202年九年级中考复习数学考点专项训练——专题十八：勾股定理

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《勾股定理》专项训练练习

60 120140 60BACC A BDE 1015《勾股定理》专项训练练习基础篇1、下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．5，12，13D ．4，6，7 2、在△ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，•则这个三角形三边长分别是（）A ．5，4，3 B ．13，12，5 C ．10，8，6 D ．26，24，10 3、若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（）． A. 3cm2B. 32cm2C. 33cm 2D. 4cm 24. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A ．a :b :c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a :b :c =13∶5∶12 5. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形.6．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定7、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（） A ．600米 B . 800米 C . 1000米 D. 不能确定8、ΔABC 中∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（）A.1B.3C.6D.非以上答案9、在△ABC 中，AB=12cm ， BC=16cm ， AC=20cm ，则△ABC 的面积是( )A. 96cm 2B. 120cm 2C. 160cm 2D. 200cm 210、已知如图，水厂A 和工厂B 、C 正好构成等边△ABC ，现由水厂A 和B 、C 两厂供水，要在A 、B 、C 间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线），•其中最合理的方案是（）11、在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______．12、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米.13、如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为．14、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt △ABC 的面积是_____15、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A ’，使梯子的底端A ’到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端 B 下降至 B ’，那么 BB ’的值： ①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．16、如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和103㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？17、小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？18、如图，铁路上A 、B 两点相距25km , C 、D 为两村庄，若DA =10km ,CB =15km ，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.（1）求E 应建在距A 多远处？（2）DE 和EC 垂直吗？试说明理由19、如图,在△ABC 中，∠BAC =120°,∠B =30°,AD ⊥AB ，垂足为A,CD=2cm,求AB 的长.第12题图第13题图第15题图A B D专题篇一、勾股定理与梯子问题1、如图1，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米．2、比较梯子沿墙壁滑行时其在墙壁和地面上滑行距离的大小关系例2如图3，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB①等于1米；②大于1米；③小于1米．其中正确结论的序号是________．（要求写出过程）二、勾股定理中的数学思想1、面积法．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5㎝．BC＝3㎝，CD⊥AB于点D，求CD的长．2、构造法．如图，已知△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，AC＝22．求△ABC的面积．3、转化思想．如图3，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．4、分类讨论思想．已知Rt△ABC中，其中两边的长分别是3，5，求第三边的长．5、方程思想．如图4，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，它们同时发现C处有一筐苹果，一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB的高度．如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．6、逆向思维的方法如图1，在△ABC中，D为BC边上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，那么DC＝_____．图3DABC图4DCBAABC三、勾股定理在影响范围问题中的运用1、如图1，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且30QPN ∠=︒，点A 处有一所中学，AP =160m 。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--勾股定理的应用

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--勾股定理的应用一、综合题1．如图1，对称轴为直线x= 12的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE 2．如图①，在△ABC中，△A＝90°，AB＝AC＝13√22，连接DE，把△ADE绕点A顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°）.＝7√22（1）如图②，当0°＜α＜180°时，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；（2）如图③，若180°＜α＜360°，当C、D、E三点在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，请说明理由，并求出此时线段BE的长；（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时的旋转角α的度数.3．问题提出（1）如图①，AD是△ABC的中线，则AB+AC 2AD；（填“>”“<”或“=”）（2）问题探究如图②，在矩形ABCD中，CD=3，BC=4，点E为BC的中点，点F为CD上任意一点，当△AEF的周长最小时，求CF的长；（3）问题解决如图③，在矩形ABCD中，AC=4，BC=2，点O为对角线AC的中点，点P为AB上任意一点，点Q为AC上任意一点，连接PO、PQ、BQ，是否存在这样的点Q，使折线OPQB的长度最小？若存在，请确定点Q的位置，并求出折线OPQB的最小长度；若不存在，请说明理由。

4．如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC。

点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m。

勾股定理专题(附答案-全面、精选)

勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（）A、c²- a²=b²B、c²- b²=a²C、a²- c²=b²D、a²+b²= c²（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）A、BC²- AB²=AC²B、BC²- AC²=AB²C、AB²+AC²= BC²D、AC²+BC²= AB²2、应用勾股定理求边长（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．3、利用勾股定理求面积（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。

（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。

（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。

（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（）A、6B、8C、10D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。

