高中数学单调性与最大(小)值教案(第一课时)新课标 人教版 必修1(A)
高中数学必修一：1.3.1《单调性与最大（小）值》教案
⾼中数学必修⼀：1.3.1《单调性与最⼤（⼩）值》教案《单调性与最⼤（⼩）值》教案教学⽬标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.2、掌握增（减）函数的证明和判别.3、学会运⽤函数图像进⾏理解和研究函数的性质.教学重难点重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最⼤（⼩）值.难点：理解函数的最⼤（⼩）值，能利⽤单调性求函数的最⼤(⼩)值.教学过程在教法学法⽅⾯，采⽤启发式、探讨式的教学⽅法，引导学⽣⾃主探究，合作交流。
通过学⽣⾝边熟悉的事物，教师创造疑问，学⽣想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学⽣以⾃⼰的努⼒找到了解决问题的⽅法。
⼀、情景导⼊问题：1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增⼤，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最⼤、最⼩值？⼆、新课教学（⼀）函数单调性定义1．增函数⼀般地，设函数y =f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个⾃变量x 1，x 2，当x 1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学⽣活动）注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，⼀个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
○2必须是对于区间D内的任意两个⾃变量x1，x2；当x12．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这⼀区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的⽅法步骤利⽤定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的⼀般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配⽅）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．4、判定函数单调性的常见⽅法（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常⽤⽅法（2）图象法：根据函数图象的升降情况进⾏判断。
高中数学人教A版必修一 单调性与最大(小)值 教案1
必修一 1.3.1 单调性与最大（小）值（第1课时）
【教学目标】
1.知识与技能：
从形与数两方面理解函数单调性的概念。
初步掌握利用图像和定义判断、证明函数单调性的方法。
2.过程与方法：
从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力。
3.情感态度价值观：
通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯. 【重点难点】
1.教学重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性。
2.教学难点：函数单调性概念的符号语言的认知；应用定义证明单调性的代数推理论证。
【教学策略与方法】
1.教学方法：问题引导，主动探究，启发式教学．
2.教具准备：多媒体
【教学过程】
⒈说出上述情境中图像的变化规律。
⒉描述上述情境中气温或记忆保持量随时
间变化规律。
问题2：你能根据自己的理解说说什么是：你能借助数学符号，将上述“函数
当x增大时 f(x)随着增大，即：
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)
增函数的定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为
师生活动：学生观察图象，独立完成，教师解答学生在解决问题过程中出现的问题．如：
①单调区间是定义域的子集；。
单调性与最大(小)值(第一课时)教学设计-高一上学期数学人教A版
函数的基本性质一、单元内容及其解析（一）内容函数的单调性；函数的最大值、最小值；函数的奇偶性.本单元的知识结构框图如下：本单元建议用3 课时:3.2.1 单调性与最大（小）值（2 课时）3.2.2 奇偶性(1 课时)（二）内容解析单调性是函数最重要的性质，刻画了函数值随自变量增大而增大或减小的变化趋势，绝大多数函数都具有单调性.函数的最大（小）值与函数的单调性有着密切的联系．通常，知道了函数的单调性，就能较方便地确定函数的最大（小）值，因此，求解函数的最大（小）值一般需要先判断函数的单调性.函数的奇偶性是一种特殊的对称性．如果函数具有奇偶性就能将研究函数的“工作量”减半．函数的单调性是函数的局部性质，函数的奇偶性和最大（小）值都是函数的整体性质．对于函数的性质，课本用代数运算和函数图象研究函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等主要性质.这里既注意体现研究数学性质的一般思路，又注意函数性质的特殊性——变化中的规律性.在研究方法上加强了通过代数运算和图象直观揭示函数性质的引导和明示.在研究中教科书构建了一个从具体到抽象、从特殊到一般的过程，引导学生归纳概括出用严格的数学语言精确刻画单调性的方法，从而为提升数学运算、直观想象素养，为提升学生的抽象思维水平奠定基础.基于以上分析，确定本单元的教学重点:用符号语言表示函数的单调性、最大（小）值、奇偶性，用定义法证明函数的单调性、用定义法判断函数的奇偶性.二、目标及其解析（一）目标1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.（二）目标解析达成上述目标的标志是：1.在抽象函数单调性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用，体会通过引入“∀”的符号表示，把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”方式表示的方法，感受数学符号语言的作用．2.会用符号语言正确表达函数的单调性、最大（小）值，并能说出“任意”“都有”“存在”等关键词的含义，知道函数单调性和最大（小）值的现实意义.能说出判断函数单调性的基本步骤，会用函数单调性的定义证明函数的单调性.能说出求函数最大、最小值的基本步骤，会用函数最大值、最小值的定义求最值，能说明最值与单调性之间的关系.3.能类比单调性的定义的学习过程，用符号语言表达函数的奇偶性，并说明偶（奇）函数的定义与函数图象关于y轴（原点）对称之间是等价的.知道判断函数奇偶性的基本步骤，会用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.三、单元教学问题诊断分析1.函数单调性的符号语言描述的构建.学生在初中学习一次函数、反比例函数、二次函数时已经会从图象的角度观察“从左到右图象上升”“从左到右图象下将”的变化趋势，并且会用文字语言“y随的x增大而增大（减小）”描述这种变化规律，而本单元需要将自然语言转化为符号语言，对学生而言是一个很大的难点.2.利用定义证明函数的单调性.学生刚开始证明函数单调性时，会出现不作差，直接写出函数值大小关系或者变形不充分就做判断的情况，这是因为学生对证明的步骤模糊导致的，经常出现依据函数单调性证明函数单调性的状况．3.最大（小）值概念的理解．对于最大（小）值的概念，学生往往对条件“存在，使得”的必要性的理解会存在一些困难.基于以上分析本单元的教学难点为:用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值；利用定义证明函数的单调性.四、单元教学教学支持条件分析1.学生学习此内容前，在初中已经接触过函数，知道一些基本函数的性质.2.函数的性质指是在变化过程中的不变性和规律性，所以要借助信息技术绘制函数图象，将静态的图象进行动态演示，展示函数值随自变量变化而变化的情况.五、课时教学设计3.2.1 单调性与最大（小）值（一）一、教学内容函数的单调性的定义、证明与判断.二、教学目标1.通过具体实例，经历函数单调性概念的抽象过程，能准确说出函数在某个区间上单调递增、单调递减以及增函数、减函数的定义；举例说明“任意”“都有”等关键词的含义，发展直观想象、数学抽象素养.2.通过用函数单调性的定义证明函数的单调性，能总结归纳出证明的基本步骤和方法，发展逻辑推理、数学运算素养.三、教学重点及难点1.教学重点函数单调性的定义及其应用.2.教学难点用符号语言表达函数的单调性，用定义证明函数的单调性.四、教学方法教法：教师启发式教学法学法：学生探究式学习法五、教学过程设计（一）问题情境，引入课题引导语：我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识，那么什么是函数性质呢？总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中的规律性”.研究函数性质就是要学会在运动变化中发现规律.研究函数性质的一般思路：先画图，再通过观察、分析图象的特征，从而得到函数的一些性质，下面就让我们共同进入本节课的学习.情境观察下面几个函数的图象问题1：你能说说图象有什么特征或变化规律吗？师生活动：结合初中已学知识，学生会发现函数图象的上升下降趋势、对称性、最高点最低点等特征，向学生指明分别对应函数的单调性、奇偶性、最值等性质，其中奇偶性和最值会在后面的课程中研究，本节课主要研究函数的单调性，也就是初中学习的函数值随着自变量增大而增大（或减小）的性质.设计意图：通过观察函数图象从多角度得出图象特征，提高学生直观想象的学科素养，为大单元教学中知识的延续性、思维的连贯性、方法的一致性做好指引．（二）新知探究，引出概念引导语：在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这就是用自然语言描述的单调性．“上升，下降”就是用图形语言描述的单调性，在高中阶段呈现更多的是单调性与符号语言的相互转化.下面先看二次函数2()f x x =的单调性.问题 2：你能结合函数2()f x x =的图象，描述一下函数的单调性吗？师生活动：引导学生用图形语言和自然语言描述.加强对单调性的定性刻画.设计意图：学生可以观察到单调区间是定义域子集这一事实，也会注意到在描述单调性时要注意到不同区间上的单调性不同.追问1：你能描述一下函数1()f x x x=+的单调性吗？ 师生活动：图象未知时单调性很难描述，学生难以作答.设计意图：初中只是对单调性进行了直观描述，“形缺数时难入微”，所以我们要结合函数的解析式，从符号语言的角度表达函数的单调性.追问 2：如何用符号语言描述函数2()f x x =的图象在y 轴右侧部分从左向右是上升的，如何从自变量数量关系和函数值的数量关系，用数学符号刻画这个特征呢？师生活动：“从左到右”就是自变量x 增大，“下降”就是函数值y 减小．所以得到自然语言：当x ≥0时，y 随x 的增大而增大．在这个基础上进一步引导：自变量由1x 增大到2x ，表明1x <2x ，函数值由1()f x 增大到2()f x ，表明1()f x <2()f x ；并且蕴含着只要自变量增大了，函数值就会增大的含义，于是得到符号语言：当1x <2x ，都有1()f x <2()f x ．此时利用反例（定义在[ 0，+∞)上的函数()f x 满足(1)(3)f f <，则()f x 在[ 0，+∞)单调递增吗？）提醒同学们总结需继续完善，教师通过几何画板展示，学生观察任意两点在[ 0，+∞)滑动动过程中，自变量的关系和函数值的关系是否符合我们理论分析的结果.