第三章 应力分析与应变分析解读
工程力学中的应力与应变分析方法探讨
工程力学中的应力与应变分析方法探讨在工程力学中，应力与应变是研究材料和结构力学性能的重要概念。
应力是指单位面积内的力的大小，而应变则是指材料的形变程度。
应力与应变的分析方法是工程力学中的核心内容之一，本文将对工程力学中的应力与应变分析方法进行探讨。
一、应力分析方法在工程力学中，常用的应力分析方法有静力学方法、接触力学方法和弹性力学方法。
静力学方法是通过平衡方程分析物体所受到的力，并计算得出应力分布情况；接触力学方法则是研究物体间的接触行为，通过接触区域的应力分布来分析力的传递情况；弹性力学方法则是应用弹性力学原理，通过杨氏模量和泊松比等参数计算得出应力分布情况。
静力学方法是应力分析中最基本的方法之一，它基于物体所受到的力的平衡条件进行分析。
静力学方法分为静力学平衡和弹性力学平衡两种情况。
静力学平衡是指物体在外力作用下不发生形变，通过将物体分解为若干个力的平衡条件方程来求解各个部位的应力；而弹性力学平衡则是物体在外力作用下发生形变，通过应力-应变关系来求解应力分布情况。
静力学方法在工程力学中应用广泛，可以分析各种载荷下的应力情况。
接触力学方法是研究物体与物体之间接触行为的力学方法，通过分析接触面的应力分布来推导出力的传递情况。
在实际工程应用中，接触力学方法广泛用于轴承、齿轮、摩擦等接触问题的分析与设计。
接触力学方法主要利用弹性力学和接触力学理论，通过建立接触面的几何模型和接触条件，求解接触区域的应力分布。
弹性力学方法是应力分析中最常用的方法之一，它基于弹性力学理论，通过材料的弹性参数计算得出应力分布。
弹性力学方法广泛应用于材料和结构强度分析中。
弹性力学方法主要使用线弹性理论，通过杨氏模量和泊松比等参数来描述材料的弹性性能，根据应力-应变关系计算得出应力分布情况。
二、应变分析方法在工程力学中，常用的应变分析方法有光栅衍射法、电测法和应变计法。
光栅衍射法是利用光学原理来测量物体表面的应变分布情况，通过测量光栅的位移来计算应变大小；电测法则是利用电阻应变片等设备来测量物体表面的应变分布情况；应变计法则是通过安装应变计来测量物体表面的应变分布情况。
河海大学 材料力学 第三章 杆件横截面上的应力、应变分析第一节
点K处的应力(stress) DF p=lim pm= lim —— DA→0 DA→0 DA
p 正应力s :沿截面法向 n 切应力t :沿截面切向 s p 2= s 2 + t 2
应力单位：Pa(帕斯卡、帕) MPa(兆帕)
1 Pa = 1 N/m2 1MPa =106 Pa
注意：
t
K
s
以上分析可见，应力是受力物体内某个截面上某 一点上内力分布集度。通常情况下，物体内各点 应力是不同的，对于同一点不同方位截面上应力 亦不同。这样，应力离开它的作用点是没有意义 的，同样，离开它的作用面亦是没有意义的。
(shearing strain) 单位: rad。
四、胡克定律
s
s
du e= — dx
u
u+du
如果仅在单方向正应力s 作用下，且正应力不超过某 一限值（比例极限），则正应力与正应变成正比，即
s = Ee ——胡克定律(Hooke's law)
E ——弹性模量。(elastic modulus)
如何描述一点处的应力？
二、一点的应力状态、单元体：
K K
围绕K点取一微小的六面体，称为单元体。
六个面都表示通过同一点K的面，只是方向不同而已。
如果所取的单元体在空间方位不同，则单元体上各面 的应力分量亦不相同。
sy
y
tyz
tyx txy txz sx
x
tzy
z
sz
tzx
若从一复杂受力构件内某点取一单元体，一般 情况下单元体各面上均有应力，且每一面上同时存 在三个应力分量：一个法向分量——正应力；两个 切向分量——切应力。这样,单元体上共有9个应力 分量。
材料力学应力与应变分析
在复杂应力状态下，物体内部某一点处的主应力表示该点处最主要 的应力，次应力则表示其他较小的应力。
应力表示方法
应力矢量
应力矢量表示应力的方向和大小，通常用箭头表示。
应力张量
在三维空间中，应力可以用一个二阶对称张量表示，包括三个主应力和三个剪切 应力分量。
主应力和剪切应力
主应力
在任意一点处，三个主应力通常是不相等的，其中最大和最小的主应力决定了材料在该点的安全程度 。
采用有限元分析方法，建立高 层建筑的三维模型，模拟不同 工况下的应力与应变分布。
结果
通过分析发现高层建筑的关键 部位存在较高的应力集中，需
要进行优化设计。
结论
优化后的高层建筑结构能够更 好地承受各种载荷，提高了安
全性和稳定性。
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不同受力状态下的变形行为。
06 实际应用与案例分析
实际应用场景
航空航天
飞机和航天器的结构需要承受高速、高海拔和极端温度下 的应力与应变，材料力学分析是确保安全的关键。
汽车工业
汽车的结构和零部件在行驶过程中会受到各种应力和应变 ，材料力学分析有助于优化设计，提高安全性和耐久性。
土木工程
桥梁、大坝、高层建筑等大型基础设施的建设需要精确的 应力与应变分析，以确保结构的稳定性和安全性。
