降次解一元二次方程
一元二次方程竞赛解题方法
一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。
除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。
以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。
我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。
进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。
二、降次法例如，考虑已知$\alpha。
\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。
我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。
三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。
S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。
我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。
解一元二次方程-九年级数学上册精讲与精练高分突破(人教版)
21.2 解一元二次方程考点一．直接降次解一元二次方程（1）依据平方根的意义，将形如 2x p = 的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程． （2）步骤：①将方程转化为2x p =（或()2mx n p +=）的形式； ②分三种情况降次求解：（ⅰ）当0p >时， 1x p =-2x p = ；（ⅱ）当0p =时， 120x x == ；（ⅲ）当0p <时，方程 无实数根 ．考点二．用配方法解一元二次方程（1）定义：通过配成 完全平方 形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． （2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：将常数项移到方程等号的右边．二除：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为1．三配：方程两边都加上 一次项系数一半的平方 ，将方程左边配成完全平方的形式．四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根． （3）配方法解一元二次方程：①配方后，化为2()x m n +=型的方程，当0n ≥时，可用直接开方法求解． ②若0n =时，方程有两相等的根，即12x x m ==-，而不是一个根x m =-．③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况．考点三．用公式法解一元二次方程（1）一元二次方程根的判别式：一般地，式子 24b ac - 叫做方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式，通常用希腊字母∆表示，即24b ac ∆=-．①当∆>0时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，即x =．②当∆=0时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根，即122bx x a==-． ③当∆<0时，方程()200ax bx c a ++=≠没有实数根． （2）求根公式：当0∆≥时，方程()200ax bx c a ++=≠的实数根可写为 x = 的形式，这个式子叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式． （3）公式法解一元二次方程的步骤：①把方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③计算24b ac -的值；④当240b ac -≥时，把a 、b 、c 的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当240b ac -<时，方程 没有实数根 ．考点四．用因式分解法解一元二次方程（1）当方程缺少一次项时，可考虑用 平方差公式 分解因式．（2）当方程缺少常数项时，可考虑用 提公因式法 分解因式，且方程一定有一根为0． （3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作 整体 ，直接因式分解．考点五．一元二次方程的根与系数的关系如果方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根1x ，2x ，那么12x x += b a - ，12x x ⋅= ca．技巧归纳．选择合适的方法解一元二次方程配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法所有一元二次方程因式分解法若0ab =，则0a =或0b =一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程（1）在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法．（2）如果二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法．（3）．涉及两根的代数式的重要变形：（1）()2221212122x x x x x x +=+-； （2）()()221212124x x x x x x -=+-； （3）12121211x x x x x x ++=； （4）()212121221122x x x x x x x x x x +-+=题型一：用配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程27120x x -+=，配方后的方程为（ ）A ．27124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．27124x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()2737x -=D ．()2737x +=2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ） A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程： (1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=； (5)2212100x x ++=； (6)()22040x px q p q ++=-≥．题型二：由判别式判断根的情况4．关于x 的一元二次方程2420x x -+=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定5．关于x 的一元二次方程x 2＋kx ﹣2＝0（k 为实数）根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．不能确定6．关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围（ ） A ．k ≥﹣1B ．k ≥﹣1且k ≠0C ．k ＞﹣1且k ≠0D ．k ≤﹣1题型三：估计根的情况判断参数范围7．若方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．28．已知关于x 的一元二次方程()21220k x x -+-=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．12k ≥C ．12k >且1k ≠ D ．12k ≥且1k ≠ 9．关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．18k <-B ．18k ≤-C ．18k >-D ．18k ≥-题型四：用公式法解一元二次方程10．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为12x x ==，下列判断一定正确的是（ ） A ．a ＝﹣1B ．c ＝1C ．ac ＝1D ．1ca=-11．若x =是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）A ．23210x x +-=B ．22410x x +-=C ．2230x x -++=D ．23210x x --=12．已知关于x 的一元二次方程()22140mx m x m +-+-=．(1)当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)当2m =时，用合适的方法求此时该方程的解．题型五：用因式分解法解一元二次方程13．已知1和2是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根，则关于x 的方程2(1)(1)0a x b x c ++++=的根为（ ） A ．0和1B ．1和2C ．2和3D ．0和314．若关于x 的方程ax 2+bx +c =0的解是x 1=3，x 2=−5，则关于y 的方程a (y +1)2+b (y +1)+c =0的解是（ ） A ．14y =，24y =- B ．12y =，26y =- C ．14y =，26y =-D ．12y =，24y =-15．用因式分解法解一元二次方程 (1)()()41570x x +-=； (2)2(23)4(23)x x +=+．题型六：一元二次方程的根与系数的关系16．已知关于x 的一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，若11x =-，则2212a x x --的值为（ ）A ．7B ．7-C ．6D ．6-17．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m +++=，(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若1x ，2x 是原方程的两根，且12112x x +=-，求m 的值． 18．关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k ---+=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为1x 、2x ，且22121219x x x x ++=，求k 的值．一、单选题19．一元二次方程2480x x +-=的解是（ ）A ．1222x x =+=-B ．1222x x =+=-C ．1222x x =-+=--D ．1222x x =-+=--20．在用配方法解方程2340x x +-=时，可以将方程转化为2325()24x +=其中所依据的一个数学公式是（ ）A ．22()()a b a b a b -=+-B ．2222()aab b a b ++=+C ．2222()a ab b a b -+=-D ．x =21．一元二次方程2610x ++=的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根22．下列解方程变形正确的是（ ） A ．若23x x =，则3x =B ．若22(31)(56)x x -=+，则3156x x -=+C ．若2410x x ++=，则2(2)3x +=D ．若()()262x x x x +=+，则2x =或23x +=23．已知一元二次方程 220x ax b --= 的两个根分别为 1x 和 2x ，且 22121216x x x x +=-，则 的值为（ ）A ．B ．3C ．D ．424．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22022a b -+的值是（ ） A ．2026B ．2024C ．2022D ．202025．用配方法解方程2230x x --=，配方正确的是（ ） A ．()212x -=B ．()214x -=C ．()212x +=D ．()214x +=26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k2+k ﹣1=0有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两实数根x 1，x2满足x 12+x22=11，求k 的值． 27．按要求解方程．（1）2(32)24x +=（直接开方法） （2）2314x x -=（公式法）（3）()()221321x x +=+（因式分解） （4）223990x x --=（配方法）一：选择题28．设关于x 的方程()2290ax a x a +++=，有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．211a <-B ．2275a <<C ．25a >D ．2011a -<< 29．以下关于一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根的说法中，不正确的是（ ） A ．若c ＝0，则方程20ax bx c ++=一定有一根为0； B ．若0b =，则方程20ax bx c ++=一定有两个实数根； C ．若0a b c -+=，则方程20ax bx c ++=必有一根为－1； D ．若0ac <，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根．30．