2012-2013南通市高三数学一模

南通市2013届高三第一次调研测试数学I
（考试时间：120分钟满分：160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位
置上．
1．已知全集U=R，集合{}
10
A x x
=+>，则
U
A=
ð
▲．
答案：(,1]
-∞-．
2．已知复数z=32i
i
-(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第▲象限．
答案：三．
3．已知正四棱锥的底面边长是6
，这个正四棱锥的侧面积是▲．
答案：48.
4．定义在R上的函数()
f x，对任意x∈R都有(2)()
f x f x
+=，当(2,0)
x∈-时，()4x
f x=，
则(2013)
f=▲．
答案：1
4
．
5．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的▲．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）答案：否命题．
6．已知双曲线
2
2
22
1
y
x
a b
-=的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合，
，则该双曲线的标准方程为▲．
答案：
2
2
1
y
x-=．
7．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5与a7的等比中项为▲．
答案
：±
8．已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为▲．
答案：3
8
．
9．在△ABC中，若AB=1，AC
||||
AB AC BC
+=
，则
||
BA BC
BC
⋅
= ▲．
A
B
C
D
E
F A 1
B 1
C 1
(第15题)
答案：12
． 10．已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，则λ的最大值为
▲ ． 答案：－2． 11．曲线2(1)1
()e (0)e 2x f f x f x x '=
-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：1
e 2
y x =-
． 12．如图，点O 为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅
为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s 时刻的位移为 ▲ cm ． 答案：－1.5．
13．已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，
且PA =PB ,则0x 的取值范围为 ▲ ．
答案：(1,0)(0,2)- ．
14．设P (x ，y )为函数21y x =-(x 图象上一动点，记3537
12
x y x y m x y +-+-=
+
--，则当m 最小时，点 P 的坐标为 ▲ ．
答案：(2，3)．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的
位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)
如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点，F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点．求证： （1）//EF 平面ABC ； （2）平面AEF ⊥平面A 1AD ． 解：（1）连结11A B A C 和．
因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点， 所以E F 、分别是11A B A C 和的中点．
所以//EF BC ． ……………………………………………3分 又BC ⊂平面ABC 中，EF Ø平面ABC 中，
故//EF 平面ABC ． …………………………………6分
(第12题)
O
A
B
C
D
E
F A 1
B 1
C 1
(第15题)
（2）因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱， 所以1A A ⊥平面ABC ，所以1BC A A ⊥．
故由//EF BC ，得1EF A A ⊥． ………………………………………8分 又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以BC AD ⊥． 故由//EF BC ，得EF AD ⊥． …………………10分 而1A A AD A = ，1,A A AD ⊂平面1A AD ，所以EF ⊥平面1A AD ．…………………………………12分
又EF ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面1A AD ．………………14分 16.（本题满分14分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan A B C +=．
（1）求角C 的大小；
（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围． 解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B
+=+，
所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，
得 sin()sin()C A B C -=-． ………………………………………………………4分 所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．
即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分
(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333
A B α<<<<知-．
因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， …………………………………8分 故22221cos 21cos 2sin sin A B a b A B --+=+=+
=12π2π11cos(2)cos(2)1cos22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦
ααα． …………………11分
ππ2π2π,2,3333
αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故
2233a b <+≤．………14分
A
B
C
D
B '
P
17.（本题满分14分）
某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好．
（1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？
解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<． …………2分
设DP y =，则PC x y =-．
因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．
由 222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+⇒=-，12x <<．……5分
（2）记△ADP 的面积为1S ，则
11(1)(2)S x x =-- ………………………………………………6分
2
3()2x x
=-+≤-
当且仅当x =∈(1，2)时，S 1取得最大值．…………………………………8分
2- …………………9分 （3）记△ADP 的面积为2S ，则
221114(2)(1)(2)3()S x x x x =-+--=-+，12x <<．…………………………10分
于是，3222142(2)02x S x x x x -+'=--=
=⇒11分
关于x 的函数2S 在(1上递增，在上递减．
所以当x 2S 取得最大值． ……………………13分
2- …………………14分 18.（本题满分16分）
已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()
2
n n n a a S -=． （1）求a 1；
（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1
lg 3n n n
a b +=
，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．
解：(1)令n =1，则a 1=S 1=
111()
2
a a -=0． ………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n na
S =， ① 得 1
1(1)2
n n n a S +++=
． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．
④
③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． ………………………7分 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，
所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以，a n =n －1． ……………………………………………………9分
(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，
于是，
213
3p
q p q
=+． ……………………………………………11分 所以，21
3(
)3
3q p p q =-(☆)． 易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． …………………………13分 当p ≥3，且p ∈N *时，
11
2(1)224333p p p p p p +++--=
<0，故数列{23p p
}(p ≥3)为递减数列， 于是
213
3p p -≤3231
33⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解．
综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． ………16分
注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，
亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．
19.（本题满分16分）
已知左焦点为F (－1，0)的椭圆过点E (1)．过点P (1，1)分别作斜率为k 1，k 2
的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程；
（2）若P 为线段AB 的中点，求k 1；
（3）若k 1+k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标． 解：依题设c =1，且右焦点F '(1，0)．
所以，2a =EF EF '+
=b 2=a 2－c 2
=2，
故所求的椭圆的标准方程为22132
y x +=． ……………………………4分
(2)设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则22111x y +=①，22
22
1x y +=②．
②－①，得 21212121()()()()032