剪切应力
剪切应力是使物体产生剪切变形的力，其大小和方向与剪切面的法线方向有关。剪切应力的作用可以 导致材料产生剪切破坏。
04 应变分析
应变定义
定义
应变是描述材料形状和尺寸变化的物理量， 表示材料在外力作用下发生的形变程度。
单位
应变的单位是1，没有量纲，常用的单位还有微应变 （με）和工程应变（%）。
第三章应力分析应变分析屈服准则复习讲诉
a 0 0
1 ij
0
b
0
0 0 0
ab
2
ab 2
0
2 ij
a
b 2
ab 2
0
0
0 0
一、应力张量不变量及其应用
例题解答
对于
1 ij
J1 a b0 a b
J2
a 0
0b
b0
00
00
0
a
ab
a00 J3 0 b 0 0
000
同理，对于
2 ij
J1
a
2
b
a
2
b
0
a
b
ab
J2
试问上述应变场在什么情况下成立？
例题解答
2 xy xy
1 2
2 x y 2
2 y x2
(1)
2 xy 2 (2bxy) 2b xy xy
1
2
2 x y 2
2 y x2
1
2
2
a x2 y2 y 2
2
axy
x2
a
a 2b 即当a 2b时，上述应变场存在。
应变分析问题小 结
max min
2
C
2.2 单向拉伸时的Tresca屈服准则
2.2 Tresca yield criterion in uniaxial stretch test
三、应变连续方程问题
知识要点回顾
小应变几何方程
2 x y2
2 y2
u x
2 xy
u
y
(1)
2 y x2
2 x2
v y
2 v xy x
(2)
第三章 应力分析
σx τxy τxz σy yx τ τyz Sx τzy σz τzx By Sz S= σ Sy N
A x
主平面上的应力
S x = σ l , S y = σ m, S z = σ n S x = σl = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎫
⎪ S y = σm = τ xy l + σ y m + τ zy n⎬ ⎪ S z = σn = τ xz l + τ yzx m + σ z n ⎭
S y dF − σ y mdF − τ xy ldF − τ zy ndF = 0
写成矩阵形式：
z C σ τx
y x
dF N σ Sz S Sy Sx O τz
y z
斜面上全应力为： 斜面上切应力为：
S = Sx + S y + Sz
2 2 2
2
σ
y z
τx τy
x z
σ = S xl + S y m + S z n
F0
P
N θ
σ0
σθ C F1 C1 Q Q
P P ⎧ C ⎪ Sθ = F = F cos θ = σ 0 cos θ 1 0 ⎪ ⎪ 2 ⎨σ θ = Sθ cos θ = σ 0 cos θ ⎪ 1 ⎪τ θ = Sθ sin θ = σ 0 cos θ sin θ = σ 0 sin 2θ 2 ⎪ ⎩
SN = σ N +τ N
2 2
2
3.2 点应力状态
点应力状态：点的应力状态，是指物体内任意一点附近不同方位上所承 受的应力情况，必须了解物体内任意一点的应力状态，才可推断整个变 形物体的应力状态。 1、一点应力状态的两种描述方法 第一种方法：应力状态图 在变形区内某点附近取一无限小的单元六面体，在其每个界面上都 作用着一个全应力，设单元体很小，可视为一点，故对称面上的应力是 相等的，只需在三个可见的面上画出全应力：
应力分析与应变分析
1 2 y
2 z 2
1 2
2 z
x 2
2 y
x 2
2 z
y 2
2 x
z 2
讨论：
1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系“连续 协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积； 2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中 有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内 三个切应变分量如果确 定，则正应变分量也就可以 确定； 3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量 自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分 量，则必须校验其是否满足连续性条件。
e
2 2(1 )
(
(1 2 )2 (2 3)2 (3 1)2
（ ——泊松比）
对于塑性变形：
e
2( 3
(1 2 )2 (2 3)2 (3 1)2
真实应力和真实应变含义：
tr p(t) A(t)
表示某瞬时的应力值
tr ln(lt l0 )
表示对某瞬时之前的应变的积分
§1.3 应力张量的分解与几何表示
ij
' ij
ij m
(i,j=x,y,z)
其中
m
1 3
(
x
y
z
)
即平均应力，
为柯氏符号。
即
x
.
xy y
xz yz
.x'
xy
' y
xz yz
m
1 0
0 1
0 0
.