【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。

2023年中考数学人教版总复习训练：勾股定理

2023年中考数学(人教版)总复习训练：勾股定理一、选择题（本大题共10道小题）1. (2020秋•萧山区期中)在下列条件:①∠A+∠B ＝∠C,②∠A:∠B:∠C ＝5:3:2,③∠A ＝90°-∠B,④∠A ＝2∠B ＝3∠C 中,能确定△ABC 是直角三角形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. (2022安徽合肥38中)已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,选择下列条件中的一个,能判断△ABC 是直角三角形的是( )①∠A ＝∠B ﹣∠C;②a 2＝(b+c)(b ﹣c);③∠A:∠B:∠C ＝3:4:5;④a:b:c ＝3:4:5A.1个B.2个C.3个D.4个3. (2022·河北保定)如图,点A 、B 、C 在正方形网格格点上,则∠ACB 的度数为( )A.30oB.45oC.40oD.60o 4. (2022·贵州遵义)已知a,b 均为正数,且22a b +,224a b +,224a b +是一个三角形的三边的长,则这个三角形的面积是( )A.32ab B.ab C.12ab D.2ab5. (2020·大连)如图,小明在一条东西走向公路的O 处,测得图书馆A 在他的北偏东60°方向,且与他相距200m,则图书馆A 到公路的距离AB 为( )A.100mB.1002mC.1003mD.20033m 6. (2022北京石景山)如图,△ABC 中,3AC =,D,E 分别为CB,AB 上的点,CD=1,AD=BD=2,若AE=EB,则DE 的长为( )A.5B.2C.3D.17. (2022安徽合肥)如图,已知△ABC 中,∠ACB=45o ,F 是高BD 和CE 的交点,AD=3,CD=5,则线段BF 的长度为( )A.1B.2C.223-D.423-8. (2021·河北张家口)如图,在6×4的小正方形网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C,D,E均在格点上.则∠ABC-∠DCE＝()A.30°B.42°C.45°D.50°9. (2022·贵州遵义)如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=30o,则点B到OC的距离为()A.55B.255C.1D.210. (2022安徽合肥一六八中学)如图等腰直角△ABC中∠C=90°,点F是AB边的中点,点D、E 分别在AC、BC边上运动,且∠DFE=90°,DE、DF、EF,在此运动变化过程中,下列结论:①图中全等的三角形只有两对;②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍;③CD+CE=2FA;④AD2+BE2=DE2,其中错误结论的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共8道小题）11. (2021·贵州铜仁)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC中点,MN⊥AC于点N,则MN的长为_____.12. (2021·成都)如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为.13. (2021·鄂州)如图,四边形ABDC中,AC＝BC,∠ACB＝90°,AD⊥BD于点D.若BD＝2,CD＝42,则线段AB的长为.14. (2022嘉兴)将两块全等的直角三角板如图放置,其中一块三角板的斜边恰好经过另一块三角板的直角顶点O及斜边上的中点A,若这两块三角板的斜边长为13.6cm,则OA=.15. (2021·南通)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯塔P的距离为海里(结果保留根号).16. (2021·常州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠CBA＝30°,AC＝1,D是AB上一点(点D与点A不重合).若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A,D成为直角三角形的三个顶点,则AD长的取值范围是.17. (2021·泰州)如图,四边形ABCD中,AB＝CD＝4,且AB与CD不平行,P,M,N分别是AD,BD,AC的中点,设△PMN的面积为S,则S的范围是.18. (2022北京顺义).如图,在Rt△ABC中,∠B＝90°,以点A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC 于点D,E,再分别以点D、E 为圆心,大于DE 为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G,若BG＝1,AC＝4,则△ACG 的面积是________.三、解答题（本大题共6道小题）19. (2020秋•兰州期末)如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请证明△ABC为直角三角形,并求出其面积.20. (2022北京师大附中)一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB//CF,∠F＝∠ACB＝90°,∠E＝45°,∠A＝60°,103BC ,试求CD的长.21. (2021·河北唐山)如图,在△ABC和△DCE中,AC＝DE,∠B＝∠DCE＝90°,点A,C,D依次在同一直线上,且AB∥DE.(1)求证:△ABC≌△DCE;(2)连结AE,当BC＝5,AC＝12时,求AE的长.22. (2022北京朝阳)如图,在等腰直角△ABC中,∠B＝90°,AB＝BC＝4.动点P以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动,过点P作PF⊥AC于点F,以AF,AP为邻边作▱FAPG;▱FAPG与等腰直角△ABC的重叠部分面积为y(平方单位),y＞0,点F与点C重合时运动停止,设点P 的运动时间为x秒.(1)直接写出点G落在BC边上时x的值.(2)求y与x的函数关系式.(3)直接写出点G与△ABC各顶点的连线平分△ABC面积时x的值.23. (2022北京石景山)已知:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB<CA.求作:线段AB上的一点M,使得∠MCB=∠A.作法:①以点C为圆心,CB长为半径作弧,交AB于点D;②分别以点B,D为圆心,大于1BD长为半径作弧,两弧在AB的右侧相交于点E;2③作直线CE,交AB于点M.∠MCB即为所求.根据小伟设计的尺规作图过程,(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明.证明:连接CD,ED,EB.∵CD=CB,ED=EB,∴CE是DB的垂直平分线(______)(填推理的依据).∴CM⊥AB.∴∠MCB+∠B=90°.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∴∠MCB=∠A(______)(填推理的依据).24. (2021·河北唐山)已知:RT△ABC与RT△DEF中,∠ACB＝∠EDF＝90°,∠DEF＝45°,EF＝8cm,AC＝16cm,BC＝12cm.现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放,使点C与点E重合,点B、C(E)、F在同一条直线上,并按如下方式运动.运动一:如图2,△ABC从图1的位置出发,以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动,DE与AC 相交于点Q,当点Q与点D重合时暂停运动;运动二:在运动一的基础上,如图3,RT△ABC绕着点C顺时针旋转,CA与DF交于点Q,CB与DE交于点P,此时点Q在DF上匀速运动,速度为2cm/s,当QC⊥DF时暂停旋转;运动三:在运动二的基础上,如图4,RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动,直到点C与点F重合时为止.设运动时间为t(s),中间的暂停不计时,解答下列问题(1)在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时,整个过程共耗时s;(2)在整个运动过程中,设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S(cm2),求S与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;(3)在整个运动过程中,是否存在某一时刻,点Q正好在线段AB的中垂线上,若存在,求出此时t 的值;若不存在,请说明理由.。

中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案

中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案一、单选题1．线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．Ba= √41，b=4，c=5C．a= 34，b=1，c= 54D．a=40，b=50，c=602．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．1653．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为（）A．16 B．2 C．32 D．1304．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在图中找出格点C，使得△ABC是腰长为无理数的等腰三角形，点C的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．75．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A=10，S B=8，S C=9，S D=4则下列判断不正确的是（）A．S E=18B．S F=13C．S M=31D．S M−S E=176．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.1B．√5C．2√2D．2√37．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么(a+b)2的值为（）.A．49 B．25 C．13 D．18．如图，在△ABC中∠C=60°，AC=4，BC=3 .分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AC于点D，则CD的长为（）A．1 B．75C．32D．3二、填空题9．如图，△ABC中AB=AC=10，BC=16，△ABC的面积是.10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4 √2，则BC＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是12．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为m．13．活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知△ABC中∠A=30°，AC=3，∠A所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为三、解答题14．如图，点C在∠DAB内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，若AD＝5，求AB的长．15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．AD＝1，BD＝4，CD＝2．求证：∠ACB＝90°．16．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C 点的距离．17．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，E为AC边上一点，且满足∠AED＝2∠DCB．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠B＝90°，AD＝6，AE＝9，求CE的长．18．如图，在正△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M（1）如图1，求∠BME的度数；（2）如图2，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H①求证：2MH+DM=AE；②若BE=2EC=2，求BH的长．答案1．D2．C3．A4．C5．D6．B7．A8．B9．4810．511．1.512．2.213．2√3或√314．解：解法一：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°在Rt△ABC与Rt△ADC中有AC=AC，CD=CB∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴AB=AD=5解法二：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°∵CD=CB∴由勾股定理得：AB= √AC2−BC2 = √AC2−CD2 =AD=515．证明：∵CD是△ABC的高∴∠ADC=∠BDC=90°．∵AD=1，BD=4，CD=2∴AC2=AD2+CD2=12+22=5，BC2=BD2+CD2=42+22=20，AB2=（1+4）2=25．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形∴∠ACB=90°．16．解：由勾股定理得；BC2=AC2−AB2=252−202=225∴BC=15（米）∵BD=AB−AD=20−12=8（米）∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=√DB2+BC2=√82+152=17∴此时小鸟到地面C点的距离17米．答；此时小鸟到地面C点的距离为17米．17．（1）证明：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCB即∠ACB=2∠DCB又∵∠AED=2∠DCB∴∠ACB=∠AED∴DE//BC；（2）解：∵DE//BC∴∠EDC=∠BCD，∠B=∠ADE=90°∵∠BCD=∠ECD∴∠EDC=∠ECD∴ED=CE∵AD=6，AE=9∴DE=√AE2−AD2=√92−62=3√5∴CE=3√5．18．（1）解：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°又∵AD=CE ∴△ABD≌△CAE(SAS)∴∠BME=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°（2）解：①∵BH⊥AE ∠BME=60°∴∠HBM=30°∴BM=2MH∵△ABD≌△CAE ∴AE=BD=BM+MD=2MH+MD②过点E作EG⊥AB于点GBE=2EC=2 ∴AB=BC=3∴使用ABC=60°∴BG=1，AG=2，由勾股定理可得，GE= √3，AE= √7设HE=x，则AH= √7 -x由勾股定理得32-（√7 -x）2=22-x2解得x= √77再由勾般定理可得：BH= 3√21.7。

