201X-201X学年湖北省武汉市武昌区高三(上)元月调考数学试卷(文科)(解析版)
湖北省武汉市武昌区高三(上)元月调考数学试
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2015-2016学年湖北省武汉市武昌区高三（上）元月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B（）A．（2，3]B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）2．已知（1+2i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z 的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．在区间[0，1]上随机取一个数x，则事件“log0.5（4x﹣3）≥0”发生的概率为（）A．B．C．D．4．如图程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x+1问题”．执行该程序框图，若输入的N=3，则输出i=（）A．6 B．7 C．8 D．95．“a≤0”是“函数f （x）=2x+a有零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知，且α为第三象限角，则tan2α的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣7．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．48．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0，则直线MF的斜率k MF=（）A．2 B．C．D．9．在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a2，b2，c2成等差数列，则cosB的最小值为（）A．B．C．D．10．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（）A．14h B．15h C．16h D．17h11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣πD．8﹣12．已知函数f（x）=sinx﹣xcosx．现有下列结论：①f（x）是R 上的奇函数；②f（x）在[π，2π]上是增函数；③∀x∈[0，π]，f（x）≥0．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于．15．已知，若对任意实数，都有|f（x）|＜m，则实数m 的取值范围是．16．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知S n是公差不为0 的等差数列{a n}的前n 项和，S1，S2，S4成等比数列，且，（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n 项和T n．18．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染天数 6 14 18 27 20 15 （Ⅰ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=，若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非严重污染严重污染合计供暖季非供暖季合计100附：参考公式：K2=P（K2≥k）0.100 0.050 0.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82819．如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA．（Ⅰ）求证：平面EFG⊥平面PDC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣MAB与四棱锥P﹣ABCD的体积之比．20．过椭圆右焦点F2的直线交椭圆于A，B 两点，F1为其左焦点．当直线AB⊥x轴时，△AF1B为正三角形，且其周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设C 为直线x=2上的一点，且满足CF2⊥AB，若（其中O为坐标原点），求四边形OACB的面积．21．已知函数f（x）=（λx+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若λ=0，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，证明：．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，EC切⊙O于点C，直线EO交⊙O于A，B两点，CD⊥AB，垂足为D．（Ⅰ）证明：CA平分∠DCE；（Ⅱ）若EA=2AD，EC=2，求⊙O的直径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6=0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|kx﹣1|（k∈R）．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为，求k的值；（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，求k的取值范围．2015-2016学年湖北省武汉市武昌区高三（上）元月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B（）A．（2，3]B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）【考点】并集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）＞0，解得：x＜﹣4或x＞2，即B=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），∵A=[﹣2，3]，∴A∪B=（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞），故选：B．2．已知（1+2i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z 的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵（1+2i）=4+3i，∴====2﹣i，∴z=2+i，∴z的虚部为1．故选：A．3．在区间[0，1]上随机取一个数x，则事件“log0.5（4x﹣3）≥0”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可得区间长度，解对数不等式可得事件所占区间长度，由几何概型的概率公式可得．【解答】解：在区间[0，1]上随机地取一个数x，则x所占的区间长度为1﹣0=1，不等式log0.5（4x﹣3）≥0可化为0＜4x﹣3，解得＜x≤1，∴事件“log0.5（4x﹣3）≥0”发生x所占的区间长度为，∴由几何概型可得所求概率为4．如图程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x+1问题”．执行该程序框图，若输入的N=3，则输出i=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得n=3，i=1满足条件n是奇数，n=10，i=2不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=5，i=3不满足条件n=1，满足条件n是奇数，n=16，i=4不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=8，i=5不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=4，i=6不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=2，i=7不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=1，i=8满足条件n=1，退出循环，输出i的值为8．故选：C．5．“a≤0”是“函数f （x）=2x+a有零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数零点的判定定理．【分析】根据函数零点的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若函数f （x）=2x+a有零点，则f （x）=2x+a=0有解，即a=﹣2x有解，∵﹣2x＜0，∴a＜0，则“a≤0”是“函数 f （x）=2x+a有零点”的必要不充分条件，6．已知，且α为第三象限角，则tan2α的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】二倍角的正切；运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式求得cosα的值，利用同角三角函数的基本关系求得sinα和tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值【解答】解：∵=﹣cosα，∴cosα=﹣，∵α为第三象限角，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，则tan2α==，故选：C．7．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4【考点】向量在几何中的应用．【分析】虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．【解答】解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0，则直线MF 的斜率k MF=（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据定义抛物线y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0，求出x0，然后M （2p，4）代入y2=2px，可得p=2，即可求出直线MF的斜率．【解答】解：根据定义抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0，∴x0+=x0，x0=2p，∴M（2p，4）代入y2=2px，可得p=2，∴M（4，4），F（1，0），∴k MF==．故选：B．9．在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a2，b2，c2成等差数列，则cosB的最小值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；等差数列的通项公式．【分析】a2，b2，c2成等差数列，可得2b2=a2+c2，利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：在△ABC 中，∵a2，b2，c2成等差数列，∴2b2=a2+c2，∴cosB===≥=，当且仅当a=c=b时取等号．∴cosB的最小值为．故选：A．10．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（）A．14h B．15h C．16h D．17h【考点】正弦定理．【分析】设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为C．若在点B处受到热带风暴的影响，则OB=450，求出t，即可得出结论．【解答】（本题满分为12分）解：设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为C．若在点B处受到热带风暴的影响，则OB=450，即=450，…即=450，…上式两边平方并化简、整理得4t2﹣120t+1575=0，…解得t=或，…又≈13.7，﹣=15，…所以，经过约13.7后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间为15h．故选：B．…11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣πD．8﹣【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体是棱长为2的正方体减半个圆柱，圆柱的底面半径为2，高为1，即可求出几何体的体积．【解答】：由题意，几何体是棱长为2的正方体减半个圆柱，圆柱的底面半径为2，高为1．∴几何体的体积为=8﹣，故选：D．12．已知函数f（x）=sinx﹣xcosx．现有下列结论：①f（x）是R 上的奇函数；②f（x）在[π，2π]上是增函数；③∀x∈[0，π]，f（x）≥0．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】利用三角函数的奇偶性判断①正确；利用导数研究函数的单调性，可得f（x）在[π，2π]上是减函数，故②错误；利用导数求得f（x）在[0，π]上是增函数，f（x）≥f（0），从而得出结论．【解答】解：根据f（x）=sinx﹣xcosx，可得f（﹣x）=﹣sinx+xcosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故①：f（x）是R 上的奇函数，正确．f（x）在[π，2π]上，f′（x）=cosx﹣cosx+xsinx=xsinx＜0，故函数f（x）是减函数，故②不正确．③∀x∈[0，π]，f′（x）=xsinx＞0，故f（x）是增函数，故f（x）的最小值为f（0）=0，∴f（x）≥0，故③正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为3．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为y=﹣，结合图象可知，当目标函数通过点（1，1）时，z取得最小值，z min=1+2×1=3．故答案为：3．14．双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于8．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的离心率结合焦点到渐近线的距离建立方程关系求出a的值即可．【解答】解：∵双曲线的渐近方程为y=±x，设一个焦点坐标为F（c，0），一个渐近线方程为bx﹣ay=0，则焦点到渐近线的距离为3，即d==b=3，∵双曲线C：的离心率为，∴e==，即c=a，则c2=a2=a2+9，即a2=9，则a2=16，即a=4，则C的实轴长等于2a=8，故答案为：8．15．已知，若对任意实数，都有|f（x）|＜m，则实数m 的取值范围是[，+∞）．【考点】正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得m的取值范围．【解答】解：已知=2sin（2x﹣），任意实数，2x﹣∈（﹣，），sin（2x﹣）∈（﹣，），f（x）=2sin（2x﹣）∈（﹣，1），再根据|f（x）|＜m，可得m≥，故答案为：[，+∞）．16．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为25π．【考点】球的体积和表面积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF•PE，因为AE=2，所以侧棱长PA==2，PF=2R，所以20=2R×4，所以R=，所以S=4πR2=25π故答案为：25π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知S n是公差不为0 的等差数列{a n}的前n 项和，S1，S2，S4成等比数列，且，（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n 项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得d=﹣1，a1=﹣，可得a n=﹣；（Ⅱ）求得b n==﹣=﹣（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），S1，S2，S4成等比数列，且，可得S22=S1S4，a1+2d=﹣，即有（2a1+d）2=a1（4a1+6d），化为d=2a1，解得d=﹣1，a1=﹣，可得a n =a 1+（n ﹣1）d=﹣﹣（n ﹣1）=﹣；（Ⅱ）b n==﹣=﹣（﹣），则前n 项和T n =﹣（1﹣+﹣+…+﹣）=﹣（1﹣）=﹣．18．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI ）的监测数据，结果统计如表：API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，300] ＞300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 重度污染天数6 14 18 27 20 15 （Ⅰ）已知某企业每天的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=，若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非严重污染 严重污染 合计 供暖季 22 8 30非供暖季 63 7 70合计 85 15100 附：参考公式：K 2=P （K 2≥k ）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.8415.0246.635 10.828【考点】独立性检验的应用；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，问题转化为求空气质量指数大于200的频率即可； （Ⅱ）根据题意填写 列联表，计算观测值K 2，对照临界值即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）记“在本年内随机抽取一天，该天的经济损失超过400元”为事件A ，由y ＞400，得x ＞200；由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，所以P （A ）==0.35；（Ⅱ）根据题设中的数据填写2×2 列联表如下，非严重污染 严重污染合计供暖季22 8 30 非供暖季63 7 70合计 85 15 100把列联表中的数据代入公式K 2=中计算，得K 2=≈4.575，因为4.575＞3.841，所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”．