人教版高一数学必修四第一章诱导公式五、六
高一数学(三角函数的诱导公式 2)
3p 3p sin( - a ), cos( - a ), 2 2 3p 3π sin( + a ), cos( +α) 2 2
公式五： 公式五：
sin (
π
2
−α) = cosα −α) = sin α
cos(
π
2
sin(
π
2
+α) = cosα +α) = −sin α
公式六： 公式六：
cos(
π
2
形成结论
kπ 所有诱导公式可统一为 ±α(k ∈Z) 2 的三角函数与α的三角函数之间的关系 的三角函数之间的关系. 的三角函数与 的三角函数之间的关系
它们之间的关系归纳为： 它们之间的关系归纳为：
奇变偶不变，符号看象限. 奇变偶不变，符号看象限.
典例讲解
化简： 例1 化简：
11 π sin(2π -α)cos(π +α)cos( +α)cos( -α) 2 2 9π cos(π -α)sin(3π -α)sin(- π -α)sin( +α) 2
y
π
2 −α 的终边
π
y=x
α的终边
O
x
y
π
2
−α 的终边
(y， P2(y，x) α的终边
O
P1(x ，y) x
），则关 设角α的终边上有一点P1（x，y），则关 π 于直线y=x y=x对称的角 的终边上的点P 于直线y=x对称的角 −α 的终边上的点P2的 2 坐标如何？ 坐标如何？
形成结论
2
cos(180 +α) ⋅ sin(α + 360 ) 2. o o sin(-α-180 ) ⋅ cos(-180 -α)
人教A版高中数学必修四1 诱导公式五、六牛老师
式时,一定要注意函数名与符号.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】 求证:
sin + cos
=
sin-cos
2sin -
3π cos + π -1
2
2
1-2sin2 (π +
)
.
3π
证明:∵右边 =
-2sin 2 - (-sin)-1
►So let us seize it, not in fear, but in gladness. ·
命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。
因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander.
3π
sin +3π
cos
+
2
2
= −tan .
分析:解答本题可直接利用诱导公式对等式左边进行化简,推出
右边.
证明:左边 =
=
tan(-)(-sin)cos(-)
-cossin
(-tan)(-sin)cos
-cossin
= −tan α=右边,
故原等式成立.
反思三角函数式的化简与证明实质是一样的,就是正确利用诱导
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名改变
(正余互变),符号看象限”.
(2)把 α 看成锐角,实际上 α 可以为任意角.
(3)运用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的转化,
在三角恒等变形中,起到改变函数名称的作用.
高中数学 人教A版必修4 第1章 1.3三角函数的诱导公式(二)
研一研·问题探究、课堂更高效 (2)诱导公式五的推导：
§1.3（二）
π 问题 1 若 α 为任意角，那么 －α 的终边与角 α 的终边有怎 2 样的对称关系？ 本 课 π 时 答 角 α 的终边与 －α 的终边关于直线 y＝x 对称． 栏 2 目 π 开 问题 2 设角 α 与单位圆交于点 P(x， y)， 则 － 2 关
y.
所以，对任意角 α
sin α .
π 都有：sin2－α＝
cos α
π ，cos2－α＝
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 诱导公式六
π ，cos2＋α＝
§1.3（二）
(1)诱导公式六： π sin2 ＋α＝ cos α
本 课 时 栏 目 开 关
填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3（二）
2．诱导公式五～六的记忆 π π －α， ＋α 的三角函数值，等于 α 的异名三角函数值， 2 2 本
课 时 栏 目 开 关
前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号， 记忆口诀 为“函数名改变，符号看象限”.
