关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索
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关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索
──从2011年高考数学谈起
贵州省遵义市习水县第一中学袁嗣林
摘要:纵观近年高考数学试题,可以看出,立体几何解答题是历年高考的必考题型。分值一般12分,难度属容易或中档题。学生得分率较高,但失分率也高。本文就2011年高考数学真题为例,对立体几何解答题作一些归类。关于立体几何解答题可以归类为一题多解与多题一解,即一类题有多种解法,多种题型可以用一种解法完成。
关键词:一题多解;多题一解;立体几何
一、一题多解
例1 (安徽理17)如图,为多面体,平面与平面垂
直,点在线段上,△OAB,,△,△,△都是正三角形。
(Ⅰ)证明直线∥;
(II)求棱锥F—OBED的体积。
分析:本题考查空间直线与直线,直线与平面、平面与平面的位置关系,空间直线平行的证明,多面体体积的计算等基本知识,考查空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力.通常解法是传统法和向量法。
(I)解法一(传统法):证明:设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形,所以
∥,OG=OD=2,
同理,设是线段DA与线段FC延长线的交点,有
又由于G和都在线段DA的延长线上,所以G与重合.
在△GED和△GFD中,由∥和OC∥,可知B和C分别是GE和GF 的中点,所以BC是△GEF的中位线,故BC∥EF.
解法二(向量法):过点F作,交AD于点Q,连QE,由平面ABED
⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,以Q为坐标原点,为轴正向,为y轴正向,
为z轴正向,建立如图所示空间直角坐标系.
由条件知
则有
所以即得BC∥EF.
(II)略
评注:向量法和传统法有时可以转换着使用,主要工具是利用三线垂定理及逆定理和面面垂直、线面垂直、线线垂直找出两辆相互垂直的三条直线,进而建立直角坐标系。
例2 (湖北理18)如图,已知正三棱柱的各棱长都是4,是的中点,动点在侧棱上,且不与点重合.
(Ⅰ)当=1时,求证:⊥;
(Ⅱ)设二面角的大小为,求的最小值.
本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。(满分12分)
解法1:过E作于N,连结EF。
(I)如图1,连结NF、AC1,由直棱柱的性质知,
底面ABC侧面A1C。
又度面侧面A,C=AC,且底面ABC,
所以侧面A1C,NF为EF在侧面A1C内的射影,
在中,=1,
则由,得NF//AC1,
又故。
由三垂线定理知
(II)如图2,连结AF,过N作于M,连结ME。
由(I)知侧面A1C,根据三垂线定理得
所以是二面角C—AF—E的平面角,即,
设
在中,
在
故
又
故当时,达到最小值;
,此时F与C1重合。
解法2:(I)建立如图3所示的空间直角坐标系,则由已知可得
于是
则
故
(II)设,
平面AEF的一个法向量为,
则由(I)得F(0,4,)
,于是由可得
取
又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为,
于是由为锐角可得,
所以,
由,得,即
故当,即点F与点C1重合时,取得最小值
从上述两个例子可以看出,立体几何某一类解答题解法有多种,通常需要平时多总结,并比较何种方法更简捷才能在考试时得心应手。一般而言,向量法解决问题时,容易着手,但写坐标时必须细心谨慎。而传统解法要求我们要学会作辅助线以及对线面垂直、面面垂直、线线垂直、三垂线定理等要非常有研究。不论如何,高考立体几何一般都可以传统法和向量法两种方式来解决。
二、多题一解
高考很大一部分题都可以用向量法或转化后用向量法来解决。
1.直接用向量法
对于三条直线已经两两相互垂直的立体几何大题,我们可以直接用向量法进行解决。
例3 (湖南理19)
如图5,在圆锥中,已知=,⊙O的直径,是的中点,为
的中点.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值。
分析; OB、OC、OP所在直线相互垂直,可以直接建系
解:(向量法)(I)如图所示,以O为坐标原点,OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴,z轴建立空间直角坐标系,则
,
设是平面POD的一个法向量,
则由,得
所以
设是平面PAC的一个法向量,
则由,
得
所以
得。
因为
所以从而平面平面PAC。
(II)略
2.需要转化后才能建系
如果没有两两相互垂直的三直线,我们可以想办法找出后再解决相关题目。主要是利用三线垂定理及逆定理和面面垂直、线面垂直、线线垂直找出两两相互垂直的三条直线,然后才建立直角坐标系。
例4 (广东理18)如图5.在椎体P-ABCD中,ABCD是边长为1的棱形,
且∠DAB=60,,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点.
(1)证明:AD 平面DEF;
(2)求二面角P-AD-B的余弦值.
分析:本题需要利用线面垂直进行转换,才好建系。
解:(1)取AD中点为G,因为
又为等边三角形,因此,,
从而平面PBG。
延长BG到O且使得PO OB,又平面PBG,PO AD,
所以PO 平面ABCD。
以O为坐标原点,菱形的边长为单位长度,直线OB,OP分别为轴,z轴,平行于AD 的直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系。
设
由于