2018届苏教版 椭圆 单元测试
椭圆单元测试题及答案
椭圆单元测试题及答案一、选择题1. 椭圆的定义是什么？A. 所有点到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合B. 所有点到一个固定点的距离等于常数的点的集合C. 所有点到两个固定点的距离之差等于常数的点的集合D. 所有点到一个固定点的距离之差等于常数的点的集合2. 椭圆的焦点到中心的距离称为什么？A. 长轴B. 短轴C. 焦距D. 半轴3. 椭圆的长轴和短轴的长度之和等于什么？A. 焦距B. 椭圆的周长C. 椭圆的面积D. 椭圆的直径4. 如果椭圆的长轴是2a，短轴是2b，那么它的面积是多少？A. πabB. π(a+b)C. π(a-b)D. π(a^2 + b^2)5. 椭圆的离心率e定义为什么？A. e = c/aB. e = a/cC. e = b/aD. e = a/b二、填空题6. 椭圆的标准方程是 \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]，其中a和b分别代表_________。
7. 当椭圆的离心率e等于0时，椭圆退化为_________。
8. 椭圆的周长是一个比较复杂的表达式，通常用近似公式来表示，其中一种近似公式是周长L = π[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}]，其中a和b分别为椭圆的_________。
9. 椭圆的焦点在_________轴上。
10. 椭圆的离心率e的取值范围是_________。
三、解答题11. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴为6，短轴为4，求椭圆的标准方程。
12. 已知椭圆的离心率为0.6，焦点到中心的距离为2，求椭圆的长轴和短轴的长度。
答案：一、选择题1. A2. C3. A4. A5. A二、填空题6. 椭圆的长半轴和短半轴7. 圆8. 长半轴和短半轴9. 主10. (0, 1)三、解答题11. 椭圆的标准方程为 \[ \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1 \]。
2018版高中数学苏教版选修1-1学案：第二章 2.2.1 椭圆的标准方程 Word版含答案
2.2.1椭圆的标准方程[学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a、b、c的关系c2＝a2－b2c2＝a2－b2[思考](1)椭圆定义中，将“大于F121212件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．(2)a，b的值及焦点所在的位置．题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和是10；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 因为2a ＝10，所以a ＝5.又因为c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧ 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. 反思与感悟 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即先要判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程． 解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，。
江苏省宿豫中学2018-2019学年高二上学期椭圆检测试题
江苏省宿豫中学2018-2019学年高二上学期椭圆检测试题 一.填空题（每题5分，共70分）1．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 .2．若方程22153x y k k +=--表示椭圆，则k 的取值范围是 . 3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 . 4．椭圆的两个焦点是1F (－1,0)，2F (1,0)，P 为椭圆上一点，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆方程是 .5．设M (－5,0)，N (5,0)，MNP ∆的周长是36，则M NP ∆的顶点P 轨迹方程为 . 6．已知12F F 、是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 .7．过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B 、两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为 .8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足0e <?，则长轴最大值是 . 9．直线1+=x y 被椭圆4222=+y x 截得的弦的中点坐标 .10. 椭圆192522=+y x 的两焦点为21F F ，，椭圆上一点P 到左焦点1F 的距离为3，Q 为1PF 的中点，则=OQ .11. 椭圆1162522=+y x 上任意经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任一点（除这两点外）连线斜率之积为 .12. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，过点），（21,1作圆122=+y x 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为 .13.在平面直角坐标系xoy 中，以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B C 、两点，若ABC ∆是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是 .14.已知动直线l 与椭圆22:132x y C +=交于1122(,)(,)P x y Q x y ，两不同点，且OPQ ∆的面积OPQ S ∆=其中O 为坐标原点.则2212x x += . 二解答题（15-17题每题14分，18-20题每题16分，共90分）15. 已知圆36)2(22=++y x 的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交AM 于点P ，求动点P 的轨迹方程16．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 方程．17.椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 的横坐标的取值范围．18. 已知椭圆1422=+y x G ：，过点(),0m 作221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点求||AB 的最大值．19.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且过点A (2,1)．若P ，Q 是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴. （1）求椭圆C 的方程（2）试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．20.在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =圆C 上的点到(02)Q ，的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点A B 、，且AOB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的C 的面积；若不存在，请说明理由。
2018届苏教版 椭圆 单元测试
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考点40 椭圆一、选择题1.（2016·浙江高考文科·Ｔ8）如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）【解题指南】分别设出椭圆与双曲线的方程,根据其焦点相同和M ，O ，N 将椭圆长轴四等分得出离心率之间的关系.【解析】选Ｂ.设双曲线的方程为椭圆的方程为由于M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，所以212a a =， 又1212,c ce e a a ==，所以12212e a e a ==.2.（2016·江西高考文科·Ｔ8）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）(A)14 (B) （C ）12【解题指南】由|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列建立a ，c 的方程，转化为离心率e ，解方程得e.【解析】选B. 因为A ，B 为左、右顶点，12,F F 为左、右焦点，所以1AF a c=-，122F F c =，成等比数列，所以()()24,a c a c c +-=即225a c =，所以离心率5e =.3.（2016·新课标全国高考文科·Ｔ4）与（2016·新课标全国高考理科·Ｔ4）相同设F 1,F 2是椭圆E ：的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）(A)12 (B)23 (C)34 (D)45【解题指南】根据题意画出图形，寻求a ，c 所满足的数量关系，求得离心率.【解析】选C.设直线32ax =与x 轴交于点M ，则260PF M ∠=︒，在2Rt PF M ∆中，2122PF F F c ==，232a F M c=-，故22312cos6022a cF M PF c -︒===，解得34c a =，故离心率34e =.二、填空题4.（2016·江西高考理科·Ｔ13）椭圆22221x y a b += ()0a b >>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是12,F F ，若成等比数列，则此椭圆的离心率为_______.