空间中的角PPT课件
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高中数学精品课件：空间角
图7-46-8
与平面ABCD所成的角,由已知得∠MBA=45°,则MA=MB,此时O为AB的中点.
连接OC,由∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC,得四边形AOCD为矩形,所以
OC⊥AB,所以CO⊥平面MAB,又MA⊂平面MAB,所以OC⊥MA.
图7-46-8
[总结反思] (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是 利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出 两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.
.
题组二 常错题 ◆索引:二面角取值范围出错;线面角范围出错;不能正确构建线面垂直及斜线 段在底面上的射影.
6.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为
.
7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为 45° .
图7-46-8
图7-46-8
方法二:二面角D-MA-C的大小即为二面角B-MA-D的大小与二面角B-MA-C大
小的差,由(1)可知二面角B-MA-D的大小为90°,
所以二面角D-MA-C的正弦值即为二面角B-MA-C的余弦值.
过M作MO⊥AB于O(图略),因为平面MAB⊥平面ABCD,平面 MAB∩平面ABCD=AB,所以MO⊥平面ABCD,∠MBO即为MB
A
证明:连接AC(图略),由题知△ACD为等边三角形,因为M为AD的中点,所以 CM⊥AD,又AD∥BC,所以CM⊥BC,因为平面ABCD⊥平面PBC,且平面 ABCD∩平面PBC=BC,CM⊂平面ABCD,所以CM⊥平面PBC,故CM⊥PB.
《角的度量》PPT课件
03
CHAPTER
角的度量方法
量角器的使用
量角器的构造
量角器是一种测量角度的专用工具， 由半圆形或圆形的刻度盘和固定臂组 成，刻度盘上标有度数。
使用方法
将量角器的中心与角的顶点重合，固 定臂与角的一条边重合，另一条边所 对的量角器上的刻度就是这个角的度 数。
角度的测量与标注
角度的概念
两条射线或线段相交于一点所形 成的夹角，通常用度数来表示。
《角的度量》PPT课件
汇报人： 2023-12-23
目录
CONTENTS
• 角的定义与分类 • 角的度量单位与换算 • 角的度量方法 • 角的应用举例 • 角的度量误差分析 • 拓展知识：角的高级应用
01
CHAPTER
角的定义与分类
角的定义
01
角是由两条射线共享一个端点所 形成的几何图形。
02
04
CHAPTER
角的应用举例
几何图形中的角
角度与边长关系
多边形的内角和与外角和
在直角三角形中，角度与边长之间满 足正弦、余弦、正切等三角函数关系 。
多边形的内角和等于（n-2）×180°， 外角和等于360°。
角的平分线与垂直平分线
角的平分线将一个角分为两个相等的 小角，而垂直平分线则垂直平分一条 线段。
误差对测量结果的影响
误差导致测量结果不准确
由于误差的存在，测量结果可能会偏离真实值，影响对角度大小 的判断。
误差累积可能导致严重后果
在需要高精度测量的场合，误差的累积可能会导致严重的后果，如 建筑设计中的角度偏差可能导致结构不稳定等问题。
对科学研究的影响
在科学研究中，准确的测量结果是得出正确结论的基础。误差的存 在可能会影响研究结果的准确性和可靠性。
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
空间角的计算课件
H A E1B 1 7
E1
B1
.G
A
B
1 5
可得直线AH与BE1所成角的余弦值
1 7
1
2
3
5
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
1
4
D1F1= D1C 1,
角的余弦值。
1
B1E1= 4
A1B1，求直线DF1与BE1所成
D1 F1
A1
H
C1
E1 B1
D
A
C
B
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
综合法：作——证——求。
G
解析：延长AH,BE1 交于点G, 所以∠AGGH= 1 7
在三角形HE1G中，由余弦定理得
A1
H
E1
B1
GE12 GH 2 HE12
cos =
2GE1 • GH
17 17 4 15
2 17 17 17
1
点, 且D1E1= 4 D1C1求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.