中考数学专题复习勾股定理含答案

勾股定理一．选择题（共11小题）1．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3=60，则S2的值是（）A．12B．15C．20D．302．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5B．9，12，15C．，，D．0.3，0.4，0.53．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A．B．C．D．4．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a=1.5 b=2 c=2.5B．a：b：c=5：12：13C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：55．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A．8米B．12米C．5米D．5或7米6．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1B．C．D．27．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形8．如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（）A．4B．8C．16D．329．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A．10B．2C．10或2D．无法确定10．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（）A．10B．5C．2D．211．长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P击出，分别撞击球桌的边BC、DA各1次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图∠α=∠β）若AB=3，BC=4，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（）A．不确定B．12C．11D．10二．填空题（共12小题）12．勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为．13．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为．14．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，根据勾股定理，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此继续，得OP2018= ，OP n= （n为自然数，且n＞0）15．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为．16．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是．17．直角三角形三边长分别为5，12，x，则x2= ．若a，b为两个连续的正整数，且a＜＜b，则a+b= ．18．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．19．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3= ．20．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为．21．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段条．22．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是 cm2．23．设x＞0，则三个正数2x，3x，x+5，构成三角形三边的条件是；构成直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的x的取值范围分别是、、．三．解答题（共10小题）24．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向．25．从正面看一个底面直径为10cm的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动），吸管露出杯子外1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐．求杯子的高度．26．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形ABC其中两个顶点坐标为A（0，﹣6）、B（﹣8，0）在坐标轴上是否存在点C，使三角形ABC中AB=AC或者AB=BC？若能请直接写出所以符合条件的点C的坐标；若不能，请说明理由．27．阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．理解：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？（填“是”或“不是”）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形（填“是”或“不是”）奇异三角形．探究：在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2=50，c2=100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．拓展：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2．28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长．29．阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为．（2）如图1，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．30．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=24，AM=6，求BN的长．31．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF．通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程．32．在△ABC中，∠ABC=90°，D为平面内一动点，AD=a，AC=b，其中a，b为常数，且a＜b．将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E．连接BE．（1）如图1，若D在△ABC内部，请在图1中画出△FCE；（2）在（1）的条件下，若AD⊥BE，求BE的长（用含a，b的式子表示）；（3）若∠BAC=α，当线段BE的长度最大时，则∠BAD的大小为；当线段BE的长度最小时，则∠BAD的大小为（用含α的式子表示）．33．如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=5﹣，CD=6，求AD．答案一．选择题（共11小题）1．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3=60，则S2的值是（）A．12B．15C．20D．30【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2﹣4m，依据S1+S2+S3=60，可得4m+S2+S2+S2﹣4m=60，进而得出S2的值．【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2﹣4m，因为S1+S2+S3=60，所以4m+S2+S2+S2﹣4m=60，即3S2=60，解得S2=20．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5B．9，12，15C．，，D．0.3，0.4，0.5【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．【解答】解：A、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误；B、因为92+122=152，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，此选项正确；D、因为0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，此选项错误．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．3．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A．B．C．D．【分析】过C作CD⊥AB于D，依据AB=6，AC=8，可得CD≤8，进而得到当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC 的面积最大．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB=6，AC=8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC的面积最大，∴BC==10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．4．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a=1.5 b=2 c=2.5B．a：b：c=5：12：13C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和为180度，即可判断出三角形的形状．【解答】解：A、因为1.52+22=2.52符合勾股定理的逆定理，故△ABC为直角三角形；B、因为a：b：c=5：12：13，所以可设a=5x，b=12x，c=13x，则（5x）2+（12x）2=（13x）2，故△ABC为直角三角形；C、因为∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故△ABC为直角三角形；D、因为∠A：∠B：∠C=3：4：5，所以设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，故3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是锐角三角形．故选：D．【点评】此题考查了解直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．5．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A．8米B．12米C．5米D．5或7米【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解答】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，∴折断的部分长为=5，∴折断前高度为5+3=8（米）．故选：A．【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．6．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1B．C．D．2【分析】根据勾股定理进行逐一计算即可．【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，∴AC===；AD===；AE===2．故选：D．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．7．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．【解答】解：由a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，得a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）=（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，∵a+b＞0，∴a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0，即a=b或a2+b2=c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8．如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（）A．4B．8C．16D．32【分析】等腰直角三角形中，直角边长和斜边长的比值为1：，正方形面积为边长的平方；所以要求①号正方形的面积，求出①号正方形的边长即可．【解答】解：要求①号正方形的面积，求①号正方形的边长即可，题目中给出③号正方形的面积为1，即③号正方形的边长为1，根据勾股定理4号正方形的边长为=，以此类推，可以求得①号正方形边长为4，所以①号正方形面积为4×4=16．故选：C．【点评】本题考查的是在等腰直角三角形中勾股定理的运用，已知直角边求斜边边长，解本题的关键是正确的运用勾股定理．9．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A．10B．2C．10或2D．无法确定【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即较长是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：长为8的边可能为直角边，也可能为斜边．当8为直角边时，根据勾股定理，第三边的长==10；当8为斜边时，根据勾股定理，第三边的长==2．故选：C．【点评】此题易忽视的地方：长为8的边可能为直角边，也可能为斜边．10．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（）A．10B．5C．2D．2【分析】设EC=x，DC=y，则直角△BCE中，x2+4y2=BE2=16，在直角△ADC中，4x2+y2=AD2=49，解方程组可求得x、y，在直角△ABC 中，AB=．【解答】解：设EC=x，DC=y，∠ACB=90°，∴在直角△BCE中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16在直角△ADC中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，解得x=，y=1．在直角△ABC中，AB===2，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE和直角△ADC求DC．BC的长度是解题的关键．11．长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P击出，分别撞击球桌的边BC、DA各1次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图∠α=∠β）若AB=3，BC=4，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（）A．