中考总复习：开放探索题新编(答案已编好)

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中考数学专题复习教学案开放探究题(附答案)

开放探究题开放探究问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论，要求添加条件或概括结论；其次是给定条件，判断存在与否的问题；近几年来又逐步出现了一些根据提供的材料，按自己的喜好自编问题并加以解决的试卷。

开放探究问题涉及知识面广，遍布整个初中阶段的所有知识，要求学生具有较强的解题能力和思维能力。

开放探究问题就开放而言，有条件开放、结论开放、解题方法开放、编制问题开放：就探究而言，可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种。

类型一：探究条件型探究条件型是根据问题提供的残缺条件添补若干条件，使结论成立，解决此类问题的一般方法是：根据结论成立所需要的条件增补条件，此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出的条件，不可重复条件，也不能遗漏条件。

例1．<2009丽水市）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.解：是假命题.以下任一方法均可：①添加条件：AC=DF.证明：∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE.在△ABC和△DEF中,AB=DE，∠A=∠FDE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(SAS>.②添加条件：∠CBA=∠E.证明：∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE，AB=DE，∠CBA=∠E ，∴△ABC≌△DEF(ASA>.③添加条件：∠C=∠F.证明：∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE，∠C=∠F ，AB=DE，∴△ABC≌△DEF(AAS>同步测试1．(2009年牡丹江市>如图，□ABCD中，、分别为、边上的点，要使需添加一个条件：．1.2．<2009东营）如图，在四边形ABCD 中，已知AB 与CD 不平行，∠ABD＝∠ACD，请你添加一个条件：，使得加上这个条件后能够推出AD∥BC 且AB ＝CD.2.∠DAC＝∠ADB，∠BAD＝∠CDA，∠DBC＝∠ACB，∠ABC＝∠DCB，OB ＝OC ，OA ＝OD ；(任选其一>类型二：探究结论型BCDAOABCEDF探究结论型问题是指根据题目所给的条件经过分析、推断，得出一个与条件相关的结论，解决此类问题的关键是需要对已知的条件进行综合推理，得出新的结论。

中考数学复习第二讲《开放探究型问题》经典题型含答案

中考数学复习专题第二讲开放探究型问题【要点梳理】开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．【学法指导】三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．【考点解析】条件开放型问题（2017贵州安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB∥EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．（ 5分）理由：∵DB AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．结论开放型问题（2017广西河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE ⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB=BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AB=BC．存在开放型问题（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．综合开放型问题（2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E 是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，在△AME与△CNE中，，∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．【真题训练】训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．参考答案：训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【考点】L9：菱形的判定；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=√3OA，OD=√3OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=√3AC′，于是得到结论．【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，在△AOC′与△BOD′中，{AO=BO∠AOC′=∠BOD′OC′=OD′，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′；图3结论：BD′=√3AC′，AC′⊥BD’理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴OB=√3OA，OD=√3OC，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，∴OBOA =OD′OC′=√3，∴△AOC′∽△BOD′，∴BD′AC′=OBOA=√3，∠OAC′=∠OBD′，∴BD′=√3AC′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′．【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．。

2024年中考数学人教版总复习课件：专题三开放探究题

∠ = ∠,
∴△AEM≌△MCN.
∴AM=MN.
(2)仍然成立.
理由:如图②,在边AB上截取AE=MC,连接ME.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°,
∴∠ACP=120°.
∵AE=MC,∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=60°,
∴∠AEM=120°.
∵CN平分∠ACP,∴∠PCN=60°,
2024
第二板块
专题三开放探究题
内
容
索
引
01
专题名师解读
02
热点考向例析
专题名师解读
开放探究型问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论,要
求添加条件或概括结论,或者是给定条件,判断结论存在与否的问题.近几
年来出现了一些根据提供的材料,按自己的喜好自编问题并加以解决的试
题.
开放探究型问题具有较强的综合性,既能充分地考查学生对基础知识的
又AC=DF,AB=ED,所以△ABC≌△DEF.
所以∠B=∠E.
所以AB∥ED.
解法二FB=CE,AC=DF,添加③∠ACB=∠DFE.
证明:因为FB=CE,所以BC=EF.
又∠ACB=∠DFE,AC=DF,
所以△ABC≌△DEF.
所以∠B=∠E.
所以AB∥ED.
考向二
结论开放探究问题
结论开放问题就是给出问题的条件,根据已知条件探究问题的结论,并且将
进行合理猜想,并进行验证.
热点考向例析
考向一
条件开放型问题
条件开放问题主要是指问题的条件开放,即:问题的条件不完备或满足结论
的条件不唯一,解决此类问题的思路是从所给结论出发,逆向探索,逐步探