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（二）
α 与单位圆交于点 P′，写出点 P′的坐标．
答 P′(y，x)．
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（二）
问题 3 根据任意角三角函数的定义，完成下列填空：
本 课 时 栏 目 开 关
sin α＝ y ，cos α＝ x ；
π sin2 －α＝
x
π ，cos2－α＝
§1.3（二）
本 课 时 栏 目 开 关
§1.3（二）
【学习要求】 1．掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化 简与证明问题． 本 课 时 2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与 栏 目 个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力． 开 关 现问题、解决问题的能力．
高一数学必修4三角函数诱导公式
高一数学必修4三角函数诱导公式诱导公式是高一数学必修四三角函数知识点只必考的公式，我们在考前一定要掌握好这些公式的应用。
下面是店铺为大家整理的高一数学必修4三角函数诱导公式，希望对大家有所帮助!高一数学必修4三角函数诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαco t(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)高一数学函数复习资料一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式课件新人教A版必修4
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300
4
cos
79 6
cos
5 6
cos
6
3 2
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
4 tan 324 32 __ta_n__3_5_2_8_;
化简11scio原ns式52=cs2ions•22sin•2sin •c•osco2s
;
= sin • sin • cos
cos
= sin2
化简
2 cos2
tan 360
sin .
原式=cos2 tan sin
1.思考
给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系?
公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.3 第2课时 诱导公式五、六
第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
高中数学人教A版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式
x 2k
sin(x) sin sin sin sin cos(x) cos cos cos cos tan tan tan tan tan
例1.利用公式求下列三角函数值
(1) cos 225 0
(2) sin 11 3
(3) sin( 16) 3
1.3 三角函数的诱导公式(1)
一、复习 请你说说三角函数的定义（用单位圆）
请你说说关于x轴、y轴、坐标原点对称的点的 坐标之间有何关系？
请你说说三角函数的诱导公式一
公式一： sin(2k ) sin cos(2k ) cos
tan(2k ) tan
y P(x,y)
o Q(-x,-y)
x
公式二：
sin sin cos cos tan tan
公式三：
sin sin cos cos tan tan
P(-x,y)
y P(x,y)
O
x
公式四：
sin sin cos cos
tan( ) tan
函数名不变,符号看象限
Y=x
y Q(y,x)
P(x,y)
o
x
公式五： 公式六：
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
cos(
) sin
2
奇变偶不变,符号看象限
y o
x
例3.证明： (1).sin 3 cos 2
(2).cos 3 sin
例4.化简
2
sin2
cos
c os
2
c
os
11
2
cos sin3 sin sin 9
第一章 诱导公式五、六
)
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1 π 2．若sin(π＋α)＝－3，则cos(2＋α)等于( 1 1 A.3 B．－3 2 2 2 2 C. 3 D．－ 3
)
答案：B
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3π π 3．化简：sin(π＋α)cos( 2 ＋α)＋sin( 2 ＋α)·cos(π＋α)＝ ________.
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知识预览
1．诱导公式五 π π sin2－α＝cosα，cos2－α＝sinα. 2．诱导公式六 π π sin2＋α＝cosα，cos2＋α＝－sinα.
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5．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)等于( A．3－cos2x B．3－sin2x C．3＋cos2x D．3＋sin2x π 解析：∵cosx＝sin(2kπ＋2－x)(k∈Z)，
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利用诱导公式五、六化简 【例2】 已知α是第三象限角，且f(α)＝ 3 sin(π－α)cos(2π－α)sin(－α＋2π) 7 cos(－α－π)·cos(－α＋2π) (1)化简f(α)； 3π 1 (2)若cos(α－ 2 )＝5，求f(α)； (3)若α＝－1860°，求f(α)．
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第2课时 诱导公式五、六
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最新人教版高中数学必修4第一章诱导公式五-六
专题归纳整合 课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
利用互余关系是解决这类问题的关键.常见的互余关系有 -α 与
π π π π π +α, +α 与 -α, +α 与 -α 等,记住这些结论,有时会给我们带来意想不到 6 3 6 4 4
π 3
的方便.
章末整合提升
问题导学 当堂检测
知识网络构建 课前预习导学
第 2 课时
诱导公式五~六
章末整合提升
目标导航 预习引导
知识网络构建 课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
专题归纳整合 课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
学习目标 重点难点
1.能够借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式五、六; 2.能灵活地利用诱导公式进行化简、求值. 重点:诱导公式五、六的应用; 难点:诱导公式的推导与证明.