D1(0,0,4)
(0,4,4) C1
E1
(4,2,4) B1 (4,4,4)
(4,0,4)
A1
(0,4,0)
C
D
(4,0,0)
A
B
F
(4,4,0)
解：以
{DA,DC,DD}
正交基底，建立如图所示的
1 为
空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为
D1 A 2, CE 1 (t 2)2 t 2 4t 5
D1 A • CE=1
D1 A • CE
1
所以cos60 =
【高考】数学空间角线线角与线面角复习ppt课件
1.直线的方向向量与平面的法向量
(1) 两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．( ) (2) 已知A→B＝(2,2,1)，A→C＝(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量是
n0＝±13，－23，23.( )
(3)已知 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则 a∥c，a⊥b.( )
法二 如图 2，建立空间直角坐标系，
z
则 B(2,0,0)，C(2,2 2，0)，E(1， 2，1)，
A→E＝(1, 2，1)，B→C＝(0,2 2，0)．
设A→E与B→C的夹角为 θ，则
y
→→
cosθ＝|AA→EE|·|BB→CC|＝2×42
＝ 2
22，
x
所以 θ＝π4.
由此可知，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π4.
2.空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，
二面角的范围是[0，π]．( ) (5)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－12，则 l 与 α 所成的角为 150°.( ) (6)在如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60°.( )
(思1)想本与题方求程解思时想关．键是结合题设条件设进行A空B间＝联想t，，抓则住垂相直关条件各有目点的的 推理坐论证标，为 在第(A2)问(0中,0，,运0用)，空间B向(t量,0，,将0线)，面角B转1(化t,为0直,3线)的，方C向(向t,量1与,0平)， 面的法向量的夹角，考查化归
利利用用空 空间间向向量量求求直直线线与与平平面面所所成成的的C角角1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
空间角及其计算
建筑学中的应用
建筑设计
空间角在建筑设计中具有重要应用，如确定建筑物的朝向、布局和采光等。通 过合理利用空间角，可以优化建筑物的空间布局和采光效果，提高居住和使用 质量。
室内设计
在室内设计中，空间角的应用同样重要。通过合理调整室内家具和装饰品的摆 放角度，可以营造出更加舒适和美观的室内环境。
物理学中的应用
物理学
在物理学的力学、电磁学和光学等 领域，空间角也具有重要应用，如 描述带电粒子的运动轨迹、光的折 射和反射等。
02
空间角的计算方法
几何法
定义
几何法是利用空间几何知识，通 过作垂线、平行线、中线等手段， 将空间角转化为平面角或线线角，
然后进行计算的方法。
步骤
1. 作出相关垂线、平行线或中线； 2. 将空间角转化为平面角或线线 角；3. 利用平面几何知识计算角
空间角在其他领域的应用拓展
航天工程
利用空间角计算，优化航天器的轨道设计和姿态控制，提高航天 任务的可靠性和成功率。
机器人技术
通过空间角的计算，实现机器人的精准定位和自主导航，拓展机器 人在工业、医疗等领域的应用。
虚拟现实与游戏设计
利用空间角技术，提升虚拟环境的真实感和沉浸感，为游戏玩家和 设计师提供更加丰富的体验。
空间角及其计算
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用实例 • 空间角与空间几何的关系 • 空间角的未来发展与展望
01
空间角的基本概念
定义与性质
定义
空间角是指两个非平行直线或平 面在三维空间中形成的角度。
性质
空间角具有方向性，其大小和方 向可以通过几何学和三角函数来 描述。
光学研究
在光学研究中，空间角是描述光线传播方向和角度的重要参数。通过测量和计算 空间角，可以研究光线的反射、折射和散射等现象，进一步探索光与物质之间的 相互作用。
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件4.3第1课时空间中的角
如图:
名师点睛
不要将两直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两直线所成角
π
的范围是 0, ,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两直线所成的角与
2
其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
思考辨析
怎样用向量法求两条异面直线所成的角的余弦值?
提示 设两条异面直线a与b的夹角为θ,直线a,b的方向向量分别为a,b,且其
知识点2 直线与平面所成的角 指直线和它在平面内的投影所成角
设向量l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α
所成的角θ∈
π
0, 2
,且
π
θ= -<l,n>(如图
2
π
θ=<l,n>- (如图
2
2),
sin θ=sin < , >
π
-2
1)或
故sin θ=|cos<l,n>|.
π
π
3.若<l,n>是一个锐角,则θ= -<l,n>;若<l,n>是一个钝角,则θ=<l,n>- .