. z .
.
' z
0 0 1
' x
x
m,
' y
y
m
' z
应力和应变分析和强度
泊松比
总结词
泊松比是描述材料横向变形与纵向变形之间关系的物理量。
详细描述
当材料受到外力作用时，会发生形变。泊松比是表示材料在受到外力作用时，横向变形与纵向变形之间的比例关 系。其值通常在-0.5到0.5之间，但不同材料的泊松比可能会有所不同。
屈服强度
总结词
屈服强度是描述材料在受到外力作用时开始发生屈服现象的应力极限。
应力和应变分析和强度
目录
• 应力分析 • 应变分析 • 强度分析 • 材料性能 • 应力和应变的关系 • 工程应用
01
应力分析
定义与概念
01
02
03
应力
物体受到外力作用时，单 位面积上的内力。
应变
物体在外力作用下发生的 形状和尺寸的改变。
应力分析
通过数学模型和实验手段， 研究物体在受力状态下的 应力分布、大小和方向的 过程。
应力分类
正弯曲应力
由于弯曲产生的应力。
扭曲应力
由于扭曲产生的应力。
应力计算方法
解析法
通过数学公式和物理定律，计算应力 的方法。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的应力，再组合得到 整体的应力分布。
实验法
通过实验手段测量物体的应力分布。
应变计算方法
有限元分析法
有限元分析是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个小的单元，对每个 单元进行受力分析和形变计算，再通过单元的集合来模拟整个物体的形变。这种 方法可以处理复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于工程领域。
实验测量法
通过在物体上粘贴应变片或使用激光干涉仪等设备来测量物体的形变，这种方法 可以直接获得物体的应变值，但需要专业的设备和操作技能。
应力和应变分析
应力和应变分析应力和应变分析是材料力学中非常重要的一项内容，它们研究材料在外力作用下的变形行为。
应力是表征材料单位面积内的力的大小，而应变则是描述材料单位长度内的变形程度。
应力和应变的分析可以帮助我们理解材料的强度和刚度，以及材料在不同条件下的变形和破坏机制。
本文将从应力和应变的定义、材料的本构关系和应变测量等方面进行探讨。
首先，应力的定义为单位面积内的力的大小，常用符号为σ，其计算公式为σ=F/A，其中F为施加力的大小，A为力作用的面积。
应力的单位通常为帕斯卡（Pa），1Pa等于1N/m^2、根据作用力的不同方向，应力又可以分为正应力和剪应力。
正应力是垂直于材料截面的力，剪应力则是在材料截面上平行于切平面的力。
其次，应变是材料受力后发生的形变程度，常用符号为ε，其计算公式为ε=ΔL/L0，其中ΔL为长度的增量，L0为力作用前的长度。
应变的单位为无量纲。
类似于应力，应变也有正应变和剪应变之分。
正应变是材料在力作用下产生的沿体积方向的变化，剪应变则是在截面上平行于剪切力方向的变化。
应力和应变之间的关系可以通过材料的本构关系来描述。
材料的本构关系是材料在应力与应变之间的函数关系，通常以应力-应变曲线的形式表示。
根据材料的性质不同，应力-应变曲线可以分为线性区、弹性区、屈服区、塑性区和断裂区。
在线性区内，应力和应变呈线性关系，材料具有良好的弹性行为。
在弹性区内，材料回复到原始形状，没有永久性变形。
当应力超过一定的值时，材料进入屈服区，出现塑性变形。
塑性区内，材料的应变增大，但没有太大的应力增加。
当材料无法再承受应力引起继续塑性变形时，出现断裂。
最后，应变的测量是应力和应变分析的重要一环。
常用的应变测量方法包括拉伸试验、剪切试验、压缩试验等。
拉伸试验是最常见的应变测量方法之一，通过施加拉力来测量材料在不同应力下的应变。
剪切试验则是通过施加剪切力来测量材料的剪切应变。
压缩试验则是将材料压缩后测量其压缩应变。
河海大学 材料力学 第三章 杆件横截面上的应力、应变分析第三节
切应力互等定理：在两个相互垂直的平面上，垂 直于两平面交线的切应力必成对存在，其数值相等， 方向或同时指向交线，或同时背离交线（定理具有普 遍意义，不管该平面上是否同时存在正应力） 反之，一个面上没有垂直于两平面交线的切应力， 另一面上也没有相应的切应力。 纯剪切应力状态(纯切应力状态)／纯剪切 (shearing state of stresses) ——单元体四个侧面上均只有切应力而无正应力。 圆扭转时横截面上的应力状态均为纯剪切应力状态
a dy
t´ t
b
t
t´ d d z
dx
t
c
例1 圆轴，Mx=2.15kN•m, D=50mm，求(1)距轴心 r=10mm处t , (2) t max, (3) 若采用d/D1=0.5 , t max不 变 ， D =？ 4 3 pD pD Mx t max 解: Ip= —— Wp= —— 32 16 Mx O (2) t max = —— = 87.6MPa Wp (1) t r= t max×r /R = 87.60×10/25 = 35.04MPa
§3-3 圆轴扭转时横截面上的切应力
