2012-2013南通市高三数学一模

南通市2013届高三第一次调研测试数学I（考试时间：120分钟满分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知全集U=R，集合{}10A x x=+>，则UA=ð▲．答案：(,1]-∞-．2．已知复数z=32ii-(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第▲象限．答案：三．3．已知正四棱锥的底面边长是6，这个正四棱锥的侧面积是▲．答案：48.4．定义在R上的函数()f x，对任意x∈R都有(2)()f x f x+=，当(2,0)x∈-时，()4xf x=，则(2013)f=▲．答案：14．5．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的▲．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）答案：否命题．6．已知双曲线22221yxa b-=的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合，，则该双曲线的标准方程为▲．答案：221yx-=．7．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5与a7的等比中项为▲．答案：±8．已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为▲．答案：38．9．在△ABC中，若AB=1，AC||||AB AC BC+=，则||BA BCBC⋅= ▲．ABCDEF A 1B 1C 1(第15题)答案：12． 10．已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，则λ的最大值为▲ ． 答案：－2． 11．曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：1e 2y x =-． 12．如图，点O 为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s 时刻的位移为 ▲ cm ． 答案：－1.5．13．已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且PA =PB ,则0x 的取值范围为 ▲ ．答案：(1,0)(0,2)- ．14．设P (x ，y )为函数21y x =-(x 图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-=+--，则当m 最小时，点 P 的坐标为 ▲ ．答案：(2，3)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点，F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点．求证： （1）//EF 平面ABC ； （2）平面AEF ⊥平面A 1AD ． 解：（1）连结11A B A C 和．因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点， 所以E F 、分别是11A B A C 和的中点．所以//EF BC ． ……………………………………………3分 又BC ⊂平面ABC 中，EF Ø平面ABC 中，故//EF 平面ABC ． …………………………………6分(第12题)OABCDEF A 1B 1C 1(第15题)（2）因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱， 所以1A A ⊥平面ABC ，所以1BC A A ⊥．故由//EF BC ，得1EF A A ⊥． ………………………………………8分 又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以BC AD ⊥． 故由//EF BC ，得EF AD ⊥． …………………10分 而1A A AD A = ，1,A A AD ⊂平面1A AD ，所以EF ⊥平面1A AD ．…………………………………12分又EF ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面1A AD ．………………14分 16.（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan A B C +=．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围． 解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． ………………………………………………………4分 所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， …………………………………8分 故22221cos 21cos 2sin sin A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα． …………………11分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故2233a b <+≤．………14分ABCDB 'P17.（本题满分14分）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<． …………2分设DP y =，则PC x y =-．因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．由 222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+⇒=-，12x <<．……5分（2）记△ADP 的面积为1S ，则11(1)(2)S x x =-- ………………………………………………6分23()2x x=-+≤-当且仅当x =∈(1，2)时，S 1取得最大值．…………………………………8分2- …………………9分 （3）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()S x x x x =-+--=-+，12x <<．…………………………10分于是，3222142(2)02x S x x x x -+'=--==⇒11分关于x 的函数2S 在(1上递增，在上递减．所以当x 2S 取得最大值． ……………………13分2- …………………14分 18.（本题满分16分）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=． （1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． ………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． ………………………7分 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ……………………………………………………9分(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，2133pq p q=+． ……………………………………………11分 所以，213()33q p p q =-(☆)． 易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． …………………………13分 当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23p p}(p ≥3)为递减数列， 于是2133p p -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． ………16分注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．19.（本题满分16分）已知左焦点为F (－1，0)的椭圆过点E (1)．过点P (1，1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求k 1；（3）若k 1+k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标． 解：依题设c =1，且右焦点F '(1，0)．所以，2a =EF EF '+=b 2=a 2－c 2=2，故所求的椭圆的标准方程为22132y x +=． ……………………………4分(2)设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则22111x y +=①，22221x y +=②．②－①，得 21212121()()()()032x x x x y y y y -+-++=．所以，k 1=212121212()423()63P P y y x x x x x y y y -+=-=-=--+． ………………………………9分 (3)依题设，k 1≠k 2．设M (M x ,M y )，直线AB 的方程为y －1=k 1(x －1)，即y =k 1x +(1－k 1)，亦即y =k 1x +k 2，代入椭圆方程并化简得 2221122(23)6360k x k k x k +++-=．于是，1221323M k k x k -=+，221223M k y k =+． …………………………………11分 同理，1222323N k k x k -=+，122223N k y k =+． 