开放探究题(含答案)

开放探究题开放探究题是一种新的题型, 关于开放题的概念，主要有下列几种描述：（1）答案不固定或者条件不完备的习题成为开放题；（2）具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题.开放探究题的特点是：（1）条件多余需选择,条件不足需补充；（2）答案不固定；（3）问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法.开放探究题常见的类型有：（1）条件开放型：即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；（2）结论开放型：即在给定的条件下，结论不唯一；（3）策略开放型：即思维策略与解题方法不唯一；（4）综合型：即条件、结论、策略中至少有两项均是开放的.在解决开放探究题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.这类题主要考查我们分析问题和解决问题的能力和创新意识.类型之一条件开放型问题解这种类型的开放性问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

1. （郴州市）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．2.（庆阳市）如下左图，D、E分别是ABC△的边AB、AC上的点，则使△的条件是．△∽ABCAED类型之二结论开放型问题解决这种类型的问题的时候要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维. 它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。

3.（滨州市）如上右图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_________（把你认为正确的序号都填上）。

中考专题复习：开放与探索性题

C D E
A B
检测1：8分钟 1在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E，F， G，H，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD填加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形．这个条件是．解：或四边形是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）
A H D E G B F C
2.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 y=x2+bx+c的图象过点（1，0），求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称根据现有信息，题中的二次函数的图象不具有的性质是（） A 过点（3，0） B 顶点是（2，-2） C 在X轴上截得线段长度是2 D 与Y轴的交点是（0，3）
5 12 21 32
开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n 2 (n ( n 2) （n≥1）个数据是________或___．2) 2
n ( n 4)
(n 2) 4
2
5．让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1=5，计算n12+1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得 a 2；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算n32+1得 a3； ………… 依此类推，则a2008=_______________. 6．观察下面的一列单项式: -x、2x2、-4x3、8x4、16x5、…根据其中的规律，得出的第10个单项式是
例题1.已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点（0，1），且y随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式
例题2.如图2-1-8，AB是⊙O的直径，⊙O交BC 于D，过D作⊙O的切线DE交AC于E，且 DE⊥AC，由上述条件，你能推出的正确结论有： . C