轴(shaft)
横截面上的应力的三个问题? (1)应力形式？ t (2)应力分布？ (3)应力大小？ 从几何(变形)、物理、静力学三个方面分析
一、试验现象与平面假设 1、试验现象
(1)纵向线仍为直线，且都 倾斜同一微小角度g 。圆 周表面所有矩形网格，变 形后错动为平行四边形网 格。 (2)圆周线形状不变，仅绕 轴线作相对转动，不同截 面转过不同角度；变形很 小时，圆周线大小、间距 均不改变。
2、圆轴扭转的平面假设：
平面假设：圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍 为大小相同的平面，其半径仍保持为直线；且相邻两 横截面之间的距离不变。 (1)各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。 (2)圆轴无轴向正应变和横向正应变，因而扭转圆轴横截 面上无正应力，只可能存在切应力。 (3)倾斜的角度g 就是圆轴表面处的切应变。
材料成形原理应力分析与应变分析课件
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应变率与应变速率
在材料成形过程中，应变率和应变速率是描述材料变形速度的重要参数。了解应变率和应 变速率的变化规律有助于优化材料的加工工艺和产品质量。
应变硬化与软化
在材料成形过程中，随着变形的增加，材料的应力-应变行为会发生改变。应变硬化是指 随着变形的增加，材料的应力逐渐增大；而软化则是指随着变形的增加，材料的应力逐渐 减小。了解应变硬化和软化的规律有助于控制材料的成形过程和产品质量。
边界元法
只需求解边界上的积分方程，适用于求解具有复杂边界形状的问题。
应变分析的实例
圆筒形压力容器的应变分析
通过应变分析计算圆筒形压力容器在压力作用下的应变和应力分布，为容器的设 计和安全评估提供依据。
桥梁结构的应变分析
通过应变分析计算桥梁结构在车辆载荷作用下的应变和应力分布，为桥梁的维护 和安全评估提供依据。
先进工艺的应力与应变分析
先进成形工艺
随着制造业的发展，各种先进的成形 工艺不断涌现，如增材制造、精密铸 造、超塑性成形等。对这些工艺的应 力与应变进行分析，有助于提高工艺 的稳定性和产品质量。
工艺参数优化
通过分析不同工艺参数下的应力与应 变分布，可以优化工艺参数，降低成 形过程中的缺陷风险，提高产品的力 学性能和可靠性。
重要性
材料成形原理是材料加工工程领域的基础学科之一，对于深入理解材料加工过 程、优化工艺参数、提高产品质量和降低生产成本等方面具有重要意义。
材料成形原理的基本概念
应力和应变
在材料成形过程中，由于外力的作用， 材料内部会产生应力，导致材料的形 状和尺寸发生变化，这种变化称为应 变。
屈服准则
流动法则
流动法则描述了材料在塑性变形过程 中应力和应变之间的关系，即应力和 应变的变化规律。
第三章 应力分析、应变分析和屈服条件-第二部分
1 2 ′ J2 = σ S = C 在单向拉伸时， 在单向拉伸时， 3
2 在纯剪切时， 在纯剪切时， J2 =τ S = C ′
比较这二者可知，采用 比较这二者可知，采用Mises条件就意味着 条件就意味着
σs = 3τ s
屈服条件
π平面上 平面上Mises圆同 圆同Tresca六边形的几何关系 平面上 圆同 六边形的几何关系
两点假设
1、材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的 可表示为三个主应力的函数： 可表示为三个主应力的函数： 或应力不变量来表示： 或应力不变量来表示： 2、静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质 这时，屈服条件只与应力偏量有关： 这时，屈服条件只与应力偏量有关： f (s1, s2 , s3 ) = 0,
F(J1, J2 , J3 ) = 0
′ ′ 也可由应力偏张量的不变量表示： 也可由应力偏张量的不变量表示： f (J2 , J3 ) = 0
屈服条件
二、屈服曲线
主应力空间中任一点P代表一个应力状态， 主应力空间中任一点 代表一个应力状态， 代表一个应力状态 直线和π平面分解 平面分解： 向量 OP可参照L直线和 平面分解：
应力与应变分析课件
03
边界元法
边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，适用于解决各种物理问
Байду номын сангаас
题。未来，边界元法将在更多领域得到应用，例如流体力学、电磁场等
问题。
考虑材料非线性的影响
材料非线性是指材料的应力-应变关系不是线性的，需要考虑 材料内部结构、相变等因素的影响。未来，研究人员将进一 步考虑材料非线性的影响，以更准确地预测材料的力学性能 。
解方程
通过加权残值法，求解方程中 的参数，使得残值的平方和最
小化。
05
应力与应变分析在工 程中的应用
结构优化设计
总结词
提高结构性能与稳定性
详细描述