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程27120x x -+=的一个根，则这个三角形的周长是（ ） A ．12B ．13C ．12或13D ．1531．若a≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ） A ．14B ．1C ．.4D ．332．关于x 的一元二次方程2(1)210k x x +-+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k ≥B ．0k ≤C ．0k <且1k ≠-D ．0k ≤且1k ≠-33．若α、β为方程2x 2-5x -1=0的两个实数根，则2235++ααββ的值为（ ） A ．-13B ．12C ．14D ．1534．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+2x ﹣2=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞12B ．k≥12C ．k ＞12且k ≠1D ．k ≥12且k ≠1二、填空题35．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________． 36．一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ,2x ,则2111242x x x x -+的值为____________ .37．关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +k 2﹣k =0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=4，则x 12﹣x 1x 2+x 22的值是_____． 38．如果（2a ＋2b ＋1）（2a ＋2b －1）＝63，那么a ＋b 的值为________．39．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m =3，n 2﹣n =3，那么代数式2n 2﹣mn +2m +2015=_____________． 40．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程220x x --=是“倍根方程”；②若(2)()0x mx n -+=是“倍根方程”，则22450m mn n ++=； ③若,p q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是“倍根方程”； ④若方程20ax bx c ++=是“倍根方程”，则必有229b ac =．41．已知实数a ，b 满足条件2720a a -+=，()2720b b a b -+=≠，则b a a b+=________．42．关于x 的方程mx 2+x ﹣m +1=0，有以下三个结论：①当m =0时，方程只有一个实数解；②当m ≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是__（填序号）．三、解答题43．已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=. （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．44．用指定的方法解下列方程： （1）2(21)9x +=；（直接开平方法） （2）23520x x --=；（配方法） （3）22450x x --=；（公式法）（4）2(3)4(3)0x x x ---=．（因式分解法）45．选择适当方法解下列方程 （1）（3x ﹣1）2＝（x ﹣1）2 （2）3x （x ﹣1）＝2﹣2x46．关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m 2=0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且|x 1|=|x 2|﹣2，求m 的值及方程的根．47．已知关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为1x 、2x ，且221212x x +=，求m 的值．48．用因式分解法解下列方程： (1)212350x x -+= ； (2) 23(23)2(23)0x x ---=； (3) 229(2)16(25)x x +=-； (4) 2(3)5(3)60x x +-++=．49．用适当的方法解下列方程： （1）2420x x --=； （2）(1)(2)10x x -+=；（3）211(1)(1)32x x -=-．50．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=， 4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）已知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值. （3）若已知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.1．A 【分析】两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得到答案． 【详解】∵27120x x -+=， ∴2712x x -=-，则2494971244x x -+=-+， 即27124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选：A ．2．B 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵23610x x +-=， ∴2361x x +=，2123x x +=，则212113x x ++=+，即()2413x +=，∴1a =，43b =，∴73a b +=． 故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 3．(1)12312x x ==-,(2)121,9x x ==-(3)12651,651x x =-=-(4)12225,225x x =+=-(5)121,5x x =-=-(6)24p p q x -±-=【分析】利用配方法求解即可．（1）解：3x2−5x =2移项得：x2-53x =23，配方得：x2-53x +2536=23+2536，合并得：（x -56）2=4936，解得：x 1=56+76=2，x 2=56-76=-13；（2）解：x2+8x =9配方得：x2+8x +16=9+16，合并得：（x +4）2=25，解得x 1=1，x 2=-9；（3）解：x2+12x −15=0移项得：x 2+12x +36=15+36，配方得：（x +6）2=51解得x 1=-6x 2（4）解：14x2−x −4=0去分母得：24160x x --=，移项得：2416x x -=，配方得：x2-4 x +4=16+4，合并得：（x -2）2=20，解得：x 1=2＋x 2=2－（5）解：2x2+12x +10=0 系数化为1得：2650x x ++=，移项得：265x x +=-，配方得：x2+6x +9=-5+9，合并得：（x +3）2=4，解得：x 1=-1，x 2=--5；（6）解：x2+px +q =0，移项得：2x px q +=-，配方得：x2+px +24p =-q +24p ，合并得：(x +2p )2=244p q -，解得x【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键． 4．B 【分析】先求出根的判别式∆的值，然后根据∆的值判断即可． 【详解】∵根的判别式224(4)41280b ac ∆=-=--⨯⨯=> ∴该一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根． 5．C 【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求解． 【详解】解：由根的判别式得：Δ=b 2-4ac =k 2+8＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：C ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（Δ=b 2-4ac ）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0 时，方程无实数根．上述结论反过来也成立． 6．B 【分析】根据一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：∵方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有两个实数根， ∴24b ac ∆=-2(2)4(1)k =--⨯-440k =+≥且0k ≠， 解得k ≥﹣1且k ≠0． 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；∆<0时，方程有没有实数根是解题关键．另外一元二次方程还需二次项系数不为0．【详解】解：方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，∴此方程根的判别式()2340m ∆=-->，解得94m <，观察四个选项可知，只有选项D 符合， 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．8．D 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0，根的判别式大于等于0；即可进行解答．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21220k x x -+-=有实数根，∴()()21024120k k -≠⎧⎨=-⨯-⨯-≥⎩， 解得：12k ≥且1k ≠． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当240b ac -≥时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根．9．A 【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程220x x k +-=没有实数根，∴()2Δ1420k =-⨯⨯-<，解得18k <-．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：（1）∆>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）∆=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）∆<0⇔方程没有实数根． 10．D 【分析】根据一元二次方程的求根公式可得答案．【详解】解：根据一元二次方程的求根公式可得：1x 2x =，∵关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为1x =，2x =∴22a =，44ac =- ∴1a =,1c =-, ∴则1ac =-，1ca=-， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．11．D 【分析】根据x =得二次项系数a =3，一次项系数b =-2，常数项c =-1，即可得到方程．【详解】解：根据x a =3，一次项系数b =-2，常数项c =-1，∴这个一元二次方程是23210x x --=， 故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程的求根公式，正确掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 12．(1)112m -＞，且0m ≠ (2)12x =-，212x =【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根可知，∆＞0且0m ≠，即可求解； （2）将2m =代入方程，可得22320x x +-=，用公式法即可求解（方法不唯一）．（1）解：由题意得:∆＞0，即：()()221440m m m ---＞，224414160m m m m -+-+＞，解得：112m -＞，∵该方程为一元二次方程，∴0m ≠，∴当112m -＞，且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）解：当m ＝2时，方程为22320x x +-=，∵∆＝9＋4×2×2＝25＞0，∴354x -±==，∴22x =-，212x =． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程的解法． 13．A 【分析】设1,x y 则2(1)(1)0a x b x c ++++=为：20,ay by c ++= 则1y =或2,y = 从而可得答案． 【详解】解：设1,x y 则2(1)(1)0a x b x c ++++=为：20,ay by c ++=∵1和2是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根，1y =∴或2,y =11x 或12,x解得：120,1,x x ==即2(1)(1)0a x b x c ++++=的根为120,1,x x == 故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，掌握“整体未知数法解方程”是解本题的关键．14．B 【分析】设t =y +1，则原方程可化为at 2+bt +c =0，根据关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的解为x 1=3，x 2=-5，得到t 1=3，t 2=-5，于是得到结论． 