19．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD=PD=2MA ． （Ⅰ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（Ⅱ）求三棱锥P ﹣MAB 与四棱锥P ﹣ABCD 的体积之比．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（I ）欲证平面EFG ⊥平面PDC ，根据面面垂直的判定定理可知在平面EFG 内一直线与平面PDC 垂直，而根据线面垂直的判定定理可知GF ⊥平面PDC ，GF ∈平面EFG ，满足定理条件；（II ）不妨设MA=1，求出PD=AD ，得到V p ﹣ABCD =S 正方形ABCD ，求出PD ，根据DA ⊥面MAB ，所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，根据三棱锥的体积公式求出体积得到V P ﹣MAB ：V P ﹣ABCD 的比值． 【解答】解：（I ）证明：由已知MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ， 所以PD ⊥平面ABCD 又BC ⊂平面ABCD ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以PD ⊥BC 又PD ∩DC=D ， 因此BC ⊥平面PDC在△PBC 中，因为G 、F 分别是PB 、PC 中点， 所以GF ∥BC因此GF ⊥平面PDC 又GF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PDC ； （Ⅱ）因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA=1，则PD=AD=2，所以V p ﹣ABCD =S 正方形ABCD ，PD= 由于DA ⊥面MAB 的距离所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，三棱锥Vp ﹣MAB=××1×2×2=， 所以V P ﹣MAB ：V P ﹣ABCD =1：4．20．过椭圆右焦点F 2 的直线交椭圆于A ，B 两点，F 1为其左焦点．当直线AB ⊥x 轴时，△AF 1B 为正三角形，且其周长为． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设 C 为直线x=2上的一点，且满足 CF 2⊥AB ，若（其中O 为坐标原点），求四边形OACB 的面积． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义，周长为即可求得a 的值，根据正三角形高求得c 的值，即可求得b 的值，写出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出直线AB 方程，利用CF 2⊥AB ，表示出直线CF 2的方程，求得C 点坐标，并将直线AB 方程代入椭圆方程，求得关于y 的一元二次方程，根据根与系数的关系，求得y 1+y 2及y 1y 2值，利用平行四边形面积公式求得OACB 的面积．【解答】解：（Ⅰ），由椭圆的定义，周长为，得4a=4，即a=，由△AF 1B 为正三角形，周长为，∴边长丨AF 1丨=，∴AB 边高F 1F 2的长为丨AF 1丨，丨F 1F 2丨=2，即2c=2，c=1， ∵a 2+b 2=c 2， ∴b=2，故椭圆方程：，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：F 2（1，0）由题意可知：设AB 的方程可设x=ty +1， 由CF 2⊥AB 可知，CF 2的方程为y=﹣t （x ﹣1），由，得C （2，﹣t ），由，消去x ，整理得：（2t 2+3）y 2+4ty ﹣4=0，其判断△=16t 2+16（2t 2+3）＞0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则，y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣，∴x 1+x 2=t （y 1+y 2）+2=，∵=，∴四边形0ACB 为平行四边形，且（x 1，y 1）=（2﹣x 2，﹣t ﹣y 2），∴，解得t=0，，解得t=0，此时y 1+y 2=0，y 1y 2=﹣，∴S OACB =2S △OAB =丨OF 2丨•丨y 1﹣y 2丨=，=，=．21．已知函数f （x ）=（λx +1）lnx ﹣x +1． （Ⅰ）若λ=0，求f （x ）的最大值；（Ⅱ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线x +y +1=0垂直，证明：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求得函数的定义域为（0，+∞），当λ=0，f （x ）=lnx ﹣x +1，求导，令f ′（x ）=0，根据函数的单调性可知，当x=1时，f （x ）取最大值；（Ⅱ）求导，f ′（1）=1，即λ=1，由（Ⅰ）可知，lnx ﹣x ﹣1＜0，分类当0＜x ＜1时，f （x ）=（x +1）lnx ﹣x ﹣1=xlnx +（lnx ﹣x +1）＜0，当x ＞1时，f （x ）=lnx +（xlnx ﹣x +1）=lnx ﹣x（ln ﹣+1）＞0，可知．【解答】解：（Ⅰ）由f （x ）的定义域为（0，+∞）， 当λ=0，f （x ）=lnx ﹣x +1，求导，f ′（x ）=﹣1，令f ′（x ）=0，解得：x=1， ∴当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（0，1）上是增函数； 当x ＞1，f ′（x ）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；故f（x）在x=1处取最大值，f（1）=0，（Ⅱ）证明：求导，f′（x）=λlnx+﹣1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=1，即λ=1，∴f（x）=（x+1）lnx﹣x+1，由（Ⅰ）可知，lnx﹣x﹣1＜0（x≠1），当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x﹣1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0，∴＞0，当x＞1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx﹣x（ln﹣+1）＞0，∴＞0，综上可知：＞0．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，EC切⊙O于点C，直线EO交⊙O于A，B两点，CD⊥AB，垂足为D．（Ⅰ）证明：CA平分∠DCE；（Ⅱ）若EA=2AD，EC=2，求⊙O的直径．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（Ⅰ）利用AB为圆O的直径，CD⊥AB，得出∠CAB+∠DCA=90°，可得∠DCA=∠B．利用EC切⊙O于点C，可得∠ACE=∠B，从而∠DCA=∠ACE，即可证明：CA平分∠DCE；（Ⅱ）若EA=2AD，EC=2，利用射影定理，切割线定理建立方程，即可求⊙O的直径．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB为圆O的直径，∴∠CAB+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠CAB+∠DCA=90°，∴∠DCA=∠B．∵EC切⊙O于点C，∴∠ACE=∠B，∴∠DCA=∠ACE，∴CA平分∠DCE；（Ⅱ）解：如图，连接CO．∵EC切⊙O于点C，∴OC⊥CE．Rt△COE中，CD⊥AB．由射影定理得EC2=ED•EO．设圆O的半径为r，AD=x，则EA=2x，∵，∴（2）2=3x（2x+r）①由切割线定理得EC2=EA•EB，∴（2）2=2x（2x+2r）②由①②，解得x=1，r=2，∴⊙O的直径为4．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6=0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）首先，设出所求点的坐标，然后，建立坐标之间的关系式，求解其普通方程，再将其化为参数方程即可；（2）联立方程组，然后，解得两个交点坐标，从而确定其中点坐标，从而求解其直线方程，再化为极坐标形式即可．【解答】解：（1）设点（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为T上点（x，y），根据题意，得，即，根据，得，即曲线T的方程为，所以，曲线T的参数方程为（t为参数）．（2）联立方程组，解得或，不妨设点P1（2，0），P2（0，3），则线段的中点坐标为（1，），所求直线的斜率k=，于是所求直线方程为：y﹣=（x﹣1），即4x﹣6y+5=0，将此化为极坐标方程，得到4ρcosθ﹣6ρsinθ+5=0．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|kx﹣1|（k∈R）．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为，求k的值；（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，求k的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的值．【分析】（Ⅰ）利用不等式的解集与方程解的关系，根据不等式f（x）≤2的解集为，即可求k的值；（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，则|k﹣1|+|2k﹣1|＜5，分类讨论求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵不等式f（x）≤2的解集为，∴|﹣k﹣1|=2且|k﹣1|=2，∴k=3；（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，则|k﹣1|+|2k﹣1|＜5．k＜时，﹣k+1﹣2k+1＜5，∴k＞﹣1，∴﹣1＜k＜；≤k≤1时，﹣k+1+2k﹣1＜5，∴k＜5，∴≤k≤1；k＞1时，k﹣1+2k﹣1＜5，∴k＜，∴1＜k＜，综上所述，﹣1＜k＜．2016年10月19日。
2020年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷(文科)
2020年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|20}B x x =-<<，则(A B = )A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,2)D ．(1,2)-2．（5分）复数z 满足(1)2i z i +=，则z 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，113a =，3221a a =+，则(n a = )A ．13n -B ．23n -C ．12n -D ．22n -4．（5分）已知0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.1c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．（5分）等腰直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么(CP CA CP CB += ) A ．4-B ．2-C ．2D ．46．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A ．13B ．12C ．23D ．567．（5分）已知数列{}n a 中，11a =，23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和为( ) A ．31nn + B ．331nn + C ．132n n -- D ．3332n n -+- 8．（5分）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，2SA AB AC ===，则球O 的表面积为( )A ．4πB．C ．20πD ．36π9．（5分）已知双曲线22145x y -=的左焦点为F ，点P 为其右支上任意一点，点M 的坐标为(1,3)，则PMF ∆周长的最小值为( ) A．5+B．10C．5 D．910．（5分）函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<的部分图象如图所示，给出下列说法： ①直线512x π=-为函数()f x 的一条对称轴； ②点2(,0)3π-为函数()f x 的一个对称中心； ③函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到函数2sin 2y x =的图象． 其中，正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．（5分）已知直线l 与抛物线26y x =交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且123k k =，则直线l 恒过定点( ) A ．(63,0)-B ．(33,0)-C ．(3,0)-D ．(3,0)-12．（5分）已知函数1,0(),0ax x f x lnx x +<⎧=⎨>⎩若函数()f x 的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．1[,0]2-D ．1(,1]2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）函数cos cos2()y x x x R =-∈的最大值为 ．14．（5分）若直线:320l x my m +-+=被圆22:2240C x y x +--=截得的线段最短，则实数m 的值为 ．15．（5分）已知一组数据10，5，4，2，2，2，x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x 所有可能的取值为 ．16．（5分）如图，已知平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，有下列三个命题： ①线段BM 的长是定值； ②存在某个位置，使1DE AC ⊥； ③存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．其中正确的命题有 ．（填写所有正确命题的编号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3sin cos cos sin 2a B Bb A Bc +=． （1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，12A A AB AC ===，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，1B B 的中点． （1）证明：1A F ⊥平面1B DE ；（2）求直线BE 与平面1B DE 所成角的正弦值．19．为了增强消防意识，某部门从男，女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试，这40名职工测试成绩的茎叶图如图所示（1）根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由； （2）（ⅰ）求这40名职工成绩的中位数m ，并填写下面列联表：超过m 的人数不超过m 的人数男职工 女职工（ⅱ）如果规定职工成绩不少于m 定为优秀，根据（ⅰ）中的列联表，能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2()P K k0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82820．已知椭圆22:1(0)x y E a b a b +=>>的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线A B '过定点，并求出该定点的坐标． 21．已知函数1()(1)2f x a lnx ax x=++-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，且至少存在两个零点，求1212()()f x f x x x ++的取值范围．四、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2(2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为22932cos ρθ=-．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与y 轴交于点M ，1C 与2C 相交于A 、B 两点，求||||MA MB 的值．23．（1）已知()||||f x x a x =-+，若存在实数x ，使()2f x <成立，求实数a 的取值范围； （2）若0m >，0n >，且3m n +=，求证：143m n+．