应力与应变分析在结构优化设计中具有重要作用，通过分析可以评估结构的强 度、刚度和稳定性，发现潜在的薄弱环节，为结构设计和改进提供依据，从而 提高结构的性能与稳定性。
应力分类
根据作用力的来源和性质，应力 可以分为多种类型，如正应力、 剪应力、弯曲应力等。
应力与应变的关系
应力的作用
应力作用在物体上，会导致物体 内部发生形变，即应变。
应变分类
应变分为线应变和角应变，分别表 示物体形状和大小的改变。
弹性力学基本方程
描述应力与应变之间关系的方程， 如胡克定律（Hooke's law）。
应力应变关系。
04
应变分析的基本方法
直接方法
定义应变分量
根据物体的形状和受力情况，将物体分为多个小的单元，并定义 每个单元的应变分量。
建立方程
根据弹性力学方程和应变分量的定义，建立物体整体的应变方程。
解方程
根据方程的解，得到每个点的应变值。
最小二乘法
确定目标函数
第03章 第01节 应力分析
斜微分面上应力
2、预备知识
设斜面的面积为dF，截面在 三个坐标轴上的投影分别为： x面、y面、z面。
x面 dAx——ldF
y面 dAy——mdF z面 dAz——ndF
D
m
斜微分面上应力
3、求解 斜面全应力S及沿三轴分量Sx,Sy,Sz，由ΣFx=0
sx dF x dAx yxdAy zx dAz 0
物体在塑性变形前后的体积不变。
关键基本条件
塑性力学基本假设
基本研究内容
应力分析
本构方程
应变分析
屈服准则
应力基本概念
外力和内力 作 用 力 面力 反作用力 摩 擦 力 重 体力 力
外力
力
内力
惯 性 力
知识背景
NWPU
应力的提出
位面积上的作用力 F A
一般受力状态下的应力
三维空间一点的应力状态
4、分量的方向 正应力的符号与材料力学规定相同，即拉应力为 正、压应力为负。切应力不同。 正面：外法线指向坐标轴的正向的面 负面：外法线指向坐标轴的反向的面 正面上：沿轴正向的切应力分量为正， 沿轴反向的切应力分量为负； 负面上：沿轴反向的切应力分量为正，
沿轴正向的切应力分量为负。
三维空间一点的应力状态
1、思想方法 表示任意截面的应力；（无限） 特殊截面应力分量。 （有限）
三维空间一点的应力状态
2、应力分量
特殊截面：过变体内 任意点Q切取矩形单 元体，且置于x,y,z坐 标中,棱边分别平等 于x,y,z轴，取矩形单 元体中三个相互垂直 的面为特殊截面。
三维空间一点的应力状态
方便数学处理
（求导和函数处理）
塑性力学基本假设
第三章 杆件横截面上的应力应变分析
第三章杆件横截面上的应力应变分析利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。
如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。
这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。
本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。
第一节应力、应变及其相互关系一、正应力、剪应力观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为：（3-1）亦称为面积上的平均应力。
一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。
当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。
(3-2)式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。
p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。
通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。
称为正应力，称为切应力。
在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。
由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。
二、正应变、切应变杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。
若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。
把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。
变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。
变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。
相对变形(3-3)表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。