【详解】解：设t =y +1， 2∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的解为x 1=3，x 2=-5， ∴t 1=3，t 2=-5， ∴y +1=3或y +1=-5， 解得y 1=2，y 2=-6． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．15．(1)114x =-，275x =(2)132x =-，212x =【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可； （2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．（1）解：()()41570x x +-=；410x +=，570x -=，解得：114x =-，275x =（2）解：()()223423x x +=+，()()2234230x x +-+=，()()232340x x ++-=；()230x +=，()2340x +-=解得：132x =-，212x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程． 16．B 【分析】根据根与系数关系求出2x =3，a =3，再求代数式的值即． 【详解】解：∵一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ， ∴1x +2x =2， ∵11x =-， ∴2x =3，∴1x ·2x =-a =-3， ∴a =3，∴22123917a x x --=--=-．故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键． 17．(1)见解析 (2)2m =【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-，证明24b ac ∆=-恒大于0即可得出结论；（2）根据一元二次方程根与系数的关系12bx x a +=-，12c x x a=，代入即可求出m 的值．（1） 证明：∵22242440b acmm m ∆＞，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题可知，()122m x x =-++，12x x m =，∴()1212122112m x x x x x x m-+++===-， 解得2m =， 经检验m =2有意义．【点睛】此题考查了一元二次方程中根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程中根的判别式，根与系数的关系是本题的关键． 18．(1)见解析； (2)k =7或k =-3．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k +1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x 1+x 2=k -3，x 1x 2=-2k +2，再将它们代入22121219x x x x ++=，即可求出k 的值． （1）∵b 2-4ac =[-（k -3）]2-4×1×（-2k +2）=k 2+2k +1=（k +1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）由根与系数关系得x 1+x 2=k -3，x 1x 2=-2k +2，∵22121219x x x x ++=，∴()2121219x x x x +-=，∴()232219k k ---+=（），即24210k k --=， 解得：k =7或k =-3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x 1+x 2=-b a，x 1•x 2=ca．【详解】解：∵2480x x +-=， ∴248x x +=， ∴24412x x ++=， ∴()2212x +=，∴2x +=±，解得1222x x =-+=-- 故选D ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 20．B 【分析】根据配方法解方程的基本步骤去判断依据即可．【详解】用配方法解方程2340x x +-=时，可以将方程转化为2325()24x +=，其中所依据的一个数学公式是2222()a ab b a b ++=+．故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解方程的基本依据,熟练掌握配方的依据是完全平方公式是解题的依据． 21．C 【分析】先求一元二次方程根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．【详解】解：∵(24610∆=-⨯⨯=，∴方程有两个相等的实数根． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 22．C 【分析】利用因式分解法求解、直接开平方法变形和配方法变形求解即可判断． 【详解】解：A 、若23x x =， 移项得230x x -= -=(3)0x x则30x x ==，，故该选项不符合题意； B 、若22(31)(56)x x -=+开平方得31(56)x x -=±+，故该选项不符合题意； C 、若2410x x ++= 则2443x x ++=2(2)3x +=，故该选项符合题意；D 262x x x x +=+移项得()()6220x x x x +-+= 提公因式得()520x x +=则x =0或x =-2，故该选项不符合题意． 故选C ．【点睛】本题考查了提公因式因式分解法、直接开平方法和配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．23．A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求得12122,x x b x x a =-+=，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程 220x ax b --= 的两个根分别为 1x 和 2x ， ∴12122,x x b x x a =-+=，∵221212x x x x ()1212x x x x =+2ab =-，22121216x x x x +=-， ∴216ab -=-， ∴8ab =，=故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 24．A 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a 2+a =3，a +b =−1，将其代入即可求出结论． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2+x −3=0的两个实数根， ∴a 2+a =3，a +b =−1， ∴b =-a -1，22022a b ∴-+()212022a a =---+ 212022a a =+++312022=++=2026 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程的解及根与系数的关系是解决本题的关键．25．B 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：2230x x --=2214x x -+=，()214x -=．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成()2x m n +=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．26．（1）k≤58；（2）k=﹣1．【详解】【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k ﹣1）]2﹣4×1×（k 2+k ﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得；（2）利用根与系数的关系可用k 表示出x 1+x 2和x 1x 2的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2+k ﹣1=0有实数根，∴△≥0，即[﹣（2k ﹣1）]2﹣4×1×（k 2+k ﹣1）=﹣8k+5≥0， 解得k≤58；（2）由根与系数的关系可得x 1+x 2=2k ﹣1，x 1x 2=k 2+k ﹣1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=（2k ﹣1）2﹣2（k 2+k ﹣1）=2k 2﹣6k+3， ∵x 12+x 22=11，∴2k 2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1， ∵k≤58，∴k=4（舍去）， ∴k=﹣1．【点睛】本题考查了根的别式、根与系数的关系，利用完全平方公式将根与系数的关系的代数式变形是解题中一种经常使用的解题方法.27．（1）x 1x 2= ；（2）x 1= x 2（3）x 1=﹣12，x 2=1；（4）x 1=21，x 2=﹣19【详解】解：（1）()23224x +=，32x +=±32x =-±x =12x x ∴== （2）2314x x -=，()()24431161228=--⨯⨯-=+=，x ===12x x == （3）()()221321x x +=+，()()212130,x x ++-= ()()21220,x x +-=210x +=或220x -=， 1211.2x x =-=，（4）223990x x --=， 2 21400x x -+=，()21400x -=，120x -=±， 120x =±， 122119.x x ==-，28．D 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出a 的取值范围，再由根与系数的关系求出a 的取值范围，找到公共解集即可解答．【详解】解：根据题意得，0a ≠ ()2Δ2490a a a =+-⨯>2244360a a a ∴++-> 235440a a ∴-++> (52)(72)0a a ∴-++>520720a a -+>⎧∴⎨+>⎩，解得2275a -<<或520720a a -+<⎧⎨+<⎩，无解121x x <<1210,10x x (1)(1)0x x ∴--<1212()10x x x x121229,9a a a x a x x x 29()10a a 21010a 211a211a 综上，2011a -<< 故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 29．B 【分析】根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．【详解】解：A 、若c ＝0，则方程为20ax bx +=，即()0x ax b +=，∴方程20ax bx c ++=一定有一根为0，正确，不符合题意；B 、若0b =，则方程为20ax c +=，∵244b ac ac ∆=-=-，∴只有当ac ≤0时，即0∆≥，方程20ax bx c ++=有两个实数根，故原说法错误，符合题意；C 、将x ＝－1代入方程20(a 0)++=≠ax bx c 可得：0a b c -+=，∴若0a b c -+=，则方程20ax bx c ++=必有一根为－1，正确，不符合题意；D 、∵ac ＜0，∴Δ＝b 2−4ac ＞0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实数根，正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜0⇔方程没有实数根．30．B 【分析】根据一元二次方程的解法，求出方程的根，然后根据三角形的三边关系判断是否可以构成三角形，最后计算周长即可。
【初中数学】22.2 降次-解一元二次方程(重难点)
降次-解一元二次方程（重难点、易错点）课前检测1、简述一元二次方程的常见解法，并分析和比较这几种解法的优缺点。
2、结合一元二次方程的几种解法分析一元二次方程无实数根、有两个相等的实数根和有两个不相等的实数根的情况。
3、通过配一元二次方程的一般式得到一元二次方程的求根公式。
重难点讲解1、配方法判断多项式的值。
例题1：用配方法证明：2x x-+-的值恒小于0.31216变式1：对于二次三项式21036-+,小明同学得到如下结论：无论x取何值，它的值都x x不可能是10.你是否同意他的说法？请说明理由。
2、一元二次方程的根例题2：已知方程20++=有一个根是(0)x bx a-≠，则下列代数式的值恒为常a a数的是（）C.a b+D.a b-A.a bB.ab例题3：关于x的一元二次方程20+=解的情况是___________________________；mx nx例题4：已知关于x的一元二次方程2-++-=,试证明不论m取何值，原9(7)30x m x m方程都有两个不相等的实数根。
3、根据一元二次方程根的情况判断三角形形状例题5：若,,a b c 是A B C 的三边，且关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++=有两个相等的实数根，试判断A B C 的形状。
变式2：在R t A B C 中，090C ∠=，若,,a b c 是R t A B C 的三边，试证明关于x 的方程21()()04a c x bx c a +-+-=有两个相等的实数根。
变式3：若,,c a b 是A B C 的三条边的长，且,a b 是方程2-33+1=0x x 的两根，5c =试判断A B C 的形状。
4、根据方程的根求多项式的值例题6：（2010北京海淀第一学期期中）已知关于x 的一元二次方程21(31)04a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式2121a a a-++的值。