2
2
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余
角.( × )
(2)直线与平面所成的角可以是钝角.( × )
2.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=则l与α所成的角为( A )
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解两异面直线所成的角与它们的方向向量之间的关系,会用
空间角和距离专题讲座33页PPT
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
谢谢你的阅读
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
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北师大版高中数学选择性必修第一册 第三章 4.3 第1课时 空间中的角
与AD1所成角的余弦值为
.
4
答案
5
解析 以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空
间直角坐标系 D-xyz,设 AB=1.则 B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),
1 ·1
-4
4
1 =(0,1,-2),1 =(-1,0,2),cos<1 , 1 >=
16
∴二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为25.
(3)解 设 D(x,y,z)是直线 BC1 上一点,且=λ1 ,
∴(x,y-3,z)=λ(4,-3,4).
解得 x=4λ,y=3-3λ,z=4λ,
∴=(4λ,3-3λ,4λ).
由 ·1 =0 得 9-25λ=0,解得
9
λ=25.
A1B与平面BDE所成的角为(
π
A.6
π
B.3
π
C.2
5
D.6π
)
答案 B
解析 以 D 为原点建立空间直角坐标系,可求得平面 BDE 的法向量 n=(1,-1,2),
1+2
3
而1 =(0,-1,1),所以 cos θ=
= ,则 θ=30°,故直线 A1B 与平面 BDE 成
2
2 3
60°角.
探究三
探究一
利用向量方法求两异面直线所成的角
例1如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,
∠ABC=90°,E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.
分析建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的
.
4
答案
5
解析 以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空
间直角坐标系 D-xyz,设 AB=1.则 B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),
1 ·1
-4
4
1 =(0,1,-2),1 =(-1,0,2),cos<1 , 1 >=
16
∴二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为25.
(3)解 设 D(x,y,z)是直线 BC1 上一点,且=λ1 ,
∴(x,y-3,z)=λ(4,-3,4).
解得 x=4λ,y=3-3λ,z=4λ,
∴=(4λ,3-3λ,4λ).
由 ·1 =0 得 9-25λ=0,解得
9
λ=25.
A1B与平面BDE所成的角为(
π
A.6
π
B.3
π
C.2
5
D.6π
)
答案 B
解析 以 D 为原点建立空间直角坐标系,可求得平面 BDE 的法向量 n=(1,-1,2),
1+2
3
而1 =(0,-1,1),所以 cos θ=
= ,则 θ=30°,故直线 A1B 与平面 BDE 成
2
2 3
60°角.
探究三
探究一
利用向量方法求两异面直线所成的角
例1如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,
∠ABC=90°,E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.
分析建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的
《角的初步认识 》说课课件(共26张PPT)
通过练习，让学生在观察、判断等数学活动中， 加深对角的认识，发展学生初步的空间观念。
课堂总结，学习收获 教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程¦ 板教书学设反计思
2 1
3 4
收获
总结 概括 理清知识 完整认识
回归生活，欣赏角
教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程¦ 板教书学设反计思
动手实践，探究新知 教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程 ¦ 板教书学设反计思
动手实践，探究新知 教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教学教学环过节程 ¦教板书学设反计思
