《相似三角形的判定——边边边》
《相似三角形的判定》PPT课件(第1课时)
④中的三角形的三边分别是：3, 17, 4 2
∵①与③中的三角形的三边的比为：1: 2
∴①与③相似．故答选：A
02
练一练
2．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（
）
【详解】
解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为 2，2 2， 10．
目录
02
重点
03
难点
运用两种判定方法判定两个三角形相似。
三角形相似的条件归纳、证明。
01
LEARNING OBJECTIVES
学习目标
1、初步掌握“三边成比例的两个三角形相似”和
“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法。
2、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
01
判定三角形全等条件知识点回顾
AB
AC
在△ABC和△A’B’C’中, A′B′ = A′C′ , ∠A = ∠A′ ,
求证:△ ABC ∽△ A′B′C′？
A’
∵△A'DE∽△A'B‘C’
A
A′D
D
B
DE
′
∴ A′B′ = B′C′ = A′C′，而AB=A’D
E
C
∴
AC
A′C′
=
′
A′C′
∴ AC=A’E 而∠A = ∠A′
可得△A'DE∽△A'B'C'．
01
探究与证明（通过三边判定两个三角形相似）
AB
BC
AC
在△ABC和△A’B’C’中， A′B′ = B′C′ = A′C′ , 求证:△ ABC ∽△ A′B′C′？
相似三角形的判定边角边定理
目前相似三角形的判定定理已经比较完善，但仍有一些细节 和边缘问题需要进一步研究和探讨，以完善几何学的理论体 系。
05
练习与思考题
基础练习题
01
总结词
理解边角边定理的基本应用
02 03
题目1
已知$triangle ABC$和$triangle ABD$中，AB=AB，AC=AD，且 $angle BAC = angle BAD$，求证：$triangle ABC cong triangle ABD$。
03
边角边定理的应用
证明两个三角形相似
总结词
边角边定理是证明两个三角形相似的重要定理之一，通过比较两个三角形的两边和夹角是否相等，可 以判断两个三角形是否相似。
详细描述
边角边定理指出，如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形相似。具体来说，如果 $triangle ABC sim triangle A'B'C'$，且$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，$angle B = angle B'$，则根据 边角边定理，可以推断出$triangle ABC$与$triangle A'B'C'$相似。
性质
边角边定理是相似三角形判定定理的 一种，它提供了判断两个三角形是否 相似的依据。
边角边定理的证明
证明方法一
通过三角形的性质和角的相等关系，利用三角形的 全等定理进行证明。
证明方法二
利用反证法，假设两个三角形不相似，然后通过一 系列推理和计算，得出矛盾，从而证明边角边定理 。
证明方法三
利用向量方法，通过向量的加法、数乘和向量的模 长等性质，证明两个三角形的向量相等，从而得出 两个三角形相似的结论。
相似三角形的判定(边角边)
A
C
D
F
三角形相似的判定方法2：
两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似
A
D
在△ ABC与△DEF中
E
∵ ∠B=∠E，
B
F AB BC
C
DE = EF
∴ △ ABC∽ △ DEF (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)
上述判定方法中的“角”一定只能是两
对应边的夹角吗？
我爱思考
想一想：在上述问题中如果这个角 是这两条边中其中一条边的对角呢,两个 三角形还一定相似吗？
两边对应成比例且一边的对角 对应相等的两三角形不一定相似
A
4
3.2
3.2
50°
BC
G
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
50°
1.6
E
F
例3 证明图24．3．7中 △A， EB和△FEC相似．
证明
∵
AE 54 FE ＝36＝1.5
A
D
B
C
答： △ACD∽△ABC
证明: ∵AD=1 AC= 3
AADC =
1= 3
3 3
AC AB
=
3 3
∴
AD AC
=
AC AB
∠A=∠A
∴ △ACD∽△ABC （两边对应成比例且夹 角相等的两个三角形相 似）．
1、已知,如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，根据下列
条件，可证明△ABC∽△ACD的是（C ）
BE 45 CE ＝ 30＝1.5
∴
AE BE FE ＝CE
∵ ∠AEB＝∠FEC，
∴ △AEB∽△FEC
（如果一个三角形的两
相似三角形的判定(边边边)
P
B
C
D
3.∠APD=90°，AP=PB=BC=CD
下列结论正确的是（ C）
A. △PAB∽△PCA B.△PAB∽△PDA C.△ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
1.如图:在△ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,若
AD=4,BD=3.5,AE=5,EC=1,下列结论错误的是(C ) A.1.5DE=BC B.△ABC∽△AED Ｄ
4
5
6 2
课堂小结 .判定三角形相似的方法有： （1）定义法：对应角相等、对应边成比例； (2)预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两 边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似； (3) 判定定理：（常用的方法） 1.两角对应相等的两个三角形相似 2.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 3.三边对应成比例，两个三角形相似
知识回顾: 判断两个三角形相似,你有哪些方法?