2020年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|20}B x x =-<<，则(A B = )A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,2)D ．(1,2)-【解答】解：{|12}A x x =-<<，{|20}B x x =-<<，(1,0)AB ∴=-．故选：B ．2．（5分）复数z 满足(1)2i z i +=，则z 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数z 满足(1)2i z i +=，22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -∴===+++-，它在复平面内对应点的坐标为(1,1)， 故选：A ．3．（5分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，113a =，3221a a =+，则(n a = )A ．13n -B ．23n -C ．12n -D ．22n -【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为0q >，113a =，3221a a =+，∴2112133q q =⨯+，解得3q =． 则23n n a -=． 故选：B ．4．（5分）已知0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.1c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【解答】解：0.1log 0.2(0,1)a =∈， 1.1log 0.20b =<，0.21.11c =>， 则a ，b ，c 的大小关系为：c a b >>． 故选：D ．5．（5分）等腰直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么(CP CA CP CB += ) A ．4-B ．2-C ．2D ．4【解答】解：直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =如图所示：121333CP CA AB CA CB =+=+，∴2222212121()()2204333333CP CA CP CB CA CB CA CB CA CB CA CB +=++=++=⨯+⨯+=，故选：D ．6．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A ．13B ．12C ．23D ．56【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有246C =种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为4263=． 另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4， 即有(12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)， 则4263P ==． 故选：C ．7．（5分）已知数列{}n a 中，11a =，23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和为( ) A ．31nn + B ．331nn + C ．132n n -- D ．3332n n -+- 【解答】解：由题意，当2n 时，2213131[(1)(1)]322222n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，11a =也符合上式． 32n a n ∴=-，*n N ∈．则111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+． 设数列{}n b 的前n 项和n T ，则 12n n T b b b =++⋯+11111111(1)()()3434733231n n =-+-+⋯+--+ 111111(1)34473231n n =-+-+⋯+--+ 11(1)331n =-+ 31nn =+． 故选：A ．8．（5分）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，2SA AB AC ===，则球O 的表面积为( )A ．4πB．C ．20πD ．36π【解答】解：如图所示，2AB =，2AC =，120BAC ∠=︒，∴三角形ABC 的外接圆直径224sin30r ==︒， 2r ∴=，SA ⊥面ABC ，2SA =，三角形OSA 为等腰三角形，∴该三棱锥的外接球的半径R ==∴该三棱锥的外接球的表面积为244520S R πππ==⨯=．故选：C ．9．（5分）已知双曲线22145x y-=的左焦点为F ，点P 为其右支上任意一点，点M 的坐标为(1,3)，则PMF ∆周长的最小值为( ) A ．510+ B ．1010+C ．513+D ．913+【解答】解：F 是双曲线22145x y -=左焦点，点M 的坐标为(1,3)， 2a ∴=，5b =，3c =，(3F -，0 )，右焦点为(3,0)H ，由双曲线的定义可得||||24PF PH a -==，||||||||||PF PM PH MP PA +=++222||4(13)3413a MH +=+-+=+， 22||(13)35MF =++=，∴当且仅当A ，P ，H 共线时，PMF ∆周长取得最小值为913+．故选：D ．10．（5分）函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<的部分图象如图所示，给出下列说法：①直线512x π=-为函数()f x 的一条对称轴； ②点2(,0)3π-为函数()f x 的一个对称中心； ③函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到函数2sin 2y x =的图象． 其中，正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：由图象可知，2A =，最小正周期74()123T πππ=⨯-=，所以22Tπω==， 将点7(,2)12π-代入函数得，722)12πϕ-⨯+， 所以7262k ππϕπ+=-+，即52,3k k Z πϕπ=-+∈， 因为02πϕ<<，所以取1k =，3πϕ=，所以()2)3f x x π+．①55()2()]212123f πππ-=⨯-+=-，所以①正确； ②令2,3x k k Z ππ+=∈，则,62k x k Z ππ=-+∈，当1k =-时，23x π=-． 所以点2(,0)3π-为函数()f x 的一个对称中心，即②正确； ③函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到2)]2)333y x x πππ=-+=-，即③错误．所以正确的为①②， 故选：C ．11．（5分）已知直线l 与抛物线26y x =交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且123k k =，则直线l 恒过定点( ) A ．(63,0)-B ．(33,0)-C ．(3,0)-D ．(3,0)-【解答】解：设直线l 的方程为：x my n =+， 联立方程26x my ny x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2660y my n --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 126y y n ∴=-，123k k =，∴12123y y x x =，∴122212123636666y y y y y y n ===-∴n =- ∴直线l的方程为：x my =- ∴直线l 一定过点(-0)，故选：C ．12．（5分）已知函数1,0(),0ax x f x lnx x +<⎧=⎨>⎩若函数()f x 的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．1[,0]2-D ．1(,1]2【解答】解：函数1,0(),0ax x f x lnx x +<⎧=⎨>⎩若函数()f x 的图象上存在关于坐标原点对称的点，可得0x >时，1ax lnx -=，有解； 可得1lnx a x +=，令1()lnx g x x+=，2()lnx g x x -'=，所以(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数是增函数，1x >时，()0g x '<，函数()g x 是减函数，所以()g x 的最大值为：g （1）1=， 所以1a ． 故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）函数cos cos2()y x xx R =-∈的最大值为 98． 【解答】解：函数221cos cos2cos 2cos 12(cos cos 2y x x x x x x=-=-+=--219)12(cos )()48x x R +=--+∈，cos [1x ∈-，1]，故当1cos 4x =时，函数y 取得最大值为98， 故答案为：98．14．（5分）若直线:320l x my m +-+=被圆22:2240C x y x +--=截得的线段最短，则实数m 的值为 1- ．【解答】解：由22:2240C x y x +--=得22(1)25x y -+=，∴圆心坐标是(1,0)C ，半径是5，直线:320l x my m +-+=过定点(2,3)P -，且在圆内，∴当l PC ⊥时，直线l 被圆222240x y x +--=截得的弦长最短，1301(2)1m -∴-⨯=---，1m ∴=-． 故答案为1-15．（5分）已知一组数据10，5，4，2，2，2，x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x 所有可能的取值为 11-，3，17 ．【解答】解：数据10，5，4，2，2，2，x 中，出现次数最多的是2，所以众数为2； 且这组数据的平均数为125(1054222)77x x +⨯++++++=；若将这组数据按照从小到大排列为：x ，2，2，2，4，5，10，则中位数是2，由题意得252227x++=⨯，解得11x =-； 若将这组数据按照从小到大排列为： 2，2，2，x ，4，5，10，则中位数是x ， 由题意得25227xx ++=，解得3x =； 若将这组数据按照从小到大排列为： 2，2，2，4，x ，5，10，则中位数是4， 由题意得252247x++=⨯，解得17x =（不合题意，舍去）； 若将这组数据按照从小到大排列为： 2，2，2，4，5，x ，10，则中位数是4， 由题意得252247x++=⨯，解得17x =（不合题意，舍去）；若将这组数据按照从小到大排列为： 2，2，2，4，5，10，x ，则中位数是4， 由题意得252227x++=⨯，解得17x =； 综上知，x 所有可能的取值为11-，3，17． 故答案为：11-，3，17．16．（5分）如图，已知平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，有下列三个命题： ①线段BM 的长是定值； ②存在某个位置，使1DE AC ⊥； ③存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．其中正确的命题有 ①③ ．（填写所有正确命题的编号）【解答】解：①取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，则1//MN A D ，且112MN A D ==定值；//NB DE ，且NB DE ==定值，所以1MNB A DE ∠=∠=定值，由余弦定理得，2222cos MB MN NB MN NB MNB =+-∠，所以BM 的长为定值，即①正确； ②假设存在某个位置，使1DE AC ⊥．设22AB AD ==，由60BAD ∠=︒可求得1DE =，3CE =，所以222CE DE CD +=，即CE DE ⊥，因为1A C CE C =，所以DE ⊥面1ACE ，因为1A E ⊂面1ACE ，所以1DE A E ⊥，与已知相矛盾，即②错误；③由①可知，1//MN A D ，//NB DE ，且MN NB N =，1A DDE D =，所以面//MNB 面1A DE ，所以//MB 面1A DE ，即③正确．故答案为：①③．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos cos sin a B B b A B +=． （1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值．【解答】解：（1）因为锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；且sin cos cos sin a B B b A B +=． 所以：sin sin cos sin cos sin sin (sin cos cos sin )sin sin A B B B A B C B A B A B C B C C +⇒+⇒；sin 0C ≠；sin B ∴； B 是锐角； 60B ∴=︒；（2）222222cos b a c ac B a c ac ac =+-=+-；4ac ∴；当且仅当2a c ==时等号成立，ABC ∴∆的面积为：1sin 32ac B ；故ABC ∆18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，12A A AB AC ===，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，1B B 的中点．（1）证明：1A F ⊥平面1B DE ；（2）求直线BE 与平面1B DE 所成角的正弦值．【解答】解：（1）D ，E 分别为AB ，BC 的中点，//DE AC ∴，又AC AB ⊥，DE AB ∴⊥，又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，DE ∴⊥平面11ABB A ，1A F 在平面11ABB A 内， 1DE A F ∴⊥， 12A A AB ==，∴四边形11ABB A 为正方形，且△11A B F ≅△1B BD ，11A F B D ∴⊥，又1DEB D D =，且都在平面1B DE 内，1A F ∴⊥平面1B DE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0B ，2，0)，(1E ，1，0)，(0D ，1，0)，1(0B ，2，2)，则1(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)BE DE EB =-==-，设平面1B DE 的法向量为(,,)m x y z =，则1020m DE x m EB x y z ⎧==⎪⎨=-++=⎪⎩，可取(0,2,1)m =-，设直线BE 与平面1B DE 所成角θ，则210sin |cos ,|525BE m θ=<>==．19．为了增强消防意识，某部门从男，女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试，这40名职工测试成绩的茎叶图如图所示（1）根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由； （2）（ⅰ）求这40名职工成绩的中位数m ，并填写下面列联表：超过m 的人数不超过m 的人数男职工 15 女职工（ⅱ）如果规定职工成绩不少于m 定为优秀，根据（ⅰ）中的列联表，能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关？ 附：22()n ad bc K -=．2()P K k0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【解答】解：（1）根据茎叶图知男职工的测试成绩更好，理由如下；由茎叶图可知，男职工测试成绩主要分布在80以上，女职工测试成绩主要分布在80以下， 因此男职工的测试成绩更高； （注:其他合理理由均可得分）（2）()i 由茎叶图可知：这40名职工的测试成绩中位数是1(7981)802m =+=，填写列联表如下；（ⅱ）根据（ⅰ）中的列联表，计算240(151555)10 6.63520202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关．20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线A B '过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）由题意可得：23b c c ==，1a c -=，222a b c =+，解得：24a =，23b =， 所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）证明：设直线l 的方程为：4x my =+设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1(A x '，1)y -， 联立直线与椭圆的方程：22434120y my x y =+⎧⎨+-=⎩， 整理可得：22(43)24360m y my +++=，△222244(43)360m m =-+>，可得24m >，1222443m y y m -+=+，1223643y y m =+， 2121A By y k x x '+=-，所以直线A B '的方程为：211121()y y y y x x x x ++=--， 整理可得：2112212112()y y x y x y y x x x y y ++=--+，而：122121*********722424(4)(4)24()4434343m m mx y x y y my y my my y y y m m m--+=+++=++=+=+++， 所以21221122244312443mx y x y m m y y m -++==-++，所以直线A B '的方程为：2121(1)y y y x x x +=--， 所以直线恒过定点(1,0)．