步骤一、联系实际，指角
向学生出示教材 38页情境图，让学 生在美丽的校园情 境图中指出角，学 生边汇报，课件边 同时闪动角。采用 演示法使学生直观、 清晰的看到生活中 许多物体上有角， 让学生感受到数学 就在我们身边。
观察发现法
实践操作法
合作探究法
教材 ¦ 教学教方学法分析¦ 教教学学具设准计备 ¦教学教过学程环节 ¦教板学书反设思计
多媒体课件，每小组一套折角工具（一张圆形纸、 一张长方形纸）、每小组两根小棒、一副三角板
多媒体课件
折角工具
小棒
第一环节 创设情景，激趣导入
教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程¦ 板教书学设反计思
学情分析
教材教学¦ 教分学析方法 ¦教学教设学计具准备 教¦学教过学程环节 ¦教板学书反设思计
二年级的学生，心理趋向稳定，显示出一 定的个性特征，独立性增强，同时自信心不 断加强出现竞争意识，对于别人比自己表现 好或差，有一定的心理变化。对于刚上二年 级的孩子来说，空间观念非常薄弱，对抽象 的图难以理解，但他们也有很强的好奇心和 强烈的表现欲，课堂上充分利用和捕捉闪光 点，运用各种教学手段，通过视觉、触觉等 多种感官的刺激来弥补他们的缺陷，以此达 到取长补短的目的。
课堂总结，学习收获 教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程¦ 板教书学设反计思
2 1
3 4
收获
总结 概括 理清知识 完整认识
回归生活，欣赏角
教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程¦ 板教书学设反计思
动手实践，探究新知 教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程 ¦ 板教书学设反计思
动手实践，探究新知 教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教学教学环过节程 ¦教板书学设反计思
步骤一、联系实际，指角
向学生出示教材 38页情境图，让学 生在美丽的校园情 境图中指出角，学 生边汇报，课件边 同时闪动角。采用 演示法使学生直观、 清晰的看到生活中 许多物体上有角， 让学生感受到数学 就在我们身边。
观察发现法
实践操作法
合作探究法
教材 ¦ 教学教方学法分析¦ 教教学学具设准计备 ¦教学教过学程环节 ¦教板学书反设思计
多媒体课件，每小组一套折角工具（一张圆形纸、 一张长方形纸）、每小组两根小棒、一副三角板
多媒体课件
折角工具
小棒
第一环节 创设情景，激趣导入
教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程¦ 板教书学设反计思
学情分析
教材教学¦ 教分学析方法 ¦教学教设学计具准备 教¦学教过学程环节 ¦教板学书反设思计
二年级的学生，心理趋向稳定，显示出一 定的个性特征，独立性增强，同时自信心不 断加强出现竞争意识，对于别人比自己表现 好或差，有一定的心理变化。对于刚上二年 级的孩子来说，空间观念非常薄弱，对抽象 的图难以理解，但他们也有很强的好奇心和 强烈的表现欲，课堂上充分利用和捕捉闪光 点，运用各种教学手段，通过视觉、触觉等 多种感官的刺激来弥补他们的缺陷，以此达 到取长补短的目的。
《空间角的复习》课件
空间角在几何图形中有着广泛的应用，如多面体、球体、旋 转体等，通过空间角的分析可以深入理解图形的结构和性质 。
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
数学：《空间角》课件(人教a版必修二)
在直角三角形AFE中，得tan∠AFE=2 故∠AFE=arctan2
过点B作BE⊥AD于E，过点E作EF⊥CD于F 点，连接BF。 ∵平面ABC⊥平面DBC DB⊥BC F ∴BD⊥平面ABC，BD⊥AC ∵ AC⊥AB E C ∴AC⊥平面DBA
D
B
平面ACD⊥平面DBA
∵ BE⊥AD ∴BE⊥平面ACD 而EF⊥CD ∴BF⊥CD (依解法1可得∠BFE=arctan2)
训练3:
自点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成 600 角,则
直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为
C
3 3
A P
O B
3、二面角
• 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。
A
• 二面角的大小用它的平面角来度量；
求二面角常用方法有：
B
（1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角；
0
3、直线B1D与EF所成角的大小
A1
E
C1
B1
F
90
0
例1.
正三棱锥A-BCD中,E,F分别在棱AB,CD上,
且
AE CF .) 设α为异面直线EF与AC所成的 ( 0 EB FD
角,β为异面直线EF与BD所成的角,则α+ β=
A.
6
A
B.
3
C.
2
D.是 一 个 与 有 关 的 变 量
A B D C
M
H
cos S DBC S ABC
用这个关系式求可锐二面角的平面角。
例3、将一副三角板拼接,公共边为BC,且两个三角板 0 所在平面互相垂直,若∠BAC= ∠CBD=90 , 0 ∠BCD=60 ， AB=AC,求二面角A-CD-B的大小.
