2015绵阳一诊文科数学答案

绵阳市高2012级第一次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

BBDDC BACCA

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．5

3

-

12．-1 13．-2 14．15 15．(0，2)

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：(Ⅰ)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω

=)4

2sin(22cos 2sin π

ωωω+

=+x x x ． ……………………………6分

由题意知：π=T ，即

πω

π

=22，解得1=ω．…………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知)4

2sin(2)(π

+=x x f ，

∵

6π

≤x ≤

4π

，得

127π≤42π

+x ≤43π， 又函数y =sin x 在[127π，4

3π

]上是减函数，

∴ )34sin(2127sin

2)(max π

ππ+==

x f ……………………………………10分 3

sin 4cos 23

cos

4

sin 2π

πππ+=

=

2

1

3+．…………………………………………………………12分 17．解：(Ⅰ) 由题知⎩

⎨⎧≥->-，，

0102t t 解得21<≤t ，即)21[，

=D ．……………………3分 (Ⅱ) g (x )=x 2+2mx -m 2=222)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分

① 若m -≥2，即m ≤-2时， g (x )在)21[，

上单调递减，不存在最小值； ②若21<-

上单调递减，]2(，m -上递增，此时22)()(2mi n ≠-=-=m m g x g ，此时m 值不存在；

③m -≤1即m ≥-1时， g (x )在)21[，

上单调递增， 此时221)1()(2mi n =-+==m m g x g ，解得m =1． …………………………11分 综上：1=m ． …………………………………………………………………12分

18．解：(Ⅰ) 5

1

cos 5=

∠=ABC AB ，，4BC =， 又(0,)ABC π∠∈，所以5

6

2cos 1sin 2=

∠-=∠ABC ABC ， ∴645

624521sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=

∆ABC BC BA S ABC ． ………………6分 (Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的

平行四边形ABCE ，如图，

则5

1

cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，BE =2BD =7，CE =AB =5，

在△BCE 中，由余弦定理：

BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222．

即)5

1(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ，

解得：4=CB ． ………………………………………………………………10分 19．解：(Ⅰ) 由832

539a a a S ⋅==，，

得：⎪⎩⎪⎨⎧

+⋅+=+=⨯+，

，)7()2()4(922331121

1d a d a d a d a 解得：121==d a ，．

∴ 1+=n a n ，n n n n S n 2

3

22)12(2+=++=

． …………………………………5分 (Ⅱ) 由题知=n c )1(2++n n λ． ………………………………………………6分 若使}{n c 为单调递增数列，

则=-+n n c c 1-+++)2()1(2n n λ)]1([2++n n λ

=012>++λn 对一切n ∈N *恒成立，

即： 12-->n λ对一切n ∈N *恒成立， ………………………………… 10分 又12)(--=n n ϕ是单调递减的, ∴ 当1=n 时，max )(n ϕ=-3，

∴ 3->λ． …………………………………………………………………12分 20．(Ⅰ)证明： 由1)(--=ax e x f x ，得a e x f x -=')(．…………………………1分

由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x >ln a ，同理由)(x f '<0解得x

又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，则0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分

B

C

D A E

即01ln ln =--a a e a ．………………………………………………………… 5分 化简得：1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a 于是，即，，

∴ 1-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，

由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分 令1ln )(--=a a a a h ，则a a h ln )(-='， 由0)(>'a h 可得01．

∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ， ∴ 当01时，h (a )<0，

∴ 要使得)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，.1=a ∴a 的取值集合为{1}……………………………13分 21．解：(Ⅰ) 1==b a 时，x x x x f ln 21)(2+-=

，x

x x f 1

1)(+-='， ∴2

1

)1(-

=f ，1)1(='=f k ，…………………………………………………2分 故)(x f 点()1(1f ，)处的切线方程是2230x y --=．……………………3分 (Ⅱ)由()()∞+∈+-=，，0ln 2

2

x x bx x a x f ，得x bx ax x f 1)(2+-=

'． (1)当0=a 时，x

bx

x f -='1)(．

①若b ≤0，

由0>x 知0)(>'x f 恒成立，即函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，

． ………………………………………………5分 ②若0>b ，

当b x 10<

<时，0)(>'x f ；当b

x 1

>时，0)(<'x f ． 即函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b

1

，+∞)．

……………………………………………7分 (2) 当0时，0)(<'x f ，函数)(x f 的单调递减，