21．已知函数1()(1)2f x a lnx ax x=++-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，且至少存在两个零点，求1212()()f x f x x x ++的取值范围．【解答】解：（1）()f x 的定义域(0,)+∞， 2211(1)(1)()a x ax f x a x x x +--'=--=-， 当0a 时，10ax -<，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增； 当01a <<时，11a>，当(0x ∈，11)(a ⋃，)+∞时，()0f x '<，反之()0f x '>，故()f x 在(0,1)，1(a ，)+∞递减，在1(1,)a递增；当1a >时，11a<，当(0x ∈，1)(1a ⋃，)+∞时，()0f x '<，反之()0f x '>，故()f x 在1(0,)a ，(1,)+∞递减，在1(a，1)递增；当1a =时，()f x 在(0,)+∞递减； （2）由（1）知，01a <<，或1a >，因为f （1）30a =->，3a <，所以01a <<不成立， 当1a >时，()f x 在1(0,)a ，(1,)+∞递减，在1(a，1)递增；所以1(1)(1)0()0,30(1)0a lna f a a f ⎧+-⎧⎪⎨⎨-⎩⎪⎩，解得3e a ， 由()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，是方程2(1)10ax a x -++=的根，??1x x a +=+，1??x x a=，由11111()(1)2f x a lnx ax x =++-+，22221()(1)2f x a lnx ax x =++-+， 所以1212()()3(1)(1)4111f x f x a a lna a alna x x a a+-++-==-+++，令g （a ）4(3)1aalna e a a =-+，g '（a ）224(1)(1)(1)a lna a -++=+， 因为3e a ，所以g '（a ）0<，所以g （a ）在[e ，3]单调递减； 所以g （3）g （a ）g （e ）， 即333ln g -（a ）41ee e -+， 故1212()()f x f x x x ++的取值范围为[333ln -，4]1ee e -+．四、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为(2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为22932cos ρθ=-．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与y 轴交于点M ，1C 与2C 相交于A 、B 两点，求||||MA MB 的值．【解答】解：（1）曲线1C的参数方程为(22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）．转换为直角坐标方程为20x y +-=．曲线2C 的极坐标方程为22932cos ρθ=-．转换为直角坐标方程为22193x y +=．（2）把直线的参数方程(22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）代入22193x y+=得到2230t ++=．所以12t t +=-1232t t =．则：123||||||2MA MB t t ==． 23．（1）已知()||||f x x a x =-+，若存在实数x ，使()2f x <成立，求实数a 的取值范围； （2）若0m >，0n >，且3m n +=，求证：143m n+． 【解答】解：（1）已知()||||||f x x a x a =-+，若存在实数x ，使()2f x <成立，可得||2a ， 所以实数a 的取值范围：(2,2)-； （2）证明：0m >，0n >，且3m n +=， 所以14114141()()()(5)(523333n m m n m n m n m n +=++=+++=． 当且仅当4n m =，并且35m =取等号， 所以143m n+．。
湖北省武昌区2022年高三元月调研测试数学(文)试卷(word版)
湖北省武昌区2022年高三元月调研测试数学（文）试卷（word 版）2020届高三期末调研考试数学（文） 试题本试题卷共4页，共22题。
满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷上无效。
3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直截了当答在答题卡上的每题所对应的答题区域内。
答在试题卷上或答题卡指定区域外无效。
4．考试终止，监考人员将答题卡收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U=R ，集合A={x|lg （x+1）≤0}，B={x| 3x ≤1}，则u（A lB ）=（ ）A ．（-∞,0）（0,+∞）B ．（0,+∞）C ．（-∞，-1]（0，+∞）D ．（-1,+∞） 2．复数3122i ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭（i为虚数单位）的值是（ ）A ．1B ．-1C ．-iD ．i 3．命题“所有奇数的立方差不多上奇数”的否定是（ ） A ．所有奇数的立方都不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方是偶数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数 4．某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感受好多了，中午时他的体温差不多正常，然而下午他的体温又开始上升，直到半夜才感受身上不那么发烫了．下面大致能反映出小明这一天（0时~ 24时）体温的变化情形的图是（ ）5．在△ABC 中，A=6π，a=l ，2B=（ ）A ．4πB ．34πC ．4π若34πD ．6π若54π6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β．其中正确的命题是（ ） A ．①与② B ．③与④ C ．②与④ D ．①与③ 7．若从区间（0，2）内随机取两个数，则这两个数的比不小于．．．4的概率为（ ） A ．18B ．78C ．14D ．348．在平面直角坐标系中，函数y= cosx 和函数y=tanx 的定义域差不多上,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，它们的交点为P ，则点P 的纵坐标为（ ） A 152-+ B ．152- C ．22D ．329．已知双曲线2222x y a b -（a>0，b>0）的离心率e=2，过双曲线上一点M 作直线MA,MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2．若直线AB 过原点，则k 1·k 2的值为 （ ）A．2 B．3 C．3D．610．若不等式2x≥log a x对任意的x>0都成立，则正实数a的取值范畴是（）A．),e e⎡+∞⎣B．12,ee⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C．)2,e e⎡+∞⎣D．1,e e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可垧不得分．11．已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的全面积为．12．阅读如图所示的程序框图，输出的S的值为．13．已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60 o，则a+b在a方向上的投影为．14．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按l～40编号，并按编号顺序平均分成5组，按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．（I）若第1组抽出的号码为2，则听有被抽出职工的号码为；（Ⅱ）分别统计这5名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为．15．已知圆x2 +y2 =4上恰好有3个点到直线/：y =x +b的距离都等于l，则b= 。
(完整版)湖北省武汉市武昌区20xx届高三元月调研测试数学文
(完整版)湖北省武汉市武昌区20xx届高三元月调研测试数学文湖北省武汉市武昌区20xx届高三年级元月调研测试数学（文）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2?3xx?4y的定义域为 1 ．函数（）x(?4,0)U(0,1)[?4,0)U(0,1]4,1)[? D．AB．． [— 4，1]C．4a,2a,aa?1SS{a}=，且（，则成等比数列，若2．等比数列）的前n项和为11234nn A．7B．8C．15D．161xBAI,x?0},则},B?{y|y?()A?{y|y?logx,x?1（）等于3．已知集合22?0}?}{y|y{y|0?y?1RBDC．．． A．?xsin2y?个单位，再向上平移14．将函数个单位，所得图象的函数解的图象向右平移 4 （）析式是2xy?2cosx2y?cos ． A．B?2x2siny?)xy?1sin(2 D． C． 4a,b满足|a|?|b|?|a?b|,则a与a-b（） 5．设非零向量的夹角为A．30° B．60° C． D．150°120°2x?y?4x?y1,则x?yyx, ．设6 （满足） 22y?xB．有最小值2 A．有最小值2，最大值3 ，无最大值D．既无最小值，也无最大值C．有最大值3 ，无最小值?m?,”表示两个不同的平面，m．已知为平面”是“内的一条直线，则“7的（）．充分不必要条件A ．必要不充分条件B C．充在条件 D．既不充分也不必要条件 123)x?(x ）（的展开式中有理项共有．8B．2项 C．3项 D．4项 A．1项2x?8y2)?y?k(x ）9．直线 3，则弦交抛物线AB的长为（B 于A、两点的横坐标为15216D．B．10C ．． A6221C:x?(y?22)?0?x?yl:是直线上的一个动点，点是圆Q10．如图，已知点Pruuu在向量OP （上的投影的最大值是）上的一个动点，O为坐标原点，则向量3 A．2?2 ． B223 C．1． D分。
湖北省武汉市武昌区高三数学元月调考试卷 文(含解析)
湖北省武汉市武昌区2015届高三元月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集为R，集合A={x|x≤0}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|x≤0}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|0≤x＜2} D．∅2．（5分）如果复数（a+i）（1﹣i）的模为，则实数a的值为（）A．2 B．C．±2D．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．24 C．40 D．724．（5分）根据如下样本数据x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0得到的回归方程为．若a=7.9，则b的值为（）A．1.4 B．﹣1.4 C．1.2 D．﹣1.25．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则=（）A．0 B．1 C．2 D．46．（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定7．（5分）函数f（x）=若f（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）A．1 B．﹣C．1，﹣D．1，8．（5分）函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω=（）A．B．C．2 D．49．（5分）设斜率为的直线l与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．D．310．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，若函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况如表所示：年级人数近视率小学3500 10%初中4500 30%高中2000 50%为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则：（Ⅰ）样本容量为；抽取的高中生中，近视人数为．12．（5分）=．13．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，则x﹣y的取值范围是．14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为．15．（5分）以（1，3）为圆心，并且与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程为．16．（5分）给出以下数对序列：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）…记第i行的第j个数对为a ij，如a43=（3，2），则（Ⅰ）a54=；（Ⅱ）a nm=．17．（5分）已知函数f（x）=x3﹣（a﹣1）x2+b2x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，则函数f（x）在R上是增函数的概率是．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，B=，c=8，cosC=﹣．求：（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n；数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}为等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．21．（14分）已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：∀n∈N*，不等式ln（）e＜．22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．湖北省武汉市武昌区2015届高三元月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集为R，集合A={x|x≤0}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|x≤0}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|0≤x＜2} D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用交集运算得答案．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B={x|x≤0}∩{x|﹣1＜x＜2}={x|﹣1＜x≤0}．故选：B．点评：本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型．2．（5分）如果复数（a+i）（1﹣i）的模为，则实数a的值为（）A．2 B．C．±2D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：∵复数（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i的模为，∴=，化为a2=4，解得a=±2．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．24 C．40 D．72考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用棱锥和长方体的体积公式，可得答案．解答：解：由三视图得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥和长方体的组合体，长方体的长宽高分别为3，4，2，故长方体的体积为3×4×2=24，四棱锥的底面积为：3×4=12，高为6﹣2=4，故四棱锥的体积为：×12×4=16，故组合体的体积V=24+16=40，故选：C点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用几何体的面积及体积公式解决．4．（5分）根据如下样本数据x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0得到的回归方程为．若a=7.9，则b的值为（）A．1.4 B．﹣1.4 C．1.2 D．﹣1.2考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：利用公式求出b，a，即可得出结论．解答：解：样本平均数=5，=1.9，∵样本数据中心点必在回归直线上，将=5，=1.9，代入得：1.9=5b+7.9，解得：b=﹣1.2，故选：D点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．5．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则=（）A．0 B．1 C．2 D．4考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的加减运算及向量垂直的条件，即为数量积为0，即可得到所求值．解答：解：=（）•（）=（+）•（﹣）=﹣﹣=﹣﹣0=0，故选A．