例题7：已知12,x x 是方程2310x x ++=的两实根，则312820x x ++=____________；5、根与系数关系例题8：已知关于x 的方程222(3)410x k x k k --+--=。
降次——解一元二次方程
22.2降次——解一元二次方程（1）
【教学目标】知识技能：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．
数学思考:通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．解决问题:列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解
a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
情感态度:通过探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
【教学重点】运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；
【教学难点】认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax ＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解
预习作业：
一、知识回顾
1、求出下列各式中x的值，并说说你的理由．
（1）x2=9 （2）x2=5 （3）x2=a（a>0）．
2. 填空
（1）x2-8x+____=（x-___）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+___）2；
（3）x2+px+_____=（x+______）2．
【教学过程设计】。
降次--解一元二次方程(初中数学九年级)
降次--解一元二次方程(初中数学九年级) 学情分析:在学习本节之前，学生对一元一次方程及一元一次方程的解的有关知识有一定的了解，并且九年级的学生有一定的数学思维基础，分析和概括能力相对于八年级学生有很大的提高，容易开发学生的主观能动性，适合有特殊到一般的探究方式教学内容分析:本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标:1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。
教学难点分析：重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．关键：理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．教学课时： 1课时教学过程：一、温故知新：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）2、用配方法解下列方程：（1）x 2-6x+5=0 （2）2x 2-7x+3=0（学生扳演，教师点评）二、自主学习：〈一〉自学课本Ｐ40---P 41思考下列问题：1、结合配方法的几个步骤，看看教材中是怎样推导出求根公式的？2、配方时，方程两边同时加是什么？3、教材中方程②()224422a acb a b x -=+能不能直接开平方求解吗？为什么？4、什么叫公式法解一元二次方程？求根公式是什么？交流与点拨：公式的推导过程既是重点又是难点，也可以由师生共同完成，在推导时，注意学生对细节的处理，教师要及时点拨；还要强调不要死记公式。
关键感受推导过程。
在处理问题3时，要结合前边学过的平方的意义，何时才能开方。
三、例题学习：例1（教材P 41例2）解下列方程：（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5x=-3 x（3）x 2-x 2= -21（4）4x 2-3x+2=0解：将方程化成一般形式 解：a=4, b= -3， c=2.x 2-x 2+21=0 b 2-4ac=（-3）2-4×4×2=9-32=-23＜0a=1, b= -2， c=21 因为在实数范围负数不能开平方，所以方b 2-4ac=(-2)2-4×1×21=0 程无实数根。
22.2降次——解一元二次方程-因式分解法
(4)x = x x1 = 0, x2 = 1
2
3
2
2.下面的解法正确吗？如果不正确， 下面的解法正确吗？如果不正确， 下面的解法正确吗 错误在哪？ 错误在哪？ (1)解方程： x + 2)( x − 1) = 3 (1)解方程 ( 解方程：
Q 解： ( x + 2)( x − 1) = 3 × 1
∴ x + 2 = 3, x − 1 = 1 ×
则x1 = 1, x 2 = 2
这个方程需要先转化为一般形式再求解. 这个方程需要先转化为一般形式再求解.
(2)解方程： y = 4 y (2)解方程 解方程：
2
解：Q y = 4 y
2
∴y=4
×
根据等式性质，等式两边都除以一 根据等式性质， 个不为0的数时，等式仍然成立。 个不为0的数时，等式仍然成立。上式 方程两边同除以y 有可能为0. 中，方程两边同除以y，而y有可能为0. 那么，这个方程应该怎样解呢？ 那么，这个方程应该怎样解呢？
x2+x=0 解：原方程整理得 x(x+1)=0 ∴x=0 或 (x+1)=0 则x1=0 ，x2=-1 可以发现， 可以发现，利用因式分解可以很快 捷地解出方程。 捷地解出方程。
梳理
上述解法中，通过因式分解使一元 上述解法中， 二次方程化为两个一次式的乘积等于0 二次方程化为两个一次式的乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从 形式，再使这两个一次式分别等于0 而实现降次，求出方程的根， 而实现降次，求出方程的根，这种解法 叫做因式分解法 叫做因式分解法。 因式分解法。
(2)(3x +1) − 5 = 0
2
(1)3x(x + 2) = 5(x + 2)
降次法解一元二次方程
降次法解一元二次方程一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知的实数，且a≠0。
解一元二次方程的方法有很多，其中之一就是降次法。
降次法是一种通过变量替换的方法，将二次方程转化为一次方程来解。
具体步骤如下：1. 首先，将一元二次方程的系数化简，使得二次项的系数为1。
可以通过除以a的方式来实现，这样方程就变为x^2+(b/a)x+(c/a)=0。
2. 为了将二次项消去，我们引入一个新的变量y，使得x=y-(b/2a)。
这样，方程就变为(y-(b/2a))^2+(b/a)(y-(b/2a))+(c/a)=0。
3. 将方程进行化简，展开并合并同类项，得到y^2+(c/a-(b^2/4a^2))=0。
4. 进一步化简，将c/a-(b^2/4a^2)记作d，得到y^2+d=0。
5. 接下来，我们将方程y^2+d=0进行分解，得到(y+√d)(y-√d)=0。
6. 由于y=x-(b/2a)，将y+√d和y-√d分别代入，可以得到两个解，即x1=(b/2a)+√d，x2=(b/2a)-√d。
通过这种降次法，我们成功地将一元二次方程转化为一次方程，从而求得了方程的解。
降次法的优势在于简化了计算的复杂性，使得解方程的过程更加简单明了。
需要注意的是，降次法只适用于一元二次方程，对于高次方程则不适用。
此外，降次法要求方程的系数都为实数，否则无法进行化简操作。
总结起来，降次法是一种解一元二次方程的有效方法，通过引入新的变量和化简操作，将二次方程转化为一次方程，从而求得方程的解。
这种方法简单易行，适用于一般的二次方程求解问题。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择适合的解方程方法，以快速求得方程的解。
22.2降次——解一元二次方程(共8课时)
22.2降次——解一元二次方程（共8课时）第一课时：配方法（1）一、教学目的1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．二、教学重点、难点重点：准确地求出方程的根．难点：正确地表示方程的两个根．三、教学过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．回答解题过程中的依据．解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课教学过程设计做一做1．一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？（课件：盒子的棱长）2．对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？（1）2x-=；（2）2692(21)5x x++=．学生独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义直接得到21x-=对于（2），发现方程左边是一个完全平方式，可以化为（1）的形式，然后利用（1）的方法解决．鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．引导学生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即，如果方程能化成2xp=或2()(0)m x n p p +=≥的形式，那么可得x =m x n+=课堂练习解下列方程．学生独立思考、独立板书解题1．x 2-3=0 2．4x 2-9=0 3. 4x 2+4x+1=1 4. x 2-6x+9=03、应用拓展市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ， 则：10（1+x ）2=14.4 （1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=〒1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．课堂小结问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接法．2．直接法适用于ax 2+c=0(a ＞0，c ＜0)型的一元二次方程．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=的．作业31页练习1、2第二课时：配方法（2）教学目的1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．重点：掌握配方的法则．难点：凑配的方法与技巧．教学过程一、复习回顾、引入新课用开平方法解下列方程：(1)x2=441； (2)196x2-49=0；我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．二、探究新知、归纳配方法一般过程．学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程探究二：利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？（课件：配方）学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律． （1）x 2－8x + 1 = 0； （2）2213x x+=；（3）23640x x -+=．（1）中经过移项可以化为281x x -=-，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2228414x x -+=-+，得到（x －4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即23122x x -=-，方程两边都加上23()4，方程可以化为231()416x -=；（3）按照（2）的方式进行处理．在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式2a xb xc ++=；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．三、应用提高、拓展创新，培养学生应用意识．绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？师生活动设计：学生在独立思考的基础上解决问题，在必要时教师进行适当引导，遇到问题时可以让学生讨论解决．…解答‟设绿地的宽是x 米，则长是（x ＋10）米，根据题意得x （x +10）＝900．整理得210900x x +=，配方得2(5)925x +=．解得1255x x =-+=--由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是5-+的长是5+四、课堂练习解方程x 2-4x-3=0． 解方程2x 2+3=7x ．五、归纳总结、布臵作业1、 在解决问题的过程中你采取了什么方法？2、应用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的要点是： (1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数； (3)方程两边各加上一次项系数一半的平方； 作业：习题22．2第1～3题．第三课时：用公式法解一元二次方程。
21.2.3降次--解一元二次方程(因式分解法)
A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 5.方程x( x 1) x的解是_______. 6.方程x 2 10 x 25 0的解是_______. 7.课本P17第6大题(1).(2).(3).(4)
解:( x 4) (5 2x) 0
2 2
( x 1)(3x 9) 0
(4) x 6 x 9 0
2
(5)4x 4x 1 0
2
解:(x 3) =0
2
解:(2x 1) =0
2
x-3=0
2x-1=0
1 x1 x2 2
x1 x2 3.