【解题指南】由|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列建立a ，c 的方程，转化为关于离心率e 的方程，解方程得e.【解析】A 、 A ，B 为左右顶点，12,F F 为左右焦点，所以1AF a c =-，122F F c=，1BF a c =+，又因为成等比数列，所以()()24a c a c c -+=，即225a c =，所以离心率c e a ==【答案】三、解答题5.（2016·广东高考理科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =C 上的点到点Q （0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C 的方程.（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A ，B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应△OAB 的面积；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意得∴a 2=3b 2，∴x 2+3y 2=3b 2.P为椭圆上一点，PQ ==若b ≥1,y ∈[-b,b], ∴当y=-1时，max PQ 3.==∴b 2=1,b=1.若0<b<1,则当y=-b 时，max PQ 3,=无解.∴b=1. 又a 2=b 2+c 2,a 2=3b 2,∴椭圆C 的方程为2213x y +=.(2)假设存在，设原点到直线:1l mx ny +=的距离为d,则d =，||AB ==1||2OABS AB d ∆∴==,(,)M m n 在椭圆上，22221133m m n n ∴+==-即，21213OABS m ∆∴=≤=+，当且仅当2213m =,即2231,22m n ==，∴点((2222M M ∴±±或 此时max 1()2AOB S ∆=.显然存在这样的点M 的坐标为使AOB S ∆最大，最大值为12.6.（2016·广东高考文科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C :22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -,且点(0,1)P 在1C 上.（1） 求椭圆1C 的方程.（2） 设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C :24y x =相切，求直线l 的方程.【解题指南】(1)根据题意可知1,1c b ==，从而可解出a 的值，问题得解.（2）由题意得直线的斜率一定存在且不为0，设出直线方程，分别与椭圆方程和抛物线方程联立，根据直线与椭圆和抛物线相切时满足判别式等于0，可求得直线l 的方程.【解析】（1）由题意得1,1,c b a ====, 椭圆1C 的方程为2212x y +=.(2) 由题意得：直线的斜率一定存在且不为0，设直线l 的方程为y kx m =+因为椭圆C 1的方程为2212x y +=，消去y 得222(12)4220k x kmx m +++-= ∵直线l 与椭圆1C 相切，2222164(21)(22)0k m k m ∴∆=-+-=.即22210(1)k m -+=①直线l 与抛物线2C :24y x =相切，则消去y 得222(24)0k x km x m +-+=，即1(2)km =②. 由①②解得所以直线l 的方程为7.（2016·陕西高考文科·Ｔ20）与（2016·陕西高考理科·Ｔ19）相同 已知椭圆1C :2214x y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率.（1）求椭圆2C 的方程.（2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程.【解析】（1）由已知可设椭圆C 2的方程为22214y x a +=（2a >），其离心率，=4a =，故椭圆C 2的方程为221164y x +=.（2）（方法一）A ，B 两点的坐标分别记为(,)A A x y ，(,)B B x y ，由2O BO A=及（1）知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =，将y kx =代入椭圆方程2214x y +=中，得22(14)4k x +=，所以22414A x k =+， 将y kx =代入221164y x +=中，得22(4)16k x +=，所以22164Bx k =+，又由2OB OA =得224BAx x =，即221616414k k=++，解得1k =±，故直线AB 的方程为y x =或y x =-.（方法二）A ，B 两点的坐标分别记为(,)A A x y ，(,)B B x y ，由2O BO A=及（1）知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =，将y kx =代入椭圆方程2214x y +=中，得22(14)4k x +=，所以22414A x k =+， 由2OB OA =得将22,BB x y 代入椭圆C 2的方程221164y x +=中，得224114k k +=+，即22414k k +=+，解得1k =±，故直线AB 的方程为y x =或y x =-.关闭Word 文档返回原板块。
高中数学2.2 椭圆 单元测试 苏教版选修2—1
高中苏教选修（2-1）圆锥曲线及椭圆水平测试题一、选择题1．椭圆22143x y+=的右焦点到直线y=的距离是（）Ａ．12Ｂ．Ｃ．1答案：Ａ2．语句甲：动点P到两定点A，B的距离之和2PA PB a+=(0a>，且a为常数)；语句乙：P点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件答案：Ｂ3．过点(32)-，且与22194x y+=有相同焦点的椭圆的方程是（）Ａ．2211510x y+=Ｂ．221225100x y+=Ｃ．2211015x y+=Ｄ．221100225x y+=答案：Ａ4．设P是椭圆2211612x y+=上一点，P到两焦点12F F，的距离之差为2，则12PF F△是（）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．等腰直角三角形答案：Ｂ5．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的面积为πS ab=．现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为（4，0），且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为（）Ａ．15πＢ．15π4Ｃ．3πＤ．255π4答案：Ｄ6．(0)F c ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为m ，最小值为n ，则椭圆上与点F 距离为2m n+的点是（ ）Ａ．2b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｂ．b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭， Ｃ．(0)b ±，Ｄ．不存在答案：Ｃ 二、填空题7．若椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程 是 ．答案：2218020x y +=8．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点M 在线段AB 上且4AM MB =，则点M 的轨迹方程是 ．答案：221664x y += 9．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m 等于 ． 答案：3210．已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12F F ，，且128F F =，弦AB 过1F ，则2ABF △的周长为 ．答案：11．椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是 ．答案：[45]，12．已知102A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为 ．答案：22413x y +=三、解答题13．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程．解：椭圆的长轴长是6，2cos 3OFA ∠=，∴点A 不是长轴的端点，而是短轴的端点，OF c∴=，3AF a ==．233c ∴=．2c ∴=，222325b =-=．∴椭圆的方程是22195x y +=或22159x y +=．14．P 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，1F 为它的一个焦点，求证：以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切． 证明：如右图，设1PF 的中点为M ，则两圆圆心之间的距离为211111(2)222OM PF a PF a PF ==-=-，即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差．∴两圆内切，即以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．15．在平面直角坐标系中，已知ABC △的两个顶点(30)B -，，(30)C ，且三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，求顶点A 的轨迹方程．解：三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，212AC AB BC BC∴+==>，∴顶点A 的轨迹是以B C ，为焦点，长轴长为12的椭圆（长轴端点除外）．由212a =，26c =，得6a =，3c =，则22236927b a c =-=-=．∴顶点A 的轨迹方程为221(6)3627x y x +=≠±．高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 高中苏教选修（2-1）圆锥曲线及椭圆水平测试题一、选择题1．