点评：本题考查平面向量的加减运算和数量积的性质，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据图形得出，S截面圆=π（R2﹣d2），r=d，S圆环=π（R2﹣d2），即可判断．解答：解：根据题意：∵①半球的截面圆：r=，S截面圆=π（R2﹣d2），②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，∴r=d，S圆环=π（R2﹣d2），根据①②得出：S截面圆=S圆环，故选：B点评：本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题．7．（5分）函数f（x）=若f（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）A．1 B．﹣C．1，﹣D．1，考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：由分段函数的解析式容易得出，f（1）=e1﹣1=1，∴f（a）=1，然后在每一段上求函数的值为1时对应的a的值即可．解答：解：由题意知，当﹣1＜x＜0时，f（x）=sin（πx2）；当x≥0时，f（x）=e x﹣1；∴f（1）=e1﹣1=1．若f（1）+f（a）=2，则f（a）=1；当a≥0时，e a﹣1=1，∴a=1；当﹣1＜a＜0时，sin（πx2）=1，∴，x=（不满足条件，舍去），或x=．所以a的所有可能值为：1，．故答案为：C点评：本题考查分段函数中由函数值求对应的自变量的值的问题，需要在每一段上讨论函数的解析式，然后求出对应的自变量的值．8．（5分）函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω=（）A．B．C．2 D．4考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，sin（ω•）=，故有ω•=，从而求得ω 的值．解答：解：由题意可得y=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，且在这个区间上的最大值是，∴sin（ω•）=，ω•=，ω=，故选：B．点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，属于基础题．9．（5分）设斜率为的直线l与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．D．3考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设斜率为的直线l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，由题意可得，方程的两根分别为﹣c，c．则有t=0，代入c，得到方程，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求．解答：解：设斜率为的直线l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，可得，（b2﹣a2）x2﹣a2tx﹣a2t2﹣a2b2=0，由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则有上式的两根分别为﹣c，c．则t=0，即有（b2﹣a2）c2=a2b2，由于b2=c2﹣a2，则有2c4﹣5a2c2+2a4=0，由e=，则2e4﹣5e2+2=0，解得e2=2（舍去），则e=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，若函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：可采用数形结合的方法解决问题，因为f（x）﹣是奇函数，只需判断a≥0时的满足题意的a的范围，然后即可解决问题．解答：解：y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同），即函数y=f（x）与y=g（x）=的图象在[﹣10，10]上有10个不同的交点．先研究a≥0时的情况，如图，当a=0时，g（x）=恰好与y=f（x）产生10个交点；当a＞0时，y=的图象是将y=向上平移a个单位，则在y轴右边，当g（9）＜1时，右边产生4个交点；同时y轴左边满足g（﹣10）≤0时，左边产生6个交点．这样共产生10个交点，即，解得0≤a≤．同理，根据函数图象的对称性可知，当a＜0时，只需时满足题意．综上，当时，函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同）．故选C点评：本题考查了数形结合的方法研究函数的零点个数的问题，要注意参数变化时函数图象的变化规律．属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况如表所示：年级人数近视率小学3500 10%初中4500 30%高中2000 50%为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则：（Ⅰ）样本容量为200；抽取的高中生中，近视人数为20．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出学生总人数，利用抽样比求出样本容量．（Ⅱ）利用学生的近视率直接求解高中学生近视人数．解答：解：由题意可知学生总人数为：3500+4500+2000=10000，（Ⅰ）样本容量为：10000×2%=200；（Ⅱ）2000×2%=40．40×50%=20．故答案为：200；20．点评：本题考查分层抽样的实际应用，基本知识的考查．12．（5分）=4．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：由已知可得，利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简可得结果．解答：解：=故答案为：4点评：本题主要基础知识的考查，考查了在三角函数的化简与求值中，综合运用二倍角正弦公式、两角和的正弦公式，要求考生熟练运用公式对三角函数化简．13．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，则x﹣y的取值范围是[﹣3，4]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（4，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，此时z max=4，当直线经过点A（0，3）时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．此时z min=0﹣3=﹣3．∴﹣3≤z≤4，故答案为：[﹣3，4]点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为﹣5050．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002的值，∵S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002=（1﹣2）（1+2）+（3﹣4）（3+4）+…+（99﹣100）（99+100）=﹣（1+2+3+4+…+99+100）=﹣=﹣5050，故答案为：﹣5050点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15．（5分）以（1，3）为圆心，并且与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：以（1，3）为圆心，与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程的半径r等于圆心到直线的距离d，由此能求出圆的方程．解答：解：以（1，3）为圆心，与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程的半径r等于圆心到直线的距离d，∴r=d==3，∴圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．点评：本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．16．（5分）给出以下数对序列：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）…记第i行的第j个数对为a ij，如a43=（3，2），则（Ⅰ）a54=（4，2）；（Ⅱ）a nm=（m，n﹣m+1）．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：由前4行得到，每一行的第一个数对是（1，n），n为行数，接着的每一个数对前一个数是连续的自然数，后一个是依次减1的数，由此推出第n行的数对，即可得到（Ⅰ）、（Ⅱ）的结论，注意每一行中，第一个数是列数，两个数之和减1是行数．解答：解：由前4行的特点，归纳可得：若a nm=（a，b），则a=m，b=n﹣m+1，∴a54=（4，5﹣4+1）=（4，2），a nm=（m，n﹣m+1），故答案为：（Ⅰ）（4，2）；（Ⅱ）（m，n﹣m+1）点评：本题主要考查归纳推理的思想方法，注意观察和分析数对的特点，是解决该类问题的关键．17．（5分）已知函数f（x）=x3﹣（a﹣1）x2+b2x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，则函数f（x）在R上是增函数的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：函数f（x）在R上是增函数转化为f'（x）≥0恒成立，即△≤0解得a，b的一个关系式，一一列举出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：f'（x）=x2﹣2（a﹣1）x+b2若函数f（x）在R上是增函数，则对于任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．所以，△=4（a﹣1）2﹣4b2≤0，即（a+b﹣1）（a﹣b﹣1）≤0因为a+b﹣1≥1，所以a﹣b﹣1≤0，即a﹣b≤1，则满足的条件有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，3），（3，2），（4，3）9个基本事件，总的基本事件有12种．故函数f（x）在R上是增函数的概率P==．故答案为：．点评：考查利用导数研究函数的单调性，转化为恒成立问题求解，是导数与古典概型相结合的题目，新颖，体现了数形结合的思想，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，B=，c=8，cosC=﹣．求：（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）首先，求解sinC=，然后，根据正弦定理，求解b的值即可；（2）首先，求解sinA，然后，利用三角形的面积公式求解即可．解答：解：（1）∵cosC=﹣，∴sinC===，∴sinC=，根据正弦定理，得，∴b===7，∴b的值为7．（2）∵sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==，∴sinA=，∴S=bcsinA==6．∴△ABC的面积6．点评：本题重点考查了余弦定理、正弦定理和三角形的面积公式等知识综合应用，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n；数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}为等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意知数列{a n}是首项a1=1，公比q=2的等比数列，数列{b n﹣a n}的公差为d=2，由此能求出数列{a n}和{b n}的通项公式．（Ⅱ）由，利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由题意知数列{a n}是首项a1=1，公比q=2的等比数列，所以；因为b1﹣a1=2，b2﹣a2=4，所以数列{b n﹣a n}的公差为d=2．所以b n﹣a n=（b1﹣a1）+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n．所以．…（6分）（Ⅱ）∵，∴T n=b1+b2+b3+…+b n=（2+4+6+…+2n）+（1+2+4+…+2n﹣1）==n（n+1）+2n﹣1．…（12分）点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．20．（13分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A 1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．解答：解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵A C⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB 1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB 1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．点评：本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：∀n∈N*，不等式ln（）e＜．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；综合题；分类讨论；转化思想．分析：（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．解答：解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）由已知令f′（x）=0得，1﹣lnx=0，∴x=e∵当0＜x＜e时，，当x＞e时，∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减故①当0＜2m≤e即时，f（x）在[m，2m]上单调递增∴，②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减∴，③当m＜e＜2m，即时∴．（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，∴在（0，+∞）上恒有，即且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈（0，+∞）恒有，∵，∴即对∀n∈N*，不等式恒成立．点评：此题是个中档题．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，体现了等价转化的数学思想和分类讨论的思想，同时考查了学生的计算能力．22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知可得，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）（ⅰ）设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出t=3．（ⅱ）T点的坐标为（3，﹣m）．，|PQ|=．由此能求出当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．解答：解：（Ⅰ）由已知可得，解得a2=6，b2=2．所以椭圆C的标准方程是．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标为（2，0）．由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．于是．设M为PQ的中点，则M点的坐标为．因为TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为﹣m，其方程为y=﹣m（x﹣2）．当x=t时，y=﹣m（t﹣2），所以点T的坐标为（t，﹣m（t﹣2）），此时直线OT的斜率为，其方程为．将M点的坐标为代入，得．解得t=3．（ⅱ）由（ⅰ）知T点的坐标为（3，﹣m）．于是，====．所以==．当且仅当，即m=±1时，等号成立，此时取得最小值．故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．点评：本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式的合理运用．。
湖北省武汉市武昌区2022届1月质量检测高三数学试题+答案解析(附后)