不确定B．12C．11D．10【分析】要求球走过的总长度，就要求PQ+QR，根据计算得PQ+QR=BD=AC．根据此关系式可以解题．【解答】解：令PQ∥AC，则QR∥BD，∵撞击前后的路线与桌边所成的角相等∴图中所有三角形均相似；∴=， =，∴+==1，即PQ+QR=AC=BD，同理PS+SR=AC=BD，∴PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2AC．∵AC==5，∴PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2AC=10．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中令PQ∥AC是解题的关键．二．填空题（共12小题）12．勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为　（11，60，61）　．【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）．【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61），故答案为：（11，60，61）．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理．13．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为　1或　．【分析】首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，可得AE≠AG，然后分别从AE=EG与AG=EG去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．【解答】解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，∴∠AGE＞∠AEF，∴AE≠AG；当AE=EG时，则△ABE≌△ECG，∴CE=AB=6，∴BE=BC﹣EC=7﹣6=1，当AG=EG时，则∠GAE=∠GEA，∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴=，∴CE==，∴BE=7﹣=；∴BE=1或．故答案为：1或．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．14．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，根据勾股定理，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此继续，得OP2018= ，OP n= （n为自然数，且n＞0）【分析】根据题意找出规律，根据规律解答．【解答】解：由题意得，OP1=；OP2=；OP3=，…则OP2018=，OP n=，故答案为：；．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．15．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为　（0，3）或（0，1+）　．【分析】分两种情况进行讨论，过B作BP⊥AB，交y轴于P，过B 作BD⊥CP于D，则∠ABP=90°，BD=1，依据△BCP是等腰直角三角形，即可得到点P的坐标；当∠APB=90°时，△ABP是直角三角形，依据C为AB的中点，AB=2，即可得到点P的坐标．【解答】解：如图，过B作BP⊥AB，交y轴于P，过B作BD⊥CP于D，则∠ABP=90°，BD=1，∵点A（﹣1，0）和点B（1，2），∴直线AB的表达式为y=x+1，令x=0，则y=1，∴C（0，1），即OC=1=OA，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO=45°=∠BCP，∴△BCP是等腰直角三角形，∴CP=2BD=2，∴OP=1+2=3，∴P（0，3）；如图，当∠APB=90°时，△ABP是直角三角形，∵点A（﹣1，0），点B（1，2），点C（0，1），∴C为AB的中点，AB=2，∴CP=AB=，∴OP=1+，∴P（0，1+），综上所述，点P的坐标为（0，3）或（0，1+）．故答案为：（0，3）或（0，1+）．【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质和直角三角形的判定．要把所有的情况都考虑进去，不要漏掉某种情况．16．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是　5或　．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：设第三边为x（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得32+42=x2，所以x=5；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得32+x2=42，所以x=；所以第三边的长为5或．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．17．直角三角形三边长分别为5，12，x，则x2=　169或119　．若a，b为两个连续的正整数，且a＜＜b，则a+b=　9　．【分析】分12为直角边和12为斜边两种情况，根据勾股定理计算；根据无理数的估算方法、算术平方根的概念解答．【解答】解：当12为直角边时，x2=52+122=169，当12为斜边时，x2=122﹣52=119；∵16＜20＜25，∴4＜＜5，∴a=4，b=5，∴a+b=9，故答案为：169或119；9．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．18．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树　4　米之外才是安全的．【分析】根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．【解答】解：如图，BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC=4﹣1=3m，AB=9﹣4=5m，在Rt△ABC中，AC===4．【点评】此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．19．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3=　70　．【分析】根据勾股定理以及圆面积公式，可以证明：S1+S2=S3．故S3=70．【解答】解：设直角三角形三边分别为a、b、c，如图所示：则S1=π（）2=，S2=π（）2=，S3=π（）2=．因为a2+b2=c2，所以+=．即S1+S2=S3．所以S3=70．【点评】注意发现此图中的结论：S1+S2=S3．20．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为　16　．【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到b的面积=a的面积+c的面积．【解答】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°∴∠ACB=∠DEC∵∠ABC=∠CDE，AC=CE，在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC=DE∴（如上图），根据勾股定理的几何意义，b的面积=a的面积+c的面积∴b的面积=a的面积+c的面积=5+11=16．【点评】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．21．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段　8　条．【分析】如图，由于每个小正方形的边长为1，那么根据勾股定理容易得到长度为的线段，然后可以找出所有这样的线段．【解答】解：如图，所有长度为的线段全部画出，共有8条．【点评】此题是一个探究试题，首先探究如何找到长度为的线段，然后利用这个规律找出所有这样的线段．22．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是　14　cm2．【分析】根据勾股定理的几何意义可直接解答．【解答】解：根据正方形的面积公式结合勾股定理，得正方形A2，B，C，D的面积和等于最大的正方形的面积，所以正方形D的面积=100﹣36﹣25﹣25=14cm2．【点评】此题注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．23．设x＞0，则三个正数2x，3x，x+5，构成三角形三边的条件是；构成直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的x的取值范围分别是　x=或x=　、　＜x＜　、　＜x＜或x＞　．【分析】根据三角形两边之和大于第三边，根据三边表达式列不等式求解；直角三角形两直角边平方和等于第三边平方，锐角三角形两边平方和大于第三边平方，钝角三角形两边平方和小于钝角所对应的边的平方．【解答】解：构成三角形则要满足2x+3x＞x+5，即4x＞5，则x＞，即可；①当三角形为直角三角形时，若x+5＞3x，即x＜（2x）2+（3x）2=（x+5）2解得x=，若3x＞x+5，即x＞（2x）2+（x+5）2=（3x）2解得x=②当构成锐角三角形时，即（2x）2+（3x）2＞（x+5）212x2﹣10x﹣25＞0解得x＞（2x）2+（x+5）2＞（3x）2﹣4x2+10x+25＞0x＜综上，构成锐角三角形的x的取值范围是：＜x＜；③当构成钝角三角形时，若x+5＞3x，即x＜（2x）2+（3x）2＜（x+5）2解得＜x＜＜，若3x＞x+5，即x＞（2x）2+（x+5）2＜（3x）2解得x＞综上，构成钝角三角形的x的取值范围是：＜x＜或x＞；故答案为x＞，x=或x=，＜x＜；＜x＜或x＞，【点评】本题考查了三角形成构成条件，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中确定以x+5为第三边是解本题的关键．三．解答题（共10小题）24．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向．【分析】（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依据客船每小时比货船多走5海里，列方程求解即可；（2）依据AB2+AC2=BC2，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，再根据货船沿东偏南10°方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东10°方向．【解答】解：（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得4x﹣3x=5．解得x=5，∴4x=20，3x=15，∴两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；（2）由题可得，AB=15×2=30，AC=20×2=40，BC=50，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，又∵货船沿东偏南10°方向航行，∴客船航行的方向为北偏东10°方向．【点评】此题主要考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出AB 的长是解题关键．25．从正面看一个底面直径为10cm的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动），吸管露出杯子外1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐．求杯子的高度．【分析】设杯子的高度为xcm，则吸管的长度为（x+1）cm，根据勾股定理可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设杯子的高度为xcm，则吸管的长度为（x+1）cm，根据题意得：（x+1）2=52+x2，解得：x=12．答：杯子的高度为12cm．【点评】本题考查了勾股定理的应用以及解一元一次方程，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．26．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形ABC其中两个顶点坐标为A（0，﹣6）、B（﹣8，0）在坐标轴上是否存在点C，使三角形ABC中AB=AC或者AB=BC？若能请直接写出所以符合条件的点C的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据两点的距离公式计算即可；（2）对于平行于坐标轴的两点距离公式可利用|y2﹣y1|代入计算；（3）分别以A、B为圆心，以10为半径画圆与坐标轴的交点就是C 点．【解答】解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴AB==13…．（4分）答：A、B两点间的距离是13．（2）∵AB∥y轴，∴AB=5﹣（﹣1）=6，答：A、B两点间的距离是6．（8分）（3）如图所示：①AB=AC时，符合条件的点C的坐标为（8，0）、（0，4）、（0，﹣16）；②AB=BC时，符合条件的点C的坐标为：（0，6）、（2，0）、（﹣18，0）…．（12分）综上所述，符合条件的点C的坐标为：（2，0）、（8，0）（﹣18，0）、（0，4）、（0，﹣16）、（0，6）．【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平面上两点的距离公式的理解与应用，认真阅读材料，理解两点间的距离公式，注意当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．27．阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．理解：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？　是　（填“是”或“不是”）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形　是　（填“是”或“不是”）奇异三角形．探究：在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2=50，c2=100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．拓展：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2．【分析】理解：①根据题中所给的奇异三角形的定义、等边三角形的性质判断；②根据奇异三角形的定义判断；探究：分c为斜边、b为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断；拓展：根据根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可．【解答】解：①设等边三角形的边长为a，∵a2+a2=2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，故答案为：是；②∵12+（）2=2×22，。