过点B作BE⊥AD于E，过点E作EF⊥CD于F 点，连接BF。 ∵平面ABC⊥平面DBC DB⊥BC F ∴BD⊥平面ABC，BD⊥AC ∵ AC⊥AB E C ∴AC⊥平面DBA
D
B
平面ACD⊥平面DBA
∵ BE⊥AD ∴BE⊥平面ACD 而EF⊥CD ∴BF⊥CD (依解法1可得∠BFE=arctan2)
训练3:
自点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成 600 角,则
直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为
C
3 3
A P
O B
3、二面角
• 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。
A
• 二面角的大小用它的平面角来度量；
求二面角常用方法有：
B
（1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角；
0
3、直线B1D与EF所成角的大小
A1
E
C1
B1
F
90
0
例1.
正三棱锥A-BCD中,E,F分别在棱AB,CD上,
且
AE CF .) 设α为异面直线EF与AC所成的 ( 0 EB FD
角,β为异面直线EF与BD所成的角,则α+ β=
A.
6
A
B.
3
C.
2
D.是 一 个 与 有 关 的 变 量
A B D C
M
H
cos S DBC S ABC
用这个关系式求可锐二面角的平面角。
例3、将一副三角板拼接,公共边为BC,且两个三角板 0 所在平面互相垂直,若∠BAC= ∠CBD=90 , 0 ∠BCD=60 ， AB=AC,求二面角A-CD-B的大小.
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向
量夹角的补角．
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A
2
n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
O
结论： sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结：
1.异面直线所成角：
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |
A
B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： 3.二面角：
n
B
n2
《空间角的计算》课件
计算示例
通过具体的示例来理解空间角的计算方法。例如，在已知两个向量的情况下， 我们可以求解它们之间的夹角；又或者在已知三个点的坐标时，我们可以计 算它们围成的空间角。
总结
通过比较不同的计算方法，我们可以了解空间角的重要性和不同计算方法的优缺点。学习空间角对于提高相关 领域的数学能力具有重要意义。
《空间角的计算》PPT课 件
这是一份关于《空间角的计算》的PPT课件，旨在通过生动的图片和清晰的解 释，向大家介绍空间角的定义、计算方式、关系以及其在物理和工程中的应 用。
什么是空间角
空间角是三维空间中两个向量之间的夹角称为空间角。它可以通过向量的内积或两度和空间角之间存在着密切的关系。角度通常使用度数或弧度来表示，并且可以与空间角进行转换。此外， 定向角度和不定向角度也有着不同的概念和用途。
空间角的应用
空间角在物理学和工程中有着广泛的应用。在物理学中，它可以描述物体的 运动和力的方向。在工程中，它可以用于测量和设计三维结构。
空间角的计算方法
空间角的计算可以使用空间直角坐标系的方法、三点坐标法或两向量夹角法。每种方法都有其适用的场景和计 算方式。
角的分类ppt课件
等腰三角形的两个底角相 等，且等于（180度 - 顶 角度数）/ 2。
等腰三角形有两个相等的 底角和一个顶角。
等腰直角三角形中的角
等腰直角三角形有一 个90度的直角和两个 相等的锐角。
等腰直角三角形的三 个内角和为180度。
两个锐角的度数和为 90度，每个锐角等于 45度。
Part
04
角的度量与计算
小于90度的角
详细描述
锐角是角度小于90度的角，也称为小角。在几何学中，锐角具有许多重要的性质和应用。例如，在三角形中，锐 角三角形是最常见的三角形类型，因为它的内角都小于90度。锐角也可以用于测量和计算其他角度。
直角
总结词
等于90度的角
详细描述
直角是角度等于90度的角。在几何学中，直角具有许多重要的性质和应用。例如 ，在三角形中，直角三角形是一种特殊的三角形类型，它的一个角是90度。直角 也可以用于测量和计算其他角度。
测量和计算其他角度。
Part03特源自角等边三角形中的角等边三角形中的角都是60 度，即每个角都是锐角。
等边三角形的三个内角相 等，且和为180度。
等边三角形的每个角都不 大于90度，因此它是锐角 三角形。
等腰三角形中的角
STEP 01
STEP 02
STEP 03
等腰三角形的顶角和两个 底角的和等于180度。
THANKS
感谢您的观看
钝角
总结词
大于90度且小于180度的角
详细描述
钝角是角度大于90度且小于180度的角。在几何学中，钝角具有许多重要的性质和应用。例如，在三 角形中，钝角三角形是一种特殊的三角形类型，它的一个角是钝角。钝角也可以用于测量和计算其他 角度。
平角
9.3.1空间两条直线所成的角PPT课件
D
C
A
B
-
9
9.3.1空间两条直线所成的角
三、练习
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求下列各对异面直线所成的角的度数。
D1
C1 （1）DD1与BC
90°
A1
B1
（2）AA1与 BC1
45°
D
C （3）AC与 BC1
60°
A
B
-
10
9.3.1空间两条直线所成的角
四、总结
本节课我们研究了什么？ 1.空间两条直线所成的角。
位置关系图形平行相交22经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线这两条相交直线的夹角叫做两条m与n所成角的大小与点o的位置有关吗