方法1：通过定义（不常用）
方法2：有两角对应相等的两三角形相似。
A
A A ' B B'
A'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B
C
B'
C'
方法3：两边对应成比例且夹角相等的两三角相似
A
AB AC AA'
A'
A 'B ' A 'C '
∴ △ABC∽△A'B'C'
点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移
动.如果P，Q同时出发，用t（s）表示移 B
动的时间（0≤t≤6），那么：
Q
（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函
数解析式；
相似三角形的判定两边及夹角
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办
()
A．打破了外商对中国航运业的垄断
B．阻止了外国对中国的经济侵略
C．标志着中国近代化的起步
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵 制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D 三项表述都有错误。 答案：A
条,并在图中画出这样的直线。 A
P
C
B
如图，在RtΔ ABC中，∠C=90°,P为 斜边AB上一点,过P点的直线截得的三 角形与Δ ABC相似，则这样的直线共有
条,并在图中画出这样的直线。 A
P
C
B
如图，在RtΔ ABC中，∠C=90°,P为 斜边AB上一点,过P点的直线截得的三
角形3与Δ条A,B并C在相图似中，画则这出样这的样的直直线共线有。
[串点成面·握全局]
一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1．原因 (1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促 进中国社会发展。 (2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压 中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。 (3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供 了物质条件。
∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AP:AC＝AC:AB.
5.如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝
2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，
小张同学的判断理由是这样的：
相似三角形的判定(边边边)
23.2.4相似三角形的判定方法教学设计
（续表）
△ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？
【教学说明】“问题1”可让学生自主完成, 并相互交流，获得“一个三角形的三条边与另一个三
角形的三条边的比相等时，这样的两个三角形相似”
的感性认识.而对于“思考1”中的问题，教师应引
导学生通过合理推理进行说明.这时可在A′B′上截
取A′D=AB，再过D作DE//B′C′，由△A′DE～△A′
B′C′，再证明△ABC≌△A′DE，则可得到△ABC～△
A′B′C′.这种构造△A′DE作为过渡三角形在以往
的学习中很少见，因此教师应做好引导.我们知道，相
似的判定方法类似于全等的判定方法．类比全等的判定方
法，你认为什么条件下，还能判定两三角形相似？本节课我
们继续探索三角形相似的条件．
活动
二：
实践探究交流新知
(二)验证
因为∠A'＝∠A
∠B' =∠B
所以
△A'B'C'∽△ABC
AB BC CA
A B B C C A
==
''''''
(三)证明：如图，在线段A′B′上截取A′D=AB，
1.探究1既提高
了学生的操作能力，
又培养了学生的合
作意识，并积累探究
新知识的方法.
2.探究2让学生
总结判定定理3的
过程，既能培养学生
的归纳能力，还能锻
炼学生数学语言的
表述能力.