KEQIAN YUXI DAOXUE
专题归纳整合 课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
二、化简求值问题
活动与探究
tan(π-������)cos -2-α cos(6π-������) 例 2 化简 . π 3π sin 2-α cos 2 -α π 思路分析:根据题中出现的角:-α, ± α,6π-α,选择相应的诱导公式化 2 3π π 简.对于 cos -α 可以化为 cos π + -α 然后再化简. 2 2 π -tan������cos 2+α cos(-������)
预习交流 1
如何用 sinα,cosα 表示 tan 提示:tan tan
π +α 2 π -α 2
=
=
高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五： ；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。
高中数学必修四公式大全
必修四—第一章 三角函数1. ❖终边落在x 轴上的角的集合： .❖ 终边落在y 轴上的角的集合： .❖ 终边落在坐标轴上的角的集合： .2弧长公式： =l，=S .3.同角三角函数的基本关系：①平方关系： ②乘积关系:◆ 诱导公式（一）()()=+=+=+)2tan(2cos 2sin παπαπαk k k◆ 诱导公式（二） ()()()=+=+=+απαπαπtan cos sin◆ 诱导公式（三） ()()()=-=-=-αααtan cos sin◆ 诱导公式（四） ()()()=-=-=-απαπαπtan cos sin◆ 诱导公式（五）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-απαπ2cos 2sin◆ 诱导公式（六）=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+απαπ2cos 2sin4.三角函数（x x x tan ,cos ,sin ）的性质5.函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像振幅变化：x y sin = x A y sin = 左右伸缩变化 x A y ωsin =左右平移变化)sin(ϕω+=x A y 上下平移变化 k x A y ++=)sin(ϕω第二章：平面向量1.平面向量共线定理： 一般地，对于两个向量 ()如果有,,0,b a a ≠()是共线向量与是共线向量；反之如果与则使得一个实数a b a b a a b ,0,,≠=λλ .,a b λλ=使得那么又且只有一个实数2.向量的一个定理的类似推广①向量共线定理： )0(≠=a a b λ②平面向量基本定理： 2211e e a λλ+=（其中21,e e 为平面内不共线的两向量）3.线段的定比分点点P 分有向线段21P P 所成的比的定义式21PP P P λ=,这时=x ，=y . 4.一般地，设向量()(),0,,,2211≠==a y x b y x a 且 ①那么如果b a // . ②如果b a ⊥，那么 .5.一般地，对于两个非零向量b a , 有 θb a =⋅，其中θ为两向量的夹角。
人教版高一数学必修4第一章 1.3三角函数的诱导公式(2)
§1.3 三角函数的诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导(难点).2.能够应用三角函数的诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题(重点)．课前预习：预习教材P26完成下面问题： 知识点 诱导公式五、六 1．诱导公式五、六2．公式五和公式六的语言概括(1)函数名称：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值．(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化． 课堂互动：题型一 利用诱导公式化简、求值【例1】 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值； (2)化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos (π2－α)cos (7π2－α)cos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin (5π2＋α)．规律方法 求值问题中角的转化方法 任意负角的三角函数――→用公式一或三任意正角的三角函数――→用公式一0～2π的角的三角函数――→用公式二或四、或五或六锐角三角函数【训练1】 已知cos(π6－α)＝23，求下列各式的值：(1)sin(π3＋α)；(2)sin(α－2π3)．题型二 利用诱导公式证明恒等式【例2】 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α．规律方法 证明等式的常用方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异． 【训练2】 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2 (π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1．【例3】 已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan (π－α)·sin (π－α)·sin (π2－α)cos (π＋α)的值．【迁移】 本例条件不变，求f (α)＝sin (5π－α)cos (7π2－α)tan (－π＋α)－tan (－19π－α)sin (－α)的值．规律方法 用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．课堂反馈：课堂达标1．sin 165°等于( )A ．－sin 15°B ．cos 15°C ．sin 75°D ．cos 75°2．已知sin(α＋π4)＝13，则cos(π4－α)的值为( )A ．223B ．－223C ．13D ．－133．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．4．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos(α＋5π2)＝________．课堂小结1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．。
数学必修4课件第1章12123第一课时诱导公式(一～四)
sin(π－α)＝ sin α cos(π－α)＝－cos α tan(π－α)＝－tan α sin(π＋α)＝－sin α cos(π＋α)＝ －cos α
tan(π＋α)＝tan α
[点睛] α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等 于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值 的符号．
＝－sin(180°－60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝
tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
(3)cos1169π＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝
3 2.