中考数学专题训练开放与探究及答案

专题五综合类问题第一节开放与探究【例题经典】条件开放例1 如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a ，BC=b ，试探究BD 与a 、b 满足什么关系时，△ABC 与△CDB 相似？【解析】根据题目所给条件及要求，可结合直角三角形相似的判定方法来加以解决，要注意分两种情况考虑．【解答】当BD=时，图中△ABC 与△CDB 相似．例2 （2006年泰州市）已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心，2为半径作⊙O ，交AN 于D ，E 两点，设AD=x ．（1）如图（1）当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；（2）如图（2）当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B ，C 两点，且∠BOC=90°．【解答】（1）在图（1）中，当⊙O 与AM 相切时，设切点为F ．连结OF ，则OF ⊥AM ， ∵在Rt △AOF 中，∠MAN=30°，∴OF=OA ．∴2=（x+2），∴x=2， ∴当x=2时，⊙O 与AM 相切．（2）在图（2）中，过点O 作OH ⊥BC 于H ．当∠BOC=90°时，△BOC 是等腰直角三角形，∴，∵OH ⊥BC ，∴BH=CH，∴OH=．在Rt △AHO 中，∠A=30°， ∴OH=OA =（x+2），∴-2． 2b BD a a=或1212=121212∴当-2时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC=90°．【点评】解答这类问题往往是把结合反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和垂径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解．结论开放例3（2006年莆田市）已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当P 点分别在图②、图③中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图②证明你的结论．答：对图②的探究结论为__________．对图③的探究结论为_________．证明：如图2．结论均是：PA2+PC2=PB2+PD2．证明：如图②过点P作MN⊥AD交AD于点M，交BC于点N．∵AD∥BC，MN⊥AD，∴MN⊥BC在Rt△AMP中，PA2=PM2+MA2在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC．∴四边形MNCD是矩形．∴MD=NC．同理AM=BN．∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2．即PA2+PC2=PB2+PD2．【评析】本题也是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正确结论，但是说明理由时，有一定的难度．正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是解决问题的关键．【考点精练】1．（2006年山东省）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件．．．．可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．2．（2006年随州市）如图，矩形ABCD中，M是AD的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）请你探索，当矩形ABCD中的一组邻边满足何种数量关系时，有BM⊥CM成立，说明你的理由．3．如图，在△ABC中，D为BC上一个动点（D点与B、C不重合），且DE∥AC交AB 于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试探究，当AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？并说明理由．（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由．4．如图，AB是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，切点是C．点D是EF上一个动点，连接AD．试探索点D运动到什么位置时，AC是∠BAD的平分线，请说明理由．5．（2006年成都市）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC 延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．6．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．7．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、DC都是⊙O的切点，A、B、E分别是切点．（1）判定△COD的形状，并说明理由．（2）设AD=a，BC=b，⊙O的半径为r，试探究r与a，b之间满足的关系式，并说明理由．8．（2006年绵阳市）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC 的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD 的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．答案:考点精练1．答案不惟一，符合题意即可． 2．（1）略（2）当AD=2AB 时，有BM ⊥CM 成立．说明理由（略） 3．（1）当AD 平分∠BAC 时，四边形AEDF 是菱形．理由（略）（2）在（1）的条件下，当∠BAC=90°时，四边形AEDF 是正方形．说明理由（略） 4．当点D 运动到满足条件AD ⊥EF 时，AC 平分∠BAD ．证明（略） 5．（1）证明△ADF ≌△CDE 即可（2）四边形AFCE 是矩形．（证明略） 6．（1）证明△BPA ≌△BQC ，AP=CQ （2）△PQC 是直角三角形，∵PA ：PB ：PC=3：4：5，设PA=3k ，PB=4k ，PC=5k ，∵∠PBQ=60°，BP=BQ ，∴△PBQ 是等边三角形， ∴PQ=PB=4k ，在△PQC 中，∵PQ 2+QC 2=（4k ）2+（3k ）2=25k 2，PC 2=（5k ）2=25k 2， ∴PQ 2+QC 2=PC 2，∴△PQC 是Rt △． 7．（1）△COD 是直角三角形，连OE ，由圆的切线的性质可证得： △OAD ≌△OED ，△OEC ≌△OBC ， ∴∠AOD=∠EOD ，∠EOC=∠BOC ，可证得∠DOC=90°，所以△COD 是直角三角形．（2）r 与a 、b 之间满足的关系是r 2=ab ．证明△OAD ∽△CBO ，得，OA ·OB=AD ·BC 即r 2=ab ． 8．解：（1）①BE=DF+EF ，②BE=DF-EF ，③EF=BE+DF ．（2）证明略．OA ADBC OB。

中考数学专题复习开放性问题-人教版初中九年级全册数学试题

开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·某某省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·某某随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。

中考第二轮复习专题开放探索性专题_资料开放探索性专题开放型试题

开放型试题开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。

观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。

例1．（梅州）如图，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点。

（1）如果，则ΔDEC ≌ΔBFA （请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论。

分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件。

解：（1）AE=CF （OE=OF ；DE ⊥AC ；BF ⊥AC ；DE ∥BF 等等）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∠DCE=∠BAF 又∵AE=CF ，∴AC －AE=AC －CF ，∴AF=CE ，∴ΔDEC ≌ΔBAF 说明:考查了矩形的性质及三角形全等的判定。