中考复习数学考点专题——勾股定理

中考数学考点专题复习——勾股定理一、选择题1.若直角三角形两直角边分别为12、16，则此直角三角形的周长是（） A.28 B. 36 C.32 D.482. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h 2B. a 2+b 2=2h 2C.a 1+b 1=h1 D.21a +21b=21h3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（）. A ．26 B ．18 C ．20 D ．214.将一根24 cm 的筷子置于底面直径为15 cm ，高为8 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是( ) A ．h ≤17 B ．h ≥8 C ． 15≤h ≤16 D ． 7≤h ≤165.在平面直角坐标系中，点()P 34-，原点O 的距离的长为（）A.3B.4C.56．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若b 2+c 2＝2b +4c ﹣5且a 2＝b 2+c 2﹣bc ，则△ABC 的面积为（）A ．2B CD7．如图，在矩形中，点的坐标是，则两点间的距离是（）A．B．C．D．58．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为3和4，则b的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．79．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm．A．25 B．20 C．24 D．10．如图所示的是一种机器人行走的路径，机器人从处先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再转向北走后往东一拐仅走就到达了．则点与点之间的直线距离是（）A．B．C．D．11．如图，在Rt ABC △中，90,30,ACB ABC CD ︒∠︒=∠=平分ACB ∠．边AB 的垂直平分线DE 分别交,CD AB 于点,D E ．以下说法错误的是（）A ．60BAC ∠=︒B ．2CD BE =C ．DE AC =D 12BC AB =+12．如图，每个小正方形的边长都是1，图中A ，B ，C ，D 四个点分别为小正方形的顶点，下列说法：①△ACD 的面积是有理数；②四边形ABCD 的四条边的长度都是无理数；③四边形ABCD 的三条边的长度是无理数，一条边的长度是有理数．其中说法正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（）A．47 B．13 C．11 D．814.如图，点A是4×5网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形设为边长为1，以点A的格点构成等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数（）A.10B.12C.14D.1615．如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC=60°，AB=10，CF=EF，则△ABC 的面积为（）A．B．C．D．二、填空题16.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为17．直角三角形的两边长为3，5，且第三边是整数，则第三边的长度为______．18.三角形的三边分别是9,40,41，则这个三角形而面积为.19．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为____．20．如上图，在中，，将折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，若AC=6，BC=8，则线段CD 的长为______．21．一座桥横跨由西向东的一条河，桥长24m ，一小船从桥南头出发，向正北方向驶去，由于水流原因，到达北岸后，发现已偏离桥北头10m ，则小船实际行驶了． 22．如图，点D 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，点E 在边AC 上．△A'B ′C ′与△ABC 关于直线BE 对称，连结A ′C ．且∠CA ′C'＝90°．若AC ＝4，BC ＝3．则AE 的长为_____．23．如图，在中，点、、分别在、、上，且，，，，，则______度．24．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，32AC =，24BC =，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，则AE 的长是__________．25．如图，在四边形ABCD 中，∠ADC=∠ABC=45°连接AC 、BD,若AC ⊥AB,则BD 的长度为_______________.26．如图，正方形的边长均为1，可以计算出，图（1；图（2）3，那么第n 个长方形的对角线的长为_____．27．如图，连接四边形LOVE 的对角线120LV OE LOV LVE ∠=︒，，，△是等边三角形，点D 是OE 中点，若32DLE OEV VO ∠=∠=，，则DL 的长为__________．三、解答题28.在下列数轴上作出长为√10的线段，请保留作图痕迹，不写作法．29．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的高，求证：∠BCD＝∠A．30.已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求CF、CE31．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长．32．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，CD＝13．求四边形ABCD 的面积．33.如图，小强用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为10cm，长AC为8cm，当小红折叠时，顶点D落在AB边上的点F处（折痕为CE）．算一算，此时BE有多长？•34．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4．求：（1）△ABC的面积及AC边上的高BE的长；（2）AD：BE的值．35.有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD＝8 cm，高AB＝6 cm，水深为AE＝4 cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG＝6 cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．(1)小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．(2)求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度)．36．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：．（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．37．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）38．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接CE，BD．CE与BD交于点F，且CE∥AB．（1）求证：∠CED＝∠ADB；（2）若AB＝8，CE＝6．求BC的长．39.在⊿ABC 中，C 2B ∠=∠,点D 是BC 上的一点，且AD AB ⊥,点E 是BD 的中点，连接AE .⑴.求证：AEC C ∠=∠;⑵.求证：BD 2AC =;⑶.如果.,AE 65AD 5==,那么⊿ABE 的周长是多少？40.如下图，要在河边修建一个水泵，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村A 、李庄B 到河边的距离分别为2千米和7千米，且张、李二村相距13千米。

勾股定理知识点总结及练习

第课时第十八章勾股定理一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证3：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

