数学物理方法第二次作业答案解析

第七章 数学物理定解问题

1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。

2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为

。

3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。

4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___

f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。

A 2tt xx u a u f =+；

B 2

t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D

2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。

A 1个；

B 2个；

C 3个；

D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放

手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。

A ．⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈==]

,2[),(2]2,0[,2l l x x l l

h l x x l h

u o

t B ．⎪⎩⎪⎨

⎧====00

t t

t u h

u

C ．h u t ==0

D ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎩⎪⎨

⎧∈-∈===0

],2[),(2]2,0[,200t t t u

l l x x l l h l x x l h

u

8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变

u

x

h

2

/l 0

u 图〈1〉

力t F ωsin 0的作用而振动。”则该定解问题为( B )。

A ．⎪⎩⎪⎨⎧===<<-=-===0,0,0)0(,)(sin 0000

2

t l x x xx tt u u u

l x x x t F u a u ρ

δω B ．⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧====<<-=-====0,00,0)0(,)(sin 00

0002

t t t l x x xx tt

u

u u u l x x x t F u a u ρ

δω

C ．⎪⎩⎪⎨⎧==<<-=-==0

,0)0(,)(sin 00002

t t t xx tt

u u

l x x x t F u a u ρδω

D ．⎪⎪

⎩⎪

⎪⎨⎧==-==<<=-====0

,0)(sin ,0)0(,0000002t t t l x x xx tt u u x x t F u u l x u a u ρδω

9．线密度为ρ长为l 的均匀弦，两端固定，用细棒敲击弦的0x 处，敲击力的冲量为I ，然后弦作横振动。该定解问题为：（ B ）。

A ．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====-====0,00,000

02

t t t l x x xx tt u u u u I u a u ρ

B ．⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧====-=-====0,00

,0)(00002

t t t l x x xx tt u u u u x x I u a u ρδ

C ．⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎨⎧====<<=-====ρI u u u u l x u a u t t t l x x xx tt 0002

,00

,0)0(,0 D ．⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧-====<<=-====ρδ)(,00

,0)0(,000002

x x I u u u u l x u a u t t t l x x xx tt 10．下面不是定解问题适定性条件的( D )。

11、名词解释：定解问题；边界条件

A ．有解

B ．解是唯一的

C ．解是稳定的

D ．解是连续的

答：定解问题由数学物理方程和定解条件组成，定解条件包括初值条件、边界条件和连接条件。

研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特定“环境”，而周围花牛的影响常体现为边界上的物理状况，即边界条件，常见的线性边界条件，数学上分为三类：第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值；第二类边界条件，规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值；第三类边界条件，规定了所研究的物理量以及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。用表示边界即（1）第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值，

，代表边界

（2）第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数在边界眩的数值，（3）第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值，

第八章分离变数（傅里叶级数）法

1．用分离变数法求定解问题

2

0,(0)

0,0

()

t xx

x x

x x l

t

u a u x l

u u

u x

ϕ

==

=

⎧-=<<

⎪

==

⎨

⎪=

⎩

的解，其中)(x

ϕ为x的已知函数。解：令bx

x=)(ϕ

设