练习一 1. (黑龙江课改）如图, E 、F 是□ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件: ___________ ，使四边形AECF 是平行四边形.2、（金华）如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD ＝BE. （1）请你再添加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明.你添加的条件是： . 证明：（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： . （只要求写出一对全DE FO F E DC B A等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）3、（玉溪）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，AB＜CD且∠ABC为锐角，若AD＝4，BC＝12，E为BC上一点。

问：当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。

例2、（长沙）己知点E、F在ABC∆的边 AB 所在的直线上，且A E BF=，FH EG AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．⑴如图l，如果点E、F在边AB上，那么EG FH AC+=；⑵如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_______________ ；⑶如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_________ ；对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明．分析：这是一道探索、确定结论的开放型试题，解决这类问题的方法是根据条件，结合已学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解。

中考语文专题复习——开放性训练题(附参考答案)

中考语文专题复习——开放性训练题（附参考答案）《语文课程标准》在继承传统的接受式学习的基础上，增加了探究性学习的内容，且注重培养学生勇于创新的能力。

这一理念反映在考试评价方式上，就是打破传统的“封闭题”，增加“开放性探索题”，开放性探索试题立意新颖，内容丰富，答案多元，一是要掌握一定的答题技巧；二是要熟悉题型；三在平时要多留意多积累语文材料，提高运用语言的能力。

1. 在初中毕业联欢会上，老师请每个同学用一句完整的古诗来表达与同学的离别之情，你引用的诗句是：如：海内存知己，天涯若比邻。

2. 古诗词中有许多描写古代人民辛勤劳作的句子，请你从积累的古诗词中，写出两个与“劳动”有关的完整诗句。

如：田家少闲月，五月人倍忙。

力尽不知热，但惜夏日长。

锄禾日当午，汗滴禾下土。

3. 古诗词与酒有着不解之缘，李白有“斗酒诗百篇”，陶潜有“篇篇皆有酒”。

请调动你的文学积累，写出与酒有关的古诗句。

如：东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。

酒因路长惟欲睡，日高人渴漫思茶。

4. 请你写出两句描写乡村生活或乡村景色的古诗词。

如：明月别枝惊鹊，清风半夜鸣蝉。

一水护田将绿绕，两山排闼送青来。

5. 请选择你喜欢的古诗词中的名句来表达自己对崇高人生理想的追求，写出完整的两句。

如：人生自古谁无死，留取丹心照汗青。

春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干。

6. “兴，百姓苦；亡，百姓苦”是封建社会的普遍现象。

从你所积累的古诗词中写出两句表现“百姓苦”的诗句。

如：床头屋漏无干处，雨脚如麻未断绝。

自经丧乱少睡眠，长夜沾湿何由彻。

7. 沙尘肆虐之下，人们对蓝天碧水，茂林修竹的珍爱愈加强烈，你心中理想的自然环境是怎样的？请借用古诗词的名句表达。

如：明月松间照，青泉石上流。

绿树村边合，青山郭外斜。

8. 登高是传统习俗，更是古代诗人表情达意的重要方式。

在他们的笔下有多种多样的“登高”。

请你写出与“登高”有关的两句古诗词名句。

如：欲穷千里目，更上一层楼。

会当凌绝顶，一览众山小。

8.3 2020中考数学复习：《开放探索》近8年全国中考题型大全(含答案)