整个过程是个例还是所有，进而完善符号语言：∀1x 、2x ∈[ 0，+∞)，当1x <2x ，都有1()f x <2()f x ．设计意图：通过图像直观→定性描述→定量描述，即从直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的认识过程，学生能够更好的感受数学知识的生成过程，提高学生数学抽象，逻辑推理等素养．追问3：y 轴左侧单调性的符号语言描述如何？师生活动：学生通过类比思考作答，教师可以提问一些学生进行回答并及时点评.设计思路：学生已经有了相对应的经验，在书写相关符号语言时就比较自然，这就是一个“示范模仿改进完善”的过程，这样学生能够参与到课堂之中，质量和效率都有保证.追问4：单调性是局部性质还是整体性质？能否总结()y f x =在区间D 上单调性的符号表述？师生活动：学生思考作答，顺理成章进入定义的总结.（三）概念生成，内涵辨析单调递增的概念：一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D⊆ I ，如果∀1x 、2x ∈D ，当1x <2x 时，都1()f x <2()f x ，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.师生活动：老师给出单调递增的定义，并带领学生理解定义中区间与定义域的关系、全称量词、符号表示等含义，体会如果改变或者删除一些词语后定义发生的改变.设计意图：在前面学生已经得到符号化表示的情况下，顺理成章的给出了单调递增的定义，然后通过带领学生学习概念措辞，体会数学概念的精炼和严谨.问题 3：请同学们模仿单调递增的定义，给出单调递减的定义.师生活动：老师可以提问同学作答，如果不完整可以请其他同学补充.不管学生作答是否完整，都可以多提问几个同学，让学生在一遍遍的提问中理解记忆.设计意图：学生掌握单调递增的标志，就是可以模仿说出单调递减的定义.单调递减的概念：一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D ⊆ I ，如果∀1x 、2x ∈D ，当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递减.如右图：特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.如果函数()y f x =在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格）的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间.内涵解析：1. 三种语言描述都能表示单调性，也可以作为单调性的判断依据.图像直观——定性描述——定量描述2. 符号语言解析：以单调增为例，自变量大函数值大，自变量小函数值小（大大小小） 设计意图：让学生理解三种语言的作用，把握符号语言与单调性的互化.（四）学以致用，解决问题例1 利用单调性的定义证明函数2()f x x=-在区间（∞，0］上单调递增． 师生活动：先让学生独立思考，然后共同讨论，教师引导学生得出根据定义研究函数单调性的基本思路并示范证明过程.设计意图：关于反比例函数的单调性，初中是通过观察图象得到的，这里是利用定义通过严格的逻辑推理证明得出结论，由此，不仅体现了形式化定义的作用，而且通过比较简单的推理过程，让学生理解用定义去证明函数单调性的基本方法．活动：总结例1解题过程，引导学生理解证明函数单调性的基本步骤．第一步：取值，（求出函数定义域I ，明确研究区间D ）∀1x 、2x ∈D ，规定1x <2x ． 第二步：作差，12()()f x f x -．第三步：变形，即利用因式分解，通分，有理化等方法，将差变形为能够直接判断符号的形式．第四步：判号，即根据12()()f x f x -的正负判断出1()f x <2()f x 或1()f x >2()f x ． 第五步：定论，说明在区间D 上的单调性．（五）归纳反思，深化总结问题4 本节课主要学习了哪些内容？追问1你能用符号语言描述2()f x x =-的单调性吗？追问2证明函数单调性的一般步骤是什么？师生活动：学生独立思考、回答问题，教师概括补充，投影展示要点．设计意图：让学生用符号语言叙述单调性，让学生进一步巩固本节所学内容，并从中了解学生对知识点的掌握程度，以便在后面的教学中，有针对性的加强，同时也试图让学生在脑海里构建整节课的知识框架.六、目标检测设计根据定义证明函数1y xx=+在区间（1，+∞）上单调递增．师生活动：由学生思考完成证明，教师适当辅助，然后展示学生书写过程，老师点评完善，重点明确代数变形的方向和目标．设计意图：本题必须利用单调性的定义，通过严格的代数推理证明单调性．从而解决之前设下的疑问，与此同时，本题对变形、判号的要求更高了，有助于培养学生逻辑推理、数学运算等素养．七、板书设计3.2.1 单调性与最大（小）值（一）例1学生展示区。
高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word
四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。
提高学生概括、推理的能力。
通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。
课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过练习。
人教课标版高中数学必修一《函数单调性与最大(小)值(第1课时)》教案-新版
1.3.1 第一课时函数的单调性一、教学目标（一）核心素养教材以一次函数、二次函数等初等函数图象为例，来推导一般函数图象的性质——单调性，体现了由特殊到一般，由形到数的思想，让学生在图象变化趋势的精细刻画中，体会数学逻辑推理的严谨性，再现数学知识的生成过程．在实际生活中函数模型的建立及函数性态研究，体现了数学服务于社会生活有着重要的作用，也对学生直观想象、逻辑推理、数学抽象及数学建模等数学核心素养的培育奠定基础．（二）学习目标1．帮助学生通过函数图象理解增函数、减函数及其几何意义．2．数形结合的思想探究函数图象与函数单调性的本质联系．3．函数单调性的判定及证明．（三）学习重点1．理解函数单调性．2．函数单调性的判定及证明．（四）学习难点函数单调性的判定及证明．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务一般地，设函数()f x的定义域为I:,x x，当______时，都有（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12______，那么就说函数()f x在区间D上是_____函数（increasing function）（图（1））．【答案】12x x <;12()()f x f x <;增（或 12x x >;12()()f x f x >;增）．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当______时，都有______，那么就说函数()f x 在区间D 上是_____函数（decreasing function ）（图（2））． 【答案】12x x <;12()()f x f x >;减（或 12x x >;12()()f x f x <;减）．（3）如果对于定义域I 内某个区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）______，区间D 叫做函数()y f x =的______. 【答案】单调性;单调区间． 2．预习自测（1）作函数2y x =-的图象，并指出单调增区间_______;单调减区间______ ． 【答案】(,0)-∞;(0,)+∞． (二)课堂设计 1.知识回顾（1）函数的定义，求函数的定义域、解析式、值域． （2）函数的表示法．常见初等函数的图象． （3）平方差、立方差公式． 2.问题探究探究一 通过函数图象理解增函数、减函数及其几何意义●活动① 学生作函数2,y x y x ==图象,指出图象的变化趋势.生:随着x 值的增大,图象（1）呈上升趋势;图象（2）有升有降,先降后升. 师:图象的观察顺序:从左往右,从右往左,中间往两边走,还是两边往中间走？ 生:按照约定俗成:从左往右看.师:从右往左观察,如何描述？生:图象（1）从右往左x值不断变小,图象呈下降趋势;图象（2）从右往左x值不断变小,图象呈先下降后上升趋势;师:至于中间往两边走,两边往中间走,都能描述图象的变化趋势,无论哪一种观察顺序,都有一定道理的,正所谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”.我们发现,对图象变化趋势的描述,是“因人而异”的,不同的观察顺序,得到的变化趋势不尽相同.我们能否进一步研究图象达成一定共识呢？【设计意图】学生通过对教材的研读，理解函数图象的变化趋势，拘泥于教材从左到右的“主观意识”的影响，跳跃性地得到函数单调性的结论．从而对“为什么研究点的坐标变化”产生不解，甚至认为“多此一举”．通过对函数图象变化趋势，不同的观察顺序进行描述，产生了“因人而异”的矛盾，为后面对图象变化趋势，进行精细化描述奠定基础．●活动②图象的变化趋势能否用坐标来刻画师:数学研究也要“求同存异”，刚才的图象变化趋势描述有“因人而异”的矛盾，我们从构成图象的点的坐标进行分析，看能否达成共识.由图象（1）:我们取整数点，便于计算：通过观察分析，得到下表:可以发现:无论观察顺序如何变化，x 值与()f x 值是相应共同一致变化的:()f x 值随x 值增大而增大，()f x 值随x 值减小而减小.这与函数解析式()f x x 的对应方式是一致的，不以相对顺序的变化而改变.为了达成统一，我们按照约定俗成的顺序:从左至右看,图象是上升的，图象构成点的坐标变化，()f x 值随x 值增大而增大（或()f x 值随x 值减小而减小，此时是从右往左看）.师:用同样的方法研究图象（2）,取整数点,便于计算,通过观察分析,得到下表:综合从左至右观察图象（1）（2）的变化趋势,点的坐标值有如下特点:图象上升时,()f x 值随x 值增大而增大（或()f x 值随x 值减小而减小,此时是从右往左看）. 图象下降时,()f x 值随x 值增大而减小（或()f x 值随x 值减小而增大,此时是从右往左看）. 【设计意图】图象的变化趋势的刻画:第一,分析了观察顺序从左至右（可变化）的描述是片面的;第二,探求由点的横纵坐标x 、()f x 值变化来描述,这两者的结合,让学生体会从图象的形,到构成图象点的横纵坐标值的数的思维呈现,为后面单调性概念的形成打下基础.探究二:数形结合的思想探究函数图象与函数单调性的本质联系 ●活动①由以上探究能否给出增（减）函数定义生:从左往右看:图象是上升的,称为增函数;图象下降的称减函数; 师:不够具体,函数首先考虑定义域,能否由点的坐标值来定义.生:从左往右看:图象上升,其构成的点的坐标,()f x 值随x 值增大而增大的函数,称为增函数;图象下降,其构成的点的坐标,()f x 值随x 值增大而减小的函数,称为增函数;师:图象变化趋势的刻画,是由某几个点,还是所有点的坐标刻画？ 生:所有点的坐标.师:所有点的坐标如何刻画()f x 值随x 值增大而增大（或减小）呢？在所有点中,我们任取一个点11(,)A x y ,横坐标x 值的不断增大,到任意另一点22(,)B x y ,因此12x x <.由A B 、的任意性,覆盖了整个定义域I ,即:12(,)x x I ⊆.这里我们成功解决了横坐标x 值的不断增大的问题,那纵坐标()f x 的变化趋势如何刻画？