A
B C
C'
B'
A'
C'
B'
A'
（续。
相似三角形的判定(三边对应成比例)(第四课时)课件
相似三角形的性质
相似三角形对应角相等， 对应边成比例，面积比等 于相似比的平方。
相似三角形的判定定理
角角角定理
如果两个三角形对应的三个角 分别相等，则这两个三角形相
似。
边边角定理
如果两个三角形对应的两边和 夹角分别相等，则这两个三角 形相似。
三边对应成比例定理
如果两个三角形三边对应成比 例，则这两个三角形相似。
03
课堂练习与解析
基础练习题
总结词：巩固基础
练习一：已知三角形ABC的三边长分别为3、4、5，三角形DEF的三边长分别为6、8、10， 判断三角形ABC与三角形DEF是否相似。
练习二：已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，三角形DEF的三边长分别为ma、mb、 mc (m为正实数)，判断三角形ABC与三角形DEF是否相似。
判定定理的应用
通过判定定理可以判断两个三 角形是否相似，也可以证明两
个三角形相似。
02
三边对应成比例的判ຫໍສະໝຸດ 方 法判定定理的推导已知两个三角形ABC和A'B'C'，如果AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'，则三角形ABC与三角形A'B'C'相似。
证明：由于AB/A'B' = BC/B'C'，根据相似三角形的性质，角B = 角B'。同理，由于AC/A'C' = BC/B'C'，角C = 角C'。因此， 三角形ABC与三角形A'B'C'在角B、角C和角B'、角C'上分别相等，根据相似三角形的定义，三角形ABC与三角形A'B'C'相似。
27.2.1相似三角形的判定(第二课时边边边)
E
A' DE ∽ A' B' C '
A' D DE A' E ∴ A' B' B' C ' A' C '
又
B'
A' E AC ∴ A' C ' A' C '
AB BC AC , A' D AB A' B' B' C ' A' C ' ∴ A' E AC 同理 DE BC
要制作两个形状相同的三角形框架，其中一 个三角形框架的三边长分别为4，6，8。另 一个三角形框架的一边长为2，它的另外两 条边长应当是多少？你有几种答案？
提示：三种选法，分别使另一个三角形的长
为2的边与长为4，6，8的边对应。
2:4=x:6=y:8 x:4=2:6=y:8 x:4=y:6=2:8
小结：
A B C ∽ A B C
1 1 1 2 2 2
AB BC AC 如图, 已知 ,求证：∠BAD=∠CAE. AD DE AE
A
AB BC AC 证明 : AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE
∴∠BAC=∠DAE
B
E
D
C
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
∴
C'
A' DE ABC
∴
ABC ∽ A' B' C '
A’
A
B
C
B’
C’
三角形相似的判定定理1：如果两个三角形
的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
相似三角形的判定(三边)(上课)
A D B C
.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB 已知如图， 已知如图 ∠ ， 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∠ ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
A
D
B
C
、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 如图： 中 ⊥ 于 18 若 AB=6 AD=2 则AC= BD= BC= 4 √2 12√2
要做两个形状相同的三角形框架, 要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角 形框架的三边的长分别为4、 、 , 形框架的三边的长分别为 、5、6,另一个三角形 框架的一边长为2, 框架的一边长为 ,请你想一想应该怎样选择材料 可使这两个三角形相似？你选的材料唯一吗？ 可使这两个三角形相似？你选的材料唯一吗？
在△ＡＢＣ中，AB=9，AC=12，BC=18， ＡＢＣ中 ， ， ， D为AC上的一点，DC=8，在AB上取一点 ， 上的一点， 上取一点E， 为 上的一点 ， 上取一点 得到△ ，，若图中两个三角形相似时 得到△ＡDE，，若图中两个三角形相似时， ，，若图中两个三角形相似时， 长为： 则DE长为： 长为 。 A
已知：如图， 已知：如图，在△ABC和△A´B´C ´中， ABC和 A B A C' B C' ' ' ' ' = = A B A C B C 求证：△ABC∽△A´B´C´. 求证： ABC∽△
证明: 证明:在△ABC的边AB上，截取AD= A´B´. ABC的边AB上 截取AD= 的边AB
A A' B C B' C'
相似三角形的判定(第二课时 利用边边边、边角边判定相似)(练习)(人教版)(解析版)
第二十七章 相似27.2.1 相似三角形的判定（第二课时 利用边边边、边角边判定相似）精选练习答案 一、单选题（共10小题)1．（2019·南京市期中）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为111A B C ∆中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，故选B ．2．（2020·邛崃市期中）如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC=∠D ，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的( )A ．AC AB AD AE = B ．AC BC AD DE = C ．AC AB AD DE = D ．AC BC AD AE= 【答案】C【解析】基础篇试题解析：∵∠BAC=∠D，AC AB AD DE＝，∴△ABC∽△ADE．故选C．3．（2019·牡丹区期末）在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．A．44182AB==，对应边631842ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B．338AB=，对应边633848ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C．