湖北省武汉市武昌区2022届1月质量检测高三数学试题1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数，则( )A. B. C. D.3. 小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁.已知小明上学乘坐公共汽车的概率为，乘坐地铁的概率为，而且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为和，则小明准时到校的概率为( )A. B. C. D.4. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在时的值域为( )A. B. C. D.5. 已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为( )A. B. C. D.6. 已知正数x，y满足，则的最小值与最大值的和为( )A. 6B. 5C. 4D. 37.已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 68. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是( )A. B. C. D.9. 已知双曲线，下列对双曲线C的判断正确的是( )A. 实轴长是虚轴长的2倍B. 焦距为8C. 离心率为D. 渐近线方程为10. 为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”、“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数单位：人记录如下：对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有( )A. “党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25B. “邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64C. 用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为D. 用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为11. 已知直线与抛物线相交于A，B两点，点A在x轴上方，点是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.12. 已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为的菱形，B，C分别为AE，FD的中点，，则在该四面体中( )A. B. BE与平面DCE所成角的余弦值为C. 四面体ABCD的内切球半径为D. 四面体ABCD的外接球表面积为13. 已知函数是偶函数，则__________.14. 展开式中的系数为___.15. 函数的最小值为___.16. 已知圆O的方程为，P是圆上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则的取值范围为__________，17. 武汉热干面既是中国四大名面之一，也是湖北武汉最出名的小吃之一.某热干面店铺连续10天的销售情况如下单位：份天数12345678910套餐一12010014014012070150120110130套餐二809090605090708090100分别求套餐一、套餐二的均值、方差，并判断两种套餐销的稳定情况;假定在连续10天中每位顾客只购买了一份，根据图表内容填写下列列联表，并据此判断能否有的把握认定顾客性别与套餐选择有关顾客套餐套餐一套餐二合计男顾客400女顾客500合计附：18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知求若，，求的面积19. 已知数列满足，，且对任意，都有求证：是等比数列，并求的通项公式;求使得不等式成立的最大正整数20. 如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上.求证：若二面角的平面角为，K是线段含端点上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为若存在，求出CK的长度;若不存在，说明理由.21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为求椭圆E的标准方程;已知点A，B是双曲线的两个实轴顶点，点P是双曲线上异于A，B的任意一点，直线PA交E于M，直线PB交E于N，证明：直线MN的倾斜角为定值.22. 已知，其中当时，分别求和时的单调性;求证：当时，有唯一实数解若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查交并补集的混合运算，属于基础题.先求出集合A，再根据交并补集的混合运算法则即可得解.【解答】解：因为集合或，所以，且，所以，故选：2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复数的四则运算和共轭复数定义，属于基础题.写出，代入已知式子，利用复数的四则运算即可求出结果.【解答】解：，则，，故选：3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查对立事件，应用概率解决实际问题，属于基础题．记“小明准时到校为事件A”，事件A发生有两种可能，分别是：乘坐公共汽车且准时到校或者乘坐地铁准时到校，根据概率公式计算即可．【解答】解：记“小明准时到校为事件A”，故小明准时到校的概率为故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的对称性，考查三角函数的平移变换及值域的求解，属于中档题.根据题意求得函数的解析式，即可求其值域.【解答】解：由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，故，将的图象向右平移个单位长度，得到，当时，，此时，故，故选5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，也考查了函数最值问题，是中档题.设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，根据题意列出方程求出l取最小值时r和h的值，再计算此时圆锥的侧面积.【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为，高为h，如图所示：由题意知，解得，又，解得设，则，所以函数，当时取得最大值，即，当l取最小值时，，，，所以圆锥的侧面积为故选6.【答案】B【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值，考查计算能力，属于中档题.令，利用且，即可求解．【解答】解：因为正数x，y满足，令，则，，，当且仅当时取等号，，，解得，的最小值与最大值的和为故选7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的通项公式，不等式的性质，属于中档题.由题意得出，，且，利用等差数列的通项公式得出，，由不等式的性质即可求解出范围，确定选项.【解答】解：已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有，则，，且，所以，解得：，，由，则，则，则，所以故选8.【答案】C【解析】【分析】本题考查对数运算、指数函数性质及利用函数的单调性比较大小，属于中档题.利用对数运算性质可得，令，则单调递减，且，可得，即可得，再由指数运算性质得到，可得，从而可得结论.【解答】解：，令，可知函数在R上单调递减，又，则，即，可得，所以，又，所以，故故选9.【答案】BD【解析】【分析】此题考查双曲线的性质及几何意义，属于基础题.直接依据双曲线的几何意义计算即可.【解答】解：由双曲线C：，得，所以，，所以实轴长为，虚轴长为，A选项错；焦距为，故B选项正确；离心率，故C选项错；渐近线为，即，故D选项正确，故选10.【答案】BD【解析】【分析】本题考查极差、平均数、中位数、众数、古典概型及其计算，属于较易题．根据一组数据的最大值与最小值的差即可求出极差；根据一组数从小到大排列找出最中间的项即可求出中位数；根据平均数的定义即可求出平均数；根据众数的概念和古典概型的概率公式；即可判断4个选项的正误．【解答】解：A选项，由题意知极差，中位数为27，故A错误；B选项，由题意知众数为11，平均数为，故B正确；C选项，“党员先锋”项目连续3天参与的共有5种情况，其中参与人数不低于25的有4种，所以“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为，故C错误；D选项，“邻里互助”项目连续2天参与的共有6种情况，结合B选项可知其中参与人数不低于该项目平均数有2种，所以“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为，故D正确．故选：11.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查抛物线的定义和性质，直线与抛物线的位置关系，是中档题.根据题意可得，再联立方程组，由于点M是以AB为直径的圆上的点，故，结合韦达定理可得，再利用，可得，再利用抛物线的定义可得的值.【解答】解：抛物线的焦点为，准线方程为由直线，故直线l经过抛物线的焦点又因为点是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则点在准线上，即，解得，故A选项正确；故直线，抛物线方程为，设，由，消去x，化简得，故，因为点M在以AB为直径的圆上，则，所以，即，所以，所以，解得，故B选项正确；故直线，直线的斜率为，即，由抛物线方程为，可得，所以，所以，所以，故C选项正确；由，可得，根据直线的斜率为，且点A在x轴上方，可得，由抛物线的定义知，故D选项错误；故选12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了空间线线的位置关系、空间角、球的表面积及棱锥的体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于较难题.由展开图知，该四面体对棱相等，可补形为长方体，画出图形，进而逐项分析，即可得出结论.【解答】解：由展开图知，该四面体四个面都为腰长为，底长为的等腰三角形，则该四面体对棱相等，可补形为长方体，如图，设长方体长宽高分别为a，b，c，，，，，，可知点E与点A重合，点F与点D重合，连接GN，因为，四边形DGCN为正方形，所以，又，所以，即，故A正确；四面体体积可用割补法，等于长方体体积减去四个小三棱锥的体积，，四面体表面积为展开图面积，可求得D到AB的距离为，故四面体表面积为，内切球半径，故C正确；BE与平面DCE所成角即为AB与平面ACD所成角，设为，，，三角形ACD的面积为，设点B到平面ACD的距离为h，则，可得，则，，即BE与平面DCE所成角的余弦值为，故B错误；四面体外接球即为长方体外接球，故长方体的体对角线即为外接球的直径，可得，则四面体外接球的表面积为，故D正确.故选13.【答案】【解析】本题考查利用函数的奇偶性解决参数问题、利用对数函数的图象与性质求参，属于中档题.利用函数的奇偶性结合对数函数的性质，即可求出a的值.14.【答案】90【解析】【分析】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项，属于基础题.按展开，求得可能出现的项，再逐项分析系数即可得解.【解答】解：的展开式中四次项只在前3项中产生，其系数为故答案为：15.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查函数的最值求解问题，属于中档题.先去绝对值得出分段函数，判断分段函数每段的单调性，然后求出每段上函数的最小值，进行比较从而得出整个函数的最小值即可.【解答】解：由题知，若，即，易知单调递减，即，又，即，所以在上单调递减，在上单调递增，，即由分段函数的两段上的最小值知，函数最小值为故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题考查向量的数量积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用，属于中档题．设，令，由向量数量积公式得，由此能求出的最小值．【解答】解：如图所示，设，，令，则，所以，，所以根据对勾函数的性质，当时，，当时，故答案为17.【答案】解析：套餐一：均值，方差套餐二：均值，方差因为，所以，套餐二销量相对稳定.列联表如下：顾客套餐套餐一套餐二合计男顾客400300700女顾客8005001300合计12008002000因为，所以，没有以上的把握认定顾客性别与套餐选择有关.【解析】本题考查独立性检验和均值方差的求解，考查学生数据分析的能力和运算能力，属于基础题．根据题干中的数据列式求解即可；根据题干中列联表，补充完整表格，再用的公式计算结果即可；18.【答案】解：因为，所以，因为，所以，即，因为A是的内角，所以；因为，，，所以由，得，即，解得，所以，【解析】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用正弦定理和辅助角公式化简即可求解；利用余弦定理求解bc，即可求解的面积．19.【答案】解：由，得，所以，，从而，，所以，设，即，所以，，于是，因为，且，所以，使成立的最大正整数【解析】本题考查数列的递推关系、等比数列的通项公式、等比数列的判定与证明和错位相减法，属于中档题；由，得，可得，，从而即可求解；，利用错位相减法可得再由，且，即可求解；20.【答案】解：因为，，，AE，平面所以平面因为平面ADE，所以因为，，所以是二面角的平面角，即因为平面ADE，平面CDEF，所以平面平面过A作，垂足为G，又平面平面，平面ADE则平面连结KG，则为AK与平面CDEF所成的角，即在中，因为，，所以在中，因为，所以设，过K作于H，则在中，由，得，解之得或舍，所以，即【解析】本题重点考查线面垂直的性质、二面角和线面角，属于中档题.通过求证平面ADE，由线面垂直的性质定理即可求证;先判断是二面角的平面角，即，再说明则为AK与平面CDEF所成的角，即，然后设，求出t，即可得CK的长度.21.【答案】解：由题意知，，，又，解得，，所以椭圆E的标准方程为；由知，双曲线方程为，设，，，则，因为，所以直线PA的方程为，联立椭圆方程，消去y得，于是，将代入，化简得，同理，直线PB的方程为，联立椭圆方程，解得，所以直线MN的倾斜角为【解析】本题考查椭圆的方程及性质，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的定值问题，属于中档题.由题意知，，，且，解得，，即可求解；设，，，由，表示出直线PA的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合，可求得，同理求得，即可证明.22.【答案】解：，当，时，，，由，得由，得，所以，在单调递增，在单调递减，当，时，，，令，，由上述知道，所以在单调递增；当时，，即，即，令，则，所以，当n为偶数时，，单调递减，因为，所以有唯一解，当n为奇数时，若，则，在单调递增;若，则，在单调递减，因为，所以有唯一解，综上，当时，有唯一实数解；当，时，等价于，即，即，由知，，所以，【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数中的不等式恒成立问题，属于难题.利用导数分别求，和时的的单调性；将转化为令，则，分n为奇偶即可证明.由知，，即可求解.。
武昌区2021届高三1月文数试题答案
级元月调研考试文科数学参考答案及评分细则一、选择题：题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BABDDCACDCCB二、填空题：13. 14.15.，3，17 16. ①③三、解答题：解：（1）由正弦定理，知， 即，，，所以. ………………………………………（4分）（2）由余弦定理，知，即，所以，当且仅当时取等号.所以，所以. …………………………………（12分）18．（本题12分）解：（1）因为，，所以.因为平面，平面，所以.因为，所以平面.因为平面，所以.易证，因为， 所以平面. ……………（6分）（2）取的中点，连结交于. 由（1）知平面，而，所以平面. 连结，则为直线与平面所成的角.在，求得. 又因为，所以. ……………（12分）19．（本题12分）A 1CBAB 1 DC 1EF解：（1）由茎叶图可知，男职工的成绩更好，理由如下：①男职工的成绩的中位数为85.5分，女职工的成绩的中位数为73.5分；②男职工的成绩的的平均数髙于80分，女职工的成绩的平均数低于80分；③男职工的成绩中，有的成绩不少于80分，女职工的成绩中，有的成绩至多79分；④男职工的成绩分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；女职工的成绩的分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布.因此，男职工的成绩更好. ……………………（4分）（注：以上给出了4种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可得2分）（2）（ⅰ）由茎叶图可知：，列表如下：超过不超过男职工15 5女职工 5 15……………（8分）（ⅱ）由表中数据，计算，所以，有的把握认为消防知识是否优秀与性别有关.……………（12分）20．（本题12分）解：（1）由及，得，.所以，椭圆的方程为.……………（4分）（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理，得.由，得.设，，则，.因为，所以，于是，直线的方程为.即，，将，，，代入，得，所以，直线过定点.……………（12分）另解：在中，令，得.所以，直线过定点.……………（12分）21．（本题12分）解：（1）的定义域为，且.令，得或.当时，，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.（5分）（2）由（1）知，或.因为，所以不合题意.因为时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.所以即解得.此时.记，则.因为，所以，所以在区间单调递减，所以，解得.所以，的取值范围为．……………（12分）22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）解：（1）方程可化为.方程可化为.……………（5分）（2）将代入，得.设方程的两根分别为，，则.……10分）23．[选修4-5：不等式选讲] （本题10分）解：（1）方法一：因为，因为存在实数，使成立，所以，解得.……………（5分）方法二：当时，符合题意.当时，因为所以.因为存在实数，使成立，所以.当时，同理可得.综上，实数的取值范围为.……………（5分）（2）因为，所以，当且仅当或时取等号.……………（10分）。
2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试文科数学试卷
16．给出以下数对序列：
（1，1）
（1，2）（2，1）
（1，3）（2，2）（3，1）
（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）
记第 行的第 个数对为 ，如 ，则
（Ⅰ） ________；（Ⅱ） ________．
17．已知函数 ，其中 ， ，则函数 在 上是增函数的概率为__________.