生:11(,)A x y 到22(,)B x y ,12x x <横坐标x 值的不断增大,纵坐标变化用12,y y 来表示若,12y y <纵坐标y 值的不断增大;若12y y >,纵坐标y 值的不断减小师:综合以上探究,对函数图象变化趋势的,由图象上所有点的坐标值变化刻画,再转化为任意两个点11(,)A x y 到22(,)B x y 的坐标值变化刻画12,x x I ∈,12x x <,12(,)x x D I =⊆,若12y y <,即y 值随x 的不断增大而增大,图象呈上升,称()f x 为增函数,D 为单增区间; 若12y y >,即y 值随x 的不断增大而减小,图象呈下降,称()f x 为减函数,D 为单减区间;【设计意图】在教师的引导下,让学生根据图象变化趋势,从形到数的探究过程中的体会中,不断完善结论,生成出有自我特色的增（减）函数的概念. ●活动②对比教材概念,加深概念理解 我可以给出如下定义:一般地,设函数()f x 的定义域为I :如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x :当12x x <时,都有12y y <,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数（increasing function ）． 当12x x <时,都有12y y >,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数（decreasing function ）． 如果对于定义域I 内某个区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性,区间D 叫做函数()y f x =的单调区间. 师:教材对单调性的定义,还可以怎样定义. 生:交换11(,)A x y 22(,)B x y 位置后有:21x x <．当12x x >时,都有12y y >,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数（increasing function ）． 当12x x >时,都有12y y <,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数（decreasing function ）． 师:这也是从图象从右至左看即由22(,)B x y 到11(,)A x y （12x x <）到变化得到,也算殊途同归吧. 师:以()f x x =,2()f x x =为例说明函数一定有单调性吗？有单调区间吗？ 生:()f x x =在定义域(,)-∞+∞单调递增,单增区间为(,)-∞+∞．2()f x x =在定义域(,)-∞+∞有增有减,不具备单调性;单增区间(0,)+∞,单减区间(,0)-∞． 师:如图，函数单调性,是在定义域I 内某个子集区间D 上讨论的,子集区间D 上的单调性不能决定定义域I 的单调性;同时定义域I 的单调性也不能决定子集区间D 上的单调性,若函数在定义域内严格单调另当别论了.【设计意图】让学生理解函数单调性是一种局部性质,其图形表现的实质是从左至右观察图象上升或下降趋势,反映到数的特征上即点的坐标量化1x 与2x ,1y 与2y 的相对变化关系.我们可以通过形与数的途径判断函数单调性,但对未知函数的单调性判断,更多倾向于数的定量分析,即定义法.●活动③两个函数和（差）的单调性师:由1()f x x =,22()f x x =的单调性,判断下列函数的单调性,能得出什么结论. （1）12()()y f x f x =+,(0,)x ∈+∞; （2）12()()y f x f x =-,(,0)x ∈-∞; （3）21()()y f x f x =-,(,0)x ∈-∞;生:化简之后均为二次函数,由图象性质易判断给定区间的单调性. 师:若通过原函数单调性分析:（1）12()()y f x f x =+,(0,)x ∈+∞;1()f x x =,22()f x x =在(0,)x ∈+∞均为增函数,相加之后单调性为增.其结构为:增+增=增,按照此思路总结出（2）、（3）的结构形式,还能想到哪些结构？生:增-减=增、减-增=减、减+减=减,至于乘除要因题而论了，所以（2）(,0)x ∈-∞，f 1(x)为增函数，f 2(x)为减函数，相减为增函数；（3）(,0)x ∈-∞，f 2(x)为减函数，f 1(x)为增函数，相减为减函数；【设计意图】通过初等函数单调性的判断,过渡到简单复合函数单调性判断,让学生对函数的单调性的判断方法有更新的认识. ●活动④单调性定义的等价形式师:由单调性定义知:()y f x =在x D ∈上为增函数⇔12,x x D I ∀∈⊆,12x x <时,都有12y y <⇔12,x x D I ∀∈⊆,12x x >时,都有12y y > ⇔12,x x D I ∀∈⊆，12x x -与12y y -同号即:1212()()0x x y y --> ⇔12,x x D I ∀∈⊆,12120y y x x ->-⇔12,x x D I ∀∈⊆,12120x x y y ->-． 请同学们给出减函数定义的等价形式．生:()y f x =在x D ∈上为减函数⇔12,x x D I ∀∈⊆,12x x <时,都有12y y >⇔12,x x D I ∀∈⊆,12x x >时,都有12y y <⇔12,x x D I ∀∈⊆,1212()()0x x y y --< ⇔12,x x D I ∀∈⊆,12120y y x x -<-⇔12,x x D I ∀∈⊆,12120x x y y -<-． 【设计意图】学生对单调性定义的不同呈现形式有一定了解,众多的形式都来自于坐标值变化的是否一直性,让学生更深刻地认识函数单调性. 探究三:函数单调性的判定及证明 ●活动① 由图象观察单调区间例1 定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数？【知识点】单调区间的判定． 【数学思想】【解题过程】函数()y f x =单调区间有[5,2]--,(2,1]-,(1,3],(3,5],其中函数()y f x =在区间[5,2]--,(1,3]上为减函数,在区间(2,1]-,(3,5]上为增函数.【思路点拨】从左至右看图象的变化趋势及对应的区间范围． 【答案】减区间[5,2]--,(1,3]；增区间(2,1]-,(3,5]. 同类训练 函数1()f x x=,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数,在定义域内单调吗？【知识点】单调性的判定 【数学思想】【解题过程】函数1()f x x=单调区间(,0)-∞,(0,)+∞; 函数1()f x x =在区间(,0)-∞,(0,)+∞为减函数; 函数1()f x x=在定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞内不具备单调性.【思路点拨】子集区间单调性与定义域单调性的区别． 【答案】减区间(,0)-∞,(0,)+∞;定义域内不具备单调性.【设计意图】学生能根据图象判断函数的单调区间，弄清单调区间与定义域间的区别与联系． ●活动② 定义法证明函数单调性 例2 物理学中的玻意耳定律kp V=（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V 减小时，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之． 【知识点】定义法证明函数单调性 【数学思想】【解题过程】根据单调性的定义，设1V ,2V 是定义域(0,)+∞上的任意两个实数，且12V V <，则：21121212()()V V k kp V p V k V V VV --=-=． 由12,(0,)V V ∈+∞,得120VV >．由12V V <,得210V V ->,又0k >,于是12()()0p V p V ->，即:12()()p V p V >． 所以，函数kp V=在(0,)V ∈+∞是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p 增大. 【思路点拨】明确定义法证明步骤. 【答案】同类训练 证明函数9()f x x x=+在(0,3)递减. 【知识点】定义法证明函数单调性． 【数学思想】【解题过程】由函数单调性的定义,设1x ,2x 是定义域(0,3)上的任意两个实数,且12x x <,则12121212121212121212()(9)99119()()()()()9()()(1)x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x ---=+-+=-+-=--=． 12x x <,∴120x x -<，12,(0,3)x x ∈,∴1209x x <<,1290x x -<，∴12()()0f x f x ->．即 12()()f x f x >,函数9()f x x x=+在(0,3)递减. 【思路点拨】定义法证明的步骤:作差、变形、断号、结论. 【答案】例3证明函数()f x =在定义域内是减函数. 【知识点】定义法证明函数单调性． 【数学思想】【解题过程】由函数单调性的定义,设1x ,2x 是定义域[0,)+∞上的任意两个实数,且12x x <,则12()()((f x f x -=-===． 12x x <, 210x x ∴->，120x x ≤<, 0>，12()()0f x f x ∴->． 即 12()()f x f x >,函数()f x =[0,)+∞递减．【思路点拨】变形时,利用根式有理化变形技巧 【答案】同类训练 证明函数3()f x x =在定义域内是增函数. 【知识点】定义法证明函数单调性 【数学思想】【解题过程】由函数单调性的定义,设1x ,2x 是定义域R 上的任意两个实数,且12x x <, 则11332212212122()()()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++1222222222121212133()[()()[()]4424x x x x x x x x x x x x =-+++=-++．12x x <, 120x x ∴-<,222213()024x x x ++>，12()()0f x f x ∴-<． 即 12()()f x f x <,函数3()f x x =在R 递增.【思路点拨】变形时,注意立方差公式、完全平方式的应用. 【答案】【设计意图】掌握定义法证明单调性步骤:任取—作差—变形—断号—结论,特别是对变形的处理技巧,结合根式分母（子）有理化、平方差、立方差以及完全平方式等,从而准确地判定或证明函数的单调性.●活动③ 常见函数单调性的考查例4函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数,求a 的取值范围. 【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】函数2()2(1)2f x x a x =+-+函数图象为: 由题意:对称轴14x a =-≥, (,3]a ∴∈-∞-．【思路点拨】抛物线的单调区间由开口方向与对称轴共同决定． 【答案】(,3]a ∈-∞-．同类训练 函数2()(21)3f x x a x =--++在区间[2,)+∞上是减函数,求a 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】如图: 215222a a +≤⇒≥--． 【思路点拨】结合图象开口方向,对称轴,判断单调区间． 【答案】5[,)2a ∈-+∞． 例5函数2()21x f x x -=+在区间(,)a -∞上是增函数,求a 的取值范围.【知识点】一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】函数2()21x f x x -=+对称中心11(,)22-， 如图:1(,)(,)2a -∞⊆-∞-,1(,]2a ∴∈-∞-． 【思路点拨】由反比例函数图象平移而来,在定义域内不具备单调性,对各自的单调区间分开验证． 【答案】1(,]2a ∈-∞-． 同类训练 函数1()2x f x ax -=+在(2,)-+∞上单调递减,求a 的取值范围． 【知识点】一次函数及一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】函数1()2x f x ax -=+． 