2012-2013南通市高三数学一模

南通市2013届高三第一次调研测试数学I

（考试时间：120分钟满分：160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位

置上．

1．已知全集U=R，集合{}

10

A x x

=+>，则

U

A=

ð

▲．

答案：(,1]

-∞-．

2．已知复数z=32i

i

-(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第▲象限．

答案：三．

3．已知正四棱锥的底面边长是6

，这个正四棱锥的侧面积是▲．

答案：48.

4．定义在R上的函数()

f x，对任意x∈R都有(2)()

f x f x

+=，当(2,0)

x∈-时，()4x

f x=，

则(2013)

f=▲．

答案：1

4

．

5．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的▲．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）答案：否命题．

6．已知双曲线

2

2

22

1

y

x

a b

-=的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合，

，则该双曲线的标准方程为▲．

答案：

2

2

1

y

x-=．

7．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5与a7的等比中项为▲．

答案

：±

8．已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为▲．

答案：3

8

．

9．在△ABC中，若AB=1，AC

||||

AB AC BC

+=

，则

||

BA BC

BC

⋅

= ▲．

A

B

C

D

E

F A 1

B 1

C 1

(第15题)

答案：12

． 10．已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，则λ的最大值为

▲ ． 答案：－2． 11．曲线2(1)1

()e (0)e 2x f f x f x x '=

-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：1

e 2

y x =-

． 12．如图，点O 为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅

为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s 时刻的位移为 ▲ cm ． 答案：－1.5．

13．已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，

且PA =PB ,则0x 的取值范围为 ▲ ．

答案：(1,0)(0,2)- ．

14．设P (x ，y )为函数21y x =-(x 图象上一动点，记3537

12

x y x y m x y +-+-=

+

--，则当m 最小时，点 P 的坐标为 ▲ ．

答案：(2，3)．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的

位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)

如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点，F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点．求证： （1）//EF 平面ABC ； （2）平面AEF ⊥平面A 1AD ． 解：（1）连结11A B A C 和．

因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点， 所以E F 、分别是11A B A C 和的中点．

所以//EF BC ． ……………………………………………3分 又BC ⊂平面ABC 中，EF Ø平面ABC 中，

故//EF 平面ABC ． …………………………………6分

(第12题)

O

A

B

C

D

E

F A 1

B 1

C 1

(第15题)

（2）因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱， 所以1A A ⊥平面ABC ，所以1BC A A ⊥．

故由//EF BC ，得1EF A A ⊥． ………………………………………8分 又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以BC AD ⊥． 故由//EF BC ，得EF AD ⊥． …………………10分 而1A A AD A = ，1,A A AD ⊂平面1A AD ，所以EF ⊥平面1A AD ．…………………………………12分

又EF ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面1A AD ．………………14分 16.（本题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan A B C +=．

（1）求角C 的大小；

（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围． 解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B

+=+，

所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，

得 sin()sin()C A B C -=-． ………………………………………………………4分 所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．

即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分

(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333

A B α<<<<知-．

因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， …………………………………8分 故22221cos 21cos 2sin sin A B a b A B --+=+=+

=12π2π11cos(2)cos(2)1cos22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦

ααα． …………………11分

ππ2π2π,2,3333

αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故

2233a b <+≤．………14分

A

B

C

D

B '

P