《勾股定理》初中数学中考专题复习

初中数学中考专题复习《勾股定理》1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．知识点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.知识点解析：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.知识点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.知识点三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3. 利用勾股定理，作出长为的线段.例题1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．【思路】利用勾股定理222+=来求未知边长．a b c【答案】解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，222+=，a＝5，b＝12，a b c所以22222=+=+=+=．所以c＝13．c a b51225144169（2）因为△ABC中，∠C＝90°，222+=，c＝26，b＝24，a b c所以22222a c b=-=-=-=．所以a＝10．2624676576100【总结】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．举一反三：【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）已知b＝2，c＝3，求a；（2）已知:3:5a c=，b＝32，求a、c．【答案】解：（1）∵∠C＝90°，b＝2，c＝3，∴a==；（2）设3=．c ka k=，5∵∠C＝90°，b＝32，∴222+=．a b c即222+=．(3)32(5)k k解得k＝8．∴33824==⨯=．c ka k==⨯=，55840例题2、如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积．【答案】解：延长AD、BC相交于点E∵∠B＝90°，∠A＝45°∴∠E＝45°，∴ AB＝BE＝2∵∠ADC＝90°，∴∠DCE＝45°，∴ CD＝DE＝1∴ 12222ABE S =⨯⨯=△，111122DCE S =⨯⨯=△． ∴ 13222ABE DCEABCD S S S =-=-=△△四边形．【总结】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，∠A ＝45°，AC =，1AB =，求BC 的长．【答案】解：过点C 作CD ⊥AB 于D ，则△ACD 和△BCD 均为直角三角形．在Rt △ACD 中，∠A ＝45°， ∴ △ACD 为等腰直角三角形， ∴ AD ＝CD ，由勾股定理，得222AD CD AC +=．又∵ AC =，∴ AD ＝CD ＝1． ∴ BD ＝AB －AD在Rt △BCD 中，由勾股定理，得222CD BD BC +=，即22214BC =+=，∴ BC ＝2．例题3、已知直角三角形斜边长为2，周长为2积．【思路】欲求Rt △的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直，结合勾股定理又得其平方和为4，于是可转化为用方程求解．【答案】解：设这个直角三角形的两直角边长分别为a b 、，则222222a b a b ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩即224a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②将①两边平方，得2226a ab b ++= ③③－②，得22ab =，所以1122ab =因此这个直角三角形的面积为12．【总结】此题通过设间接未知数a b 、，通过变形直接得出12ab 的值，而不需要分别求出a b 、的值．本题运用了方程思想解决问题．例题4、如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D；【解析】解：设AB＝x，则AF＝x，∵△ABE折叠后的图形为△AFE，∴△ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，在Rt△ABC中，()222+=+，解得684x xx=.【总结】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．例题1、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明222-=．AN BN AC【答案】解：因为MN⊥AB，所以222+=，BN MN MB+=，222AN MN AM所以2222-=-．AN BN AM BM因为AM是中线，所以MC＝MB．又因为∠C＝90°，所以在Rt△AMC中，222-=，AM MC AC 所以222-=．AN BN AC【总结】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化．若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明．例题1、作长为、、的线段.【思路】由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作. 【答案】作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；（2）作以AB为一条直角边，另一直角边为1的Rt，斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、.【总结】（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长度时可自定，一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可.例题1、一圆形饭盒，底面半径为8cm，高为12cm，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？【答案】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm，所以底面直径DC长为16cm．则在Rt△BCD中，222=+，BD DC BC所以20BD===(cm)．答：筷子最长不超过20cm，可正好盖上盒盖．【总结】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，∴22222AB BC AC=+=+=．512169∴AB==(m)．13∴ BC＋AB＝5＋13＝18(m)．∴旗杆折断前的高度为18m．例题2、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB 的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D；【解析】解：设AB＝x，则AF＝x，∵△ABE折叠后的图形为△AFE，∴△ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，在Rt△ABC中，()222+=+，解得6x x84x=.【总结】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．例题3、如图所示，在一棵树的10m高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？【思路】其中一只猴子从B →C →A 共走了(10+20)=30m ，另一只猴子从B →D →A 也共走了30m ，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．【答案】解：设树高CD 为x ，则BD ＝x －10，AD ＝30－(x －10)＝40－x ，在Rt △ACD 中，22220(40)x x +=-，解得：x ＝15．答：这棵树高15m ．【总结】本题利用距离相等用未知数来表示出DC 和DA ，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解．举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：12AA '=，12392A B π'=⨯⨯=在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ''=+=+= 则AB ＝15cm ．所以需要爬行的最短路程是15cm ．【高效巩固练习A 】一.选择题1.在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝9，BC ＝15，则△ABC 的面积等于（）A.108B.90C.180D.542．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A ．12米B ．10米C ．8米D ．6米4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则222++的值为( )AB AC BCA.8B.4C.6D.无法计算5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )A.4B.6C.8D.1026．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )A.1502cmcm B.2002C.2252cm D.无法计算二.填空题7.在直角坐标系中，点P（－2，3）到原点的距离是_______．8．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．9．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．10．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝cm.三.解答题13. 如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．14. 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．15.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．【高效巩固练习A答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】△ABC为直角三角形，面积＝112954⨯⨯=.22.【答案】B；【解析】x 可能是直角边，也可能是斜边. 3.【答案】A ；【解析】设旗杆的高度为x 米，则()22215x x +=+，解得12x =米. 4.【答案】A ；【解析】222228AB AC BC BC ==＋＋. 5.【答案】B ；【解析】AD ＝8，BD 6=. 6.【答案】C ；【解析】面积和等于222225AC BC AB +==. 二.填空题 7.=8.【答案】5； 9.【答案】2；5=米，少走了7－5＝2米. 10.【答案】10；10=.11．=12.【答案】4；【解析】90AB E ABE '∠=∠=︒，又因为AE ＝CE ，所以BE '为△AEC 的垂直平分线，AC ＝2AB ＝4cm .三.解答题13.【解析】解：连接BD，因为AB＝AD＝12，∠A＝60°所以△ABD是等边三角形，又因为∠D＝150°，所以△BCD是直角三角形，于是BC＋CD＝42－12－12＝18，设BC＝x，从而CD＝18－x，利用勾股定理列方程得222-+=，(18)12x x解得x＝13，即BC的长为13.14.【解析】解：过D点作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3，易证△ACD≌△AED，∴AE＝AC，在Rt△ DBE中，∵BD＝5 ，DE＝3，∴BE＝4在Rt△ACB中，∠C＝90°设AE＝AC＝x，则AB＝4x+∵222=+AB AC BC∴()222+=+48x x解得6x=，∴AC＝6.15．【解析】解：设BE＝x，则DE＝BE＝x，AE＝AD－DE＝9－x．在Rt△ABE中，222＋＝，AB AE BE∴()22239x x+-=．解得5x=．【高效巩固练习B】一.选择题1．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A1 B．1 C1 D2．若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为( )A.5C.5D.73. 如图所示，折叠矩形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB＝8cm，BC＝10cm，EC的长为（）．A．3 B．4 C．5 D．64．如图，长方形AOBC中，点A的坐标为（0，8)，点D的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落在边OB上E处，那么图中阴影部分的面积为（）A.30 B．32 C．34 D．165．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l，2l，3l上，且1l，2l之间的距离为2 , 2l，3l之1间的距离为3 ,则AC的长是（）A．172 C．22 B．54 D．76.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12则, △ABC的周长为（）A.42B.32C.42或32D.37或33二.填空题7．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．8. 如图，将长8cm，宽4cm的长方形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为__________cm.9．如图，在55⨯的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，这样的点C 共个．10. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，交x 正半轴于点C ，则点C 的坐标为________．11. 已知长方形ABCD ，AB ＝3cm ，AD ＝4cm ，过对角线BD 的中点O做BD 的垂直平分线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为_______________.12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是1234S S S S ，，，，则1234S S S S +++=______．三.解答题13. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90º，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，AD＝210，BE＝5，求AB的长．14. 现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.15. 将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．（1）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长；（2）当点PD＝BC时，求此时∠PDA的度数.16.如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC 中，点D 为AB 的中点，则线段CD 的长为__________.【高效巩固练习B 答案与解析】一.选择题 1.【答案】A ；【解析】－1所表示的点到点A OA 1. 2.【答案】C ；【解析】x 可能是直角边，也可能是斜边. 3.【答案】A ；【解析】设CE ＝x cm ，则DE ＝(8－x )cm ．在Rt △ABF 中，由勾股定理，得BF ==6cm ．∴ FC ＝10－6＝4(cm )．在Rt △EFC 中，由勾股定理，得222EF EC FC =+，即222(8)4xx -=+．解得3x =．即EC 的长为3cm ．4.【答案】A ；【解析】由题意CD ＝DE ＝5，BE ＝4，设OE ＝x ，AE ＝AC ＝4x +，所以()22284x x +=+，6x =，阴影部分面积为1168433022⨯⨯+⨯⨯=. 5.【答案】A ；【解析】如图，分别作CD ⊥3l 交2l 于点E ，作AF ⊥3l ，则可证△AFB≌△BDC ，则AF ＝3＝BD, BF ＝CD ＝2＋3＝5，∴DF ＝5＋3＝8＝AE ，在直角△AEC 中，勾股定理得AC ＝.6. 【答案】C ；【解析】高在△ABC 内部，第三边长为14；高在△ABC 外部，第三边长为4，故选C. 二.填空题7. 【答案】13【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边.8. 【答案】【解析】设AE ＝EC ＝x ，EB ＝8x -，则()22284x x -+=，解得5x =，过E 点作EH ⊥DC 于H ，EH ＝4，FH ＝5－3＝2，EF ＝=9. 【答案】8；【解析】如图所示：有8个点满足要求.10.【答案】（4，0）；【解析】首先利用勾股定理求出AB 的长，进而得到AC 的长，因为OC=AC-AO ，所以OC 求出，继而求出点C 的坐标．.11.【答案】78cm ；【解析】连接BE ，设AE ＝x ，BE ＝DE ＝4x -，则()22234x x +=-，78x =. 12．【答案】4；【解析】123413S S S S +=+=，故12344S S S S +++=. 三.解答题 13.【解析】解：设AE ＝CE ＝x ，CD ＝BD ＝y ，利用Rt △ACD 和Rt △BCE 列方程：2222440425x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得32x y =⎧⎨=⎩，∴AC ＝6，BD ＝4，∴AB ＝14.【解析】解：如图所示：15.【解析】解：（1）连接DP ，作DH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠CAB ＝30°，∴BC ＝１，AC∵BP 是∠ABC 的角平分线，∴∠CBP ＝30°，CP ＝3.在Rt △ADC 中，DH ＝AH ＝HC ＝12AC∴HP =，DP 6==. （2）当PD ＝BC ＝1时，P 点的位置可能有两处，分别为1P ，2P ，在Rt △1DHP 中，112HP ==，所以∠1HDP ＝30°，∠1P D A ＝30°＋45°＝75°；同理，∠2P DA ＝45°－30°＝15°. 所以∠PDA 的度数为15°或75°.16.【答案】2；【解析】由勾股定理解得AC ＝BC ＝222AB AC BC =+，12CD AB =.。