椭圆2214x y m +=的焦距等于2，则m 的值为（ ）Ａ．5或3Ｂ．8Ｃ．5Ｄ．16答案：A2．已知点()m n ，在椭圆228324x y +=上，则24m +的取值范围是（ ）Ａ．[4-+Ｂ．[44Ｃ．[4-+Ｄ．[4 答案：A3．已知椭圆方程221259x y +=，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长度为（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．8Ｄ．32答案：B4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，则线段PP '的中点M 的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆Ｃ．直线Ｄ．以上都有可能答案：B5．在椭圆2214520x y +=上有一点P ，12F F ，是椭圆的左、右焦点，12F PF △为直角三角形，则这样的点P 有（ ） Ａ．2个 Ｂ．4个 Ｃ．6个 Ｄ．8个答案：D6．如右图，M 是椭圆22194x y +=上一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，I 是12MF F △的内心，延长MI 交12F F 于N ，则MINI 等于（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：A 二、填空题7．已知方程222(1)31k x y -+=是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ． 答案：2k <-或2k >8．P 是椭圆22143x y +=上的点，12F F ，是两个焦点，则12PF PF 的最大值与最小值之差是 ．答案：19．椭圆222222(0)b x a y a b a b +=>>的左焦点是F A B ，，分别是左顶点和上顶点，若F到直线AB． 答案：1210．椭圆2244x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =．答案：7211．12F F ，为椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点1F 向12F AF ∠的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是 ．答案：224(2)x y x +=≠± 12．若焦点在x 轴上的椭圆222145x y b +=上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则b 的取值范围是 ．答案：b 且0b ≠ 三、解答题13．设12F F ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右两个焦点．（1）若椭圆C 上的点312A ⎛⎫⎪⎝⎭，到12F F ，两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程． 解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到12F F ，两点的距离之和是4，得24a =，即2a =．又点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，因此22231212b ⎛⎫⎪⎝⎭+=，得23b =，且21c =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=，焦点为12(10)(10)F F -，，，； （2）设椭圆C 上的动点11()K x y ，，线段1F K 的中点()Q x y ，，满足112x x -+=，12yy =，即121x x =+，12y y =．因此，22(21)(2)143x y ++=，即2214123y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭为所求的轨迹方程．14．已知大西北某荒漠上A 、B 两点相距2km ，现准备在荒漠上开垦出一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8km ，问农艺园的最大面积能达到多少？ 解：由题意，得4CA CB DA DB AB+=+=>，可知平行四边形另两个顶点C D ，在以A B ，为焦点的一个椭圆上 （除长轴的两个端点），以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，易知22c =，24a =，所以12c a ==，，则2223b a c =-=．故椭圆方程为221(2)43x y x +=≠±，易知当C D ，为椭圆的短轴端点时，农艺园的面积最大，其值为2．15．已知椭圆的焦点是12(10)(10)F F -，，，，P 为椭圆上一点，且12F F 是1PF 和2PF 的等差中项．（1）求椭圆的方程； （2）若点P 在第三象限，且12120PF F ∠=，求12tan F PF ∠．解：（1）由题设，得12122F F PF PF =+，24a ∴=，即2a =．又1c =，b ∴=∴椭圆的方程为22143x y +=；（2）设12F PF θ∠=，则2160PF F θ∠=-．由正弦定理，得1221sin sin120sin(60)F F PF PF θθ==-．由等比定理，得1212sin sin120sin(60)F F PF PF θθ+=+-．2sin θ∴=．整理，得5sin cos )θθ=+．sin 1cos θθ∴=+．故tan 2θ=，1232535tan tan 3125F PF θ∠===-．。
2018届苏教版(理) 椭圆 单元测试
专题49椭圆1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM|＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．5 解析：由题意知，在△PF 1F 2中，|OM|＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 答案：A2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1.答案：C3．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12解析：由x 2m 2＋y 2m 3＝1⇒⎩⎨⎧a 2＝m 2，b 2＝m 3⇒c 2＝a 2－b 2＝m 6.∴e 2＝13，e ＝33.答案：B4．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F(－c ，0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( ) A.34B ．1C ．2D ．4 解析：圆M 的方程可化为(x ＋m)2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m<0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1，0)． 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切， ∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2. 答案：C5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由题意知，O(0，0)，F(－1，0)，设P(x ，y)，则OP →＝(x ，y)，FP →＝(x ＋1，y)，∴OP →·FP →＝x(x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x ，又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，∵－2≤x≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6. 答案：C6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P (a ，b )满足|F 1F 2|＝|PF 2|，设直线PF 2与椭圆交于M 、N 两点，若|MN |＝16，则椭圆的方程为( ) A.x 2144＋y 2108＝1 B.x 2100＋y 275＝1 C.x 236＋y 227＝1 D.x 216＋y 212＝17．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于__________。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习专题9.5椭圆(测)-含答案
P 点，若∠ B1PA2 为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 ________．
2
【答案】
5－ 2
1，
1
二、解答题 11．如图，在平面直角坐标系
x2 y2 xOy 中， F1，F2 分别是椭圆 a2＋ b2＝ 1( a>b>0) 的左、右焦点，顶点 B 的坐标为
(0 ， b) ，连接 BF2 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连2 － 0 b a2－ c2
F1C 的 斜 率 为 2a2c
2 －1. 以原点为圆心、椭圆的短半轴长为
半径的圆与直线 x－y＋ 2＝ 0 相切，则椭圆 C的方程为 _______.
【解析】由题意知
a－ c＝
2－ 1，又 b＝
2 ＝ 1，由
1＋ 1
b＝ 1， a2－ c2＝ b2，
a－ c＝ 2－ 1
得 a2＝ 2， b2＝ 1，故 c2＝ 1，椭
圆
C 的方程为
【解析】 在△ ABC中，由正弦定理得
sin C ＝ | AB| ，因为点 C在椭圆上， 所以由椭圆定义知 | CA|
sin A＋ sin B 2a 1
＋ | CB| ＝ 2a，而 | AB| ＝ 2c，所以
sin C ＝2c＝ e＝ 3.
10. 如图，椭圆的中心在坐标原点 O，顶点分别是 A1， A2， B 1，B2，焦点分别为 F1， F2，延长 B1F2 与 A2B2 交于
2a2c x1＝ a2＋ c2，
得
b c2－a2
y1＝ a2＋ c2 ，
x2＝ 0， y2＝ b.