9.3.1空间两条直线所成的角
滁州市应用技术学校
数学教研组 谢怀年
-
1
9.3.1空间两条直线所成的角
一、复习：
空间的两条直线的位置关系
a
１．两条直线平行
b
２．两条直线相交
A
a
共
b
面
３．两条直线异面 β
-
a Ab
异面
2
9.3.1空间两条直线所成的角
异面直线的画法：平面衬托法
A B
-
3
9.3.1空间两条直线所成的角
探究两条直线所成的角
a 我们规定：两条平行
b
直线的夹角为０o。
2
a 两条相交的直线所成的
3
1 b 角中最小的正角，叫两条
4
直线的夹角00 900
？-4ຫໍສະໝຸດ B直线AB1与CD所
1.平移－找（作） 成的角，
3.解答－求
找（作）－证－求 -
屋里尖尖角ppt课件
涵盖内容
目的
通过深入了解尖顶建筑的历史、风格和设计原理，提高学生对建筑美学的认识和理解。
目标
培养学生欣赏和评价建筑作品的能力，激发他们的创新思维和设计灵感。
02
CHAPTER
屋里尖尖角的定义和特性
01
02
这种角落或拐角通常呈现为锐利的线条或几何形状，具有明显的方向性和指向性。
屋里尖尖角是指在建筑物的室内空间中，由于建筑结构和装饰设计等因素，形成的尖锐的角落或拐角。
视觉效果佳
PPT课件可以轻松地分享给其他人，方便了知识的传播和学习。
易于分享
PPT课件中包含了多种交互元素，如超链接、按钮和表单等，使得学习者可以更加主动地参与到学习中。
交互性强
由于PPT课件包含了大量的信息和内容，可能会导致学习者感到信息过载和难以消化。
信息过载
缺乏深度
形式单一
交互功能有限
PPT课件往往只注重信息的呈现，而缺乏对内容的深度挖掘和分析，难以满足学习者的深入学习需求。
在办公空间中，屋里尖尖角可以作为工作区域、会议桌或书架的设计元素，提高空间的使用效率和美观度。
在商业空间中，屋里尖尖角可以作为展示架、陈列台或装饰元素，突出商品和品牌形象。
在家居空间中，屋里尖尖角可以作为床头柜、餐桌或客厅电视墙的设计元素，营造出舒适、温馨和时尚的居住环境。
03
CHAPTER
屋里尖尖角的制作方法和技巧
PPT课件的视觉元素虽然丰富，但往往形式单一，缺乏创意和个性，容易使学习者感到疲劳。
虽然PPT课件包含了多种交互元素，但功能相对有限，难以满足学习者的多样化需求。
在制作PPT课件时，应该注重内容的精选和优化，避免信息过载和缺乏深度的问题。
优化内容
目的
通过深入了解尖顶建筑的历史、风格和设计原理，提高学生对建筑美学的认识和理解。
目标
培养学生欣赏和评价建筑作品的能力，激发他们的创新思维和设计灵感。
02
CHAPTER
屋里尖尖角的定义和特性
01
02
这种角落或拐角通常呈现为锐利的线条或几何形状，具有明显的方向性和指向性。
屋里尖尖角是指在建筑物的室内空间中，由于建筑结构和装饰设计等因素，形成的尖锐的角落或拐角。
视觉效果佳
PPT课件可以轻松地分享给其他人，方便了知识的传播和学习。
易于分享
PPT课件中包含了多种交互元素，如超链接、按钮和表单等，使得学习者可以更加主动地参与到学习中。
交互性强
由于PPT课件包含了大量的信息和内容，可能会导致学习者感到信息过载和难以消化。
信息过载
缺乏深度
形式单一
交互功能有限
PPT课件往往只注重信息的呈现，而缺乏对内容的深度挖掘和分析，难以满足学习者的深入学习需求。
在办公空间中，屋里尖尖角可以作为工作区域、会议桌或书架的设计元素，提高空间的使用效率和美观度。
在商业空间中，屋里尖尖角可以作为展示架、陈列台或装饰元素，突出商品和品牌形象。
在家居空间中，屋里尖尖角可以作为床头柜、餐桌或客厅电视墙的设计元素，营造出舒适、温馨和时尚的居住环境。
03
CHAPTER
屋里尖尖角的制作方法和技巧
PPT课件的视觉元素虽然丰富，但往往形式单一，缺乏创意和个性，容易使学习者感到疲劳。
虽然PPT课件包含了多种交互元素，但功能相对有限，难以满足学习者的多样化需求。
在制作PPT课件时，应该注重内容的精选和优化，避免信息过载和缺乏深度的问题。
优化内容
相关主题
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且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P 3
E
D
A
C
B
2020年10月2日
12
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P
4
Ｆ
A
C
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2020年10月2日
13
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
空间的角有哪几种基本形式？
异面直线 所成的角
直线与平面 所成的角
平面与平面 所成的角
2020年10月2日
2
方法：平行平移
a
b
练习：
.O
b1
a1 范围：(0°,90°]
2020年10月2日
3
方法：关键是作垂线，找射影
P
O
Q
范围：[0°，90°]
2020年10月2日
练习：
4
二面角作法：
方法1：定义 方法2：三垂线定理 方法3：作垂面
P
2020年10月2日
C
O
B
A
9
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
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2020年10月2日
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
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Ｆ
A
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2020年10月2日
11
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
P
O C
B
A