22163AC==，对应边631843ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D．22142BC==，对应边411822BCAB===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；故选D．4．（2019·珠海市期末）如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A．AC：BC＝AD：BD B．AC：BC＝AB：ADC．AB2＝CD•BC D．AB2＝BD•BC【答案】D【分析】根据相似三角形的对应边比例且夹角相等进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．【详解】∵∠B ＝∠B ， ∴当AB BC BD AB=时， △ABC ∽△DBA ，当AB 2＝BD•BC 时，△ABC ∽△DBA ，故选D ．5．（2020·厦门市期末）如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠∠=；②ADC ACB ∠∠=；③AC AB CD BC=；④2AC AD AB =⋅，其中单独能够判定的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】 由已知△ABC 与△ABD 中∠A 为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.【详解】解：：①∵B ACD ∠=∠，∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△；②∵ACB ADC ∠=∠，∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△；③虽然AC AB CD BC=，但∠A 不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似； ④∵2AC AD AB =⋅，∴AC AB AD AC =，又∵∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△． 综上，单独能够判定A ABC CD ∽△△的个数有3个，故选B.6．（2020·芜湖市期末）如图，在△ABC 中，∠A ＝75°，AB ＝6，AC ＝8，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选：D．7．（2020·渭滨区期末）如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用一角相等且夹边对应成比例两个三角形相似，根据各个选项条件筛选即可．【详解】解：根据勾股定理，AC=222222+=，BC=2，AB=221310+=所以，28AC =,22BC =,210AB =,则2AC +2BC =2AB所以，利用勾股定理逆定理得△ABC 是直角三角形所以,AC BC =2222= A.不存在直角，所以不与△ABC 相似；B.两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=32≠2，所以不与△ABC 相似； C.选项中图形是直角三角形，且两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=2，故C 中图形与所给图形的三角形相似．D. 不存在直角，所以不与△ABC 相似.故选：C ．8．（2020·永定区·九年级期中）如图，点D 、E 分别在ABC 的边AB 、AC 上，且DE 与BC 不平行．下列条件中，能判定ADE 与ACB △相似的是（ ）A ．AD AE AC AB = B ．AD AB AE AC = C ．DE AE BC AB =D ．DE AD BC AC= 【答案】A【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．【详解】解:在ADE 与ACB 中，∵AD AE AC AB=，且A A ∠∠=， ∴ADE ACB ∽．故选:A ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定:（1）平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似．9．（2020·太原市期中）如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．A、∵4BC=48=12，对应边ABBC=68=34，12≠34，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B、∵2AC=12，对应边ACBC=12，即：2AC=ACBC，∠C=∠C，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；C、∵3AC=34，对应边ACAB=46=23，34≠23，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D、∵36=3AB=12，AB BC =34，12≠34，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误. 故选B．10．（2020·龙岗区期中）如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC =；④2AC AD AB =⋅；⑤AD CD AC BC =，其中单独能够判定ABC ACD ∽的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】 题中判定A ABC CD ∽△△，出现相似符号，则对应的边和对应角已经固定好，分别是AB 与AC ，AC 与AD ，BC 与CD ，∠A 是公共角，∠ABC 与∠ACD ，∠ACB 与∠ADC.所以找条件时务必找准这些对应边和对应角的关系，利用合适的判定定理去证明. 再就是2AC AD AB =⋅这种形式，务必化成比例的形式方便证明.【详解】①∠B=∠ACD ，再加上∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB ，再加上∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A 不是已知的比例线段的夹角，不正确 ④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；⑤中∠A 不是已知的比例线段的夹角，不正确；故选B ． 