3
2a2c b c2－ a2 所以点 A 的坐标为 a2＋ c2， a2＋ c2 .
江苏2018届高考数学总复习专题10.1椭圆试题含解析
专题10。
1 椭圆【三年高考】1．【2017江苏】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限,过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2)若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标．【答案】(1）22143x y +=;(2）4737(,)77．试题解析：(1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==,于是223b a c =-=，因此椭圆E 的标准方程是22143x y+=．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --， 从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程:001(1)x y x y -=--． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以20001(,)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±,即22001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得004737x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P 的坐标为4737(． 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上(点的坐标满足曲线方程）等．2。
椭圆单元测试题(含答案)
椭圆单元测试题(含答案)一. 选择题1. 下列哪个不是椭圆的性质？A. 任何椭圆都有两个焦点B. 椭圆的离心率小于1C. 椭圆是一条闭合曲线D. 直径是椭圆上任意两点的距离的最大值答案：D2. 下列哪个公式可以用来计算椭圆面积？A. $S = \frac{\pi}{2}ab$B. $S = \pi ab$C. $S = \frac{4}{3}\pi ab$D. $S = 2\pi ab$答案：B3. 一个椭圆的长轴长度是6，短轴长度是4，则该椭圆的离心率是多少？A. $\frac{3}{4}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{4}{5}$D. $\frac{5}{6}$答案：C二. 填空题1. 椭圆的离心率等于$\rule{1.5cm}{.15mm}$除以$\rule{1.5cm}{.15mm}$。
答案：焦距差，长轴长度2. 设椭圆的长轴长度为$a$，短轴长度为$b$，则其离心率的计算公式为$\rule{5cm}{.15mm}$。
答案：$\epsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$三. 计算题1. 已知一个椭圆的长轴长度是10，短轴长度是8，求它的面积。
解：由公式$S = \pi ab$可得，该椭圆的面积为$S = \pi \times 10 \times 8 = 80\pi$。
答案：$80\pi$2. 已知一个椭圆的长轴长度是12，离心率是$\frac{1}{2}$，求它的短轴长度。
解：由公式$\epsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$可得，$b =a\sqrt{1-\epsilon^2}$。
代入数据，可得$b = 6\sqrt{3}$。
答案：$6\sqrt{3}$。
江苏专用版2018_2019学年高中数学学业分层测评12圆椭圆的参数方程的应用苏教版选修4_42018100227
学业分层测评(十二) 圆、椭圆的参数方程的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]1．当x 2＋y 2＝4时，求u ＝x 2＋23xy －y 2的最值．【解】 设⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ<2π)，于是u ＝x 2＋23xy －y 2＝4cos 2θ＋83cos θsin θ－4sin 2θ＝4cos 2θ＋43sin 2θ＝8sin(2θ＋π6)． 所以，当θ＝π6，x ＝3，y ＝1时，或θ＝7π6，x ＝－3，y ＝－1时，u max ＝8； 当θ＝2π3，x ＝－1，y ＝3时，或θ＝5π3，x ＝1， y ＝－3时，u min ＝－8.2．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．【解】 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)(tan φ＝2)．∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.3．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【导学号：98990037】【解】 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32s ，y ＝12s(s 为参数)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0.设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2，∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10.AB ＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝217.4．已知A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，A (a,0)，设P (a cos θ，b sin θ)是椭圆上一点，则AP →＝(a cos θ－a ，b sin θ)，OP →＝(a cos θ，b sin θ)，由于∠OPA ＝90°，所以AP →·OP →＝0，即(a cos θ－a )a cos θ＋b 2sin 2θ＝0， a 2(cos 2θ－cos θ)＋b 2sin 2θ＝0，a 2cos θ(cos θ－1)＋b 2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝0.因为P 与A 不重合，所以cos θ－1≠0，则a 2cos θ＝b 2(1＋cos θ)， b 2a 2＝cos θ1＋cos θ， c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－cos θ1＋cos θ＝11＋cos θ. 因为θ∈(0，π2)∪(32π，2π)， 所以c 2a 2∈(12，1)，e ∈(22，1)． 5．已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：OP ·OQ 为定值．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)， B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1， 即OP ＝|2cos φ1＋sin φ|. MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ， 令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ. ∴OQ ＝|2cos φ1－sin φ|. ∴OP ·OQ ＝|2cos φ1＋sin φ|×|2cos φ1－sin φ|＝4. 即OP ·OQ ＝4为定值．6．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解】 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎨⎧ y ＝3x －，x 2＋y 2＝1.解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12，－32)． (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)， P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116，故P 点的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆． 7．求椭圆C ：x 216＋y 29＝1上的点P 到直线l ：3x ＋4y ＋18＝0的距离的最小值． 【解】 设点P 的坐标为(4cos θ，3sin θ)，其中θ∈[0,2π)，则点P 到直线l 的距离d ＝|12cos θ＋12sin θ＋18|5＝|122θ＋π4＋18|5＝122θ＋π4＋185≥－122＋185， 当sin(θ＋π4)＝－1时，等号成立．因为θ∈[0,2π)，所以θ＝5π4. 所以当θ＝5π4时，d 取得最小值18－1225. [能力提升]8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θy ＝sin θ，其中θ为参数．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos(θ＋π3)＝3 6.求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值．【解】 直线l 的普通方程为：x －3y －36＝0，设椭圆C 上的点到直线l 距离为d . d ＝|3cos θ－3sin θ－36|2＝6θ－π4＋362 ∴当sin(θ－π4)＝1时，d max ＝26， 当sin(θ－π4)＝－1时，d min ＝ 6.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
2018届苏教版 圆锥曲线的综合问题 单元测试
