矢量计算题

矢量的基本知识和运算法则

1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A

矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。

两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。

2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。

对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。

3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反

如动量()mV 、冲量()F t ⋅∆都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量()m V ∆也是矢量，其方向与V ∆相同。

矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量

1K ，如加速度1F a F m m ==⋅，方向与F

相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘 一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用AB

⋅表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：c o s A B A B θ⋅=。如：功是力F

与位移S 的数量积，是标量。c o s W F S F

S θ=⋅= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ⨯表示，矢量积A B C ⨯=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。sin C A B θ=⋅，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积，矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。

A B B A ⨯≠⨯，A

B ⨯与B A ⨯大小相等，方向相反。 如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =⨯，大小为sin M Fr θ=。带电粒子所受的磁场力（即洛仑兹力）F qV B =⨯，大小为sin F q vB θ=⋅（若是负电荷受力方向与此相反）

例5－1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运动过程中合外力是否做功？

解：因为速度和加速度都是矢量，在图5－6所示的圆周上任意取两点A 、B ，虽然,A B A B v v a a ==，但方向不同，由矢量相等的条件可知：A B v v ≠，A B a a ≠，因此匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。

由功的定义得：c o s W F S F S θ=⋅=，因为作用于匀速园周运动的物体上的合外力F 始

终沿着半径指向圆心，与位移S 的方向垂直。故cos

02W FS π==，所以物体在做匀速园周运动的过程中，合外力（即向心力不做功）

例5－2判断图5－7所示的带电粒子受力的方向。

解：根据F qv B =⨯，用右手螺旋法则得出带电粒子的受力方向竖直向上（如图5－8） 例5－3空间某处O ，有互相垂直的两个水平磁场1B 和2B ，55121.7310, 1.0010B T B T --=⨯=⨯，现在该处有一段载流直导线，问导线应如何放置，才能使两磁场作用在它上面的合力为零。

解：以O 为坐标原点，建立直角坐标系oxyz ，令2B 沿x 轴方向，1B 沿y 轴方向（如图5－9）

根据安培定律：F I l B =⨯

磁场作用于载流导线上的力F 垂直于l 和B 所决定的平面，并依右手螺旋定则规定其方向。为使两磁场作用于载流导线的合力为零，则导线l 必须置于oxy 平面内，设它与y 轴的夹角为θ，则有：

11sin F B Il θ=方向沿z 轴向上。

()0222sin 90cos F B Il B Il θθ=-=，方向沿z 轴向下。

平衡时：12sin cos 0B Il B Il θθ-= 012

cot 1.73,30B B θθ==∴= 即导线与1B 所成的角度为300，与2B

所成的角度为600。 例5－4图5－10是一张斜碰的闪光照片。大球的质量m 1=201.1g 小球的质量m 2=85.4g 。两球都是从下向上运动，碰撞后左、右分开，闪光的快慢是每秒30次，照片和实物的线度比例大约是1：10，试作出它们的动量分析图，并求出两球的动量的改变量12P P ∆∆和，由此可得出什么结论？ 解：由照片所示的两球位置和线段的比例，分别量出两球碰撞前后。在

130秒内所通过的距离。

大球：/1110 6.0 6.010 5.0 5.0S mm cm

S mm cm =⨯==⨯= 小球：/22107.07.0,

109.09.0S mm cm S mm cm =⨯==⨯= 由此计算出两球碰撞前后的速度：

大球：()()21/

21 6.030 1.810(/) 1.8(/)

5.0 1.5/ 1.5/v cm s m s v cm s m s =⨯=⨯==⨯=

小球：()()

()()22/

22730 2.110/ 2.1/930 2.710/ 2.7/v cm s m s v cm s m s =⨯=⨯==⨯=⨯=

根据动量P m

v =算出两球碰撞前后的动量： 大球：碰撞前：1110.2011 1.80.36(/)P m v kg m s ==⨯=⋅，方向与V 1相同。

碰撞后：//1110.2011 1.50.30(/)P m v kg m s ==⨯=⋅，方向与/1V 相同。

小球：碰撞前：22228.54 2.1100.18(/)P m v kg m s -==⨯⨯=⋅，方向与2V 相同。