：假设这三个角的度数分别为x、y和z。
根据题意可得条件方程：x = 2(y + z)。
又根据三角形内角和定理可得方程：x + y + z = 180。
将第一个方程代入第二个方程，得到2(y + z) + y + z = 180。
化简方程，得到3y + 3z = 180，进一步化简，得到y + z = 60。
然后将y + z = 60代入第一个方程，得到x = 2 * 60 = 120。
综上所述，这三个角的度数分别为120度、30度和30度。
例3：已知一个三角形的两个角分别为(x+20)度和(2x-10)度，求这个三角形的三个角的度数。
解：设这个三角形的三个角的度数分别为x、y和z。
根据题意可得条件方程：y = x + 20，z = 2x - 10。
帕斯卡验证三角形内角和的方法
帕斯卡验证三角形内角和的方法引言：帕斯卡(Pascal)出版的著名《数学原理》第五卷中是三角形内角和的证明。
帕斯卡在书中运用了他的“Mystica figura”法，给出了一种非常漂亮的证明方法。
本文将介绍这一证明方法，并加以详细的说明和解释。
一、问题的陈述我们先来看一下这个问题的陈述：证明三角形的内角和等于 180 度。
这是初中和高中数学课程中经常学习的内容，但它的证明并不是很简单。
本文将介绍帕斯卡的证明方法。
二、帕斯卡的“Mystica figura”法帕斯卡在他的书中提到了一个神秘的几何图形，叫做“Mystica figura”，这个图形被用来证明三角形的内角和等于 180 度。
Mystica figura 由等边三角形和它的三条中线组成，如下所示：我们可以先证明三角形 ABC 和三角形 ABD 的内角和相等，因为它们有一条公共边AB。
同理可以证明三角形 ABD 和三角形 BDC 的内角和相等。
我们可以得到如下等式：∠ABC + ∠ABD = ∠ABD + ∠BDC通过两边同时减去∠ABD，我们得到：同样地，我们可以证明∠ACB = ∠CDB。
我们可以得到：由于三角形 ABC 和三角形 ABD 的内角和相等，我们可以得到：三、简单证明我们也可以通过其他的方法来证明三角形的内角和等于 180 度。
我们可以假设在三角形 ABC 中，有一条边 AB 并将其延长，使其交另一边的延长线于点 D。
然后，我们可以通过平行线的性质，得知∠ABC = ∠CDE 和∠ACB = ∠BDE。
我们可以得到：这个方法比较简单，但缺点是需要构造一条边的延长线，并且需要平行线的性质。
四、结论帕斯卡的“Mystica figura”法的证明比较优美，因为它避免了构造和平行线的性质。
但对于初中和高中学生来说，这种证明方法可能会比较复杂。
我们可以采用简单的证明方法，以帮助学生更好地理解这一问题。
需要注意的是，我们在这篇文章中证明了三角形的内角和等于 180 度。
《三角形内角和》数学教案7篇(小学数学《三角形的内角和》教案)
《三角形内角和》数学教案7篇(小学数学《三角形的内角和》教案)下面是我分享的《三角形内角和》数学教案7篇(小学数学《三角形的内角和》教案)，供大家赏析。
《三角形内角和》数学教案1学习目标：(1) 知识与技能：掌握三角形内角和定理的证明过程，并能根据这个定理解决实际问题。
(2) 过程与方法：通过学生猜想动手实验，互相交流，师生合作等活动探索三角形内角和为180度，发展学生的推理能力和语言表达能力。
对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。
逐渐由实验过渡到论证。
通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。
(3)情感态度与价值观：通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习数学的兴趣。
使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。
一.自主预习二.回顾课本1、三角形的内角和是多少度?你是怎样知道的?2、那么如何证明此命题是真命题呢?你能用学过的知识说一说这一结论的证明思路吗?你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴进行交流。
3、回忆证明一个命题的'步骤①画图②分析命题的题设和结论，写出已知求证，把文字语言转化为几何语言。
③分析、探究证明方法。
4、要证三角形三个内角和是180，观察图形，三个角间没什么关系，能不能象前面那样，把这三个角拼在一起呢?拼成什么样的角呢?①平角，②两平行线间的同旁内角。
5、要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。
如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢?① 如图1，延长BC得到一平角BCD，然后以CA为一边，在△ABC的外部画A。
② 如图1，延长BC，过C作CE∥AB③ 如图2，过A作DE∥AB④ 如图3，在BC边上任取一点P，作PR∥AB，PQ∥AC。
三、巩固练习四、学习小结：(回顾一下这一节所学的，看看你学会了吗?)五、达标检测：略六、布置作业《三角形内角和》数学教案2教学内容义务教育课程标准试验教科书《数学》(人教版)四年级下册第85页。
三角形内角和定理的证明
6.5 三角形内角和定理的证明
教材与学生现实的分析