当0a =时,1()2x f x -=在(,)-∞+∞上单调递减,成立； 当0a ≠时,1()2x f x ax -=+对称中心21(,)a a--； 0a >时,21(,)a a--对称中心在第三象限， 0(0,1]22a a a>⎧⎪⇒∈⎨-≤-⎪⎩． 0a <时,21(,)a a--对称中心在第一象限，不满足题意,舍去． [0,1]a ∴∈． 【思路点拨】结合对称中心位置与1(0),(1)02f f ==,作大致图象,再分析. 【答案】[0,1]a ∈．【设计意图】含参题目的处理,要根据题意结合函数单调性分类讨论.常见的一次函数,二次函数,反比例函数及一次分函数的图象性质要求掌握.●活动④ 单调性综合应用例6 已知(0)1f =,且对任意实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=---．（1）求()f x ;（2）解不等式()(2)f x f x <-．【知识点】抽象函数的单调性．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】由题意 ()()(21)f x y f x y x y -=---．（1）令:x y =,则()()(21)1()(1)1f x x f x x x x f x x x -=---=⇒=-+．（2）()(1)1f x x x =-+，(2)(2)(1)1f x x x -=--+，()(2)(1)1(2)(1)1(,1)f x f x x x x x x <-⇒-+<--+⇒∈-∞．【思路点拨】抽象函数的综合应用,观察题目结构,通过隐含条件结合函数单调性解题．【答案】（1）()(1)1f x x x =-+;（2）(,1)x ∈-∞．同类训练 函数()f x 在(0,)+∞上单调递增,(2)1f =,()()()f xy f x f y =+．（1）解不等式()(3)2f x f x +-≤；（2）求(1)f ,解不等式()(22)0f x f x --<．【知识点】抽象函数求定义域,函数单调性的应用.【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）()f x 定义在(0,)+∞,则0330x x x >⎧⇒>⎨->⎩．……….① ()()()f xy f x f y =+,()(3)((3))f x f x f x x ∴+-=-，211(2)(2)(4)f f f =+=+=,((3))(4)f x x f ∴-≤，()f x 在(0,)+∞上单调递增,(3)4[1,4]x x x ∴-≤⇒∈-．………②由①②:(3,4]x ∈．（2）1(1)0x y f ==⇒=．()f x 定义在(0,)+∞,则01220x x x >⎧⇒>⎨->⎩．……….① ()()()()()()f xy f x f y f x f xy f y =+⇒=-．()(22)()22x f x f x f x ∴--=-,()(1)22x f f x ∴<-． ()f x 在(0,)+∞上单调递增,1222x x x ∴<⇒>-．………② 由①②:(2,)x ∈+∞．【思路点拨】定义域优先的原则,利用函数单调性构建不等式组求解．【答案】（1）(3,4]x ∈;（2）(2,)x ∈+∞．【设计意图】抽象函数定义域方面结合函数单调性的考察也是热点之一,对于抽象函数综合性问题,要定义域优先的原则,结合函数的单调性,建立不等式组求解.3.课堂总结知识梳理（1）从图象变化趋势探究,生成函数单调性的概念.（2）根据函数图象求单调区间.（3）利用定义法证明函数的单调性.（4）函数单调性的应用.重难点归纳（1）从图形变化趋势到单调性概念的生成.（2）单调性概念的深层次理解.（3）单调性的综合应用.（三）课后作业基础型 自主突破1.画出下列函数图象,并根据图象说出()y f x =的单调区间,以及在各单调区间上,函数()y f x =是增函数还是减函数．（1）2()31f x x x =--+；（2）2()32x f x x-=-． 【知识点】二次函数、一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）2()31f x x x =--+对称轴为32x =-,开口向下， 如图: 函数在3(,)2-∞-为增函数,在3[,)2-+∞为减函数.（2）2()32x f x x -=-的对称中心为31(,)22-,且(2)0f = 如图:函数在33(,)(+)22-∞∞，，为减函数. 【思路点拨】（1）二次函数的单调区间,由开口方向与对称轴共同决定;（2）一次分函数作图时,先确定对称中心,再取特殊点定象限.【答案】（1）增3(,)2-∞-;减3[,)2-+∞；（2）减3(,)2-∞,3(,)2+∞． 2.证明:函数1()12f x x=-在(,0)-∞上为增函数． 【知识点】定义法证明单调性．【数学思想】【解题过程】12,(,0)x x ∀∈-∞且12x x <，1212121211()()(1)(1)222x x f x f x x x x x --=---=． 12x x <,120x x ∴-<，12,(,0)x x ∈-∞,120x x ∴>,12()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x <． 函数1()12f x x=-在(,0)-∞上为增函数． 【思路点拨】证明题用定义法较严谨.初步判断函数单调性,可作函数图象观察单调区间,也可分析法12y x =在(,0)-∞为减,12y x =-在(,0)-∞为增,112y x=-在(,0)-∞为增. 【答案】3.讨论函数3()2f x x x =--+的单调性,并证明你的结论．【知识点】定义法证明函数单调性．【数学思想】【解题过程】12,x x R ∀∈且12x x <，33331211222121()()()()()()f x f x x x x x x x x x -=-----=-+-222211212121212()(1)()[()1]24x x x x x x x x x x x =-+++=-+++．12x x <,210x x ∴->，22112()1024x x x +++>,12()()0f x f x ∴->,即12()()f x f x >． 3()2f x x x =--+在R 上是减函数.【思路点拨】定义法证明函数单调性,式子变形为几个因式相乘的形式,要有利于符号判断.【答案】4.函数2()2(3)3f x x a x a =--+在(,2)-∞-上是减函数,则实数a 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】2()2(3)3f x x a x a =--+函数图象对称轴为3x a =-,开口向上.如图:325a a -≥-⇒≤．【思路点拨】结合图象开口方向,对称轴,判断单调区间．【答案】(,5]a ∈-∞．5.若二次函数2()(1)5f x x a x =--+在1(,1)2上是增函数,那么(2)f 的取值范围． 【知识点】二次函数的单调性．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】2()(1)5f x x a x =--+在1(,1)2上是增函数，11222a a -∴≤⇒≤． (2)112,2(2)7f a a f =-≤⇒≥．【思路点拨】结合图象开口方向,对称轴位置,判断单调区间．【答案】[7,)+∞．6. 函数()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数,且(1)(21)f a f a -<-,求a 的范围．【知识点】抽象函数定义域、函数单调性的应用．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】由题意,定义域(1,1)-,则111(0,1)1211a a a -<-<⎧⇒∈⎨-<-<⎩． ()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数(1)(21)f a f a -<-．2(1)(21)3a a a ∴->-⇒<． 综上所述2(0,)3a ∈． 【思路点拨】抽象函数关注定义域的原则,结合函数单调性,构建不等式组求解. 【答案】2(0,)3a ∈． 能力型 师生共研7.判断函数()f x x =在其定义域内的单调性．【知识点】定义法证明函数单调性.【数学思想】【解题过程】()f x x =-,定义域为R ．12,x x R ∀∈且12x x <，121212()()))()f x f x x x x x -=---=--1212()(x x x x =--=-．12x x <,120x x ∴-<且0>，21xx +>,0x∴-<，120,0x x ∴-<<，12()()0f x f x ∴->,即12()()f x f x >．()f x x ∴=-在R 上单调递减．【思路点拨】定义法证明单调性步骤:作差、变形、断号、结论．【答案】8.若定义在R 上的二次函数2()4f x ax ax b =-+在区间[0,2]上是增函数,()(0)f m f ≥,求实数m 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】函数2()4f x axax b =-+对称轴为2x =．()f x 在区间[0,2]上是增函数,如图:()(0)(4)f m f b f ≥==．[0,4]m ∴∈【思路点拨】二次函数图象的对称性．【答案】[0,4]m ∈．探究型 多维突破9.讨论函数2()(11)1ax f x x x =-<<-的单调性． 【知识点】定义法证明函数单调性．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】12,(1,1)x x ∀∈-且12x x <．121221122112222212121122(1)()(1)()()()11(1)(1)(1)(1)(1)(1)ax ax a x x x x a x x x x f x f x x x x x x x x x +-+--=-==----+-+-． 12,(1,1)x x ∈-,1210x x ∴+>,110x +>,210x +>,110x -<,210x -<．12x x <,210x x ∴->．当0a >时,1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>⇒()f x 在(1,1)-单减，当0a <时,1212()()0()()f x f x f x f x -<⇒<⇒()f x 在(1,1)-单增，当0a =时,()f x 为常值函数,在(1,1)-不具备单调性．【思路点拨】在变形成功后,用分类讨论的思想,判断符号的正负确定函数单调性.【答案】10.已知()f x 的定义域为R ,对任意实数m n 、,都有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当0x >时,0()1f x <<．（1）证明:(0)1f =,且当0x <时,()1f x >；（2）证明:()f x 在R 单调递减．【知识点】抽象函数的单调性．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）证明:令1m =,0n =代入f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，∴f (1)＝f (1)·f (0)． 10>,0(1)1f <<,(0)1f ∴=．当0x <时,0x ->,0()1f x ∴<-<．令m x =,n x =-代入f (m ＋n )＝f (m )·f (n )．1()()(0)1()()f x f x f f x f x ⋅-==⇒=-． 0()1f x <-<,1()1()f x f x ∴=>-． （2）证明:12,x x R ∀∈且12x x <，212111()()()()f x f x f x x x f x ∴-=-+-2111121()()()()(()1)f x x f x f x f x f x x =--=--．