当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k =M N M N y y x x -=-222211212146()k k k k +++=21211069k k k k --．………………13分 直线MN 的方程为2211222211121063()92323k k k k k y x k k k k ---=--++， 即 21211222221211110610632()992323k k k k k k k y x k k k k k k --=+⋅+--++，亦即 2121106293k k y x k k -=--．此时直线过定点2(0,)3-． ……………………………………………15分当k 1k 2=0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点2(0,)3-．综上，直线MN 恒过定点，且坐标为2(0,)3-． ……………………………16分20.（本题满分16分）已知函数()(0ln x f x ax x x=->且x ≠1)．（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若212,[e,e ]x x ∃∈，使f (x 1)≤2()f x a '+成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立． ………………2分所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤． 又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-， 故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ……………………………6分（2）命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于“当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”． ……………………………7分 由（1），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4f x ≤”． …………………………8分01当14a ≥时，由（1），()f x 在2[e,e ]上为减函数，则min ()f x =222e 1(e )e f a =-≤，故21124ea ≥-． ………………………10分2当14a <时，由于()f x '()2111ln 24a x =--+-在2[e,e ]上为增函数， 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --．(i )若0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数， 于是，min ()f x =1(e)e e e>4f a =-≥，不合． …………………………12分(ii )若0a -<，即104a <<，由()f x '的单调性和值域知，∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；所以，min ()f x =00001()ln 4x f x ax x =-≤，20(e,e )x ∈． 所以，2001111111ln e a ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合． ………15分综上，得21124ea ≥-． …………………………………………………16分南通市2013届高三第一次调研测试数学附加题参考答案与评分标准21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4－2：矩阵与变换已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程． 解：设A =NM ，则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………………………………3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ， 则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……………7分 又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．…………10分C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ，直线l的参数方程为,1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．解：曲线C 的普通方程是2213x y +=． ……………………………………2分直线l的普通方程是0x ． ………………………………………4分 设点M的直角坐标是,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是d =． ………………………………7分因为)4+πθ，所以当πsin()14θ+=-，即ππ2π(42k k θ+=-∈Z )，即3π2π(4k k θ=-∈Z )时，d 取得最大值．==θθ． 综上，点M的极坐标为7π)6时，该点到直线l 的距离最大． ……………………10分注 凡给出点M的直角坐标为(，不扣分． 22．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，已知定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使1PQ QM = ，且0PR PM ⋅=．（1）求动点M 的轨迹C 1；（2）圆C 2： 22(1)1x y +-=，过点(0，1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点（从左到右），交C 2于B ，C 两点（从左到右），求证：AB CD ⋅为定值．解：（1）法一：设M (x ，y )，P (x 1，0)，Q (0，y 2)，则由10,2PR PM PQ QM ⋅==及R (0，－3)，得11122()(3)0,1,211.22x x x y x x y y y ⎧⎪--+-=⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩化简，得24x y =． ……………………………………4分 所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线． ……………………5分 法二：设M (x ，y )．由12PQ QM = ，得 (,0),(0,)23x yP Q -．所以，3(,3),(,)22x xPR PM y =-= ．由0PR PM = ，得 3(,3)(,)022x x y -⋅=，即23304x y -=．化简得 24x y =． …4分所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线． ……………………5分 （2）证明：由题意，得 AB CD AB CD ⋅=⋅，⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ．设11(,)A x y ，22(,)D x y ，则1111AB FA FB y y =-=+-=． ……………………7分 同理 2CD y =．设直线l 的方程为 (1)x k y =-．由2(1),1,4x k y y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得221(1)4y k y =-，即2222(24)0k y k y k --+=．所以，121AB CD AB CD y y ⋅=⋅==． …………………………………10分 23．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ． （1）若1a =-，求数列{a n }的通项公式；（2）若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数． 解：(1)当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+．令1n n b a =-，则115,(1)n b n b b +=-=-． 因15b =-为奇数，n b 也是奇数且只能为1-，所以，5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩………………………………3分(2)当3a =时，1114,31n a n a a -+==+． ………………………………………4分下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；设当*()n k k =∈N 时，命题成立，则存在t ∈N *，使得4k a t =，1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅ ，第11页（共11页） m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立． ∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立． ……………………………10分 ．。