专题12：圆锥曲线的综合问题班级 姓名一、前测训练1．（1）点A 是椭圆x 236＋y 220＝1的左顶点，点F 是右焦点，若点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，满足PA ⊥PF ，则点P 的坐标为 ．（2）若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为 ．答案：(1)(32，523)．(2)6． 2．如果椭圆x 240＋y 210＝1的弦被点A (4，－1)平分，则这条弦所在的直线方程是 ． 答案：y ＝x －5．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C . (1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.答案：（1）x 22＋y 2＝1；（2）e ＝12． 四、反馈练习 1．过椭x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则弦AB ＝________. 答案：553（考查：直线被椭圆截得的弦长）2．已知点A (2，0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝ ________.答案：1∶5（考查：抛物线定义，直线与抛物线的交点）3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为________． 答案：57（考查：椭圆离心率，椭圆的定义，解三角形）4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.答案：2（考查：双曲线的渐近线，双曲线与抛物线的关系）5．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则双曲线C 的方程是 ________.答案：x 24－y 25＝1 （考查：双曲线中的基本量的计算）6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是 ________. 答案：32（考查内容：双曲线、抛物线中的基本量的计算）7．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为 ________. 答案：33（考查内容：椭圆离心率，椭圆的定义）8． O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为 ________. 答案：23（考查：圆与抛物线的交点，待定系数法）9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，B 是它的下顶点，F 是其右焦点，BF 的延长线与椭圆及其右准线分别交于P ，Q 两点，若点P 恰好是BQ 的中点，则此椭圆的离心率是___. 答案：33(考查：椭圆中基本量计算，椭圆的离心率)10．已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．答案：x 2－y 23＝1（考查内容：双曲线与抛物线中基本量之间的关系）11．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．答案：(1) y 216＋x 24＝1.(2) y ＝x 或y ＝－x . （考查：椭圆基本量的计算，待定系数法）12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．答案：（1）x 24＋3y 24＝1．（2）2．（3）x ＋y ＝0或x ＝－12．（考查：椭圆中的基本量计算，直线与椭圆的交点）13．已知椭圆x 24＋y 29＝1上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，设点M 在PQ 上，且PM →＝2MQ →，点M 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点D (0，－2)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若OA ⊥OB ，求直线l 的方程．答案： (1)曲线C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)直线l 的方程为y ＝±2x －2. （考查：点的轨迹，直线与椭圆的交点，根与系数的关系．）14．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点(m 3，m )，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。
2018届苏教版 椭圆 单元测试
椭圆基础巩固组1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为( ).A .x 2169+y 2144=1 B .x 2144+y 2169=1 C .x 2169+y 225=1 D .x 2144+y 225=1 答案:A解析:由题意知a=13,c=5,则b 2=a 2-c 2=144.又∵椭圆的焦点在x 轴上,∴椭圆方程为x 2169+y 2144=1.2.若焦点在x 轴上的椭圆x 22+y 2m =1的离心率为12,则m 等于( ).A . 3B .32C .83D .23答案:B解析:∵a 2=2,b 2=m ,∴c 2=2-m.∵e 2=c 22=2-m=1.∴m=32.3.已知椭圆x 212+y 23=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 2的中点在y 轴上,那么|PF 2|是|PF 1|的( ). A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍答案:A解析:设线段PF 2的中点为D ,则|OD|=12|PF 1|,OD ∥PF 1,OD ⊥x 轴,∴PF 1⊥x 轴.∴|PF 1|=b 2a=323= 32.又∵|PF 1|+|PF 2|=4 3,∴|PF 2|=4 3−32=7 32.∴|PF2|是|PF1|的7倍.4.设椭圆x 22+y2m=1和双曲线y23-x2=1的公共焦点分别为F1,F2,P为这两条曲线的一个交点,则cos∠F1PF2的值为().A.14B.13C.23D.-13答案:B解析:由题意可知m-2=3+1,解得m=6.由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点P为第一象限内的点,F1(0,-2),F2(0,2).由题意得|PF1|+|PF2|=26,|PF1|-|PF2|=23,|F1F2|=4,解得|PF1|=6+3,|PF2|=6− 3.由余弦定理可得cos∠F1PF2=13.5.设F1,F2是椭圆x 2a2+y29=1的左、右两焦点,P为椭圆的一个顶点,若△PF1F2是等边三角形,则a2=.答案:12解析:∵△PF1F2是等边三角形,∴2c=a.又∵b=3,∴a2=12.6.已知动点P(x,y)在椭圆x 225+y216=1上,若点A坐标为(3,0),|AM|=1,且PM·AM=0,则|PM|的最小值是.答案:3解析:∵PM·AM=0,∴AM⊥PM.∴|PM|2=|AP|2-|AM|2=|AP|2-1.∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,∴|AP|min=2,∴|PM|min= 3.7.求符合下列条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的3倍,并且过点P(3,0);(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(6,1),P2(-3,-2).解:(1)若焦点在x轴上,设方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>0),∵椭圆过P(3,0),∴32 a2+02b2=1,即a=3.又2a=3×2b,∴b=1,方程为x 29+y 2=1.若焦点在y 轴上, 设方程为y 2a2+x 2b 2=1(a>b>0).∵椭圆过点P (3,0),∴02a 2+32b 2=1,即b=3.又2a=3×2b ,∴a=9,方程为y 281+x 29=1.(2)设椭圆的方程为mx 2+ny 2=1(其中m>0,n>0,且m ≠n ),∵椭圆过两点P 1( 6,1),P 2(- 3,- 2),∴ 6m +n =1,3m +2n =1,解得 m =19,n =13.∴此椭圆的标准方程为x 29+y 23=1.能力提升组8.已知P 是椭圆x 225+y 2b 2=1(0<b<5)上除顶点外的一点,F 1是椭圆的左焦点,若|OP +OF 1 |=8,则点P 到该椭圆左焦点的距离为( ). A.6 B.4C.2D .52答案:C解析:设椭圆右焦点为F 2,取PF 1的中点M ,连结OM ,OP +OF 1 =2OM ,∴|OM|=4,△F 1PF 2中,OM 是中位线.∴PF 2的长等于8,|PF 1|+|PF 2|=2a=10,解得|PF 1|=2,故选C .9.设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2+y 2b2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点,若|AF 1|=3|F 1B|,AF 2⊥x 轴,则椭圆E 的方程为( ). A.x 2+32y 2=1 B .32x 2+y 2=1 C.x 2+y 232=1D .x 232+y 2=1答案:A解析:设B 在x 轴上的射影为B 0,由题意得,|B 0F 1|=13|F 1F 2|=2c3,得B 0坐标为 -5c3,0 ,即点B 横坐标为-5c3.设直线AB 的斜率为k ,又直线过点F 1(-c ,0), 所以直线AB 的方程为y=k (x+c ). 由 y =k (x +c ),x 2+y 2b2=1得(k 2+b 2)x 2+2ck 2x+k 2c 2-b 2=0, 其两根为-5c3和c ,由根与系数的关系得 -53c +c =-2ck 2k 2+b 2,-53c ×c =k 2c 2-b 2k 2+b2,解之,得c 2=13,则b 2=1-c 2=23. 故椭圆方程为x 2+32y 2=1.10.已知椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),若椭圆上存在点P 使asin ∠PF 1F 2=c21,则该椭圆的离心率的取值范围为 .答案: 2-1<e<1 解析:依题意由正弦定理,得|PF 2||PF 1|=ac(注意到P 不与F 1F 2共线), 即|PF 2|2a -|PF 2|=a c,∴2a |PF 2|-1=ca. ∴2a |PF 2|=c a+1>2a a +c, 即e+1>21+e.∴(e+1)2>2. 又e<1,∴ 2-1<e<1.11.(2015课标全国高考Ⅱ)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M.