二、填空题（共5小题)11．（2018·菏泽市期末）如图，AB AC ⊥，AD BC ⊥，已知6AB =，9BC =，则图中线段的长BD =________，AD =________，AC =________．【答案】4 25 35【分析】提升篇在Rt △ABC 中根据勾股定理即可求得AC 的长；根据射影定理即可求得BD 的长； 在Rt △ABD 中根据勾股定理即可得AD 的长.【详解】在Rt △ABC 中，AB=6，BC=9，根据勾股定理可得：AC=22229635BC AB -=-=；∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴2AB BD BC =⋅，∴26=9BD ，即BD=4；在Rt △ABD 中，BD=4，AB=6，根据勾股定理可得：AD=22226425AB BD -=-=.故答案为4；25；35.12．（2020·清江浦区期中）如图，若ABC EBD ∽△△，需添加的一个条件是______（填写一个条件即可）．【答案】BDE C ∠=∠或BED A ∠=∠或BC BD BA BE=（任填其一） 【分析】 本题考查的是相似三角形的判定，本题要判定△ABC ∽△EBD ，已知∠ABC=∠EBD ，具备了一组角对应相等，故添加∠BDE=∠BCA 或∠BDE=∠BCA 后可分别满足三角形相似，而三角形相似还需考虑一组角相等，对应两组边成比例，故还有BC BD BA BE =． 【详解】解：∵要△ABC ∽△EBD ，又∵∠ABC=∠EBD ，∴只需∠BDE=∠BCA 或∠BDE=∠BCA 或BC BD BA BE=即可，故答案为：∠BDE=∠BCA或∠BDE=∠BCA或BC BDBA BE=（任选其一即可）．13．（2020·济南市期中）如图，请补充一个条件_________：，使△ACB∽△ADE．【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD AE AC AB=【分析】由∠A是公共角，且DE与BC不平行，可得当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD AEAC AB＝时，△ADE∽△ACB．【详解】①补充∠ADE=∠C，理由是：∵∠A是公共角，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB．故答案为：∠ADE=∠C．②补充∠AED=∠B，理由是：∵A是公共角，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB．③补充AD AEAC AB=，理由是：∵∠A是公共角，AD AE AC AB=，∴△ADE∽△ACB．故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD AE AC AB=14．（2019·南昌市期中）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③AC ABCD BC=；④AC2=AD•AB，其中单独能够判定△ABC∽△ACD的有．【答案】①②④.【解析】试题解析：由图可知∠A为两个要证明相似的三角形的公共角，因此，只要再找出一组对应角相等，或两组对应边成比例即可证明△ABC∽△ACD．而①②④分别与∠A为△ABC与△ACD的公共角相结合，均可推出△ABC∽△ACD．③中∠A不是已知的比例线段的夹角，故不正确．15．（2018·长沙市期末）如图，AB、CD相交于点O，试添加一个条件使得△AOD∽△COB，你添加的条件是________．（只需写一个）【答案】∠A=∠C或∠B=∠D 或OA ODOC OB=(答案不唯一)【解析】∵∠AOD=∠COB，∠A=∠C，∴△AOD∽△COB；或∵∠AOD=∠COB，∠B=∠D，∴△AOD∽△COB；或∵∠AOD=∠COB，OA ODOC OB=，∴△AOD∽△COB；综上可知答案不唯一，故答案为：∠A=∠C或∠B=∠D 或OA ODOC OB=(答案不唯一)三、解答题（共3小题）16．（2020·赣州市期末）如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．【答案】证明见解析.【分析】由AD•AC ＝AE•AB ，可得AD AE AB AC =,从而根据“两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似”可证明结论成立.【详解】试题分析： 证明：∵AD•AC ＝AE•AB ，∴AD AB＝AE AC 在△ABC 与△ADE 中 ∵AD AB ＝AE AC ，∠A ＝∠A ， ∴ △ABC ∽△ADE17．（2020·西安高新区期中）如图，AB•AE=AD•AC ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△ADE ．【答案】见解析【分析】先由已知条件得到：AC AB AE AD =，∠BAC=∠DAE ；根据两边及其夹角的三角形相似的判定定理求解即可.【详解】证明：如图，∵AB•AE=AD•AC ，∴=AB AC AD AE ．又∵∠1=∠2，∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE ，即∠BAC=∠DAE ，∴△ABC ∽△AED ．18．（2020·德州市期中）如图：四边形ABCD 对角线AC 与BD 相交于点O ，OD=2OA ，OC=2OB ．（1）求证：△AOB ∽△DOC ；（2）点E 在线段OC 上，若AB ∥DE ，求证：OD 2=OE•OC ．【答案】见解析【分析】（1）根据对应边成比例，夹角相等，可证△AOB ∽△DOC ；（2）根据相似三角形的性质结合已知条件可得△DOC ∽△EOD ，再根据相似三角形对应边成比例求解．【详解】证明：（1）∵OD=2OA ，OC=2OB ，12OA OB OD OC ∴== , 又∠AOB=∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ．（2）由（1）得：△AOB ∽△DOC ．∴∠ABO=∠DCO ．∵AB ∥DE ，∴∠ABO=∠EDO ．∴∠DCO=∠EDO ．∵∠DOC=∠EOD ，∴△DOC ∽△EOD, ∴OD OC OE OD= , 2·OD OE OC ∴=。
相似三角形的判定1(三边)
C’ B’
A B
C
说说你的 收 获 ！
★ 探讨了相似三角形的判定方法:
平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线) 相交,所得的三角形与原三角形相似.