所以
所以 ，解得： .故选C.
考点：复数的概念与运算.
3．C
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是一个长方体和一个四棱锥的组合体如下图所示：
长方体的棱长为 ，四棱锥 中， 平面 ,该几何体的体积 ．
考点：1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的体积．
4．B
【解析】
试题分析：由题设知： ，
代入回归方程得： 解得：
三、解答题
18．（本小题满分12分）已知 ， ， 分别为 三内角 ， ， 的对边， ， ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的面积.
19．（本小题满分12分）已知数列 满足 ， ；数列 满足 ， ，且 为等差数列.
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 .
20．（本小题满分13分）如图，在直四棱柱 中，底面是边长为 的正方形， ，点E在棱 上运动.
设 ，则 ，当 变化时，它表示一组斜率为1,在 轴上的截距为 的一组平行直线，
在 轴上的截距越大 越小，由图可知，当直线经过A（0，3）点时，直线在轴上的截距最大，
当直线经过点B（4，0）时，直线在轴上的截距最小， ，所以
所以答案应填： .
考点：线性规划.
14．-5050
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2015-2016学年湖北省武汉市武昌区高三（上）元月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B（）A．（2，3] B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）2．（5分）已知（1+2i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z 的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）在区间[0，1]上随机取一个数x，则事件“log0.5（4x﹣3）≥0”发生的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）如图程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x+1问题”．执行该程序框图，若输入的N=3，则输出i=（）A．6 B．7 C．8 D．95．（5分）“a≤0”是“函数 f （x）=2x+a有零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知，且α为第三象限角，则tan2α的值等于（）A．B．﹣ C．D．﹣7．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．48．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0，则直线 MF 的斜率k MF=（）A．2 B．C．D．9．（5分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a2，b2，c2成等差数列，则cosB的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（）A．14h B．15h C．16h D．17h11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣πD．8﹣12．（5分）已知函数 f（x）=sinx﹣xcosx．现有下列结论：①f（x）是R 上的奇函数；②f（x）在[π，2π]上是增函数；③∀x∈[0，π]，f（x）≥0．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．（5分）双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于．15．（5分）已知，若对任意实数，都有|f（x）|＜m，则实数 m 的取值范围是．16．（5分）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知S n是公差不为0 的等差数列{a n}的前n 项和，S1，S2，S4成等比数列，且，（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n 项和T n．18．（12分）某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染天数61418272015（Ⅰ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=，若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非严重污染严重污染合计供暖季非供暖季合计100附：参考公式：K2=P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82819．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA．（Ⅰ）求证：平面EFG⊥平面PDC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣MAB与四棱锥P﹣ABCD的体积之比．20．（12分）过椭圆右焦点F2的直线交椭圆于A，B 两点，F1为其左焦点．当直线AB⊥x轴时，△AF1B为正三角形，且其周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设 C 为直线x=2上的一点，且满足 CF2⊥AB，若（其中O为坐标原点），求四边形OACB的面积．21．（12分）已知函数f（x）=（λx+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若λ=0，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，证明：．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，EC切⊙O于点C，直线EO交⊙O于A，B两点，CD⊥AB，垂足为D．（Ⅰ）证明：CA平分∠DCE；（Ⅱ）若EA=2AD，EC=2，求⊙O的直径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线 l：3x+2y﹣6=0与Γ 的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|kx﹣1|（k∈R）．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为，求k的值；（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，求k的取值范围．2015-2016学年湖北省武汉市武昌区高三（上）元月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•河南二模）已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B（）A．（2，3] B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）＞0，解得：x＜﹣4或x＞2，即B=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），∵A=[﹣2，3]，∴A∪B=（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞），故选：B．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015秋•武昌区月考）已知（1+2i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z 的共轭复数），则z 的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵（1+2i）=4+3i，∴====2﹣i，∴z=2+i，∴z的虚部为1．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）（2015秋•武昌区月考）在区间[0，1]上随机取一个数x，则事件“log0.5（4x﹣3）≥0”发生的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得区间长度，解对数不等式可得事件所占区间长度，由几何概型的概率公式可得．【解答】解：在区间[0，1]上随机地取一个数x，则x所占的区间长度为1﹣0=1，不等式log0.5（4x﹣3）≥0可化为0＜4x﹣3，解得＜x≤1，∴事件“log0.5（4x﹣3）≥0”发生x所占的区间长度为，∴由几何概型可得所求概率为故选：D．【点评】本题考查几何概型，涉及对数不等式的解法，属基础题．4．（5分）（2016•福建校级模拟）如图程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x+1问题”．执行该程序框图，若输入的N=3，则输出i=（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得n=3，i=1满足条件n是奇数，n=10，i=2不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=5，i=3不满足条件n=1，满足条件n是奇数，n=16，i=4不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=8，i=5不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=4，i=6不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=2，i=7不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=1，i=8满足条件n=1，退出循环，输出i的值为8．故选：C．【点评】本题考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．5．（5分）（2015秋•武昌区月考）“a≤0”是“函数 f （x）=2x+a有零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据函数零点的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若函数 f （x）=2x+a有零点，则f （x）=2x+a=0有解，即a=﹣2x有解，∵﹣2x＜0，∴a＜0，则“a≤0”是“函数 f （x）=2x+a有零点”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数零点的条件以及指数函数的性质求出a的取值范围是解决本题的关键．6．（5分）（2015秋•武昌区月考）已知，且α为第三象限角，则tan2α的值等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【分析】利用诱导公式求得cosα的值，利用同角三角函数的基本关系求得sinα和tanα 的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值【解答】解：∵=﹣cosα，∴cosα=﹣，∵α为第三象限角，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，则tan2α==，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．7．（5分）（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4【分析】虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．【解答】解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．【点评】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．8．（5分）（2016春•湖北期中）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0，则直线 MF 的斜率k MF=（）A．2 B．C．D．【分析】根据定义抛物线y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0，求出x0，然后M （2p，4）代入y2=2px，可得p=2，即可求出直线MF的斜率．【解答】解：根据定义抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0，∴x0+=x0，x0=2p，∴M（2p，4）代入y2=2px，可得p=2，∴M（4，4），F（1，0），∴k MF==．故选：B．【点评】本题考查了抛物线的定义和性质，解题的关键是根据定义得出M的坐标，属于基础题．9．（5分）（2015秋•武昌区月考）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a2，b2，c2成等差数列，则cosB的最小值为（）A．B．C．D．【分析】a2，b2，c2成等差数列，可得2b2=a2+c2，利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：在△ABC 中，∵a2，b2，c2成等差数列，∴2b2=a2+c2，∴cosB===≥=，当且仅当a=c=b时取等号．∴cosB的最小值为．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的性质、余弦定理与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2015秋•武昌区月考）如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（）A．14h B．15h C．16h D．17h【分析】设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为C．若在点B处受到热带风暴的影响，则OB=450，求出t，即可得出结论．【解答】（本题满分为12分）解：设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为C．若在点B处受到热带风暴的影响，则OB=450，即=450，…（2分）即=450，…（4分）上式两边平方并化简、整理得4t2﹣120t+1575=0，…（6分）解得t=或，…（9分）又≈13.7，﹣=15，…（11分）所以，经过约13.7后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间为15h．故选：B．…（12分）【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生解决实际问题的能力，属于中档题．11．（5分）（2015秋•武昌区月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣πD．8﹣【分析】由题意，几何体是棱长为2的正方体减半个圆柱，圆柱的底面半径为2，高为1，即可求出几何体的体积．【解答】：由题意，几何体是棱长为2的正方体减半个圆柱，圆柱的底面半径为2，高为1．∴几何体的体积为=8﹣，故选：D．【点评】本题考查几何体的体积，考查学生的计算能力，比较基础．12．（5分）（2015秋•武昌区月考）已知函数 f（x）=sinx﹣xcosx．现有下列结论：①f（x）是R 上的奇函数；②f（x）在[π，2π]上是增函数；③∀x∈[0，π]，f（x）≥0．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用三角函数的奇偶性判断①正确；利用导数研究函数的单调性，可得f（x）在[π，2π]上是减函数，故②错误；利用导数求得f（x）在[0，π]上是增函数，f（x）≥f（0），从而得出结论．【解答】解：根据 f（x）=sinx﹣xcosx，可得f（﹣x）=﹣sinx+xcosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故①：f（x）是R 上的奇函数，正确．