当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为(3-4)式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。
材料的应力分析与变形分析
材料的应力分析与变形分析材料的应力分析与变形分析对于工程设计和材料研究具有重要意义。
通过对材料的应力和变形进行分析，可以更好地理解和预测材料在不同条件下的力学行为，为工程设计提供可靠的依据。
本文将对材料的应力分析与变形分析进行探讨。
一、应力分析材料的应力分析是通过施加外力或负荷在材料上产生的内部反应来进行的。
应力是指单位面积上的力，常用符号为σ。
在应力分析中，常见的几种应力包括拉应力、压应力和剪应力。
拉应力是指作用于材料内部单位面积的拉力，通常用F/A表示。
拉应力能够使材料发生伸长变形，当达到一定程度时，材料可能发生拉断。
压应力与拉应力相反，是指作用于材料内部单位面积的压力，常用符号为-σ。
压应力会使材料发生压缩变形，当压应力超过材料的承受能力时，材料可能发生压碎。
剪应力是指作用在材料内部平行面上的力，剪应力使材料发生剪切变形。
剪应力能够使材料内部的相对位移产生，常用符号为τ。
剪应力的大小与作用力的大小和作用面的面积有关，通常用F/A表示。
二、应变分析材料的应变是指材料在外力作用下发生的形变。
与应力一样，应变也可以分为拉应变、压应变和剪应变。
拉应变是指单位长度的伸长量，通常用∆L/L表示。
压应变是指单位长度的压缩量，常用符号为-∆L/L。
剪应变是指材料内部平行面之间的相对位移，剪应变常用符号γ表示。
在材料的应变分析中，常用的参数有伸长应变、膨胀应变和剪切应变。
伸长应变是指材料在拉应力作用下发生的伸长变形，膨胀应变是指材料在压应力作用下发生的膨胀变形，而剪切应变则是指材料在剪应力作用下发生的剪切变形。
三、应力-应变关系材料的应力-应变关系是指材料在外力作用下，其应力和应变之间的关系。
不同材料具有不同的应力-应变关系，其中最为常见的是杨氏模量、屈服强度和断裂强度。
杨氏模量是指材料在弹性变形阶段，应力和应变之间的比值，通常用E表示。
杨氏模量越大，说明材料的刚度越高，其弹性变形能力也越大。
屈服强度是指材料开始发生塑性变形时的应力值，常用符号为σy。
应力和应变分析和强度理论
机械设计
01
02
03
零件强度校核
通过应力和应变分析，可 以校核机械零件的强度， 确保零件在正常工作载荷 下不会发生破坏。
优化装配设计
通过应力和应变分析，可 以优化机械装配设计，减 少装配误差和应力集中， 提高装配质量和可靠性。
振动和噪声控制
通过应力和应变分析，可 以预测和控制机械系统的 振动和噪声，提高机械系 统的性能和舒适性。
总结词
最大拉应力理论
详细描述
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素，当最大 拉应力达到材料的极限抗拉强度时，材料发生断裂。
第二强度理论
总结词
最大伸长应变理论
详细描述
该理论认为最大伸长应变是导致材料 破坏的主要因素，当最大伸长应变达 到材料的极限抗拉应变时，材料发生 断裂。
第三强度理论
总结词
03
应力和应变的应用
结构分析
结构稳定性
01
通过应力和应变分析，可以评估结构的稳定性，预测结构在不
同载荷下的变形和破坏模式。
结构优化设计
02
通过对应力和应变的精确计算，可以优化结构设计，降低结构
重量，提高结构效率。
结构疲劳寿命预测
03
通过应力和应变分析，可以预测结构的疲劳寿命，为结构的维
护和更换提供依据。
能量法
总结词
能量法是一种基于能量守恒和变分原理 的数值分析方法，通过将问题转化为能 量泛函的极值问题，并采用变分法或有 限元法进行求解。
VS
详细描述
在应力和应变分析中，能量法可以用于求 解各种力学问题，如弹性力学、塑性力学 等。通过构造合适的能量泛函和约束条件 ，能量法能够提供精确和高效的数值解。 同时，能量法还可以用于优化设计、稳定 性分析和控制等领域。
应力状态与应变状态分析
应变状态分析对应力状态分析起到补充作用，特别是在复杂受力情况下，能够更 准确地描述物体的变形行为。
应变状态的分类
单轴应变
物体在单向受力过程中发 生的应变，只有一个方向 的长度变化。
双轴应变
物体在双向受力过程中发 生的应变，长度变化发生 在两个相互垂直的方向上。
三轴应变
物体在三向受力过程中发 生的应变，长度变化发生 在三个相互垂直的方向上。
塑性变形
在某些高应力状态下，材料可能 会发生塑性变形，影响其机械性 能和稳定性。
断裂韧性
材料的断裂韧性可能会受到其内 部应力的影响，高应力状态可能 降低材料的断裂韧性，导致材料 更容易断裂。
02
应变状态分析
定义与概念
定义
应变状态分析是研究物体在受力过程中内部应变的分布和变化情况，以及应变与 应力之间的关系。
详细描述
在塑性行为下，材料发生屈服，即应力达到某一特定值后，应变开始急剧增加。这种行为通常发生在 材料承受的应力高于其屈曲点时。
脆性行为
总结词
当材料受到外力作用时，它可能会突然断裂，而不会发生显著的形变。