课后作业： 1.方程(x 3)( x 4) 0的根是(
)
A.x 3 B.x1 3, x2 4 C.x 4 D.x 1 3, x2 4 2.方程x( x 2) 0的根是(
2
) )
A.x 2 B.x 0 C.x 1 0, x2 2 D.x 1 0, x2 4 3.解方程(x 2) 2( x 2)最适当的方法是( 4.方程x x 0的解是_______.
x 2 0, 或1 x 0. x1 2; x2 1.
解： ( x 1)( x 7) 0 x 1 0或x 7 0
4 x1 0; x2 . 5 （3）利用十字相乘法： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
1 1
1 7
x1 1, x2 7
(2x 1)2x 1 0.
4 x 1 0,
2
2x 1 0, 或2x 1 0. x1 2, x2 1. 1 1 x1 ; x2 . 2 2 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
降次——解一元二次方程
22.2 降次——解一元二次方程情境感知我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步？”基础准备一、配方法1．配方法的定义把一元二次方程的左边化成一个____________________，右边变成一个___________．通过这种形式解一元二次方程的方法，叫做配方法．2．用配方法解一元二次方程的步骤（1）如果二次项系数不是1，就在方程两边同时除以_____________，将其化为1；（2）把___________移到方程的右边；（3）方程两边都加上_________________的平方，使方程的左边变为一个完全平方式；（4）如果方程的右边是一个非负数，根据平方根的定义解方程．问题1．用配方法解方程：21090x x ++=．二、公式法3．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根可用式子______________________求得，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法． 问题2．用公式法解方程：260x x --=．4．求根公式中的____________叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根判别式． （1）当__________时，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根； （2）当__________时，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；（3）当__________时，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠没有实数根．问题3．不解方程，判断下列关于x 的方程的根的情况：（1）245x +=；（2）()22410x mx m -+-=．三、因式分解法5．对于一元二次方程，一边是_________，另一边化为两个_____________的乘积，再使这两个因式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法．问题4．用因式分解法解下列方程（1）20x -=；（2）23180x x +-=．要点探究探究1．一元二次方程四种解法的选择例1．用适当的方法解下列方程．（1）2710x x --=．（2）220x x +=．（3）2160x -=．（4）()44x x -=-． 解析：针对方程特点选择最简捷的方法解题．答案：（1）1a =，7b =-，1c =-，()()2247411530b ac -=--⨯⨯-=>，()77212x --±==⨯，∴172x =，272x =． （2）因式分解，得()20x x +=，∴0x =或20x +=，∴10x =，22x =-．（3）移项，得216x =，∴14x =，24x =-．（4）将方程化为一般形式2440x x -+=，即()220x -=，∴122x x ==． 智慧背囊：一元二次方程解法的选择顺序：先特殊，后一般，即先考虑是否可以用直接开平方法，若不能，则看能否用因式分解法，再考虑用公式法，一般没有特殊说明不用配方法，因为配方法比较麻烦，四种解法中最简单的是直接开平方法，最常用的是公式法．活学活用：选择适当的方法解下列方程：（1）2230x x --=；（2）29x =；（3）()2211x x +=+；（4）221x x -=-．探究2．一元二次方程的判别式例2．不解方程，判断下列方程根的情况．（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=． 解析：先将方程化成一般形式，确定a ，b ，c 的值，再计算24b ac -的值，并与0进行比较．答案：（1）∵2a =，3b =，4c =-，∴()2243424410b ac -=-⨯⨯-=>，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可变形为2162490y y -+=，∵16a =，24b =-，9c =，∴24b ac - ()22441690=--⨯⨯=，∴原方程有两个相等的实数根．（3）原方程可变形为25750x x -+=，∵5a =，7b =-，5c =，∴24b a c -=()27- 45549100510-⨯⨯=-=-<．∴原方程没有实数根．智慧背囊：判断方程根的情况的关键是准确计算24b ac -的值，并将其与0进行比较． 活学活用：不解方程，判断下列方程根的情况．（1）2100x -+=；（2)()11x x =+-．例3．已知关于x 的方程2450kx kx k -+-=有两个相等的实数根，求k 的值，并解这个方程．解析：若一元二次方程有两个相等的实数根，则240b ac -=．解题时注意题中隐含条件二次项系数0k ≠．答案：∵a k =，4b k =-，5c k =-，∴()()22244451220b ac k k k k k -=---=+． ∵方程有两个相等的实数根，∴240b ac -=，即212200k k +=，解得10k =，253k =-．当0k =时，原方程不是一元二次方程，∴0k =不合题意，舍去，当53k =-时，原方程化为2440x x -+=，解得122x x ==．智慧背囊：对于一次项系数含有字母的一元二次方程，在用根的判别式时必须考虑题目中的隐含条件，即二次项系数不能等于0．活学活用：已知关于x 的方程()21230m x mx m -+++=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．随堂尝试A 基础达标1．选择题（1）一元二次方程240x -=的解是（ ）（A ）2x =．（B ）2x =-．（C ）12x =，22x =-．（D ）1x =2x =（2）方程20x x +=的解是（ ）（A ）1x =±．（B ）0x =．（C ）1x =．（D ）10x =，21x =-．（3）用配方法将代数式245a a -+变形的结果是（ ）（A ）()221a -+．（B ）()221a ++．（C ）()221a +-．（D ）()221a --．（4）已知228x x k ++是完全平方式，则k 的取值是（ ）（A ）4．（B ）-4．（C ）4±．（D ）16．（5）下列方程中，无实数根的是（ ）（A ）270x =．（B ）()2116x -=．（C ）()()112x x +-=-．（D ）()210x +-=． 2．填空题（1）对于方程2316x x =，用_____________法解最简便．（2）当y =_____________时，代数式276y y ++的值与1y +的值相同．（3）当x =_____________（4）一个三角形两边长为2和4，第三边长适合方程2210120x x -+=，则三角形的周长为_____________．3．用适当的方法解下列方程： （1）21943x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）260x x --=；（3）2310y y -+=；（4）22110362x x --=．4．若关于x 的方程()22(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．B 能力升级5．试分别写出一个一元二次方程，使它的两根：（1）一根是0，一根是负数；（2）一根是正数，另一根是在-2与-1之间．6．已知实数a ，b ，c ()2130b c +++=，求方程20ax bx c ++=的根．7．若规定两个数a ，b 通过运算得4ab ，即a △b 4ab =，例如：2△642648=⨯⨯=．（1）求3△5的值；（2）求x △x 2+△x -2△40=中x 的值；（3）若不论x 是什么数时，总有a △x x =，求a 的值．C 感受中考8．