中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)

中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题（含答案解）知识点总结1. 勾股民定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。

若直角三角形的两直角边是b a ，，斜边是c ，则222b a c +=。

2. 勾股数：满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。

3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是c b a ，，，且满足222b a c +=，则三角形是直角三角形，且∠C 是直角。

4. 特殊三角形三边的比：①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：2:3:1。

②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：2:1:1。

5. 两点间的距离公式：若点()11y x A ，与点()22y x B ，，则线段AB 的长度为：()()221221y y x x AB −+−=。

练习题 1、（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC ＝，BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（）A ．3B ．23C ．2D ．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故选：A．2、（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．603m C．605m D．1203m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB ＝2BC ＝120m ，∴AC ＝＝m ．故选：B ．3、（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，∠A 所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）A ．23B ．23﹣3C ．23或3D ．23或23﹣3【分析】根据题意知，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH ，AH 的长，再利用勾股定理求出BH ，从而得出答案．【解答】解：如图，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，∴DH ＝BH ，∵∠A ＝30°，∴CH ＝AC ＝，AH ＝CH ＝，在Rt △CBH 中，由勾股定理得BH ＝＝，∴AB ＝AH +BH ＝＝2，AD ＝AH ﹣DH ＝＝，故选：C ． 4、（2022•荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若CE ＝31AE ＝1，则CD ＝．【分析】如图，连接BE ，根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，从而得到AE ＝BE ＝3，然后利用勾股定理求出BC ，AB ，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：如图，连接BE ，∵CE ＝AE ＝1，∴AE ＝3，AC ＝4，而根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ＝3，在Rt △ECB 中，BC ＝＝2，∴AB ＝＝2， ∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AB ＝．故答案为：． 5、（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于21AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（）A ．25B ．3C ．22D ．310 【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝＝＝10， ∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴＝， ∴＝，∴AE ＝，故选：A ．6、（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（）A ．42B ．6C ．210D ．35【分析】在网格中，以MN 为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM 最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．7、（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：＝，点O到学校的距离为：＝，点O到体育场的距离为：＝，点O到医院的距离为：＝，∵＜＝＜，∴点O到超市的距离最近，故选：A．8、（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE 的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（）A．14B．15C．4D．17【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，然后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四边形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故选：D．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，如图所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BF A＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵点A为DE的中点，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故选：D．9、（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴斜边c＝＝＝＝2，故答案为：2．10、（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE ∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．11、（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度．【解答】解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．12、（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．13、（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．14、（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH ＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．15、（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．16、（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．17、（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．18、（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，故答案为：．。

中考数学《勾股定理》复习练习题及答案

中考数学复习专题练习勾股定理一、选择题：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．，， B．6，8，10 C．5，12，17 D．9，40，422、下列命题中是假命题的是( )A．△ABC中，若∠B=∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形B．△ABC中，若a2=（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形C．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形D．△ABC中，若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形3、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）4、已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（）A．30 B．60 C．78 D．不能确定5、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A.4B.C.2D.36、如图，有两棵树，一棵高9米，另一棵高4米，两树相距12米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？( )A.11B.12C.13D.147、．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A．-1 B．+1 C．﹣1 D．+1 8、如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则等于（）A.75；B.100；C.120；D.125；9、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，B的边长为5cm，C的边长为5cm，则正方形D的边长为（）A.cmB.4cmC.cmD.3cm10、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A． B． C． D．11、如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C个数（）A．6 B．7 C．8 D．9 12、如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（）A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒．二、填空题:13、在△ABC中，如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠ =90°．14、有四个三角形，分别满足下列条件：（1）一个内角等于另外两个内角之和；（2）三个内角之比为3：4：5；（3）三边之比为5：12：13；（4）三边长分别为7、24、25．其中直角三角形有个．15、如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4．则阴影部分的面积= ．16、如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为米.17、如图，△AOB是等腰三角形，OA=OB，点B在x轴的正半轴上，点A的坐标是（1，1），则点B的坐标是．18、某直角三角形三条边的平方和为200，则这个直角三角形的斜边长为．19、如果的三边长a,b,c满足关系式，则形状是20、如图一只蚂蚁从长、宽都是3厘米，高是8厘米的长方体的纸箱外表面的A点爬到B 点，那么她爬行的最短路线的长为.21、如图，长方体中，AB=12m，BC=2m，BB′=3m，一只蚂蚁从点A出发，以4cm/秒的速度沿长方体表面爬行到点C′，至少需要分钟.22、如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为V p=2cm/s，V Q=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t= s时，△PBQ为直角三角形．23、如图,Rt△ABC中,AC=5,BC=12,分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为______24、如图，左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边AC=6，BC=4，现将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，延长后得到右图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是_______ ．三、简答题:25、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．26、有一块土地形状如图8-44所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.27、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯子的顶端A到墙底端C的距离为2.4米，如果梯子的底端B沿CB向外平移0.8米至B1，求梯子顶端A沿墙下滑的距离AA1的长度．28、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．29、如图,长方形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD上的E点处,折痕的一端G点在边BC上．（1）如图（1），当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时，求AF的长（2）如图（2），当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时，①求证：EF=EG．②求AF的长．30、在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：．（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．（3）如图3，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13、10、17①试说明△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等；②请利用第2小题解题方法求六边形花坛ABCDEF的面积．参考答案1、B.2、C．3、C.4、A．5、C.6、C.7、D．8、B.9、A．10、A.11、C．12、B．13、答案为:90°．14、答案为:3．15、答案为：24．16、答案为:7 17、答案为：（，0）．18、答案为：10．19、答案为:直角三角形 20、答案为:10cm 21、答案为:3.25 22、答案为:或23、答案为:30 24、答案为:8425、【解答】解：（1）如图1的正方形的边长是，面积是10；（2）如图2的三角形的边长分别为2，，；（3）如图3，连接AC，CD，则AD=BD=CD==，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=BC==，∴∠ABC=∠BAC=45°．26、234米2.提示：连结AC，将四边形分割成两个三角形，其面积为两个三角形的面积之和，根据勾股定理求出AC，进而求出AD.AC==25,AD==24，面积为AB×BC+AD×CD=234米2.27、【解答】解：根据题意，在Rt△ABC中，AB=2.5，AC=2.4，由勾股定理得：BC==0.7，∵BB1=0.8，∴B1C=B1B+BC=1.5．∵在Rt△A1B1C中，A1B1=2.5，B1C=1.5，∴A1C==2，∴A1A=2.4﹣2=0.4．答：那么梯子顶端沿墙下滑的距离为0.4米．28、解：公路AB需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．因为BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，所以根据勾股定理有AB=500米．因为S△ABC=AB•CD=BC•AC所以CD=240米．由于240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．29、【解答】（1）解：如图1，∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴BF=EF，∵AB=8，∴EF=8﹣AF，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即42+AF2=（8﹣AF）2，解得AF=3；（2）如图2，①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴∠BGF=∠EGF，∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，∴∠BGF=∠EFG，∴∠EGF=∠EFG，∴EF=EG；②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴EG=BG=10，HE=AB=8，FH=AF，∴EF=EG=10，在Rt△EFH中，FH===6，∴AF=FH=6．30、【解答】解：（1）根据格子的数可以知道面积为S=3×3﹣×3×2﹣×1×2×1×3=；故答案是：；（2）画图为计算出正确结果S△DEF=2×4﹣（1×2+1×4+2×2）=3；（3）①如图3，过R作RH⊥PQ于H，设RH=h，在Rt△PRH中，PH==，在Rt△RQH中，QH==，∴PQ=+=，两边平方得，13﹣h2+10﹣h2+2•=17，整理得•=2+h2，两边平方得，（13﹣h2）（10﹣h2）=4+4h2+h4，解得h=，∴S△PQR=PQ•RH=，同理，S△BCR=S△DEQ=S△AFP=，∴△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等；②利用构图法计算出S△PQR=，△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等，计算出六边形花坛ABCDEF的面积为S正方形PRBA+S正方形RQDC+S正方形QPFE+4S△PQR=13+10+17+4×=62．。

