高中数学单调性与最大(小)值教案(第一课时)新课标 人教版 必修1(A)

单调性与最大（小）值（第一课时）

教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念；

2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法；

3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；

4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；

5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点：函数单调性的概念

教学难点：函数单调性的判断和证明

教学方法：讲授法

教学过程：

（I）复习回顾

1.函数有哪几个要素？

2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？

3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？

4.区间的表示方法.

前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。

（II）讲授新课

1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1）

问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？

⇒随着x的增加，y值在增加。

问题2：怎样用数学语言表示呢？

⇒设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1

f(x2).

(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。

结论：这时，说y1= x2在[0，+∞]上是增函数。（同理分析y轴左

侧部分）由此可有：

2.定义：（投影2）

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是

上升的，减函数的图象是下降的。

注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；

（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。

（III）例题分析

例1.下图是定义在闭区间[]5,5-上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上的单调性（课本P34例1）。

-，[)3,1上是减函数；在区间[)1,2-，[)5,3上是增函数，那么在两个区间的问题3：y=f(x)在区间[)2,5-

公共端点处，如：x=-2,x=-1,x=3处是增函数还是减函数？

分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。因此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内）。

说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。

例2．证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。

证明：设任意x1、x2∈R，且x1

则f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).

由x1

∴f(x)=3x+2 在R上是增函数。

分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x1

b.计算f(x1)- f(x2)至最简；

c.判断上述差的符号；

d.下结论。

例3．教材第34页例2。

（IV）课堂练习课本P35“探究题”和P38练习1—3

注意：通过观察图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。

（V）课时小结

本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明。

（VI）课后作业

1、书面作业：课本P45习题1.3A组题1、

2、

3、4题。

2、预习作业：

（1）预习内：容函数的最大值与最小值（P35—P38）；

（2）预习提纲：

a.函数最大值与最小值的含义是什么？

b. 函数最大值与最小值和函数的单调性有何关系？