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）（A ）240x +=．（B ）24410x x -+=．（C ）230x x ++=．（D ）2210x x +-=．9．方程220x x +=的解为_____________．10．已知关于x 的一元二次方程2410x x m ++-=．（1）请你为m 选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；（2）设α，β是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求22αβαβ++的值．课后实践高次方程有求根公式吗一元二次方程有求根公式，一般的一元三次方程、一元四次方程等高次方程是否也有类似的求根公式呢？数学家们也曾提出过类似的问题，在意大利的数学家们之间还发生了一连串有趣的故事．1535年，意大利数学家塔尔塔利亚与另一位数学家举行了一场数学比赛，双方各出30个三次方程的问题，限30日交卷，约定谁解出的题目多谁就获胜，结果塔尔塔利亚取得了胜利．这次胜利促使塔尔塔利亚进一步潜心研究一般三次方程的解法．1541年，他终于完全解决了三次方程的求解问题．意大利米兰城有个学者卡尔达诺听说塔尔塔利亚会三次方程的解法，就多次向塔尔塔利亚恳求教他，并保证严守秘密，不告诉别人．当塔尔塔利亚把这个方法告诉了他之后，卡尔达诺却将其公开发表，因此现在还习惯称三次方程的求解公式为卡尔达诺公式．当然，塔尔塔利亚大为光火，两人为此曾展开公开论战．一元三次方程一经解出，一元四次方程的解法很快就被卡尔达诺的学生费拉里获得．此后200多年的时间里，推求四次以上高次方程的解法的人不可胜数，但都没有结果．久而久之，人们怀疑这个问题难以解决．挪威数学家阿贝尔证明了一般的五次及五次以上的方程都不可能有公式解法．而代数方程可解性问题的完满解决应归功于法国数学奇才伽罗瓦，他的成果被后人称之为伽罗瓦理论．。
22.2 降次-解一元二次方程-配方法,公式法,因式分解法
2 3 2 3 y1 1 , y2 1 . 3 3
(1)3 x 2 x 5 0；
2
(2)2 y y 6 0；
2
(3)3 x 6 x 1.
2
1.熟悉配方法解方程的步骤 2.体会转化的数学思想.
解下列方程：
(1)t 2t 48；
2
(2)2 x 4 x 5 0.
x 3 5, x1 3 5 , x2 3 5.
解： x 2 5 x 6,
(2)
5 5 x 5x 6 , 2 2
2
2
2
x 5x 6 0.
2
5 25 x 6 , 2 4 5 49 x , 2 4 5 7 5 7 x1 , x2 , 2 2 2 2 x1 1, x2 6.
课时总结
(1)、可直接开方解形如 x p ( p 0) 的方程，那么 x p 达到降次的目的；
2
(2)、可直接开方解形如 ( mx n) p ( p 0) 的方程，那么 mx n p 达到降次的目 的；
2
一元二次方程配方的一般步骤： 化简：把方程化简为一般形式， 把二次项系数化为1 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方 开方：根据平方根意义,方程两边开平方 求解：解一元二次方程 定解：写出原方程的解
2
(2) 可直接开方解形如 (mx n) p ( p 0) 的方程， 那么 mx n p 达到降次的目的；
2
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m , 并且 面积为16 m2 ，场地的长和宽应各是多少？
解：设场地的宽为 x m ，长为( x 6) m .根据 2 矩形面积为16 m ，列方程
初三数学降次——解一元二次方程试题
初三数学降次——解一元二次方程试题1.方程的根是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】x2-4=0变形得：x2=4，开方得：x1=2，x2=-2，则方程的根为2或-2．故选C考点: 解一元二次方程-直接开平方法．2.在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是8和2;乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是-9和-1.你能找出正确的原方程吗?若能,请你用配方法求出这个方程的根.【答案】x2-10x+9=0；x1=9,x2=1【解析】本题主要考查了根与系数的关系及用配方法解一元二次方程. 先设这个方程的两根是α、β，由于乙把一次项系数看错了，而解得方程的两根为-9和-1，则有αβ==9，甲把常数项看错了，解得两根为8和2，则有α+β=-=10，令a=1，那么关于α、β的一元二次方程即为所求．解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β=-=10，αβ==9，令a=1，那么关于α、β的一元二次方程是x2-10x+9=0．x2-10x+9=（x-5）2-25+9=0，故（x-5）2=16，解得：x=9或x=1，故方程两根为：9，1．3.方程x2=6x的根是( )A．x1=0,x2=-6B．x1=0,x2="6"C．x=6D．x=0【答案】B【解析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程. 先把方程变形为x2-5x=0，把方程左边因式分解得x（x-5）=0，则有x=0或x-5=0，然后解一元一次方程即可．解：x2=6x，∴x（x-6）=0，∴x=0或x-6=0，∴x1=0，x2=6．故选B4.方程2x2-3x+1=0经过配方化为(x+a)2=b的形式,正确的是( )A．;B．;C．;D．以上都不对【答案】C【解析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．首先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．解：移项得2x2-3x=-1，把二次项系数化为1，x2-x=-，配方得x2-x+=-+即（x-）2=，故选C．5.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.【答案】因式分解法【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．此题通过观察可知等式的右边可提出公因式2，变为2（x-2），移项后可把（x-2）看作是公因式，用提公因式的方法把左边分解因式，从而解出方程，所以用因式分解法比较简便．解：由方程3（x-2）2=2x-4知：两边有公因式x-2，∴用因式分解法解方程3（x-2）2=2x-4比较简便．6.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________.【答案】1或【解析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法.根据条件把题转化为求一元二次方程的解的问题，然后用因式分解法求解比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解．解：∵2x2+1与4x2-2x-5互为相反数，∴2x2+1+4x2-2x-5=0，⇒3x2-x-2=0，∴（x-1）（3x+2）=0，解得x1=1，x2=-．7.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)(1)5x(x-3)="6-2x;" (2)3y2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)【答案】（1）3，；（2）；（3）1，2a-1【解析】本题主要考查了解一元二次方程. （1）、（2）根据求根公式求解；（3）直接开平方解一元二次方程．解：（1）由原方程，得5x2-13x-6=0，根据求根公式解得，∴x1=3，x2=（2）由原方程，得3y2-2y+1=0，根据求根公式，得，即x=（3）由原方程，得（x-a）2=（1-a）2，∴x-a=±（1-a），即x=±（1-a）+a，∴原方程的根是x1=1，x2=2a-1．8.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗?【答案】m=-6,n=8【解析】本题考查的是一元二次方程的解. 先解方程（x+4）2-52=3x，有一个正根和一个负根，其中正根是方程x2+mx+n=0的解，把这个节和2代入方程x2+mx+n=0，就可以求出m，n的值．解：解方程（x+4）2-52=3x，x2+8x+16-52-3x=0x2+5x-36=0，（x+9）（x-4）=0∴x1=-9，x2=4，所以方程x2+mx+n=0的另一个根是4，把2和4代入方程x2+mx+n=0，得：4+2m+n=0 ①，16+4m+n=0 ②解得：m=-6，n=8．9.解下面方程：（1）（2）（3），较适当的方法分别为（）A．（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法B．