(1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;(2)若l 过点 m3,m ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由.解:(1)设直线l :y=kx+b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=-kbk 2+9,y M =kx M +b=9bk 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M=-9k ,即k OM ·k=-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点 m 3,m ,所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y=-9k x. 设点P 的横坐标为x P .由 y =-9k x ,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3 k +9.将点 m3,m 的坐标代入l 的方程得b=m (3-k )3, 因此x M =k (k -3)m 3(k 2+9).四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M . 于是3 k 2+9=2×k (k -3)m3(k 2+9),解得k 1=4- 7,k 2=4+ 7. 因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4- 7或4+ 7时,四边形OAPB 为平行四边形.。
2018届高中数学苏教版 椭圆 单元测试 Word版 含答案
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考点32 椭圆一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34【解析】选B.设椭圆的标准方程为22xa+22yb=1(a>b>0),右焦点F(c,0),则直线l的方程为xc +yb=1,即bx+cy-bc=0,由题意可知12b,又a2=b2+c2,得b2c2=14b2a2,所以e=ca =1 2.2.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O为坐标原点,F是椭圆C:2222x ya b+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34【解题指南】点M是直线AE和直线BM的交点,点M的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c的联系.【解析】选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设为k,直线AE的方程为y=k()x a+,令x=0可得点E坐标为()0,ka,所以OE的中点H坐标为ka0,2⎛⎫⎪⎝⎭,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM 的斜率为-k 2,可设其方程为y=-k 2x+k 2a,联立()y k x a ,k k y x a,22⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得点M 横坐标为-a3,又点M 的横坐标和左焦点相同,所以-a 3=-c,所以e=13.3.(2016·浙江高考理科·T7)已知椭圆C 1:22x m +y 2=1(m>1)与双曲线C 2:22x n-y 2=1(n>0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则 ( ) A.m>n 且e 1e 2>1 B.m>n 且e 1e 2<1 C.m<n 且e 1e 2>1D.m<n 且e 1e 2<1【解题指南】根据椭圆与双曲线离心率的定义求解,注意a 2,b 2与c 2的关系. 【解析】选A.由题意知m 2-1=n 2+1,即m 2=n 2+2,(e1e 2)2=22m 1m -·22n 1n +=221111m n ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为m 2=n 2+2,m>1,n>0,所以m>n,(e 1e 2)2>1,所以e 1e 2>1. 二、填空题4.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆2222x y +=1a b(a>b>0)的右焦点,直线y=b2错误！未找到引用源。
苏教版高中数学选修2-1椭圆单元系列训练题.docx
椭圆单元系列训练题1. 椭圆19822=++y m x 的离心率21=e ，则m=__________ 2. 椭圆4x 2+2y 2=1的准线方程是_______________3. 已知F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，A 、B 为过F 1的直线与椭圆的两 个交点，则△ABF 2的周长是____________4. 椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上有一点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，则P 点的坐标是_______________5. 椭圆12222=+by a x 焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上的任一点，M 为P F 1的中点，若P F 1的长为s ，那么OM 的长等于____________6. 过椭圆1273622=+y x 的一个焦点F 作与椭圆轴不垂直的弦AB ，AB 的垂直平 分线交AB 于M ，交x 轴于N ，则FN ：AB =___________ 7. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率32=e ，长轴长是6，则椭圆的方程 是____________8. 方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的值是_____________9. 椭圆的两焦点把准线间的距离三等分，则这椭圆的离心率是______________10.椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点F 2的距离为b ，则P 点到左准线的距离是_______11.椭圆⎪⎭⎫⎝⎛∈=+2,4,1csc sec 2222ππt t y t x ，这个椭圆的焦点坐标是__________12.曲线()023122=+--+m my y m x 表示椭圆，那么m 的取值是______________13.椭圆13422=+y x 上的一点()11,y x A ，A 点到左焦点的距离为25， 则x 1=___________14.椭圆()()19216122=-+-y x 的两个焦点坐标是______________15.椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，两准线的距离是5518，焦距为52， 其方程为______16.椭圆上一点P 与两个焦点F 1、F 2所成的∆PF 1F 2中，βα=∠=∠1221,F PF F PF ， 则它的离心率e=__________17.方程142sin 322=⎪⎭⎫⎝⎛+-παy x 表示椭圆，则α的取值是______________18.若()()065562222=--+-λλλλy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则λ的值 是________19.椭圆192522=+y x 上不同的三点()()2211,,59,4,,y x C B y x A ⎪⎭⎫⎝⎛与焦点()0,4F 的 距离成等差数列，则=+21x x ____________20.P 是椭圆192522=+y x 上一点，它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的4倍， 则P 点的坐标是_______________21.中心在原点，对称轴在坐标轴上，长轴为短轴的2倍，且过()6,2-的椭圆 方程是______22.在面积为1的△PMN 中，2tan ,21tan -==N M ，那么以M 、N 为焦点且过P 的椭圆方程是_____________23.已知△ABC ，()()0,3,0,3-B A 且三边AC 、AB 、BC 的长成等差数列，则顶点C 的轨迹方程是_________24.椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是__________ 25.椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是____________ 26.椭圆()112222=-+m y m x 的准线平行于x 轴，则m 的值是__________ 27.中心在原点，准线方程为4±=x ，离心率为21的椭圆方程是_______ 28.椭圆的焦距等于长轴长与短轴长的比例中顶，则离心率等于___________ 29.中心在原点，一焦点为()50,01F 的椭圆被直线23-=x y 截得的弦的中点横坐标为21，则此椭圆方程是_________30.椭圆的中心为()0,0，对称轴是坐标轴，短轴的一个端点与两个焦点构成面 积为12的三角形，两准线间的距离是225，则此椭圆方程是_____________ 31.过点()2,3-且与椭圆369422=+y x 有相同焦点的椭圆方程是____________32.将椭圆192522=+y x 绕其左焦点逆时针方向旋转90︒，所得椭圆方程是_______ 33.椭圆192522=+y x 上一点M 到右准线的距离是7.5，那么M 点右焦半径是______ 34.AB 是椭圆14322=+y x 的长轴，F 1是一个焦点，过AB 的每一个十等分点作 AB 的垂线，交椭圆同一侧于点P 1，P 2，P 3，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，P 9，则11912111BF F P F P F P AF ++⋅⋅⋅+++的值是________35.中心在原点，一焦点为F （0，1），长短轴长度比为t ，则此椭圆方程是__________36.若方程222x ky +=表示焦点在y 轴的椭圆，则k 的取值是__________37.