河南省郑州市第一中学2020届高三数学12月联考试题 理(含解析)

河南省郑州市第一中学2020届高三数学12月联考试题理（含解

析）

一、选择题（本大题共12小题）

1.已知全集2，3，4，5，，集合3，，2，，则

A. B.

C. 2，4，

D. 2，3，4，

2.在复平面内，复数对应的点位于

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3.已知向量，，若，则的最小值为

A. 12

B.

C. 15

D.

4.已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点

A. B. C. D.

5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面

积小于的面的个数是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6.已知a，，则“”是“函数是奇函数”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区

各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有

A. 168种

B. 156种

C. 172种

D. 180种

8.已知数列：，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时

为数列的

A. 第44项

B. 第76项

C. 第128项

D. 第144项

9.在长方体中，，，E，F，G分别是AB，BC，的中点，P是底面ABCD内一个动点，

若直线与平面EFG平行，则面积的最小值为

A. B. 1 C. D.

10.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象

重合，当，，且时，，则

A. B. C. 1 D.

11.如图，设抛物线的焦点为F，过x轴上一定点作斜率为2的直

线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记的面积为，

的面积为，若，则抛物线的标准方程为

A.

B.

C.

D.

12.已知函数，若关于x的方程有六个不同的实根，则a的取值范围是

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题）

13.设双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线上且异于A、B两点，O为坐标

原点，若直线PA与PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为______．

14.已知是定义在R上的偶函数，且若当时，，则______

15.已知梯形ABCD，，，，P为三角形BCD内一点包括边界，，则的取值范围为______．

16.瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧

拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为的欧拉三角形．如

图，是的欧拉三角形为的垂心已知，，，若在内部随机选取一点，

则此点取自阴影部分的概率为______．

三、解答题（本大题共7小题）

17.数列的前n项和为，已知，2，3，

Ⅰ证明：数列是等比数列；

Ⅱ求数列的前n项和．

18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为等边三角形．

当PB长为多少时，平面平面ABCD？并说明理由；

若二面角大小为，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

19.已知椭圆C：，C的右焦点，长轴的左、右端点分别为，，且．

Ⅰ求椭圆C的方程；

Ⅱ过焦点F斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．

20.第7届世界军人运动会于2020年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，

共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分满分100分数据，统计结果如下：

组别

频数 5 30 40 50 45 20 10

若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算．

在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．

参考数据：；；

21.已知函数e为自然对数的底数，是的导函数．

Ⅰ当时，求证；

Ⅱ是否存在正整数a，使得对一切恒成立？若存在，求出a的最大值；

若不存在，说明理由．

22.在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l经过点以坐标原点O为极点，x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

写出曲线C的普通方程；

若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求的取值范围．

23.已知函数，．

若，求a的取值范围；

若，对，，都有不等式恒成立，求a的取值范围．