（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法C．（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法D．（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法【答案】D【解析】本题考查了根据所给方程，选择适当的方法解方程，在选择方法时，应首选因式分解法，当用因式分解法不能解答时，再根据系数特点，选择配方法或公式法．（1）所给出的方程，符合用直接开平方法解的方程的结构特点，应用直接开平方法．（2）所给出的方程，系数较小，是整数，且左边不能进行因式分解，因此应用公式法．（3）给出的方程，左边可以进行因式分解，应用因式分解法．解：根据所给方程的系数特点，（1）应用直接开平方法；（2）应用公式法；（3）应用因式分解法．故选D．10.解方程（每题6分，共48分）；①（直接开平方法）②（用配方法）③（用因式分解法）④.⑤⑥.⑦.⑧.x－2）（x－5）=－2【答案】①x1=2,x2=－1②x1="1," x2=－4③x1=－2, x2=4④x1=－4，x2=1⑤x1=x2=1⑥x1="1," x2=－2⑦x1= x2=⑧x1="3," x2=4【解析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．①、2x-1=±3,∴x1=2,x2=－1；②、，∴x+=±,∴x1="1," x2=－4③ (x+2)(x-4)=0,∴x1=－2, x2=4;④∴x1=－4，x2=1⑤、x2+2x+1-4x=0 x2-2x+1=0 (x-1)2=0 ∴x1=x2=1⑥、x2+x-2=0 (x-1)(x+2)=0 ∴x1="1," x2=－2⑦,2x2-10x-3=0 ∴x1= x2=⑧x2-7x+12="0,(x-3)(x-4)=0," ∴x1="3," x2=4。
02 降次-一元二次方程的解法
一元二次方程根的判别式
【例题】
不解方程，判断下列方程根的情况 （2）2������2 + 3 = 0
【答案】������ < 0，方程无实数根
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一元二次方程根的判别式
【例题】
不解方程，判断下列方程根的情况 （3） ������2 − ������ ������2 − 2������ − 1 ������ + 1 = 0（关于������的方程）
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因式分解法解一元二次方程
【例题】
用因式分解法解一元二次方程 3������ 2������ + 1 = 4������ + 2.
【答案】������1
=
−1,
2
������2
=
2 3
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因式分解法解一元二次方程
【例题】
−
������ 2������
当������2 − 4������������ < 0时，方程������������2 + ������������ + ������ = 0 ������ ≠ 0 无实数根
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公式法解一元二次方程
【例题】
用公式法解下列方程 ������2 − 2 2������ + 1 = 0
设这两个实数根分别为������1, ������2，由求根公式得
−������ ± ������ =
������2 − 4������������ 2������
������2 − 4������������ ≥ 0
即������1
=
21.2_降次—解一元二次方程_因式分解法
学习是件很愉快的事
淘金者
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
• 你能用因式分解法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
∴x+2=0,或x-2=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0.
因式分解，得
r 5
2r r 5 2r 0.
于是得 r 2r 5 0或r 2r 5 0.
5 5 r1 , r2 (舍去). 2 1 1 2 5 m. 答：小圆形场地的半径是 2 1
小结
拓展
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的 乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一 元二次方程的方法称为因式分解法. • 因式分解法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟 练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零.” • 因式分解法解一元二次方程的步骤是: • (1)化方程为一般形式; • (2)将方程左边因式分解; • • (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
10 4.9 x 0 以上解方程 x 是如何使二次方程降为一次的？
的方法
x 10 4.9 x 0
①
x 0 或 10 4.9 x 0,
②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次， 这种解法叫做因式分解法．
22.2.2 降次—解一元二次方程--公式法
2
2
2
因为a≠0,所以4
a>0
2
b 4ac 0 (3) b 4ac 0, 这时 4a
2
b 4ac的值有以下三种情况： 2
2
b 而x取任何实数都不可能使( x ) 2a
因此方程无实数根
0
，
一般地，式子 b 4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式， 通常用希腊字母△表示它，即
分析： b 2 4ac 0
2 4、如果关于 x 的方程 x x k 0(k为常数)有两个实数 1 k≤ 分析： b 2 4ac 0 4 根，那么k的取值范围________
2 5、若一元二次方程 x 2 x m 0无实数解，则 m的
m>1 取值范围_________
3 2 6 x 2 0 3x
解：
a 3, b 6, c 2.
b 4ac 6 4 3 2 60.
2 2
6 60 6 2 15 3 15 x , 6 6 3
3 15 3 15 x1 , x2 . 3 3
例
解方程
x 2 17 8 x
解：方程化为：x 8x 17 0
2
a 1, b 8, c 17
b 4ac 8 4 117
2
2
4 0
方程无实数根 .
解方程：
x 2 1 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
分析： b 2 4ac 0
例 解下列方程： 2x 1 2 x 1 0; x 2 1.5 3x; 2
初中数学降次解一元二次方程的计算题及答案
初中数学降次解一元二次方程的计算题及答案篇一：九年级数学降次解一元二次方程同步测试降次——解一元二次方程习题精选直接开平方法1．如果(x－2)=9，则x＝．2．方程(2y－1)－4=0的根是．3．方程(x+m)＝72有解的条件是．4．方程3(4x－1)=48的解是．因式分解法9．方程(x+1)=x+1的正确解法是( )A．化为x+1=0B．x+1＝1C．化为(x+1)(x+l－1)＝0D．化为x+3x+2＝010．方程9(x+1)－4(x－1)=0正确解法是( )A．直接开方得3(x+1)=2(x－1)B．化为一般形式13x2+5＝0C．分解因式得[3(x+1)+2(x－1)][3(x+1)－2(x—1)]=0D．直接得x+1＝0或x－l＝011．(1)方程x(x+2)=2(x+2)的根是．(2)方程x－2x－3=0的根是．12．如果a－5ab－14b=0，则公式法13．一元二次方程ax+bx+c＝0(a≠0)的求根公式是，其中b—4ac．14．方程(2x+1)(x+2)=6化为一般形式是，b—4ac ，用求根公式求得222222222222222a?3b= ．5bx1=，x2=，x1+x2=，x1x2?，15．用公式法解下列方程．(1)(x+1)(x+3)＝6x+4．(2)x2?1)x??0．(3) x－(2m+1)x+m＝0．216．已知x－7xy+12y＝0(y≠0)求x：y的值．综合题17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x—17x+66＝0的根，求此三角形的周长．18．关于x的二次三项式：x+2rnx+4－m是一个完全平方式，求m的值．19．利用配方求2x－x+2的最小值．20．x+ax+6分解因式的结果是(x－1)(x+2)，则方程x+ax+b ＝0的二根分别是什么?21．a是方程x－3x+1=0的根，试求的值．22．