8.3 开放探索一、填空题1. (2013 湖南省常德市) 请写一个图像在第二，四象限的反比例函数解析式：_________.2. (2013 浙江省义乌市) 如图，已知B C∠=∠，添加一个条件使△≌△（不标注新的字母，不添加新的线段）.你添加的ABD ACE条件是_______；3. (2017 山东省威海市) 阅读理解：如图1，⊙O与直线a、b都相切，不论⊙O 如何转动，直线a、b之间的距离始终保持不变（等于⊙O的直径），我们把具有这一特性的图形成为“等宽曲线”，图2是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力既可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的．拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”，如图4，夹在平行线c，d之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线c，d之间的距离等于2cm，则莱洛三角形的周长为cm．5. (2019 浙江省杭州市) （4分）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，１当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式．二、应用题6. (2012 山东省德州市) 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：APB BPH∠=∠；（2）当点P在边AD上移动时，PDH△的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．AB CDEFGHPAB CD EFGHP（备用图）２３6. (2012 黑龙江省齐齐哈尔市) 如图1，在正方形ABCD 中，点M N 、分别在AD CD 、上，若45MBN ∠=°，易证MN AM CN =+．（1）如图2，在梯形ABCD 中，BC AD ∥，AB BC CD ==，点M N 、分别在AD CD 、上，若12MBN ABC ∠=∠，试探究线段MN 、AM 、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．（2）如图3，在四边形ABCD 中，AB BC =，180ABC ADC ∠+∠=°，点M N 、分别在DA 、CD 的延长线上，若12MBN ABC ∠=∠，试探究线段MN 、AM 、CN 又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．7. (2015 辽宁省铁岭市) 已知：点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 所在直线上一点（不与点B 重合），连接AD ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°得到线段AE ，连接CE ．求证：BD=CE ，BD ⊥CE ．（2）如图2，当点D 在线段BC 延长线上时，探究AD 、BD 、CD 三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD ，直接写出∠BAD 的度数．8. (2015 四川省资阳市) 如图12，E、F分别是正方形ABCD的边DC、CB上的点，且DE=CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.（1）求证：△ADE≌△DCF；（2）若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点；（3）连接AQ，设S△CEQ=S1，S△AED=S2，S△EAQ=S3，在（2）的条件下，判断S1+S2=S3是否成立？并说明理由．9. (2016 福建省漳州市) 现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是；（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）４５10. (2016 黑龙江省齐齐哈尔市) 如图所示，在平面直角坐标系中，过点A （﹣，0）的两条直线分别交y 轴于B 、C 两点，且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根（1）求线段BC 的长度；（2）试问：直线AC 与直线AB 是否垂直？请说明理由；（3）若点D 在直线AC 上，且DB=DC ，求点D 的坐标；（4）在⑶的条件下，直线BD 上是否存在点P ，使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．11. (2017 广东省佛山) 在四边形ABCD 中，︒=∠+∠180D B ，对角线AC 平分BAD ∠. （1）如图1，若︒=∠120DAB ，且︒=∠90B ，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“︒=∠90B ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若︒=∠90DAB ，探究边AD 、AB 与对角线AC 数量关系并说明理由.DCBAD CB ADCBA三、解答题12. (2017 山东省滨州市) 2017山东滨州）根据要求，解答下列问题．（1）根据要求，解答下列问题．①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；……（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．13. (2019 海南省) （满分15分）如图11，已知抛物线y=a x2+bx+5经过A（－5，0）、B（－4，－3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D连接CD.（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合）.设点P的横坐标为t.①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.６７14. (2019 江苏省无锡市) （12分）如图1，在矩形ABCD 中，3BC =，动点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC 方向移动，作PAB ∆关于直线PA 的对称PAB ∆'，设点P 的运动时间为()t s ．（1）若23AB =．①如图2，当点B '落在AC 上时，显然PAB ∆'是直角三角形，求此时t 的值； ②是否存在异于图2的时刻，使得PCB ∆'是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t 的值？若不存在，请说明理由．（2）当P 点不与C 点重合时，若直线PB '与直线CD 相交于点M ，且当3t <时存在某一时刻有结论45PAM ∠=︒成立，试探究：对于3t >的任意时刻，结论“45PAM ∠=︒”是否总是成立？请说明理由．15. (2019 浙江省绍兴市) （10分）在屏幕上有如下内容：如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答．（2）以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．８９16. (2012 四川省资阳市) 已知a 、b是正实数，那么，2a b +≥（1）(3分)由20≥恒成立，说明2a b +≥（2）(3分)填空：已知a 、b 、c 是正实数，由2a b +≥猜测：3a b c ++ ≥ 也恒成立；（3）(2分)如图，已知AB 是直径，点P 是弧上异于点A 和点B 的一点，PC ⊥AB ，垂足为C ，AC ＝a ，ＢC ＝b，由此图说明2a b +≥１０17. (2013 湖北省武汉市) 已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ．（1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证CDAD CFDE =；（2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得CDAD CFDE =成立？并证明你的结论；（3）如图③，若BA =BC =6，DA =DC =8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出CFDE 的值．18. (2014 江苏省南京市) 问题提出学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究。