x x x x y y y y -+-++=．
所以，k 1=
212121212()423()63
P P y y x x x x x y y y -+=-=-=--+． ………………………………9分 (3)依题设，k 1≠k 2．
设M (M x ,M y )，直线AB 的方程为y －1=k 1(x －1)，即y =k 1x +(1－k 1)，亦即y =k 1x +k 2，
代入椭圆方程并化简得 222
1122(23)6360k x k k x k +++-=．
于是，122
1323M k k x k -=
+，2
21223M k y k =+． …………………………………11分 同理，1222323N k k x k -=
+，1
2
2
223N k y k =+． 当k 1k 2≠0时，
直线MN 的斜率k =M N M N y y x x -=
-2
22
211212146()k k k k +++=2121
1069k k k k --．………………13分 直线MN 的方程为2211222
211121063()92323k k k k k y x k k k k ---
=--++， 即 2121122
22
21211110610632()992323k k k k k k k y x k k k k k k --=
+⋅+--++，
亦即 21
21106293
k k y x k k -=
--．
此时直线过定点2(0,)3-． ……………………………………………15分
当k 1k 2=0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点2(0,)3
-．
综上，直线MN 恒过定点，且坐标为2(0,)3-． ……………………………16分
20.（本题满分16分）
已知函数()(0ln x f x ax x x
=->且x ≠1)．
（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；
（2）若212,[e,e ]x x ∃∈，使f (x 1)≤2()f x a '+成立，求实数a 的取值范围．
解：（1）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2
ln 1()0(ln )
x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立． ………………2分
所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤． 又()
2
2
ln 111()ln ln (ln )
x f x a a x x x -'=-=-+-()2
11
1ln 2
4
a x =--+-， 故当11ln 2
x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．
所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ……………………………6分
（2）命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于
“当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”． ……………………………7分 由（1），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14
f x a '+=．
问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4f x ≤”． …………………………8分
01当14
a ≥时，由（1），()f x 在2[e,e ]上为减函数，
则min ()f x =2
22e 1(e )e f a =-≤，故21124e
a ≥-． ………………………10分
2当14a <时，由于()f x '()2
11
1ln 2
4
a x =--+-在2
[e,e ]上为增函数， 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4
a a --．
(i )若0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数， 于是，min ()f x =1(e)e e e>4f a =-≥，不合． …………………………12分
(ii )若0a -<，即104
a <<，由()f x '的单调性和值域知，
∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：
当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；
所以，min ()f x =0
0001()ln 4
x f x ax x =
-≤，20(e,e )x ∈． 所以，2001111111ln e a ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合． ………15分
综上，得21124e
a ≥-． …………………………………………………16分
南通市2013届高三第一次调研测试数学附加题
参考答案与评分标准
21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，
共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4－2：矩阵与变换
已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程． 解：设A =NM ，则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， …………………………………3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ， 则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',
1'.2
x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……………7分 又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．…………10分
C ．选修4－4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐
标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ，直线l
的参数方程为,
1x y t
⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )．试
在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．
解：曲线C 的普通方程是2
213
x y +=． ……………………………………2分
直线l
的普通方程是0x ． ………………………………………4分 设点M
的直角坐标是,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是
d =
． ………………………………7分
因为)4
+π
θ，所以
当πsin()14θ+=-，即ππ2π(42k k θ+=-∈Z )，即3π
2π(4k k θ=-∈Z )时，d 取得最大值．
==θθ． 综上，点M
的极坐标为7π
)6
时，该点到直线l 的距离最大． ……………………10分
注 凡给出点M
的直角坐标为(，不扣分． 22．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
如图，已知定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使
1PQ QM = ，且0PR PM ⋅=
．
（1）求动点M 的轨迹C 1；
（2）圆C 2： 22(1)1x y +-=，过点(0，1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点（从左到右），
交C 2于B ，C 两点（从左到右），求证：AB CD ⋅
为定值．
解：（1）法一：设M (x ，y )，P (x 1，0)，Q (0，y 2)，则由10,2
PR PM PQ QM ⋅==
及R (0，－
3)，得
11122()(3)0,1,
211.22
x x x y x x y y y ⎧
⎪--+-=⎪
⎪
-=⎨⎪
⎪=-⎪⎩化简，得24x y =． ……………………………………4分 所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线． ……………………5分 法二：设M (x ，y )．
由12PQ QM = ，得 (,0),(0,)23x y
P Q -．
所以，3(,3),(,)22
x x
PR PM y =-= ．
由0PR PM = ，得 3(,3)(,)022x x y -⋅=，即23
304
x y -=．化简得 24x y =． …4分
所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线． ……………………5分 （2）证明：由题意，得 AB CD AB CD ⋅=⋅
，⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ．
设11(,)A x y ，22(,)D x y ，则1111AB FA FB y y =-=+-=． ……………………7分 同理 2CD y =．
设直线l 的方程为 (1)x k y =-．
由2(1),
1,4
x k y y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得22
1(1)4y k y =-，即2222(24)0k y k y k --+=．
所以，121AB CD AB CD y y ⋅=⋅==
． …………………………………10分 23．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ． （1）若1a =-，求数列{a n }的通项公式；
（2）若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数． 解：(1)当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+．
令1n n b a =-，则115,(1)n b n b b +=-=-． 因15b =-为奇数，n b 也是奇数且只能为1-，
所以，5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,
0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩
………………………………3分
(2)当3a =时，1114,31n a n a a -+==+． ………………………………………4分
下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；
设当*()n k k =∈N 时，命题成立，则存在t ∈N *，使得4k a t =，
1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，
其中，4(1)1454443
4(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅ ，
第11页（共11页） m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立． ∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立． ……………………………10分 ．。