三边对应成比例的两个三角形相似.
数学语言： “A”型
A
D B
（图1）
“X”型
D O E
E C
B （图2） C
配套P36T7
探 索
数学语言：
如果△ABC与△A'B'C'三边对应成比 A 例，那么它们相似吗？ A'
D
E
B' C'
P34课后练习
B C
三边对应成比例的两个三角形相似.
如图,△ABC与△ A’ B’ C’ 相似吗？ A’
AD AE AB AC
A E
C
D B
AE DE AC BC
AD AE 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似
平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线) 相似 相交,所得的三角形与原三角形________.
ＡD ＡE = AＢ AC D
B
P
Q E C
2. 如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A ∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C 过E作EF//AB交BC于F
∵DBFE是平行四边形
AE BF 则 AC BC
∴DE=BF
27.2.1相似三角形的判定
平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，
所得的对应线段成比例．
相似三角形的判定和性质-备战2023年中考数学考点微专题
考向5.6 相似三角形的判定和性质【知识要点】1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。
2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。
3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。
4、三角形相似的判定定理：（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。
（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。
第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。
第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。
5、相似三角形的性质：（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的判定(边角边)
相似三角形的判定（边角边）一、相似三角形的定义：三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形性质：1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3. 相似三角形的对应角角平分线，对应边的________，对应边上的_____•的比等于_______比 ，周长之比也等于________比，面积比等于_________．判定：有两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′．例：证明图中△AEB 和△FEC 相似．30365445FEBA1 依据下列各组条件，判定△ABC 与△A BC 是不是相似，并说明为什么：（1）∠A ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ，∠A ＝120°，A B ＝3 cm ，A C ＝6cm ； （2）AB ＝4 cm ，BC ＝6cm ，AC ＝8 cm ，A B ＝12 cm ，B C ＝18cm ，A C ＝24cm ，2．根据下列条件，判断ΔABC 与Δ'''A B C 是否相似，并说明理由。
(1) ∠A ＝100°，AB ＝5cm ，AC ＝7.5cm ， ∠'A ＝100°，''A B ＝8cm ，''AC ＝12cm ；(2) AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AC ＝8cm ， ''A B ＝12cm ，''B C ＝18cm ，''AC ＝24cm.3．已知：如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 、BE 交于O ，如果AD ·AB=AE ·AC ， 请问△ODB 与△OEC 相似吗？为什么？4、已知：如图，在正方形ABCD 中，Ｐ是ＢＣ上的点，且BP=3PC,Q 是CD 的中点。
三角形的相似判定
三角形的相似判定相似三角形是高中数学中非常重要的概念之一。
在几何图形中，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。
本文将从相似三角形的定义、判定方法和一些相关性质进行探讨。
1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC和三角形DEF就是相似三角形。