中考第二轮复习专题开放探索性专题_资料开放探索性专题开放探索性专题测试题

开放探索性专题测试题（满分：100分；考试时间：100分钟）一、填空题（每小题3分，共24分）1. 在四边形ABCD 中，已知AB//CD ，请补充条件（写一个即可），使得四边形ABCD 为平行四边形；若ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 为菱形。

2. 如图1，某校为扩大高中招生，正在施工增盖教学楼，一推土机沿北偏东54°方向的OP 工地线来回推土，它的噪声对位于O 点正东方向200米处的一教室A 已造成影响，当推土机的距O 点米处时，推土机的噪声对教室A 影响最大。

（1）（2）（3）4. 如图2，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使结论“AB ·DE=AD ·BC ”成立，则这个条件可以是。

5. 如图3，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若该滚珠轴承的内、外圆周的半径分别为2和6，则在该轴承内最多能放颗半径均为2的滚珠。

6. 观察下列算式并填空：32-12=8×1，52-32=8×2。

①72-52=8× ；②92- 2=8×4;③2-92=8×5；④132- 2=8×6， ……通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论： _____________ （用文字语言表述）。

7. 用计算器探索：按一定规律排列的一组数：1，2，-3，2，5，-6，7……，如果从1开始依次连续选取若干个数，使它们的和大于5，那么至少要选个数。

8. 根据指令[S ，A]（S ≥0，0°＜A ＜180°），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离S ，现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对y 轴正方向。

（1）若给机器人下了一个指令[4，60°]，则机器人应移动到点；（2）请你给机器人下一个指令，使其移动到点（-5，5）。

中考第二轮复习-开放探索问题

【本讲教育信息】一、教学内容：专题五：开放探索问题二、知识要点：开放与探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的题型，一般分为三类：①条件探究型题；②结论探究型题；③探究存在型题。

条件探究型题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目。

结论探究型题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论。

探究存在型题是指在一定的前提下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目。

三、考点分析：开放探索性问题需由解题者依题意进行探索，确定结论或补全条件或选择不同的解题策略后再进行解题。

开放探索题采用的题型有填空题、选择题，但多数为解答题，所占分数约为全卷总分的8%~10%，难度较大。

【典型例题】题型一问题中条件不足，探索充分条件一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件，使题目结论成立。

这两种情况所需补充的条件往往不唯一。

例1.如图所示，D、E是△ABC中BC边上的两点，AD＝AE，要证明△ABE≌△ACD，还应补充什么条件？A12B CD E分析：这是一道条件开放题，解题关键是由AD＝AE，可以得出∠1＝∠2，这样要证明三角形全等就已经具备了两个条件。

在△ABE和△ACD中只需要再有一个条件，即可证明△ABE≌△ACD。

解：可补充以下条件之一：（1）BE＝CD（SAS）；（2）BD＝CE（此时BE＝CD）；（3）∠BAE＝∠CAD（ASA）；（4）∠BAD＝∠CAE（此时∠BAE＝∠CAD）；（5）∠B＝∠C（AAS）；（6）AB＝AC（此时∠B＝∠C），……。

评析：本题应充分利用已掌握的知识，从多个角度去思考、分析，并大胆猜想，寻求尽可能多的方法。

例2.已知△ABC内接于⊙O，（1）当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角？（2）在满足（1）的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD？（3）画出符合（1）、（2）题意的图形，使图形中的CD＝2cm。