f（x）在[π，2π]上，f′（x）=cosx﹣cosx+xsinx=xsinx＜0，故函数f（x）是减函数，故②不正确．③∀x∈[0，π]，f′（x）=xsinx＞0，故f（x）是增函数，故f（x）的最小值为f（0）=0，∴f（x）≥0，故③正确，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和单调性，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2015秋•武昌区月考）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为 3 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为y=﹣，结合图象可知，当目标函数通过点（1，1）时，z取得最小值，z min=1+2×1=3．故答案为：3．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）（2015秋•武昌区月考）双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于8 ．【分析】根据双曲线的离心率结合焦点到渐近线的距离建立方程关系求出a的值即可．【解答】解：∵双曲线的渐近方程为y=±x，设一个焦点坐标为F（c，0），一个渐近线方程为bx﹣ay=0，则焦点到渐近线的距离为3，即d==b=3，∵双曲线C：的离心率为，∴e==，即c=a，则c2=a2=a2+9，即a2=9，则a2=16，即a=4，则C的实轴长等于2a=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．15．（5分）（2015秋•武昌区月考）已知，若对任意实数，都有|f （x）|＜m，则实数 m 的取值范围是[，+∞）．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得m的取值范围．【解答】解：已知=2sin（2x﹣），任意实数，2x﹣∈（﹣，），sin（2x﹣）∈（﹣，），f（x）=2sin（2x﹣）∈（﹣，1），再根据|f（x）|＜m，可得m≥，故答案为：[，+∞）．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．16．（5分）（2016•大庆二模）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为25π．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF•PE，因为AE=2，所以侧棱长PA==2，PF=2R，所以20=2R×4，所以R=，所以S=4πR2=25π故答案为：25π．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015秋•武昌区月考）已知S n是公差不为0 的等差数列{a n}的前n 项和，S1，S2，S4成等比数列，且，（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n 项和T n．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得d=﹣1，a1=﹣，可得a n=﹣；（Ⅱ）求得b n==﹣=﹣（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），S1，S2，S4成等比数列，且，可得S22=S1S4，a1+2d=﹣，即有（2a1+d）2=a1（4a1+6d），化为d=2a1，解得d=﹣1，a1=﹣，可得a n=a1+（n﹣1）d=﹣﹣（n﹣1）=﹣；（Ⅱ）b n==﹣=﹣（﹣），则前n项和T n=﹣（1﹣+﹣+…+﹣）=﹣（1﹣）=﹣．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（12分）（2015秋•武昌区月考）某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染天数61418272015（Ⅰ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=，若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非严重污染严重污染合计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70合计85 15 100附：参考公式：K2=P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【分析】（Ⅰ）根据题意，问题转化为求空气质量指数大于200的频率即可；（Ⅱ）根据题意填写列联表，计算观测值K2，对照临界值即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）记“在本年内随机抽取一天，该天的经济损失超过400元”为事件A，由y＞400，得x ＞200；由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，所以P（A）==0.35；（Ⅱ）根据题设中的数据填写2×2 列联表如下，非严重污染严重污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100把列联表中的数据代入公式K2=中计算，得K2=≈4.575，因为4.575＞3.841，所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”．【点评】本题考查了频率分布表的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题目．19．（12分）（2010•山东）如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA．（Ⅰ）求证：平面EFG⊥平面PDC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣MAB与四棱锥P﹣ABCD的体积之比．【分析】（I）欲证平面EFG⊥平面PDC，根据面面垂直的判定定理可知在平面EFG内一直线与平面PDC垂直，而根据线面垂直的判定定理可知GF⊥平面PDC，GF∈平面EFG，满足定理条件；（II）不妨设MA=1，求出PD=AD，得到V p﹣ABCD=S正方形ABCD，求出PD，根据DA⊥面MAB，所以DA即为点P到平面MAB的距离，根据三棱锥的体积公式求出体积得到V P﹣MAB：V P﹣ABCD的比值．【解答】解：（I）证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD又BC⊂平面ABCD，因为四边形ABCD为正方形，所以PD⊥BC又PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC在△PBC中，因为G、F分别是PB、PC中点，所以GF∥BC因此GF⊥平面PDC又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC；（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，则PD=AD=2，所以V p﹣ABCD=S正方形ABCD，PD=由于DA⊥面MAB的距离所以DA即为点P到平面MAB的距离，三棱锥Vp﹣MAB=××1×2×2=，所以V P﹣MAB：V P﹣ABCD=1：4．【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查试图能力和逻辑思维能力．20．（12分）（2015秋•武昌区月考）过椭圆右焦点F2的直线交椭圆于A，B 两点，F1为其左焦点．当直线AB⊥x轴时，△AF1B为正三角形，且其周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设 C 为直线x=2上的一点，且满足 CF2⊥AB，若（其中O为坐标原点），求四边形OACB的面积．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义，周长为即可求得a的值，根据正三角形高求得c的值，即可求得b的值，写出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出直线AB方程，利用CF2⊥AB，表示出直线CF2的方程，求得C点坐标，并将直线AB方程代入椭圆方程，求得关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，求得y1+y2及y1y2值，利用平行四边形面积公式求得OACB的面积．【解答】解：（Ⅰ），由椭圆的定义，周长为，得4a=4，即a=，由△AF1B为正三角形，周长为，∴边长丨AF1丨=，∴AB边高F1F2的长为丨AF1丨，丨F1F2丨=2，即2c=2，c=1，∵a2+b2=c2，∴b=2，故椭圆方程：，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：F2（1，0）由题意可知：设AB的方程可设x=ty+1，由CF2⊥AB可知，CF2的方程为y=﹣t（x﹣1），由，得C（2，﹣t），由，消去x，整理得：（2t2+3）y2+4ty﹣4=0，其判断△=16t2+16（2t2+3）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∴x1+x2=t（y1+y2）+2=，∵=，∴四边形0ACB为平行四边形，且（x1，y1）=（2﹣x2，﹣t﹣y2），∴，解得t=0，，解得t=0，此时y1+y2=0，y1y2=﹣，∴S OACB=2S△OAB=丨OF2丨•丨y1﹣y2丨=，=，=．【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，联立直线方程，运用韦达定理，考查运算能力，综合性强，转化困难，属于难题．21．（12分）（2015秋•武昌区月考）已知函数f（x）=（λx+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若λ=0，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，证明：．【分析】（Ⅰ）求得函数的定义域为（0，+∞），当λ=0，f（x）=lnx﹣x+1，求导，令f′（x）=0，根据函数的单调性可知，当x=1时，f（x）取最大值；（Ⅱ）求导，f′（1）=1，即λ=1，由（Ⅰ）可知，lnx﹣x﹣1＜0，分类当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x﹣1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0，当x＞1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx﹣x（ln﹣+1）＞0，可知．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）的定义域为（0，+∞），当λ=0，f（x）=lnx﹣x+1，求导，f′（x）=﹣1，令f′（x）=0，解得：x=1，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函数；当x＞1，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；故f（x）在x=1处取最大值，f（1）=0，（Ⅱ）证明：求导，f′（x）=λlnx+﹣1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=1，即λ=1，∴f（x）=（x+1）lnx﹣x+1，由（Ⅰ）可知，lnx﹣x﹣1＜0（x≠1），当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x﹣1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0，∴＞0，当x＞1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx﹣x（ln﹣+1）＞0，∴＞0，综上可知：＞0．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查导数的几何意义及两直线垂直的充要条件，考查转化思想，属于中档题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2015秋•武昌区月考）如图，EC切⊙O于点C，直线EO交⊙O于A，B两点，CD⊥AB，垂足为D．（Ⅰ）证明：CA平分∠DCE；（Ⅱ）若EA=2AD，EC=2，求⊙O的直径．【分析】（Ⅰ）利用AB为圆O的直径，CD⊥AB，得出∠CAB+∠DCA=90°，可得∠DCA=∠B．利用EC切⊙O 于点C，可得∠ACE=∠B，从而∠DCA=∠ACE，即可证明：CA平分∠DCE；（Ⅱ）若EA=2AD，EC=2，利用射影定理，切割线定理建立方程，即可求⊙O的直径．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB为圆O的直径，∴∠CAB+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠CAB+∠DCA=90°，∴∠DCA=∠B．∵EC切⊙O于点C，∴∠ACE=∠B，∴∠DCA=∠ACE，∴CA平分∠DCE；（Ⅱ）解：如图，连接CO．∵EC切⊙O于点C，∴OC⊥CE．Rt△COE中，CD⊥AB．由射影定理得EC2=ED•EO．设圆O的半径为r，AD=x，则EA=2x，∵，∴（2）2=3x（2x+r）①由切割线定理得EC2=EA•EB，∴（2）2=2x（2x+2r）②由①②，解得x=1，r=2，∴⊙O的直径为4．【点评】本题考查圆的直径、切线的性质，考查射影定理、切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•河南二模）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线 l：3x+2y﹣6=0与Γ 的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【分析】（1）首先，设出所求点的坐标，然后，建立坐标之间的关系式，求解其普通方程，再将其化为参数方程即可；（2）联立方程组，然后，解得两个交点坐标，从而确定其中点坐标，从而求解其直线方程，再化为极坐标形式即可．【解答】解：（1）设点（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为T上点（x，y），根据题意，得，即，根据，得，即曲线T的方程为，所以，曲线T的参数方程为（t为参数）．（2）联立方程组，解得或，不妨设点P1（2，0），P2（0，3），则线段的中点坐标为（1，），所求直线的斜率k=，于是所求直线方程为：y﹣=（x﹣1），即4x﹣6y+5=0，将此化为极坐标方程，得到4ρcosθ﹣6ρsinθ+5=0．【点评】本题重点考查了直线的参数方程和普通方程、极坐标方程的互化等知识，考查了直线方程有关内容，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2015秋•武昌区月考）设函数f（x）=|kx﹣1|（k∈R）．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为，求k的值；（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用不等式的解集与方程解的关系，根据不等式f（x）≤2的解集为，即可求k的值；（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，则|k﹣1|+|2k﹣1|＜5，分类讨论求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵不等式f（x）≤2的解集为，∴|﹣k﹣1|=2且|k﹣1|=2，∴k=3；（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，则|k﹣1|+|2k﹣1|＜5．k＜时，﹣k+1﹣2k+1＜5，∴k＞﹣1，∴﹣1＜k＜；≤k≤1时，﹣k+1+2k﹣1＜5，∴k＜5，∴≤k≤1；k＞1时，k﹣1+2k﹣1＜5，∴k＜，∴1＜k＜，综上所述，﹣1＜k＜．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。