1、三角形的内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，它是学习以后知识的基础，并且是计算角的度数的方法之一。
在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。
其中辅助线的作法、把新知识转化为旧知识、用代数方法解决几何问题，为以后的学习打下良好的基础，三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。
2、三角形内角和定理的内容，学生在小学已经熟悉，但在小学是通过实验得出的，要向学生说明证明的必要性，同时说明今后在几何里，常常用这种方法得到新知识，而定理的证明需要添辅助线，让学生明白添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要思想方法，它同代数中设末知数是同一思想。
3、学生在小学里已知三角形的内角和是180°，前面又学习了三角形的有关概念，平角定义和平行线的性质，而且也渗透了三角形的内角和是180°的证明，它的证明借助了平角定义，平行线的性质。
用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线间的同旁内角，为定理的证明提供了必备条件。
尽管前面学生接触过推理论证的知识，但并末真正去论证过，特别是在论证的格式上，没有经过很好的锻炼。
因此定理的证明应是本节引导和探索的重点。
辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，只要教师设置恰当的问题情境，学生再由实验操作、观察、抽象出几何图形，用自主探索的方式是可发完成的，并且这样的过程可以更好地发展他们的创造能力和实验能力。
从本节开始训练学生将命题翻译为几何符号语言，写出已知、求证，学会分析命题的
把三个内角集中在一起有很多种方法，下面提供其中的。
三角形内角和定理的证明方法
三角形内角和定理的证明方法
三角形内角和定理是数学中的重要定理之一，它指出任意一个三角形三个内角的和为180度。
以下是证明方法：
1. 通过平行线原理证明
首先，我们需要画一条平行于其中一条边的直线。
在此基础上，我们可以将三角形分成两个小三角形，这两个小三角形中的一部分可以组成一个平行四边形。
因为平行四边形对边相等，所以我们可以得到这两个小三角形的另一个共同边的两个内角之和等于180度。
将两个小三角形的共同边的内角相加，再加上另外一个大三角形的内角，即可得到三角形内角和为180度。
2. 通过直角三角形证明
任意一个三角形都可以通过旋转和缩放变成一个直角三角形。
因此，我们可以通过证明直角三角形内角和为180度来证明三角形内角和定理。
在一个直角三角形中，其中一个角为90度，另外两个角的和为90度。
于是，我们只需要证明直角三角形的两个角和为90度即可。
我们可以利用正弦、余弦、正切等三角函数来证明直角三角形的两个角和为90
度。
例如，tan A = AB/BC，tan B = BC/AB，那么A + B = 90度。
通过以上两种方法，我们可以证明三角形内角和定理成立。
案例分析(三角形内角和定理)
课题：《三角形内角和定理》一、教学目标知识技能:1、理解“三角形的内角和等于180°”.2、运用三角形内角和结论解决问题.数学思考：1、通过测量、猜想、推理等数学活动，探索三角形的内角和，感受数学思考过程的条理 性，发展合情推理能力和语言表达能力.2、理解三角形内角和的计算、验证，其本质就是把三个内角集中在一起转化为一个平角，其方法可以用拼合的方法，也可以用引平行线的方法.解决问题：1、学会运用三角形内角和定理解决实际问题，如在航海测量、几何计算等方面的应用2、通过介绍“三角形内角和定理及其证明”，让学生初步了解什么是几何证明，并感 受证明几何问题的基本结构和推导过程.情感态度：在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展同学们的合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力.二、教学重点难点三角形内角和定理的证明及如何利用定理解决生活中的实际问题。
三、教学过程设计（一）学生回忆，引出课题问题1：复习平行线的性质如图1（1），已知：直线上有一点A ，过点A 作射线AM 、AN ，1、若∠DAM=30°，∠EAN=70°，则∠1等于多少度，为什么？2、若在AM 上任取一点B ，过点B 作BC ∥DE 交AN 于点C 如图1（2），则：（1）∠2等于多少度？为什么？（2）∠3等于多少度？为什么？（3）∠1+∠2+∠3等于多少度？为什么？师生活动：师：在第五章我们学习了相交线与平行线的相关知识，你还记得吗？请同学们完成以下练习，看看谁完成的又快又准。
生：1、∠1=80º,理由是: 平角的定义；2、（1）∠2=30º, 理由是:两直线平行,内错角相等（或利用两直线平行，同旁内角互补）(2) ∠3=70º,理由是:两直线平行,内错角相等（或利用两直线平行，同旁内角互补）（3）∠1+∠2+∠3等于180度，三角形内角和等于180度；（二）通过设疑，引出课题N M 70︒30︒1E D A 图1（1） N M 70︒30︒321E D C A B 图1（2）问题2：三角形内角和是1800是真命题吗？如何证明？师生活动：师：对于任意一个三角形的三个内角的和等于180度.我们是在小学已经知道了这个结论,那时侯,大家是怎样知道的呢?生：通过度量的方法,或者剪拼实验,能够验证一些具体的三角形的三个内角和都等于180º。