210x x ->,21210()1()10f x x f x x ∴<-<⇒--<,1()0f x >． 21()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x ∴>．()f x ∴在R 单调递减．【思路点拨】抽象函数单调性的证明,利用已知条件,构造利于判断12()()f x f x -正负的结构. 自助餐1.在区间(0,)+∞上不是增函数的是（ ）A. 21y x =+B. 231y x =-C. 2y x=D. 221y x x =++ 【知识点】初等函数图象．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】分别作出各函数图象,观察得结论．【思路点拨】一次函数y kx b =+的单调性由k 的正负确定,0k >时,函数在定义域内单增,0k <函数在定义域内单减；二次函数单调区间由开口方向与对称轴决定；一次分函数的单调区间由对称中心决定.【答案】C ．2.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数,,a b R ∈,且0a b +≤,则有（ ）A.()()()()f a f b f a f b +≤--B.()()()()f a f b f a f b +≥--C.()()()()f a f b f a f b +≤-+-D.()()()()f a f b f a f b +≥-+-【知识点】函数单调性的应用．【数学思想】等价转化思想．【解题过程】解:0a b a b +≤⇒≤-或b a ≤-．()f x 在(,)-∞+∞上是减函数．()()f a f b ∴≥-或()()()()()()f b f a f a f b f a f b ≥-⇒+≥-+-．【思路点拨】0a b a b +≤⇒≤-或b a ≤-,再结合函数单调性．【答案】D ．3.函数()y f x =在[1,1]-上是增函数,且2(1)(1)f x f x -<-,则x 的范围______.【知识点】抽象函数的单调性．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】解:()y f x =在[1,1]-上是增函数．有2211111111x x x x x -≤-≤⎧⎪≤-≤⇒∈⎨⎪-<-⎩．【思路点拨】首先求2(1),(1)f x f x --的定义域,再利用函数单调性求解．【答案】x ∈．4.函数2()2f x x ax =-+与()1a g x x =+在区间[1,2]上都是减函数,则a 的范围______. 【知识点】二次函数、一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:2()2f x x ax =-+在区间[1,2]上是减函数． 则:对称轴1x a =≤,1a ∴≤…………①()1a g x x =+对称中心(1,0)-． 当0a >图象在第一、三象限,在[1,2]上单减,满足题目条件；当0a <图象在第二、四象限,在[1,2]上单增,与题目矛盾 ．0a ∴>．…………②由①②知:(0,1]a ∈．【思路点拨】由函数图象确定单调区间．【答案】(0,1]a ∈．5.函数()f x 对任意m n R ∈、,都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,()1f x >．（1）求证:()f x 在R 上是增函数；（2）若(3)4f =,解不等式2(5)2f a a +-<．【知识点】抽象函数单调性判断．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）证明:12,x x R ∀∈且12x x <，()()()1f m n f m f n +=+-，212111211121()()()()()()1()()1f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x ∴-=-+-=-+--=--． 210x x ->,21()1f x x ∴->，21()10f x x ∴-->,21()()0f x f x ∴->,即21()()f x f x >． ()f x ∴在R 上是增函数．（2）解:(3)(21)(2)(1)1(11)1(1)13(1)24f f f f f f f =+=+-=+-+-=-=．(1)2f ∴=,即2(5)2(1)f a a f +-<=．()f x 在R 上是增函数,251(3,2)a a a ∴+-<⇒∈-．【思路点拨】（1）抽象函数单调性证明,主要寻求12()()f x f x -的结构特征及符号判定；（2）结合函数单调性,转化为解关于x 的不等式问题．【答案】（1）略；（2）(3,2)a ∈-．6.已知函数1133()5x xf x --=,1133()5x xg x -+=．（1）求()f x 的单调区间；（2）分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -的值,由此概括出涉及函数()f x 和()g x 的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式,并加以证明.【知识点】定义法证明函数单调性．【数学思想】【解题过程】（1）解:函数()f x 的定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，12,(0,)x x ∀∈+∞且12x x <，1111113333112233121211331211()()()(1)555x x x x f x f x x x x x -----=-=-+． 12x x <,1133120x x ∴-<,113312110x x +>，12()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x <．()f x ∴在(0,)+∞上是增函数.同理,()f x 在(,0)-∞上也是增函数.（2）计算得(4)5(2)(2)0f f g -=,(9)5(3)(3)0f f g -=,由此概括出对所有不等于零的实数x 有:2()5()()0f x f x g x -=．22111122223333332333311()5()()5()()055555x x x x x x f x f x g x x x x x -------+-=-⋅=---=． 【思路点拨】（1）由定义法单调性的判断；数学探究模式的体现:计算、归纳、猜想、验证.【答案】（1）单增区间(,0)-∞,(0,)+∞；（2）0.。
高中数学人教A版必修1第一章函数的单调性与最大(小)值教案
函数的单调性与最大（小）值一、教学目标（1）通过初中学习过的基本函数包括一次函数反比例函数和二次函数（特别是二次函数），理解函数的单调性及其几何意义。
（2）会用函数单调性去求函数的最大值和最小值。
（3）会利用函数单调性求解或者证明不等式。
（4）能够更加深刻理解函数。
（5）能够运用定义证明函数在某个区间内的单调性。
二、教学重点（1）函数单调性的定义及用定义判断证明函数的单调性。
（2）通过函数单调性的研究，理解数形结合的思想。
三、本节的作用和地位本节课时在学习了函数及其表示的基础上学习的，它既是前面的延续和拓展，又是后面研究基本初等函数单调性的基础，在整个高中学习中起着承上启下的作用。
研究函数单调性的过程体现了数形结合的思想和从一般到特殊的思想方法，对学生学习具有重大的意义。
四、教学方法和学生收获通过回忆初中学习过的一次函数，二次函数，反比例函数，采用开放式教学、引导启发式教学，分组讨论法、反馈式评价法、总结分析法的教学方式，既增加老师与学生，学生与学生之间的交流合作，又能激发学生学习的求知欲，调动学生积极性。
在参与过程中能体验到学习的喜悦，感受学习数学的乐趣，激发学生学习数学的兴趣。
通过对函数单调性的研究，接触了数形结合法，培养了学生观察、归纳、抽象的能力、语言表达能力，总结分析的能力，通过对函数单调性的证明，提高了推理论断能力。
五、课时计划:一课时六、教学设备:直尺和三角板七、教学过程：新课引入：师：同学们开始上课。
在初中时，我们学习了一次函数、二次函数以及反比例函数，并且曾根据他们的函数图象讨论了函数在某个区间内函数值随着自变量的增大或者减小函数值也增大或减小的性质，好，请同学们回忆一下，并完成下列三个题。
对于正比例函数，我们知道f(x)=kx中当k>0时，y的值随着x值得增大而增大；当k<0时，y的值随着x值得增大而减小；请同学们画出下列函数图象，观察其变化规律，并填空。
（1）、f(x)=x+2 （2）f(x)=-x+1 (3) f(x)=x2对于 f(x)=x+2①从左到右，图像是____________。
高中数学单调性与最大小值教案第一课时新课标 人教版 必修1A 教案
单调性与最大（小）值（第一课时）教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念；2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法；3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明教学方法：讲授法教学过程：（I）复习回顾1.函数有哪几个要素？2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？4.区间的表示方法.前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。
（II）讲授新课1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1）问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？⇒随着x的增加，y值在增加。
问题2：怎样用数学语言表示呢？⇒设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1<x2时，f(x1)<f(x2).(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。
结论：这时，说y1=x2在[0，+∞]上是增函数。
（同理分析y轴左侧部分）由此可有：2.定义：（投影2）注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。
（III）例题分析例1.下图是定义在闭区间[]5,5-上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上的单调性（课本P34例1）。
-，[)3,1上是减函数；在区间[)1,2-，[)5,3上是增函数，那么在两个区间的问题3：y=f(x)在区间[)2,5-公共端点处，如：x=-2,x=-1,x=3处是增函数还是减函数？分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。
人教A版高中数学必修一单调性与最大小值教学案新
§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）第一课时 单调性【教学目标】1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性． 【教学重点难点】重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性 【教学过程】（一）创设情景，揭示课题1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． （3）f(x) = x 2 ○1在区间 ____________ 上， f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．3、从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