椭圆221123x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上一点，若线段PF 1的中点在 y 轴上，那么1PF ：2PF =___________ 38.经过()()123,2,23,1M M --两点的椭圆方程是_____________39.以椭圆的右焦点F 2（F 1为左焦点）为圆心作一圆，使此圆过椭圆中心并交 椭圆于M 、N ，若直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率是___________ 40.椭圆的两个焦点F 1、F 2及中心O 将两准线间的距离四等分，则一焦点与短 轴两个端点连线的夹角是__________41.点A (),0a 到椭圆2212x y +=上的点之间的最短距离是___________42.椭圆2214x y +=与圆()2221x y r -+=有公共点，则r 的取值是________43.若k R ∈，直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=总有公共点，则m 的值是________ 44.设P 是椭圆上一点，两个焦点F 1、F 2，如果00211275,15PF F PF F ∠=∠=，则离 心率等于__________45.P 是椭圆22143x y +=上任一点，两个焦点F 1、F 2，那么12F PF ∠的最大值是 _______46.椭圆2244x y +=长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的 等腰直角三角形，则此直角三角形的面积是__________47.椭圆长轴长为6，焦距42，过焦点F 1作一倾角为α的直线交椭圆于M 、N 两点，当MN 等于短轴长时，α的值是_______48.设椭圆22143x y +=的长轴两端点A 、B ，点P 在椭圆上，那么直线PA 与PB 的斜率之积是__________49.倾斜角为4π的直线与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点M的轨迹方程是______________50.已知点A （0，1）是椭圆上的一点，P 是椭圆上任一点，当弦长AP 取最大 值时，点P 的坐标是_____________椭圆单元系列训练题参考答案1. 544-或 2. 1y =± 3. 20 4. ()()0,0,b b -或 5. 2sa - 6. 1:4 7. 2222119559x y x y +=+=或 8.9252m << 9. 33 10. 23b 11. ()0,cos 2t ± 12. ()1,+∞ 13. 1 14. ()()17,2,17,2+-15.22194x y+= 16. cos2cos2αβαβ+- 17. ()37,,88k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭18.()6,6 19. 8 20. 15371537,,4444⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或21.222211148371352x y x y +=+=或 22. 2241153x y += 23. 2213627x y += 24. 53或 25. 4514555和 26. 102m m <≠且 27. 22143x y += 28. 12522- 29. 2212575x y += 30. 222211259925x y x y +=+=或 31. 2211510x y += 32. ()()22441925x y +-+= 33. 6 34. 203+35.222221111x y t t t +=-- 36. ()0,1 37. 7 38. 221155x y += 39. 31- 40.2π41. 2122a a a --+或或 42. 6,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦43. m ≥1且m ≠ 5 44. 63 45. 60︒46.1625 47. 566ππ或 48. 34-49.144,5,5455y x x⎛⎫⎛⎫=-∈-⎪⎪⎝⎭⎝⎭50.421,33⎛⎫±-⎪⎪⎝⎭。
专题9-5 椭 圆练-2018年高考数学一轮复习讲练测江苏版 含解析 精品
【基础巩固】一、填空题1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于________．【答案】3【解析】当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3.2．(2017·苏州调研)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________．【答案】x 24＋y 23＝1【解析】依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1.3．若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________．【答案】4【解析】由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝10，又PF 1＝6，∴PF 2＝4.4．(2017·扬州期末)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________． 【答案】335．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________． 【答案】12【解析】如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b .在Rt △OFB 中，OF ×OB ＝BF ×OD ，即cb ＝a ·12b ，即a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12.6．椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则b a的值为________． 【答案】233【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b y 1－y 2y 1＋y 2a x 1－x 2x 1＋x 2＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1，∴b a ＝233. 7．(2017·昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．【答案】(－3,0)或(3,0)8．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________． 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 【解析】设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入①式解得x 2＝c 2－b 2a 2c 2＝c 2－a 2a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.二、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN ＝5F 1N ，求a ，b .10．(2017·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为255.(1)求椭圆C的标准方程．(2)将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．－2)，联立方程组得⎩⎨⎧y ＝－3x －，y ＝k x －，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k ＋3k ＋3，y ＝－3k k ＋3，代入椭圆解得k ＝332或k ＝－32，又由题意知，y ＝－3kk ＋3<0得k >0或k <－3，所以k ＝332.【能力提升】11．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________． 【答案】3－112．(2017·盐城中学模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎦⎥⎤0，255【解析】依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45， 解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255. 13．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，26314．(2017·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b .过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； (3)若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程． 解 (1)由条件得1a 2＋1b2＝1，且c 2＝2b 2，所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 24＋3y 24＝1.(2)设l 1的方程为y ＋1＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0. 因为P 为(－1，－1)，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋6k ＋11＋3k 2，3k 2＋2k －11＋3k 2.当k ≠0时，用－1k代替k ，。
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考点32 椭圆
一、选择题
1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中
心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()
A.1
3B.1
2
C.2
3
D.3
4
【解析】选B.设椭圆的标准方程为
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1(a>b>0),右焦点F(c,0),则直线l的方
程为x
c +y
b
=1,即bx+cy-bc=0,由题意可知1
2
b,又a2=b2+c2,得b2c2=1
4
b2a2,
所以e=c
a =1 2
.