详细描述
在脆性行为下，材料在较低的应力状态下就会断裂，且断裂前几乎没有明显的塑性变形。这种行为常见于某些脆 性材料，如玻璃或陶瓷。
弹性行为
总结词
当材料受到外力作用时，会发生形变， 但当外力去除后，材料能够完全恢复 其原始形状和尺寸。
详细描述
在弹性行为下，材料的应力和应变之 间呈线性关系，即应力与应变成正比。 这种行为通常发生在材料承受的应力 低于其屈服点时。
塑性行为
总结词
当材料受到外力作用时，会发生形变，并且当外力去除后，材料不能完全恢复其原始形状和尺寸。
应力分析与应变分析
应力分析与应变分析概述应力分析和应变分析是材料力学与结构设计中重要的分析方法。
通过研究材料内部的应力和应变分布情况，可以评估材料的强度和稳定性，为结构设计提供依据。
本文将介绍应力分析和应变分析的基本概念、方法和应用领域。
应力分析应力的概念应力是材料内部的内力状态，是材料中单元体受到的单位面积上的力的大小。
常见的应力类型有正应力、剪切应力和法向应力。
正应力指的是垂直于面元的力，剪切应力指的是在面元平面上的切应力，法向应力是正应力的一种特殊情况。
应力分布材料内部的应力分布可以通过应力场来描述。
应力场是指空间中各点的应力分布情况。
常见的应力场模型包括均匀应力场、线性应力场和非线性应力场。
弹性力学弹性力学是研究材料受力后的变形和应力恢复的一门学科。
通过弹性力学理论，可以计算材料在受力后的应力分布和变形情况。
应力分析的应用应力分析在工程领域有广泛的应用。
例如，在结构设计中，可以通过应力分析来评估结构的强度和稳定性，确定合理的结构形式和尺寸。
此外，应力分析也用于材料疲劳寿命预测、断裂力学研究等领域。
应变分析应变的概念应变是材料内部形变程度的度量，是材料内部单位长度的变化量。
常见的应变类型有线性应变、剪切应变和体积应变。
线性应变指的是材料在受力后的线性变形；剪切应变是材料在受到切应力作用时沿切应力方向发生的形变；体积应变是材料在受力后发生的体积变化。
应变分布类似于应力分布，应变分布可以通过应变场来描述。
应变场是指空间中各点的应变分布情况。
应变分析的方法应变分析的常用方法包括拉伸试验、剪切试验、压缩试验和扭转试验等。
通过这些试验可以获取材料在不同受力状态下的应变数据，进而进行应变分析。
应变测量应变测量是应变分析中的重要环节。
常用的应变测量方法有电阻式应变计、光栅应变计和激光测量等。
这些方法可以准确地获取材料受力后的应变数据，并用于应变分析和应变场重构。
应变分析的应用应变分析在材料研究和工程设计中起着重要的作用。
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3.1.1 六个基本假设
（1）连续性假设。变形体内均由连续介质组成，即整个变形体
内不存在任何空隙。这样，应力、应变、位移等物理量都是连续变化的， 可化为坐标的连续函数。 且相同的，即各质点的物理性能均相同，且不随坐标的改变而变化。 能、力学性能均相同，也不随坐标的改变而变化。
第三章 应力分析与应变分析
3.1应力与点的应力状态
3.1.1 六个基本假设 3.1.2 外力 3.1.3 应力和内力
3.1.4 点的应力状态
3.1.5 张量与应力张量
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3.1 应力状态基本概念
金属塑性加工是金属与合金在外力作用下产 生塑性变形的过程，所以必须了解塑性加工 中工件所受的外力及其在工件内的应力和应 变。本章讲述变形工件内应力状态的分析及 其表示方法。这是塑性加工的力学基础。
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3.1.2 外力
重力
体积力
惯性力
电磁力
……
特点：分布在物体体积的外力，它作 用在物体内部的每一个质点上
外力
作用力（主动力）
面力
约束反力
反作用力 正压力 摩擦力
特点：分布在物 体表面的外力
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3.1.3 内力和应力
内力：在外力作用下，物体内各质点之间产 生的相互作用的力。 应力：单位面积Байду номын сангаас的内力。
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P dP S lim dF F 0 F
S为截面C-C上点Q的全应力。全应力为矢 量，可分解成两个分量，一个垂直于截面 C-C，即C-C截面外法线N上的分量，称为 正应力，一般用σ 表示；另一个平行于截面 C-C，称为切应力，用τ 表示。则：
S 2 2 2
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型钢轧制
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轧辊的断裂
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锤锻过程