（二）研探新知1、y = x 2的图象在y 轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？ 学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：函数y = x 2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有x 12＜x 22. 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。
高中数学1.3.1函数的单调性与最大小值第1课时教学设计新人教A版必修1
1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值全体设计教材分析研讨函数的单调性和最值是函数性质一个重要内容.理论上，在初中学习函数时，曾经重点研讨了一些函数的增减性，只是当时的研讨较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也次要根据观察图象得出，而本大节内容，正是初中有关内容的深化和进步：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是绝对某个区间来说的，还阐明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严峻的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法分歧同来了.由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因而，在本节教学时可以充分运用信息技术创设教学情境，以利于先生作函数图象，有更多的工夫用于考虑、探求函数的单调性、最值等性质.还要特别注重让先生经历这些概念的构成过程，以便加深对单调性和最值的理解.三维目标1.函数单调性的研讨经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让先生经过自主探求活动，体验数学概念的构成过程的真理，学会运用函数图象理解和研讨函数的性质.2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，进步运用知识解决成绩的能力.3.经过实例，使先生领会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题认识.4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的理论成绩，使先生感遭到学习函数单调性的必要性与重要性，加强先生学习函数的紧迫感，激发先生学习的积极性.重点难点教学重点:函数的单调性和最值.教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数方式化定义的构成.课时安排：2课时第1课时函数的单调性【教学目标】1．知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念，经过观察一些函数图象的特点，构成增（减）函数的直观认识. 再经过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
《函数的单调性和最大(小)值》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】
《函数的单调性与最大（小）值》教学设计第一课时函数的单调性通过观察一些函数图像的特征，形成增（减）函数的直观认识。
再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义。
掌握用定义证明函数单调性的步骤。
函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
【知识与能力目标】1、结合具体函数，了解函数的单调性及其几何意义；2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质；3、能够应用定义判断函数在某区间上的单调性。
【过程与方法目标】借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的思想，运用定义进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好的思维习惯。
【情感态度价值观目标】通过直观的图像体会抽象的概念，通过交流合作培养学生善于思考的习惯。
【教学重点】函数单调性的概念。
【教学难点】判断、证明函数单调性。
从观察具体函数图像引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
(一)创设情景，揭示课题德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。
他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y 是时间间隔t 的函数。
艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图：思考1:当时间间隔t 逐渐增大你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势？通过这个 试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ （二）研探新知观察下列各个函数的图像，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？○2能否看出函数的最大、最小值？○3函数图像是否具有某种对称性？画出下列函数的图像，观察其变化规律：（1）f(x) = x （2）f(x) = x2思考1：这两个函数的图像分别是什么？二者有何共同特征？思考2：如果一个函数的图像从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？思考3：如图为函数f(x)在定义域I内某个区间D上的图像，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1＜x2时， f(x1)与f(x2)的大小关系如何？思考4: 我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D 上是增函数”？1、函数单调性定义（1）增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）。
1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 教案(人教A版必修1)
1.3函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性●三维目标1．知识与技能(1)使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念；(2)初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．过程与方法(1)培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；(2)感悟数形结合、分类讨论的数学思想．3．情感、态度与价值观领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣．●重点难点重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性．难点：根据定义证明函数的单调性和利用函数图象证明单调性．(1)重点的突破：以学生们熟悉的函数(一次函数、二次函数)为切入点，从直观入手，顺应学生的认知规律，让学生对图象的上升和下降有一个初步感性认识，在此基础上，教师通过启发式提问，层层分解函数单调性的定义中所涉及到的关键词(如：区间内，任意，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)等)，必要时教师借助多媒体，以动态的过程演示变量同函数值的变化关系，以帮助学生实现从“图形语言”⇒“文字语言”⇒“符号语言”多角度认识函数的单调性的过程，顺利完成“形”到“数”的转换，最终师生共同总结出单调增函数的定义；(2)难点的解决：首先让学生明确用函数图象判断函数单调性是最直观的一种方式，在此基础上通过实例提出问题：函数图象不能作出时，应如何处理函数单调性，通过分组讨论，让学生明确用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究，从研究函数图象过渡到研究函数的解析式．最后师生共同总结利用定义证明函数单调性的基本步骤：设值，作差，变形，断号，定论．如图，观察函数y＝x2的图象，回答下列问题：1．当x>0时，函数值y随自变量x的增大而发生什么变化？【提示】增大．2．如果在y轴右侧部分任取两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1<x2时，y1，y2的大小关系如何？是不是在定义域内任取两个点都有这个规律呢？【提示】y1<y2.并非在定义域内任取两个点都有这个规律．如－4<1，但(－4)2>12.3．如何用数学符号语言来描述y轴右侧的图象变化规律？【提示】在区间(0，＋∞)上，任取两个x1，x2，得到f(x1)＝x21，f(x2)＝x22，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)．y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．(1)y ＝3x －2；(2)y ＝－1x ；(3)y ＝－x 2＋2x ＋3.【思路探究】 画出函数的草图―→结合图象“升降” 给出单调区间【自主解答】 (1)函数y ＝3x －2的单调区间为R ，其在R 上是增函数．(2)函数y ＝－1x 的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为增函数．(3)函数y ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴为x ＝1，并且开口向下，其单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为(1，＋∞)，其在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．1．本题中求函数单调区间的方法是图象法，除这种方法外，求单调区间时还可以使用定义法，也就是由增、减函数的定义求单调区间．求出单调区间后，若单调区间不唯一，中间用“，”隔开，如本题第(2)小题．2．一、二次函数及反比例函数的单调性：(1)一次函数y ＝kx ＋b 的单调性由参数k 决定：当k ＞0时，该函数在R 上是增函数；当k ＜0时，该函数在R 上为减函数．(2)反比例函数y ＝k x (k ≠0)的单调性如下表所示： (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的单调性以对称轴方程x ＝－b 2a 为分界线．如图1－3－1是定义在区间[－4,7]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )的单调增区间是________，单调减区间是________．图1－3－1 【解析】 由图可知，函数y ＝f (x )的图象在[－4，－1.5]及[3,5)，[6,7]上具有下降趋势．在[－1.5,3]及[5,6)上具有上升趋势，故函数f (x )的单调增区间是[－1.5,3]及[5,6)；单调减区间是[－4，－1.5)，[3,5)及[6,7]．【答案】 [－1.5,3)，[5,6) [－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]判断函数f (x )＝x ＋9x 在x ∈[3，＋∞)上的单调性并用定义证明．