给角求值问题的解题策略 (1)利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角 函数值求解． (2)如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角 函数． (3)准确记忆特殊角的三角函数值．
[小试身手]
1．已知 cos(π＋θ)＝ 63，则 cos θ＝________.
答案：－
Байду номын сангаас
3 6
2．已知 tan α＝4，则 tan(π－α)＝________.
答案：－4 3．化简：cosα－πtasninαπ－＋2απtan2π－α＝________.
答案：－tan α
4．已知 sin(π＋α)＝35，且 α 是第四象限角，则 cos(α－2π)＝
＝ccooss1100°°·t·sainn23205°°＝tsainn 3405°°＝12.
利用诱导公式一～四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的 目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没 有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采 用切化弦，有时也将弦化切．
高一数学必修四课件时诱导公式
思考题：如何将诱导公式应用于实际问题中
思考并探讨诱导公式在实际问题中的应用场景和可能性。
尝试将诱导公式应用于一些实际问题中，例如物理、化学、工程等领域的问题。
对于每个应用场景，分析诱导公式的适用性和局限性，并给出具体的解决方案或建 议。
感谢您的观看
THANKS
诱导公式推导过程与方法
利用单位圆进行推导
定义单位圆
在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径 为1的圆称为单位圆。
任意角与单位圆的交点
根据三角函数的周期性，可以将任意角α转化 为与其终边相同的角β+2kπ（k∈Z）的形式
，进而得到sin(α+2kπ)=sinα， cos(α+2kπ)=cosα。
利用周期性
高一数学必修四课件时诱 导公式
汇报人：XX 20XX-01-20
目录
• 诱导公式基本概念与性质 • 诱导公式推导过程与方法 • 诱导公式在三角函数计算中应用 • 典型例题分析与解题思路 • 课堂互动环节与小组讨论 • 课后作业布置及要求
01
诱导公式基本概念与性质
诱导公式定义及作用
诱导公式的定义
2
问题二
在运用诱导公式时，容易出现计算错误 。解决方法：提高计算准确性，注意运 算过程中的细节问题；同时，可以建立 错题本，对易错问题进行归纳和总结。
3
问题三
对于较复杂的三角函数问题，难以找到 解题思路。解决方法：加强对三角函数 基础知识的学习和掌握；同时，可以寻 求老师或同学的帮助，共同探讨解题思 路和方法。
通过分析诱导公式中角度的周期性变化，确定三角函数的 周期性。
04
典型例题分析与解题思路
选择题答题技巧及易错点提示
高中数学必修四-诱导公式
诱导公式知识集结知识元同名诱导公式的应用知识讲解诱导公式1、诱导公式(一)终边相同的角的同名三角函数值相等，即:，，，，其作用是把绝对值大于2π的任一角的三角函数值化为[0,2π)上的角的三角函数值．2、诱导公式(二)角的三角函数等于角的同名三角函数，前边放上把看作锐角时，所在象限的原三角函数值的符号．即:，，，其作用是把任意负角的三角函数转化为正角的三角函数．3、诱导公式(三)角,的三角函数等于角的同名三角函数，前边放上把角看成锐角时，,所在象限的原三角函数值的符号．即：，，.4、诱导公式(四)，，，，，.5、诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（1）“奇、偶”指的是的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切，反之亦然成立.（2）“符号看象限”的含义是：把角看做锐角，不考虑角所在象限，看n是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号.例题精讲同名诱导公式的应用例1.sin240°＝()A．B．C．D．例2.sin240°＝()A．B．C．D．例3.A．B．C．D．异名诱导公式的应用知识讲解诱导公式1、诱导公式(一)终边相同的角的同名三角函数值相等，即:，，，，其作用是把绝对值大于2π的任一角的三角函数值化为[0,2π)上的角的三角函数值．2、诱导公式(二)角的三角函数等于角的同名三角函数，前边放上把看作锐角时，所在象限的原三角函数值的符号．即:，，，其作用是把任意负角的三角函数转化为正角的三角函数．3、诱导公式(三)角,的三角函数等于角的同名三角函数，前边放上把角看成锐角时，,所在象限的原三角函数值的符号．即：，，.4、诱导公式(四)，，，，，.5、诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（1）“奇、偶”指的是的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切，反之亦然成立.（2）“符号看象限”的含义是：把角看做锐角，不考虑角所在象限，看n是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号.例题精讲异名诱导公式的应用例1.A．B．C．D．例2.已知cos(75°＋α)＝则cos(105°－α)－sin(15°－α)的值为()A．B．C．D．例3.已知sin110°＝a，则cos20°的值为()A ．aB ．－aC ．D ．当堂练习单选题练习1.A ．B ．C ．D ．练习2.A ．B ．C ．－1D ．1练习3.A ．B ．C ．D ．练习4.已知cos(75°＋α)＝则cos(105°－α)－sin(15°－α)的值为()A ．B ．C ．D ．填空题练习1.练习2.已知函数f(x)满足f(cos x)＝1－cos2x，则f(sin15°)＝________.。
2020-2021学年数学人教A版必修4课件：1-3-2 诱导公式五、六
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其 证明的常用方法有：
1从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. 2左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. 3针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消 除其差异，即化异为同.