m是非负整数，方程mx－(3m—8m)x+2m－13m+15=0至少有一个整数根，求m的值．23．利用配方法证明代数式－10x+7x－4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l、2、3．24．解方程(1)(x+x)·(x+x－2)=24；(2)x?x?6?025．方程x2－6x－k＝1与x－kx－7=0有相同的根，求k 值及相同的根．26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?27．两个不同的一元二次方程x+ax+b=0与x+ax+a=0只有一个公共根，则( )A．a=bB．a－b=lC．a+b=－1D．非上述答案28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．29．海洲市出租车收费标准如下22222222222222222222(规定：四舍五入，精确到元，N≤15)N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?30．方程(x－1)(x+2)(x－3)＝0的根是．31．一元二次方程x—2x＝0的解是( )A．0 B．2 C．0，－2 D．0，232．方程x+kx—6=0的一根是2，试求另一个根及k的值．33．方程(m?2)xm22?3mx?1?0是一元二次方程，则这方程的根是什么? 34．x1、x2是方程2x—3x—6=0的二根，求过A(x1+x2，0)B(0，xl·x2)两点的直线解析式．35．a、b、c都是实数，满足(2?a)c?c?8?0，ax+bx+c＝0，求代数222式x+2x+1的值．2a?b?8??36．a、b、c满足方程组求方程?的解。
一元二次方程降次法例题
一元二次方程降次法例题摘要：一、一元二次方程降次法简介1.一元二次方程降次法的定义2.降次法的作用和意义二、一元二次方程降次法例题解析1.例题一a.题目描述b.解题思路c.解题过程d.答案2.例题二a.题目描述b.解题思路c.解题过程d.答案三、一元二次方程降次法在实际生活中的应用1.实际应用场景2.应用过程中的优势和局限正文：一、一元二次方程降次法简介一元二次方程降次法，是一种将一元二次方程通过变形和化简，降低其次数的方法。
通常情况下，一元二次方程的最高次数为二次方，通过降次法，我们可以将其转化为一次方程或常数方程，从而求解。
这种方法广泛应用于数学、物理、化学等领域，有助于简化复杂问题，提高解决问题的效率。
二、一元二次方程降次法例题解析1.例题一题目描述：已知一元二次方程x - 3x + 2 = 0，求解该方程。
解题思路：首先，我们需要将方程进行变形，使其满足降次法的条件。
然后，通过代入法或因式分解法求解。
解题过程：(1) 对方程进行变形：x - 3x + 2 = 0 → (x - 1)(x - 2) = 0(2) 利用因式分解法，将方程转化为两个一次方程：x - 1 = 0 或x - 2 = 0(3) 求解一次方程，得到解：x1 = 1, x2 = 2答案：x1 = 1, x2 = 22.例题二题目描述：已知一元二次方程2x - 5x + 3 = 0，求解该方程。
解题思路：同样地，我们需要先将方程进行变形，使其满足降次法的条件。
然后，通过代入法或因式分解法求解。
解题过程：(1) 对方程进行变形：2x - 5x + 3 = 0 → x - 5/2x + 3/2 = 0(2) 利用配方法，将方程转化为一个一次方程：(x - 5/4) = 1/16(3) 开方，得到解：x - 5/4 = ±1/4(4) 求解一次方程，得到解：x1 = 3/2, x2 = 1答案：x1 = 3/2, x2 = 1三、一元二次方程降次法在实际生活中的应用在实际生活中，一元二次方程降次法常常应用于解决各种与二次方程相关的问题，如物理中的抛物线运动、化学中的反应速率等。
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4、（2010。北京）已知下列 n（n 为正整数）个关于 x 的一元二次方程：
x2 1 0 x2 x 2 0 x 2 2x 3 0 „„ x 2 n 1 x n 0
1 2 3 n
（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>； （2）请你指出这 n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。
2
（ 3） 3x(2 x 1) 4 x 2 ； （ 4） ( x 4) (5 2 x) ．
2 2
反馈练习
补充练习 解下列方程． 1．12（2-x） -9=0
2
2．x +x（x-5）=0
2
双基演练
1． 分 解 因 式 ： （ 1） （ x+1） 2 -16=__________ （ 2） x-2-x（ x-2） =________
7 2
C． x1 =3， x2 =
7 2
D． x1 =3， x2 =-
7 2
）
4．实 数 a、 b 满 足（ a+b） 2 +a+b-2=0，则（ a+b） 2 的 值 为（ A． 4 B． 1 C． -2 或 1 D． 4 或 1
5．阅 读 下 题 的 解 答 过 程 ， 请 判 断 是 否 有 错 ， • 若 有 错 误 请 你 在其右边写出正确的解答． 已知： m 是 关 于 x 的 方 程 mx-2x+m=0 的 一 个 根 ， 求 m 的值． 解 ： 把 x=m 代 入 原 方 程 ， • 化 简 得 m3 =m， 两 边 同 除 以 m， 得 m2 =1， ∴ m=1， 把 m=1 代 入 原 方 程 检 验 可 知 ： m=1 符 合 题 意 ． • 答 ： m 的 值 是 1．
第二十二章
一元二次方程
22.2 降次—解一元二次方程（5）
复习引入
解答
解下列方程． （ 1） 2x2+x=0（ 用 配 方 法 ） （ 2） 3x2+6x=0（ 用 公 式 法 ）
探索新知
思考 仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到 其它的解法吗？ （1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ 为 ． 2、（2009．内江）方程 x（x+1）=3（x+1）的解的情况是（ ） A．x=-1 B.x=3 C. x1 1, x2 3 D.以上答案都不对
2
3、 （2009． 兰州） 在实数范围内定义一种运算 “＊” ， 其规则为 a＊b a b ， ＊ 5 0 的解为 根据这个规则，方程 ( x 2) 。
2． 方 程 2x（ x-2） =3（ x-2） 的 解 是 ___________ 3．方 程（ x-1） （ x-2）=0 的 两 根 为 x1 、x2 ，且 x1 >x2 ，则 x1 -2x2 的 值 等 于 _______ 4．已 知 y=x2 +x-6，当 x=______时 ，y 的 值 为 0；当 x=_____时 ，y 的 值 等 于 24． 5． 方 程 x2 +2ax-b2 +a2 =0 的 解 为 __________． 6． 若 （ 2x+3y） 2 +3（ 2x+3y） -4=0， 则 2x+3y 的 值 为 _________． 7． 方 程 x（ x+1） （ x-2） =0 的 根 是 （ A． -1， 2 B． 1， -2 ） D． 0， 1， 2 ） C． 0， -1， 2
9． 解 方 程 2（ 5x-1） 2 =3（ 5x-1） 的 最 适 当 的 方 法 是 （ 10． 方 程 （ x+4） （ x-5） =1 的 根 为 （
D． 分 解 因 式 法
C． x1 =-4， x2 =5
D． 以 上 结 论 都 不 对
能力提升
1． （ x2 +y2 -1） 2 =4， 则 x2 +y2 =_______． 2． 方 程 x2 =│ x│ 的 根 是 __________． 3． 方 程 2x（ x-3） =7（ 3-x） 的 根 是 （ A． x=3 B． x= ）
结束语
一分耕耘一分收获，优异的成绩要靠勤奋获得。
祝全体同学 身体健康 学习进步
再见
利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于 0 的形式，再使这两个一次 式分别等于 0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．
探索新知 思考
通 过解下列方程，你能发现在解一元二 次方程的过程中需要注意什么？ （ 1） x( x 2) x 2 0 ；
1 3 2 （ 2） 5 x 2 x x 2 x ； 4 4
8． 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 的 根 分 别 为 -5， 7， 则 该 方 程 可 以 为 （ A． （ x+5） （ x-7） =0 C． （ x+5） （ x+7） =0 A． 直 接 开 平 方 法 A． x=-4 B． x=5 B． （ x-5） （ x+7） =0 D． （ x-5） （ x-7） =0 ） B． 配 方 法 ） C． 公 式 法