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飞机蒙皮的成形
破裂 起皱
F
F
能否一次成形，用什么样的模具? 变形量是否满足要求（厚度减薄量等）? 要想定量的研究变形过程，建立理论公式， 在研究塑性力学行为时，必须采用一些假设。
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2.体积力
体积力是与变形体内各质点的质量成正比的力，如 重力、磁力和惯性力等。 对于一般的塑性成形过程，由于体积力与加工中的 面力比较起来要小的多，在实际工程计算中一般可 以忽略。 但在高速加工时，如高速锤锻造、爆炸成形等，金 属塑性流动的惯性力应该考虑。如锤上模锻时，坯 料受到由静到动的惯性力作用，惯性力向上，有利 于金属充填上模，故锤上模锻通常形状复杂的部位 设置在上模。
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若将C-C截得的下半部分放在 空间直角坐标系oxyz中，使CC截面垂直于某坐标轴，如y轴， 即C-C截面外法线方向N平行于 y轴，则过Q点的微分面称为y 面。将Q点的全应力S在三个坐 标轴上的投影称为应力分量。 每个应力分量可用两个下角标 的符合表示，第一个角标表示 该应力分量所在的平面，第二 个下角标表示其作用方向。
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3.1.2 外力
塑性成形是利用金属的塑性，在外力作用下使 其成形的一种加工方法。 作用于金属的外力分为两类： 面力或接触力：作用于金属表面的力，可以是 集中的，但一般是分布的力。 体积力：作用在金属物体的每个质点上的力。
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1.面力
作用力 塑性加工设备的可动工具部分对工件所作用的 力，用于使金属坯料产生塑性变形，又称主动力。可 以实测或理论计算，用于验算设备强度和设备功率。 在不同的加工工序中，可以是压力、拉力或剪切力。 反作用力 一般情况下，作用力与反作用力互相平行， 并组成平衡力系。 摩擦力 沿工具和工件接触面切向阻碍金属流动的力， 其方向平行于接触面，并与金属质点流动方向或流动 趋势相反。摩擦力最大值不应超过金属的抗剪强度。 摩擦力的存在往往会引起变形力的增加，对金属的塑 性往往是有害的。 正压力 沿工具和工件接触面法向阻碍工件整体移动或 金属流动的力，其方向垂直于接触面，并指向工件。
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在塑性理论中，分析问题需要从静力学、几何 学和物理学等角度考虑。静力学角度是从变形 体中质点的应力分析出发、根据静力平衡条件 导出应力平衡微分方程。几何学角度是根据变 形体的连续性和匀质性假设，用几何的方法导 出小应变几何方程。物理学角度是根据实验和 基本假设导出变形体内应力与应变之间的关系 式，即本构方程。此外，还要建立变形体由弹 性状态进入塑性状态并使继续进行塑性变形时 所具备的力学条件，即屈服准则。
（2）匀质性假设。变形体内各质点的组织、化学成分都是均匀
（3）各向同性假设。变形体内各质点在各个方向上的物理性
（ 4）初应力为零假设。物体在受力之前是处于自然平衡
状态，即物体变形时内部所产生的应力仅由外力引起。 （ 5）体积力为零假设。体积力如重力、磁力、惯性力等 与面力相比十分微小，可忽略不计。 （6）体积不变假设。 物体在塑性变形前后体积不变。
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1.单向受力下的应力及其分量
一点的应力向量不仅取决于该点的位置，还取决于截面的方位。
过试棒内一点Q并垂直于拉伸轴线横截面C-C上的应力为：
S0 dP P 0 dF F0
0 0
若过Q点做任意切面C1-C1，其法线N与拉伸轴成θ 角，面 积为F1。由于是均匀拉伸，故截面C1-C1上的应力是均布的。 此时截面上Q点的全应力Sθ 、正应力σ θ 、切应力τ θ 分别 为：
S P P cos 0 cos F1 F0 1 2
S cos 0 cos 2 S sin 0 sin 2
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在单向匀速拉伸条件下，可用一个σ0来表示其一点的应力状态，称为单向应力状态。
2.多向受力下的应力分量
（1）应力分量的提出
设在直角坐标系中有一个承受外力 的物体，物体内有一个质点Q，现在围 绕Q点切取一个矩形六面体作为单元体， 六面体的棱边分别平行于坐标系的三根 坐标轴。取六面体中三个互相垂直的表 面作为微分面，各个微分面上的全应力 都可以按坐标轴方向分解为一个正应力 和两个切应力，三个微分面共有九个应 力分量，其中三个正应力分量，六个切 应力分量。可以用这九个应力分量来表 示物体内点的应力状态。