[变式训练 3] ＋tan2x.
求证：cosx－co5sπ32πta＋nx2π－x＋tan2(π－x)＝1
[解] (1)f(α)＝sinα－co3sπ－coπs－2απ－sinα－sinπ－－αα＋32π
＝－sin－αc·coossαα··si－nαcosα＝－cosα.
(2)因为 cosα－32π＝－sinα，所以 sinα＝－15， 又 α 是第三象限角，
所以 cosα＝－
1－－152＝－2
5
6 .
[针对训练] 已知 cos(75°＋α)＝13，求 cos(105°－α)－sin(15° －α)的值．
解：cos(105°－α)－sin(15°－α) ＝cos[180°－(75°＋α)]－sin[90°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－23.
[变式训练 1] 若 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝m，则 cos(270°
－α)＋2sin(360°－α)的值为( D )
A．－12m
B．－32m
1 C.2m
3 D.2m
解析：由题意得－sinα－sinα＝m，所以 sinα＝－m2 .
cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα
解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.
2．已知 sin(α－π4)＝13，则 cos(π4＋α)的值等于( D )
高一数学必修四诱导公式
⾼⼀数学必修四诱导公式 诱导公式是⾼中数学学习的常⽤公式，数学必修四需要记忆的诱导公式有哪些呢？下⾯是店铺为⼤家整理的⾼⼀数学必修四诱导公式，希望对⼤家有所帮助! ⾼⼀数学必修四诱导公式⼤全 公式⼀： 设α为任意⾓，终边相同的⾓的同⼀三⾓函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式⼆： 设α为任意⾓，π+α的三⾓函数值与α的三⾓函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意⾓α与 -α的三⾓函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利⽤公式⼆和公式三可以得到π-α与α的三⾓函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利⽤公式⼀和公式三可以得到2π-α与α的三⾓函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三⾓函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐⾓来做会⽐较好做。
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【解】 (1)因为 cos(π＋α)＝－cosα＝－12，
所以 cosα＝12，又 α 为第一象限角．
则 cosπ2＋α＝－sinα＝－ 1－cos2α
＝－
1－122＝－
3 2.
(2)cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α
＝sinπ3－α＝12.
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
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栏目 导引
利用诱导公式化简、证明
第一章 三角函数
化简：(1)cosc3o2πs－52πα－·sαin·sπ2in－－α3·2sπin－π2α＋ α； (2)sin（taπn－（α3）π－sinα3）2π－α＋ssiinn（ 32π2＋π－ααc）os（co2 (1)原式＝－（c－ossπ2in－α）α··scionsα32·πc＋osαα ＝－ssininααccoossα2α＝－cosα. (2)tan(3π－α)＝－tanα， sin(π－α)＝sinα， sin32π－α＝－cosα， sin(2π－α)＝－sinα， cosα－72π＝cosα＋π2＝－sinα，
[变设问]若本例(2)条件不变，如何求 cos56π－α的值． 解：cos56π－α ＝cosπ2＋π3－α ＝－sinπ3－α＝－12.