三角形的内角和定理
三角形的内角和定理
三角形内角和定理是平面几何中的一个基本定理，它指出，一个几何体内任意三角形三个内角之和等于180度。
此定理可追溯到古希腊时期，当时古希腊数学家几乎可以证明此定理，其中居里与学家上了 Eudoxus 证明此定理几乎超过250年前。
此定理一般会用来验证待测三角形是否为直角三角形、钝角三角形。
此外，三角形内角和定理也常用于初级几何学习中的测试和练习，因为记忆定理的三个角之和为180度非常重要，这可以为学生提供比较容易的证明方式，例如比较两个三角形的内角之和。
此外，使用三角形内角和定理也可以求出三角形中未知角度的大小，这可以构建不同的三角形，比如等腰三角形和等边三角形。
因此，为了完善几何知识体系，我推荐学习并熟练掌握三角形内角和定理，具备了此定理的学习者可以更加轻松地解决更多三角形的数学题以及更高级的几何学问题。
三角形的内角和(基础)知识讲解
三角形的内角和（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．因为AB ∥CD （已作），所以∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．因为DF ∥AC （已作），所以∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．因为DE ∥AB （已作）．所以∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ， 因为1l ∥3l （已作）．所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又1l ∥2l （已作），所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∠2+∠3=∠ACB，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．证法4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角.证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；在图5－2中过A作MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.（2016春•宜兴市校级月考）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A为（）A．70°B．75°C．80°D．85°【思路点拨】首先根据三角形的内角和定理，求出∠1+∠2=40°，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断出∠3+∠4=30°，再根据BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，判断出∠5+∠6=30°；最后根据三角形的内角和定理，用180°减去∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数，求出∠A为多少度即可．【答案与解析】解：如图，∵∠BDC=140°，∴∠1+∠2=180°﹣140°=40°，∵∠BGC=110°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°﹣110°=70°，∴∠3+∠4=70°﹣40°=30°，∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠3=∠5，∠4=∠6，又∵∠3+∠4=30°，∴∠5+∠6=30°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（∠1+∠2+∠3+∠4）+（∠5+∠6）=70°+30°=100°∴∠A=180°﹣100°=80°．故选：C．【总结升华】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的外角3.（1）如图，AB和CD交于交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】（新疆建设兵团）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】（2015春•龙口市）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为度．【答案】如图连接CE，根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．类型三、三角形的内角外角综合4.（2015春•绿园）如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．【思路点拨】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义得出∠BAD的度数，根据三角形外角的性质求出∠ADE的度数，由两角互补的性质即可得出结论．【答案与解析】解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（己知）∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°（三角形内角和180°）．