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2020年10月2日
Q7探究1： Nhomakorabea正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平 面成60°二面角，则异面直线AD与BF所成的 角的余弦值是________.
D
C
2020年10月2日
A F
Ｑ
B
Ｐ
E
8
探究2
三棱锥P-ABC，∠B=60°，AC=3， PA=PB=PC=4，求侧棱与底面所成的角。
Ab
Ab
l O
Ba
lO
B a
lO
Ab Ba
范围：[0°，180°]
2020年10月2日
5
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
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3
4
5
A
C
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2020年10月2日
6
变式
如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中， ∠ABC=90°，PA⊥面ABCD, PA=AB=BC=1, AD=0.5, 求面PCD与面PAB所成的二面角的正切值。
z P
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E
F
A
C
y
x
B
2020年10月2日
14
小结
1.空间角的作法充分运用了空间中平行与垂直的关 系，对平行与垂直的敏感性直接关系到作空间角的 成功与否，尤其是三垂线定理的运用非常重要。
2.对空间的角的计算一般在三角形中完成，尤其是 直角三角形，但是有时可以用更便捷的方法。
2020年10月2日
15
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
16
P 3
E
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A
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2020年10月2日
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
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2020年10月2日
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
空间的角有哪几种基本形式？
异面直线 所成的角
直线与平面 所成的角
平面与平面 所成的角
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2
方法：平行平移
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练习：
.O
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a1 范围：(0°,90°]
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方法：关键是作垂线，找射影
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范围：[0°，90°]
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练习：
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二面角作法：
方法1：定义 方法2：三垂线定理 方法3：作垂面
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
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Q7探究1： Nhomakorabea正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平 面成60°二面角，则异面直线AD与BF所成的 角的余弦值是________.
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探究2
三棱锥P-ABC，∠B=60°，AC=3， PA=PB=PC=4，求侧棱与底面所成的角。
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Ab Ba
范围：[0°，180°]
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
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变式
如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中， ∠ABC=90°，PA⊥面ABCD, PA=AB=BC=1, AD=0.5, 求面PCD与面PAB所成的二面角的正切值。
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小结
1.空间角的作法充分运用了空间中平行与垂直的关 系，对平行与垂直的敏感性直接关系到作空间角的 成功与否，尤其是三垂线定理的运用非常重要。
2.对空间的角的计算一般在三角形中完成，尤其是 直角三角形，但是有时可以用更便捷的方法。
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汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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