栏目 导引
(1)求值问题中角的转化方法
第一章 三角函数
(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如π3－α 与π6＋ α，π3＋α 与π6－α，π4－α 与π4＋α 等互余，π3＋θ 与23π－θ，π4＋θ 与34π －θ 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角 的变换来解决问题．
第一章 三角函数
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第一章 三角函数
sin32π＋α＝－cosα， cos(2π＋α)＝cosα， 所以原式＝sinα（－－tancoαsα）＋－si－nαc（osα－cosisnαα） ＝co1s2α－csoins22αα＝1－cossi2nα2α＝ccooss22αα＝1.
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第一章 三角函数
(1)用诱导公式进行化简时的注意点 ①化简后项数尽可能的少； ②函数的种类尽可能的少； ③分母不含三角函数的符号； ④能求值的一定要求值； ⑤含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
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第一章 三角函数
(2)证明三角恒等式的常用方法 ①由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原 则；②证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的 A 起着
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第一章 三角函数
1．若 cos(α＋π)＝－23，则 sin(－α－32π)＝( )
A.23
B．－23
5 C. 3
D．－
5 3
解析：选 A.因为 cos(α＋π)＝－cosα＝－23，所以 cosα＝23.所以
sin－α－32π＝cosα＝23.
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第一章 三角函数
2．已知 cosα＋π6＝35，则 sinα＋23π的值为________． 解析：sinα＋23π＝sinπ2＋α＋π6 ＝cosα＋π6＝35. 答案：35
)
A.23
B．－23
5 C. 3
D．－
5 3
答案：A
第一章 三角函数
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第一章 三角函数
已知 sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则 sinα 等于( )
A．－2
2 5
22 B. 5
C．－2
2 3
D.2 3 2
解析：选 C.sin(α＋π2)＝sin(π2＋α)＝cosα＝13，
又 α∈(－π2，0)，
左边 桥梁的作用；③通过作差或作商证明，即左边－右边＝0 或右边 ＝1.
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第一章 三角函数
1．化简 cos2π4－α＋cos2π4＋α＝________． 解析：原式＝sin2π2－π4－α＋cos2π4＋α ＝sin2π4＋α＋cos2π4＋α＝1. 答案：1
所以 sinα＝－
1－cos2α＝－2
3
2 .
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第一章 三角函数
sin95°＋cos175°的值为________． 解析：sin95°＋cos175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos5°－cos5°＝0. 答案：0
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第一章 三角函数
利用诱导公式求值
(1)已知 cos(π＋α)＝－12，α 为第一象限角，求 cosπ2＋α 的值． (2)已知 sinπ3－α＝12，求 cosπ6＋α的值．
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1．公式五、六
第一章 三角函数
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第一章 三角函数
2．公式五、六的语言概括
π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的__余__弦__(_正__弦__)_函数值，前 面加上一个把 α 看成_锐__角__时原函数值的符号．
公式一～六都叫做诱导公式． ■名师点拨 诱导公式五、六反映的是角π2±α 与 α 的三角函数值之间的关系．可 借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
第一章 三角函数
第 2 课时 诱导公式五、六
第一章 三角函数
考点
学习目标
核心素养
掌握诱导公式五、六的推导 诱导公式五、六
过程
逻辑推理
能利用诱导公式解决简单 数学运算、逻辑推 诱导公式的应用
的求值、化简与证明问题 理
第一章 三角函数
问题导学 预习教材 P26－P27，并思考下列问题： 1.π2－α 的终边与 α 的终边有怎样的对称关系？ 2．诱导公式五、六的内容是什么？
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第一章 三角函数
3．已知角 α 的终边在第二象限，且与单位圆交于点 P(a，35)， 求sin（π2＋2cαos）（＋32π2－sinα（）π2－α）的值．
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第一章 三角函数
解：因为角 α 的终边在第二象限且与单位圆交于点 P(a，35)，所 以 a2＋295＝1(a＜0)， 所以 a＝－45， 所以 sinα＝35，cosα＝－45， 所以原式＝cos－α＋2s2incαosα＝－32·csoinsαα ＝－32×－345＝2.
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第一章 三角函数
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角 α 只能是锐角．( )
(2)sinα－π2＝cosα.(
)
(3)若 α 为第二象限角，则 sinπ2＋α＝cosα.(
)
答案：(1)× (2)× (3)√
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已知 sinα＝23，则 cosπ2－α等于(