2.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同
已知O为坐标原点,F是椭圆C:
22
22
x y
a b
+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,
右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()
A.1
3B.1
2
C.2
3
D.3
4
【解题指南】点M是直线AE和直线BM的交点,点M的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c的联系.
【解析】选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设为k,直线AE的方程为y=k()
x a
+,
令x=0可得点E坐标为()
0,ka,所以OE的中点H坐标为
ka
0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,又右顶点B(a,0),
所以可得直线BM 的斜率为-k 2,可设其方程为y=-k 2x+k 2a,联立()y k x a ,
k k y x a,
22
⎧=+⎪
⎨=-+⎪⎩可得点M 横坐标为-a
3,又点M 的横坐标和左焦点相同,所以-a 3=-c,所以e=13
.
3.(2016·浙江高考理科·T7)已知椭圆C 1:22x m +y 2=1(m>1)与双曲线C 2:2
2x n
-y 2=1(n>0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则 ( ) A.m>n 且e 1e 2>1 B.m>n 且e 1e 2<1 C.m<n 且e 1e 2>1
D.m<n 且e 1e 2<1
【解题指南】根据椭圆与双曲线离心率的定义求解,注意a 2,b 2与c 2的关系. 【解析】选A.由题意知m 2-1=n 2+1,即m 2=n 2+2,(e
1e 2
)2=
22m 1m -·22
n 1n +=221111m n ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭,因为m 2=n 2+2,m>1,n>0,所以m>n,(e 1e 2)2>1,所以e 1e 2>1. 二、填空题
4.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆22
22x y +=1a b
(a>b>0)的右焦
点,直线y=
b
2
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
与椭圆交于B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .
【解题指南】利用k BF ·k CF =-1计算得出离心率的值. 【解析】将直线y=
2b 与椭圆的方程联立得
B b 2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
错误！未找到引用源。
,C b 2⎫⎪⎪⎝⎭错误！未找到引用源。
,F(c,0),
则k BF
b ,k CF
b 错误！未找到引用源。
, 因为∠BFC=90°,所以k BF ·k CF =错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
=-1, 整理得b 2=3a 2-4
c 2,所以a 2-c 2=3a 2-4c 2,
即3c 2=2a 2⇒e=
c a
=3
答案:错误！未找到引用源。
5.(2016·浙江高考理科·T19)如图,设椭圆2
2x a
+y 2=1(a>1).
(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k 表示).
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
【解题指南】(1)先联立y=kx+1和2
2x a
+y 2=1,可得x 1,x 2,再利用弦长公式可得直线
y=kx+1被椭圆截得的线段长.(2)先假设圆与椭圆的公共点有4个,再利用对称性及已知条件可得任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时,a 的取值范围,进而可得椭圆的离心率的取值范围.
【解析】(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AM,由22
2y kx 1,x y 1a
⎧=+⎪
⎨+=⎪⎩得(1+a 2k 2)x 2+2a 2kx=0,
故x 1=0,x 2=-222
2a k
1a k +.
因此
|AM|=21222
2a k 1a k
x x -=
⋅+
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.
记直线AP,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,且k 1,k 2>0,k 1≠k 2. 由(1)知
1
2
故
1
2
所以(21k -22k )[1+21k +22
k +a 2(2-a 2)22
12k k ]=0. 由于k 1≠k 2,k 1,k 2>0,得1+21k +22
k +a 2(2-a 2) 2212k k =0, 因此22121111k k ⎛⎫⎛⎫
++
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=1+a 2(a 2-2)①. 因为①式关于k 1,k 2的方程有解的充要条件是1+a 2(a 2-2)>1, 所以
因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件是1<a
≤
由
e=c
a
=
得,所求离心率的取值范围是0<e
≤.
6.(2016·四川高考理科·T20)已知椭圆E:22
22x y a b
+ =1(a>b>0)的两个焦点与短轴的
一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E 有且只有一个公共点T.
(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标.
(2)设O 是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E 交于不同的两点A,B,且与直线l 交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.
【解题指南】(1)利用直线和椭圆只有一个公共点,联立方程,方程由两个相等的实根,解出b 2的值,从而得出椭圆的标准方程.(2)利用椭圆的几何性质,数形结合及根与系数的关系,进行求解.
【解析】(1)由已知
则椭圆E 的方程为2
2
22x y 2b b +=1,由方程组22
22
x y 1,2b b y x 3,
⎧+=⎪
⎨⎪=-+⎩
得3x 2-12x+(18-2b 2)=0①,方程①根的判别式为Δ=24(b 2-3),由Δ=0,得b 2=3,此方程
①的解为x=2,所以椭圆E 的方程为22
x y 63
+
=1.点T 坐标为(2,1). (2)由已知可设直线l'的方程为y=12x+m ()m 0≠,由22
x y 1,631y x m,
2
⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得
3x 2+4mx+()24m 12-=0②,所以Δ=16()292m ->0,解得
<m<且m ≠0, 设点A,B 的坐标分别为()11x ,y ,()22x ,y ,由②得x 1+x 2=-4m 3,x 1x 2=24m 12
3
-.
所以PA =
=
12m 2x 3--,
同理22m
PB 2x 3
=--, 所以125
2m 2m
PA PB 2x 2x 4
33⎛⎫⎛⎫⋅=
---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=()2
121252m 2m 22x x x x 433⎛⎫⎛⎫
---++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =2
252m 2m 4m 4m 122243333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=
109
m 2
. 由1
y x m,
2y x 3,
⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩
得P 点坐标为2m 2m 2,133⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 所以|PT|2=2
2
22m 2m 82
211339m ⎛
⎫⎛⎫--+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故存在常数λ=45
,使得2
PT PA PB λ=⋅.
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