中考综合题(一)---开放型探索题

中考综合题（一）---开放型探索题一、知识系统网络为了进行创新教育,培养创造性人才,在近几年的中考命题中,•出现了越来越多的开放探索题.开放探索题的出现,对初中数学教学产生了积极的导向作用,•且有利于落实素质教育.开放探索题主要有三种表示形式:①条件的开放与探索;•②结论的开放与探索;③解题方法的开放与探索.二、【精典题型】1.条件的开放与探索1、 (2004·四川)如图3,已知点C 是∠AOB 平分线上一点,点P 、P•′分别在边OA 、OB 上.如果要得到OP=OP ′,要添加以下条件中的某一个即可,请你写出所有可能结果的序号为:_____ . ①∠OCP=∠OCP ′;②∠OPC=∠OP ′C; ③PC=P ′C; ④PP ′⊥OC.2、 (2003·四川)多项式9x 2+1加上一个单项式后,•使它能成为一个整式的完全平方,那么加上的单项式可以是_________.(填上一个你认为正确的即可) 2.结论的开放与探索3、(2004·北京)我们学习过反比例函数.例如,当矩形面积S 一定时,长a•是宽b 的反比例函数,其函数关系式可以写为a=Sb(S 为常数,S ≠0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例,并写出它的函数关系式.实例:________________;函数关系式:_______________.4、(2003·北京)如图,在ABCD 中,点E 、F 在对角线AC 上,且AE=CF.•请你以F 为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,•猜想并证明它和图中已有的某条线段相等(只需证明一组线段相等即可).(1)连结__________. (2)猜想:________=________.(3)证明:P 'B O3.解题方法的开放与探索5、 (2004·桂林)小华为班级设计了一个班徽,图中有一菱形.为了检验小华所画的菱形是否准确,请你以带有刻度的三角尺为工作,•帮小华设计一个检验的方案:_____。

中考复习数学专题六开放探索问题检测(附答案)

专题综合检测(六)（30分钟50分）一、选择题(每小题5分，共15分)1.如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )(A)CB=CD (B)∠BAC=∠DAC(C)∠BCA=∠DCA (D)∠B=∠D=90°2.(2019·扬州中考)大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…,若m3分裂后，其中有一个奇数是2 013，则m的值是( )(A)43 (B)44 (C)45 (D)463.(2019·三明中考)如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B 的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开.则下列结论中：①CM＝DM；②∠ABN＝30°；③AB2＝3CM2；④△PMN是等边三角形.正确的有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个二、填空题(每小题5分，共10分)4.(2019·广州中考)如图，在标有刻度的直线L上，从点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；……按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的_________倍，第n个半圆的面积为_________(结果保留π).5.如图，在平面直角坐标系中，线段OA1=1,OA1与x轴的夹角为30°.线段A1A2=1，A2A1⊥OA1,垂足为A1;线段A2A3=1,A3A2⊥A1A2，垂足为A2;线段A3A4=1,A4A3⊥A2A3,垂足为A3；…按此规律，点A2 012的坐标为______________.三、解答题(共25分)6.(12分)(2019·无锡中考)如图，已知O(0，0)，A(4，0)，B(4，3).动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA，AB，BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动.若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动.(1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；(2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA，OB交于C，D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD是菱形.【探究创新】7.(13分)类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图1.在ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若求的值.(1)尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是___________，CG和EH的数量关系是___________，的值是___________.(2)类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m(m＞0)，则的值是___________ (用含m的代数式表示)，试写出解答过程.(3)拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上一点.AE和BD相交于点F，若=a，=b(a＞0,b＞0).则的值是_________(用含a,b的代数式表示).答案解析1.【解析】选C.已知两边及其一边对角相等，不能判定两个三角形全等.2.【解析】选C. ∵23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…,∴m3分裂后的第一个数是m(m－1)＋1，共有m个奇数.∵45×(45－1)＋1＝1 981，46×(46－1)＋1＝2 071，∴2 013是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，∴m＝45.3.【解析】选C.连接CN，如图，正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝BF，∴四边形ABFE是矩形，∴EF⊥BC，∴EF是BC的垂直平分线，∴NB＝NC，由于折叠可得△BCM≌△BNM，∴BN＝BC，∠NBM＝∠CBM，∴NB＝NC＝BC，∴△BCN是等边三角形，∴∠NBC＝60°，∴∠NBM＝∠CBM＝30°，∠ABN＝30°(即②正确).在Rt△BCM中，tan∠CBM＝tan 30°＝∴BC＝CM，∴AB2＝BC2＝3CM2(即③正确)，∴CM＝BC ≠BC即CM≠DM(即①不正确).∵∠NBM＝30°，∠BNM＝90°，∴∠BMN＝∠BMC＝60°.∵EF∥CD，∴∠EPM＝60°，∴∠PNM＝180°―60°―60°＝60°，∴△PMN是等边三角形(即④正确).4.【解析】由题意，得第3个半圆的面积为×22×π=2π，第4个半圆的面积为×42×π=8π，∴第4个半圆的面积是第3个半圆的面积的4倍；根据题意，可知第n个半圆的半径为∴第n个半圆的面积为×(2n-2)2×π=22n-5π.答案：4 22n-5π5.【解析】由图求得A1()，A2()，A3()，A4()，依此规律可得即答案：6.【解析】(1)当点P在线段OA上时，P(3t，0)，⊙P与x轴的两交点坐标分别为(3t-1，0)，(3t + 1，0)，直线l为x=4-t，若直线l与⊙P相交，则解得：(2)点P与直线l运动t秒时，AP = 3t-4，AC = t.若要四边形CPBD为菱形，则CP∥OB，∴∠PCA = ∠BOA，∴Rt△APC ∽Rt△ABO，∴∴解得此时AP=AC=∴PC=而PB = 7-3t =≠PC，故四边形CPBD不可能是菱形.(上述方法不唯一，只要推出矛盾即可)现改变直线l的出发时间，设直线l比点P晚出发a秒，若四边形CPBD为菱形，则CP // OB，∴△APC ∽△ABO，即：解得∴只要直线l比点P晚出发秒，则当点P运动秒时，四边形CPBD就是菱形.【高手支招】动态探索解题策略与动态有关的开放性探索问题，解答关键是着重分析变化过程中的不变量和问题中蕴含的数量关系，以分析问题中的数量关系为出发点，通过对几何图形运动过程的观察、推理，动中取静，构建函数或方程模型，数形结合解决问题.7.【解析】(1)AB=3EH；CG=2EH；(2)作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB.∴∴AB=mEH.∵AB=CD,∴CD=mEH.∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG.∴=2，∴CG=2EH.(3)ab.【提示】过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H。

