高等代数与解析几何第七章习题7答案

习题

习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明：

（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a === 2211，且A 不是对角阵，则

A 不可对角化。

证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλ ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，所以A 有

n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无

关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。

（2）假设A 可对角化，即存在对角阵⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=n B λλλ

21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλ ，从而

E a a a a B nn 112211=⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=

，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与

假设矛盾，所以A 不可对角化。

习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值

s λλλ,,,21 ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i =。证明：

（1）s V V V +++ 21是直和；

（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕= 21。 证明：（1）取s V V V +++ 21的零向量0，写成分解式有

021=+++s ααα ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1 =。现用1

2,,,-s σσσ 分别作用分解式两边，可得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++---000

1212111221121s s s s s s

s s αλαλαλαλαλαλααα 。 写成矩阵形式为

)0,,0,0(111),,,(11221

1121

=⎪

⎪⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21 是互不相同的，所以矩阵⎪

⎪⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛=---11221

11111s s s s s B λλλλλλ

的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有

)0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121 ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21 =s ααα。

这说明s V V V +++ 21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得

s V V V +++ 21是直和。

（2）)(⇒因i V ，s i ,,2,1 =都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕⊇ 21。

又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕ 21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈ 21α，即得

s V V V V ⊕⊕⊕⊆ 21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕= 21。

)(⇐因s V V V V ⊕⊕⊕= 21，

所以分别取i V ),,2,1(s i =的基：i id i i ααα,,,21 ，

s i ,,2,1 =，其中n d d d s =+++ 21，进而得V

的基：

1

11211,,,d ααα ,,,,,,2

22221 d αααs

sd s s ααα,,,21 。又知基向量中的每一个向

量都是σ的特征向量，故得σ有n 个线性无关的特征向量，所以σ可对角化。

习题设D 是n 阶对角阵，它的特征多项式为

s c s c c D )()()()(2121λλλλλλλ---=∆ ，

其中s λλλ,,,21 两两不同。设

}|)({DB BD F M B V n =∈=，

证明：V 是)(F M n 的子空间，且

22

221dim s c c c V +++= 。

证明：对V B A ∈∀,，即DA AD =，DB BD =，F l k ∈∀,，有

)()()()()()()()(lB kA D DB l DA k BD l AD k D lB D kA D lB kA +=+=+=+=+，

所以V lB kA ∈+，即V 是)(F M n 的子空间。

设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=s c s c

c E E E D λλλ

2

1

21，则由习题知与D 可交换的矩阵只能是准对角矩阵，即⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=s B B B B

2

1

，其中i B 为i c 阶方阵，s i ,,2,1 =。进而对V B B B B s ∈⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=∀

2

1，都可由i 行，j 列元素为1，其余元素全为零的n 阶方阵

ij E 1,1(c j i ≤≤,,,1,211 c c j i c +≤≤+),1)(111∑∑=-=≤≤+s

k k s k k c j i c 线性表示。显然

ij E 1,1(c j i ≤≤,,,1,211 c c j i c +≤≤+),1)(1

1

1

∑∑=-=≤≤+s

k k s k k c j i c 线性无关，构成V

的一组基，所以22

2

21dim s c c c V +++= 。 习题设A 为准对角阵，

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=s A A A A

2

1

， 其中i A 是i n 阶矩阵，它的最小多项式是)(λi m 。证明：

)](,),(),([)(21λλλλs A m m m m =。

（即A 的最小多项式是s A A A ,,,21 的最小多项式的最低公倍式。） 证明：令)(,),(),(21λλλs m m m 为对角线上诸块s A A A ,,,21 的最小多项式，且)](,),(),([)(21λλλλs m m m h =。因)(λA m 为A 的最小多项式，则由

0)(=A m A 可得0)(=i A A m ，s i ,,2,1 =。又因i A 的最小多项式整除任何以i A 为根的多项式，所以)(|)(λλA i m m ，s i ,,2,1 =。从而)(|)(λλA m h 。

又由于)(|)(λλh m i ，s i ,,2,1 =。而0)(=i i A m ，故0)(=i A h 。从而

0)()()(1=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=s A h A h A h 。

于是又有)(|)(λλh m A 。又因它们的首项系数都是1，故

)](,),(),([)()(21λλλλλs A m m m h m ==。

习题求下列矩阵的最小多项式，并判断它是否可对角化：