九年级数学勾股定理专项复习练习

考点1：已知直角三角形的两边求第三边练习：1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别为直角边，c 为斜边，求下列问题：（1）已知：a=5，b=12，则c=_____ （2）已知：c=17，b=8，则a=_____（3）已知a ：b=3：4，且c=15，则a=__ __；b=__ ___2.① 在Rt △ABC 中，已知两直角边长为5、12，则第三边的长为； ② 在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 .3. 在Rt △ABC 中，已知两直角边长为6、8，则斜边上的高为 .4. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90º， CD ⊥AB ，D 为垂足，AC=10cm,BC=24cm. 求 :① △ABC 的面积； ②斜边AB 的长；③斜边AB 上的高CD 的长。

巩固练习：1、等腰三角形的，腰长为25，底边长14，则底边上的高是，面积是_________。

2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为_____ 。

3、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为。

4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（） A 、6厘米； B 、 8厘米； C 、 80/13厘米； D 、 60/13厘米；5、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且斜边为20cm ，求（1）两直角边的长; (2）斜边上的高线长. 小结：① 在直角三角形中，斜边上的高：cab h =；② 注意所求的是直角三角形中的哪一条边，是用勾股定理的公式还是变形公式；③ 在没有直角三角形时，适当构造直角三角形。

考点2：勾股定理的逆定理（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）D A B C练习：1. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A ．2，3，4B ．3，5，22C ．5，12，13D ．4，6，72. 在∆ABC 中，若2a =（b +c ）（b -c ），则∆ABC 是三角形，且∠ ︒903.已知在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，则△ABC 的周长为．4. 如图己知13,12,4,3,====⊥AD CD BC AB BC AB .求四边形ABCD 的面积.练习：1. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A ．a:b:c=8∶16∶17B ．a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c) D ．a:b:c =13∶5∶12 2. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是____________.3.已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。

中考数学复习考点知识与题型专题讲解18---勾股定理(解析版)

中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题18 勾股定理【知识要点】知识点一直角三角形与勾股定理直角三角形三边的性质：1、直角三角形的两个锐角互余。

2、直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。

3、直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。

勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=变式：1）a ²=c ²-b ²2）b ²=c ²-a ²适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．c ba HG FEDC B A b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证222a b c +=知识点二勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等扩展：用含字母的代数式表示n 组勾股数：1）221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2）2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）3）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。

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2021中考复习数学考点专项训练——专题十八：勾股定理
一、填空题
1．直角三角形的两边长为3，5，且第三边是整数，则第三边的长度为______．
2. 一艘轮船以海里∕小时的速度从港口出发向东北方向航行，同时另一轮船以海里∕小时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，则两船相距________．
3. 若三角形的边长分别为、、，则它的最长边上的高为________．
4. 像、、这样的正整数符合，又如、、符合，这样的数组我们叫做勾股数．
（1）有一组数是勾股数，两个较小的数为和，则第三个数为________．
（2）下列数组中勾股数有________．
①，，；②，，；③，，；④，，
组组组组．
5. 一个圆桶儿，底面直径为，高为，有一只小虫从底部点处爬到上底处，则小虫所爬的最短路径长是取________．
6. 如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子顶端沿着墙下滑米，那么梯足也向外平移________米．
7. 在一个长为米，宽为米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽平行
且，木块的正视图是边长为
米的正方形，一只蚂蚁从点处，到达处需要走的最短路程是________
米．（精确到
米）
8．如上图，在
中，
，将
折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，若AC=6，BC=8，
则线段CD 的长为______．
9．如图，在
中，点、、分别在、、上，且，，，
，
，则
______度．
10.如图，一圆柱高 8 cm ，底面半径 2 cm ，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程(π取 3)是
.
二、选择题
1. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h 2
B. a 2+b 2=2h 2
C.
a 1+
b 1=h
1
D.
21a +2
1b =
2
1h
2. 下列各组数为勾股数的是（）
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
3. 下列各组数据中能作为直角三角形三边长的是
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
4. 一艘轮船以海里∕小时的速度从港口出发向东北方向航行，同时另一轮船以海里∕小时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，则两船相距（）
A.海里
B.海里
C.海里
D.海里
5. 用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于”，应该先假设这个三角形中（）
A.没有一个内角小于
B.每一个内角小于
C.至多有一个内角不小于
D.每一个内角都大于
6. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组（）
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
7. 如图，是一段楼梯，高是，斜边是，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）
A. B. C. D.
8．如图，在矩形中，点的坐标是，则两点间的距离是（）
A．B．C．D．5
9．如图所示的是一种机器人行走的路径，机器人从处先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再转向北走后往东一拐仅走就到达了．则点与点之间的直线距离是（）
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点P为x轴上一点，且到A（0，2）和点B（5，5）的距离相等，则线段OP的长度为（）
A．3 B．4 C．4.6 D．2
11．下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（）．
A．①③B．①②③C．②④D．①②③④
12．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、
C 、
D 的面积分别为3、5、2、3，则最大正方形
E 的面积是（）
A ．47
B ．13
C ．11
D ．8
13.我国古代数学家赵爽的"勾股方圆图"是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图6所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么2
()a b 的值是（）
A.1
B. 2
C. 3
D. 4 14. 如图所示，在中，
，
平分
，交
于点，且
，
，
则点到
的距离是
A. B. C. D. 三、解答题
1．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 交AB 于点E ，且BE 2
﹣EA 2
＝AC 2
．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长．
2．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片使AC边落在AB边上，点C落在点E处，展开纸片得折痕AD．
（1）直接写出AB的长是________；
（2）求CD的长．
3. 已知如图，四边形中，，，，，，求这个四边形的面积．
4.有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD＝8 cm，高AB＝6 cm，水深为AE＝4 cm，在水面线EF 上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG＝6 cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．
(1)小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．
(2)求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度)．
5. 某小区有一块长方形草坪，为方便居民穿行和健身，小区管理人员沿草坪对角线修一条长的砖路，并在草坪周围铺设了一圈石子路（石子路的宽度忽略不计），如图所示，已知长方形草坪的长与宽之比为，求所铺设的石子路的总长度．（结果精确到，参考数据：）
6. 教材章第节读一读“我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，图称为“弦图”，最早是由三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注给出的，图是北京召开的年国际数学家大会的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代数学的成就，请你根据图说明勾股定理成立的原因．
7. 根据我国古代《周髀算经》记载，公元前年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是，股是，那么弦就等于，后人概括为“勾三、股四、弦五”．
（1）观察：①，，；②，，；③，，；…发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且，和，
发现规律：勾为（，且为奇数）时有：股，弦分别写出能表示，，
的股和弦的算式？
（2）根据（1）的规律，用为奇数，且的代数式来表示所有这些勾股数的勾，股，弦，合理猜想它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明？
（3）继续观察①，，；②，，；②，，；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过，运用类似上述的探索的方法，直接用为偶数，且的代数式来表示它们的股和弦．。