中考热点6 开放探索型问题.docx

中考热点（6）开放探索型问题12. （2012山东日照，12, 3分）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形Q4B 中，作内接正方形AiBiGDi ；在等腰直角三角形O&&中，作内接正方形山2&。

2。

2；在等腰直角三角形OA.B, 中，作内接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n 个正方形A n B n C n D…的边长是（）'3”T . 3” . 3”+i解析：设正方形AiBiGDi 的边长为x,则 ACi= GDi= D| B =x ，故 3x=l, x=—；同理， 3正方形A 2B 2C 2D 2的边长为4，……，故可 32猜想第n 个正方形A n B n C n D n 的边长是£.解答：选B.点评：本题是规律探究性问题，解题时先从较简单的特例入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可•本题考查了等腰直角三角形的性质以及学生分析问题的能力.解题的关键是求正方形A1B1C1D1的边长. 25. （2012河北省25,10分）25、（本小题满分10分）如图 14, A （-5,0）,B （-3,0）,点 C 在 y 轴的正半轴上，/CBO=45° , CD 〃 AB, ZCDA=90° ,点P 从点Q （4,0）出发，沿x 轴向左以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t 秒（1）求点C 的坐标；（2）当ZBCP= 15°时，求t 的值；（3）以点P 为圆心，PC 为半径的。

P 随点P 的运动而变化，当。

P与四边形ABCD 的边（或边所在直线）相切时，求t 的值。

yD1A Bjt 0 Q图14【解析】在直角三角形BCO 中，ZCBO=45° OB=3,可得OC=3,因此点C 的坐标为（0,3）；（2） ZBCP= 15° ,只是提及到了角的大小，没有.说明点P 的位置，因此分两种情况考虑: 点P 在点B 的左侧和右侧；（3） OP 与四边形ABCD 的边（或边所在直线）相切，而四边形有四条边，肯D,—y 3"+2定不能与AO相切，所以要分三种情况考虑。