【思路探究】 取值→作差→变形→判号→定论【自主解答】 函数f (x )＝x ＋9x 在[3，＋∞)上是增函数．任取x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋9x 1－x 2－9x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－9)x 1x 2又x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又x 1，x 2∈[3，＋∞)，∴x 1x 2－9>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)．即f (x )＝x ＋9x 在[3，＋∞]上为增函数．1．定义法判断函数单调性的四个步骤2．除定义法外，在判断或证明函数的单调性时还经常运用图象法．就是作出函数图象，由图象上升或下降，判断出单调性．判断函数f (x )＝x ＋9x 在(0,3)上的单调性．【解】 任取x 1，x 2∈(0,3)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋9x 1－x 2－9x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－9)x 1x 2. 又∵0<x 1<x 2<3，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－9<0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )＝x ＋9x 在(0,3)上为减函数．已知函数f (x )＝kx －4x －8在[5,20]上是单调函数，求实数k 的取值范围．【思路探究】 首先对二次项系数k 是否为零进行分类讨论，然后利用数形结合思想方法进行解答．【自主解答】 当k ＝0时，f (x )＝－4x －8，其在[5,20]上是单调减函数，所以k ＝0符合题意．当k ≠0时函数f (x )＝kx 2－4x －8对称轴为x ＝2k ，有两种情况：①k >0时，要使f (x )在[5,20]上单调，必有5≥2k 或20≤2k ，即k ≥25或0<k ≤110.②k <0时2k <0，显然[5,20]在对称轴右侧是单调减区间，所以k <0成立．综上可知，实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪k ≤110或k ≥25由函数的单调性求参数取值范围的两种方法(1)利用单调性的定义例如，由f (x 1)>f (x 2)结合单调性，转化为x 1与x 2的大小关系．(2)利用函数的特征例如，二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的取值范围．已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，且f (4a －3)>f (5＋6a )，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题意得，4a －3>5＋6a ，即a <－4.【答案】 (－∞，－4)因混淆“单调区间”和“区间上单调”两个概念致误若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋4的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．【错解】 函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1－a ，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a ≥4，即a ≤－3.【错因分析】 错解中把单调区间误认为是在区间上单调．【防范措施】单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．【正解】因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图象的对称轴为直线x ＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.【答案】a＝－31．定义单调性时应强调x1，x2，在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、判号、定论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．3．已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.二是数形结合意识：如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题．图1－3－21．函数f (x )的图象如图1－3－2所示，则( )A ．函数f (x )在[－1,2]上是增函数B ．函数f (x )在[－1,2]上是减函数C ．函数f (x )在[－1,4]上是减函数D ．函数f (x )在[2,4]上是增函数【解析】 结合图象可知函数f (x )在[－1,2]上是“上升”的，故A 正确．【答案】 A2．函数y ＝－x 2＋2x －2的单调递减区间是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)【解析】 ∵函数y ＝－x 2＋2x －2的开口向下，且对称轴为x ＝1，∴函数y ＝－x 2＋2x －2的单调递减区间是[1，＋∞)．【答案】 B3．若函数y ＝－b x 在(0，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是________．【解析】 由反比例函数的单调性知，－b >0，∴b <0.【答案】 (－∞，0)4．判断函数f (x )＝x 2－2在(0，＋∞)上的单调性，并证明．【解】 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21－2－(x 22－2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)因为x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1＋x 2>0.又因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )＝x 2－2在(0，＋∞)上单调递增.一、选择题1．函数y ＝(k ＋2)x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则k 的范围是( )A ．{k |k ≥－2}B ．{k |k ≤－2}C ．{k |k <－2}D ．{k |k >－2}【解析】 由题意结合一次函数的图象可知k ＋2>0，即k >－2.【答案】 D2．关于函数y ＝－5x 的单调性的叙述正确的是( )A ．在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的B ．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是递增的C ．在[0，＋∞)上是递增的D ．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的【解析】结合函数y ＝－5x 的图象可知，其在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的．【答案】 D3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是( )A ．y ＝－x 2B ．y ＝x 2－2C ．y ＝－2x ＋1D ．y ＝1x【解析】 结合A 、B 、C 、D 四个选项所对应函数的图象可知，B 正确．【答案】 B4．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2－1)<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a ) 【解析】 ∵a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴a 2＋1>a .∴f (a 2＋1)<f (a )． 【答案】 D5．(2014·芜湖高一检测)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2在[－5,5]上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－5]B ．[5，＋∞)C ．[－5,5]D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2的对称轴是x ＝－a ，由函数f (x )在[－5,5]上单调，所以－a ≤－5或－a ≥5从而a ≤－5或a ≥5，即实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．【答案】 D二、填空题6．若函数f (x )是[－2,2]上的减函数，则f (－1)________f (2)．(填“＞”，“＜”，“＝”)【解析】 ∵f (x )在[－2,2]上是减函数，且－1＜2，∴f (－1)＞f (2)．【答案】 ＞7．函数y ＝|x ＋2|的单调递增区间为________．【解析】 y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <－2x ＋2，x ≥－2，图象如右图． 故函数的单调递增区间为[－2，＋∞)．【答案】 [－2，＋∞)8．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f (1)＝________.【解析】 ∵函数f (x )在(－∞，－2]上是减函数，在[－2，＋∞)上是增函数，∴x ＝－b 2a ＝m 4＝－2，∴m ＝－8，故f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝13.【答案】 13三、解答题9．(2014·济宁高一检测)求证函数f (x )＝1x 2在(0，＋∞)上是减函数【证明】 对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 21x 22. ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，x 21x 22>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )＝1x 2在(0，＋∞)上是减函数．10．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，且f (x )在区间[－2,2]上是增函数，f (1－m )＜f (m )，求实数m 的取值范围．【解】 因为f (x )在区间[－2,2]上单调递增，所以当－2≤x 1＜x 2≤2时，总有f (x 1)＜f (x 2)成立；反之也成立，即若f (x 1)＜f (x 2)，则－2≤x 1＜x 2≤2.因为f (1－m )＜f (m )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤m ≤2－2≤1－m ≤21－m ＜m ，解得12＜m ≤2.∴实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.11．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出该函数的单调区间．【解】 x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3；x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3.∴y ＝{ －x 2＋2x ＋3，x ≥0 －x 2－2x ＋3，x <0画出该函数的图象如图所示，由图象知，该函数的单调递增区间是(－∞，－1]，(0,1]；单调递减区间是(－1,0]，(1，＋∞).。