又∵AD平分∠BAC（己知），∴∠BAD=21°，∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°（三角形的外角性质）．又∵AE是BC边上的高，即∠E=90°，∴∠DAE=90°﹣59°=31°．【总结升华】此题考查的是三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC 中，P 为内角平分线AD 、BE 、CF 的交点，过点P 作PG ⊥BC 于G ，试说明∠BPD 与∠CPG 的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD ＝∠CPG ．理由如下：∵ AD 、BE 、CF 分别是∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的角平分线，∴ ∠1＝12∠ABC ，∠2＝12∠BAC ，∠3＝12∠ACB ． ∴ ∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB )＝90°． 又∵ ∠4＝∠1+∠2，∴ ∠4+∠3＝90°．又∵ PG ⊥BC ，∴ ∠3+∠5＝90°．∴ ∠4＝∠5，即∠BPD ＝∠CPG ．。
三角形的内角和证明中的化归思想
三角形内角和定理证明中化归思想的渗透所谓化归思想，就是在面临新问题时，总企图将它转化归结为已经解决了的问题或者比较熟悉的问题来解决。
初中数学尤其是几何教学中，很多问题都可以用运化归思想来解决。
三角形内角和定理三角形三个内角的和等干180°。
已知：△ABC（如图1）。
求证：∠A+∠B+∠C=180°。
三角形内角和定理有多种证明方法，那么，这些证法都是怎样想到的呢?我们下面来作一下分析，思路一要证明三角形的三个内角之和等于180°，联想到平角的大小是180°。
因此，便设法将三角形的三个内角拼成一个平角，为此，用辅助线构造出一个平角，再用辅助线（平行线）“移动”内角，将其集中起来，或用其它方法将其集中起来，这就是“拼角”的思路。
根据这个思路，可设计出多种证法，证法如下：证法一延长边BC，CD是延长线，并过顶点C作CE∥BA（如图2），则∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）。
又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角的定义），∴∠A+∠B+∠ACB＝180°。
证法二过顶点C作DE∥AB（如图3），则∠1＝∠A，∠2＝∠B（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠1+∠ACB+∠2＝180°（平角的定义），∴∠A+∠ACB+∠B＝180°证法三在BC边上任取一点D，作DE∥BA，DF∥CA，分别交AC于E，交AB于F（如图4），则有∠2＝∠B，∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等），∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），∠4＝∠A（两直线平行，同位角相等），∴∠1＝∠A（等量代换）。
又∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角的定义），∴∠A+∠B+∠C＝180°。
证法四作BC的延长线CD，在△ABC的外部以CA为一边，CE为另一边画∠1＝∠A（如图5），于是CE∥BA（内错角相等，两直线平行）。
三角形内角和定理证明方法
三角形内角和定理证明方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊三角形内角和定理的证明方法呀！这可是几何里超级重要的一块呢！你看那三角形，三个角就像三个小伙伴，它们凑在一起可有大秘密哦！咱们要证明它们的和永远是 180 度，这多有意思呀！有一种证明方法就像是搭积木一样。
我们可以画一个三角形，然后把它的三个角剪下来，哎哟，这就像把小伙伴们分开啦。
接着呢，把这三个角拼在一起，你猜怎么着，嘿，它们正好能拼成一个平角，那不就是 180 度嘛！你说神奇不神奇？这就好像三个小伙伴手牵手围成了一个圈一样。
还有一种方法呢，就像是走迷宫找出口。
我们在三角形里画一条平行线，然后通过各种角度的关系来发现内角和的秘密。
就好像在迷宫里找到正确的路径，一旦找到了，哇，恍然大悟！这不是 180 度嘛！咱再想想，这三角形内角和定理不就像是家里的规矩一样嘛，是永远不变的呀！不管这个三角形是大是小，是胖是瘦，它的内角和永远都是 180 度，就像家里的一些老规矩，不管啥时候都得遵守。
你说要是没有这个定理，那几何的世界得乱成啥样呀？就好比没有了交通规则，马路上还不得乱套啦！大家可别小瞧了这个定理哦，它在好多地方都有用呢！盖房子的时候，工程师得用它来保证房子结构稳定吧；画图画设计的时候，设计师也得靠它来让图形更完美吧。
所以说呀，三角形内角和定理真的是太重要啦！咱可得把它牢牢记住，就像记住自己的名字一样。
以后看到三角形，就想想它那三个角加起来是180 度，这多有意思呀！总之呢，三角形内角和定理的证明方法多种多样，但不管哪种方法，都让我们更深入地了解了几何的奇妙世界。
它就像一把钥匙，打开了我们探索几何奥秘的大门。
让我们一起在这个奇妙的几何世界里尽情遨游吧！。