《单调性与最大(小)值》教案11(新人教A版必修1).doc
湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义讲义九： 函数的基本性质•…单调性和最值（2）（一）、基本概念及知识体系：教学要求：更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小） 值及其几何青义教学董点：熟练求函数的最大（小）值。
教学难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。
教学过程：—、复习准备：1. 指出函数f （x ）=ax.，+bx+c （a>0）的单调区间及单调性，并进行证明。
2. f （x ）=ax.，+bx+c 的最小值的情况是怎样的？3. 知识回顾：增函数、减函数的定义。
二、讲授新课:1・教学函数最大（小）值的概念：① 指出下列函数图象的最高点或最低点，一能体现函数值有什么特征？/（x ） = -2x + 3, /（x ） = -2x + 3 XG [-1,2] ； /（x ） = x 2 + 2x + 1 , f （x ） = x 2+2x + ] 兀 w [—2,2]② 定义最大值：设函数y=f （x ）的定义域为Z,如果存在实数M 满足：对于任意的xey,都 有f （x ）WM ；存在x o e/,使得f （x°） = M.那么,称M 是函数y 二f （x ）的最大值（Maximum Value ） ③ 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value ）的定义.-一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法）一试举例说明方 法. 2 •教学例题：① 出示★例题1： 一枚炮弹发射，炮弹距地面高度力（米）与时间“秒）的变化规律是h = \30t-5t 2, 那么什么时刻距离达到最高？射高是多少？（学生讨论方法-> 师生共练：配方、分析结果-> 探究：经过多少秒落地？）② 练习：一段竹篱笆长20米，围成一而靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地而积最大？（引导：审题一设变量一建立函数模型一研究函数最大值；一小结：数学建模）③ 出示 ★例2：求函数尸丄在区间[3, x-26]上的最大值和最小值.3分析：函数）心亠，兀“3（]的图彖一方法：单调性求最大值和最小值.x — 2->板演一小结步骤：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.3 + x-变式练习：y 二「山€[3,6]x-2④ 探究：）',二丄的图象与）,=丄的关系?x-2 x 3.看书P34例题 一口答P36练习 一小结：最大（小）值定义；三种求法・ 三、巩固练习： 房价（元） 住房率（％）160 55140 6512075 ⑤练习:解法二：换元法） 求函数y = 2x + yfx-\的】 （解法一：单调法;2•—个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据 如右： 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？(分析变化规律一建立函数模型一求解最大值)3.课堂作业：书P43A 组5题；B 组-2题.四、备选用思考题:【题1】、二次函数f (x) =ax 2+bx (a,b 为常数且aHO)满足f (・x+5) =f (x ・3)且方程f (x) 二x 有等根；①求f (x)的解析式；②是否存在实数m 、n(mvn)使f (x)定义域为[m, n], 值域为[3m, 3n],若存在，求出m 、n 之值，若不存在，说明理由解、①f (x) =-|x 2+x ②由于f (x)的值域是f (x) W*,则即n 宅,所以有f (m)=3m 且f (n) =3n・••存在实数m =-4,n=0 W (x)定义域为卜4, 0],值域为卜12, 0]★例2:某产品单价是120元，可销售80万件。
人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《函数的单调性与最大(小)值》精品教学设计
1.3.1单调性与最大（小）值（第一课时）教材分析单调性与最大（小）值这节内容选自人教版A版《普通高中课程标准试验教科书必修1》第一章1.3节函数的基本性质的内容。
函数是描述事物运动变化规律的数学模型，学习函数的变化规律能把握事物的变化规律，因此研究函数的性质非常关键。
学生在此之前已经学习了函数的概念及函数的三种表示法，并且学生学会了从集合的角度来认识函数。
本次课的学习是函数的基本性质的第一课时，研究函数的单调性与最大最小值问题，这一性质是函数最直观的一个性质。
也是为后续学习函数的奇偶性等相关性质奠定基础。
因此，本次课的教学尤为关键。
本次课在教学上我将采取两个课时的时间，在第一课时内完成函数单调性概念的教学并掌握判断简单函数单调性的方法，在第二课时内完成最大（小）值概念的教学，并且能进一步掌握部分函数单调性的判断技巧。
教学目标●知识与技能：了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法；●过程与方法：经历情景引入、直观感知、知识形成等过程，掌握数形结合的数学方法，同时学会从直观的图像上发现问题并且掌握作差法，培养学生严谨的数学思维能力；●情感态度与价值观感受数学符号以及图形的魅力，培养学生能从辩证的角度看问题，感受数学与现实生活的联系，体会数学的强大实用功能；教学重难点教学重点：函数单调性的概念以及判断简单函数单调性的方法；教学难点：判断简单函数单调性的方法；重难点突破：学生在学习函数单调性概念的过程中，教师通过引入具体事例加以分析，首先让学生直观感受函数的单调性，进而通过引导探究认识函数的单调性；在判断简单函数的单调性的过程中，教师引导学生通过直接看图像以及做差这两种方法来判断函数的单调性。
教法学法分析新课标的教学理念认为学生是天生的学习者，学生已经具备了一定的生活经验，具备一定数学知识和数学经验。
在教学中力求通过教师的引导，学生根据已有的生活经验进行自主探究，发现数学规律，掌握数学知识，并且能进一步把知识运用到实践中；而教师是学生学习中的引导者、组织者和合作者，教师应该给予学生足够的空间感受数学本身的魅力，感受数学的使用功能。
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单调性与最大（小）值（第一课时）
教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念；
2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法；
3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；
4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；
5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
教学重点：函数单调性的概念
教学难点：函数单调性的判断和证明
教学方法：讲授法
教学过程：
（I）复习回顾
1.函数有哪几个要素？
2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？
3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？
4.区间的表示方法.
前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。
（II）讲授新课
1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1）
问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？
⇒随着x的增加，y值在增加。
问题2：怎样用数学语言表示呢？
⇒设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1<x2时，f(x1)<
f(x2).
(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。
结论：这时，说y1= x2在[0，+∞]上是增函数。
（同理分析y轴左
侧部分）由此可有：
2.定义：（投影2）
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）。
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是
上升的，减函数的图象是下降的。
注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；
（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。
（III）例题分析
例1.下图是定义在闭区间[]5,5-上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上的单调性（课本P34例1）。
-，[)3,1上是减函数；在区间[)1,2-，[)5,3上是增函数，那么在两个区间的问题3：y=f(x)在区间[)2,5-
公共端点处，如：x=-2,x=-1,x=3处是增函数还是减函数？
分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。
因此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内）。
说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。
严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。
例2．证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
证明：设任意x1、x2∈R，且x1<x2.
则f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).
由x1<x2得x1-x2<0.∴f(x1)- f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)=3x+2 在R上是增函数。
分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
a.设x1、x2∈给定区间，且x1<x2；
b.计算f(x1)- f(x2)至最简；
c.判断上述差的符号；
d.下结论。
例3．教材第34页例2。
（IV）课堂练习课本P35“探究题”和P38练习1—3
注意：通过观察图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。
（V）课时小结
本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明。
（VI）课后作业
1、书面作业：课本P45习题1.3A组题1、
2、
3、4题。
2、预习作业：
（1）预习内：容函数的最大值与最小值（P35—P38）；
（2）预习提纲：
a.函数最大值与最小值的含义是什么？
b. 函数最大值与最小值和函数的单调性有何关系？。