2. 判定相似三角形的方法（1）AA判定法当两个三角形的两个对应角相等时，如果它们的第三个对应角也相等，那么这两个三角形是相似的。
具体而言，若∠A=∠D，∠B=∠E，则可推出∠C=∠F，从而得出两个三角形相似。
（2）SAS判定法当两个三角形的一个对应边成比例，两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。
具体而言，若AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可推出∠B=∠E，从而得出两个三角形相似。
（3）SSS判定法当两个三角形的对应边成比例时，这两个三角形是相似的。
具体而言，若AB/DE=AC/DF=BC/EF，则得出两个三角形相似。
3. 相似三角形的性质（1）相似三角形内角相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角都相等。
这一性质可以通过AA判定法和SAS判定法得到证明。
（2）相似三角形边长比例如果两个三角形相似，那么它们的对应边之比相等。
这一性质可以通过SAS判定法和SSS判定法得到证明。
（3）相似三角形面积比如果两个相似三角形的边长比为k，则它们的面积之比为k²。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF相似且AB/DE=AC/DF=BC/EF=k，那么三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比为k²。
4. 常见应用相似三角形的概念在几何问题中有广泛的应用。
例如，可以利用相似三角形的性质解决高塔定影问题、测量无法直接获得的长度等。
5. 实例分析现举一个例子来说明相似三角形的判定及应用。
相似三角形的判定(边角边(9.28)
5.如图，D为ΔABC内一点，E为ΔABC外一点，
且∠1=∠2，∠3=∠4. (1)ΔABD与ΔCBE相似吗？请说明理由. (2)ΔABC与ΔDBE相似吗？请说明理由.
6、如图，◇ABCD中，AD＝10cm，
AB＝6cm，E为AB的中点，在BC上取点F，
使△DCF∽△DAE，求CF的长.
AB AC / 若 / / / / , 且B B AB AC
A A'
则 ΔABC 和ΔA‘B’C‘不相似
B C B' C'
在ΔADE 和 ΔACB中
AD DE 若 AC BC
D
则 ΔADE 和ΔACB相似吗？ 不相似
E
A
B
C
相似三角形的 判定的应用
1.如图,求证：
△AEB∽△FEC
相似三角形的判定定理：边角边法
若两个三角形有两条边对应成比例，且 其夹角相等，那么这两个三角形相似
用几何语言表示为：
在ΔABC 和 ΔA‘B’C‘中
AB BC 若 / / / / , 且B B / AB BC
A A'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B
C B'
C'
在ΔABC 和 ΔA‘B’C‘中
A
F
D
E B C
9、如图6,在正方形ABCD中，P是BC上一点，
且BP＝3PC，Q是CD得中点。 （1）、证明△ADQ∽△QCP。 （2）、求证：AQ⊥QP
A
D Q
B
P
C
已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC
＝CD，求证：ED＝3EF。
A F
相似三角形的判定(两边及夹角)
求证： △ABD∽ △ACE
拓展提升： 《名校课堂》 P50 T12
知识要点
判定三角形相似的定理之二 如果两个三角形的两组对应边的比相 两边对应成比例，且夹角相等， 等，并且相应的夹角相等，那么这两个三 角形相似。 两三角形相似。
A
A1
B C
即： 如果
AB BC k, A1B1 B1C1
A'
A
AB AC A' B ' A' C ' A A'
B
C
B'
C'
探究：
已知：在ABC和A' B' C '中，
AB AC , A A' A' B' A' C '
ABC ∽△ A' B ' C ' 求证: △
A D B C E
A'
B'
C'
判定定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
AB=7， AC=14， ∠A＝60° A’B’＝1.5，A’C’＝3， ∠A’＝ 60°
解
AB 7 14 AC 14 , ∵ AB 1.5 3 AC 3 AB AC AB AC
又 ∠A＝ ∠A’＝60° ∴ △ABC∽△A`B`C`
例题赏析
例2:
AD CD 如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且 CD BD
A
A'
B
C
B'
C'
∵
A' B' A' C' , A A' AB AC
《相似三角形的判定——三边法、两边及其夹角法》教学反思
《相似三角形的判定——三边法、两边及其夹角法》的教学反思
《相似三角形的判定——三边法、两边及其夹角法》是九年制义务教育新课程标准九年级第二十七章的内容。
首先复习回顾使用定义和平行法两种方法判定三角形相似，为学习新知储备常见的A型X型两种相似三角形，教师抛出类比三角形全等的五种方法区判断两个三角形相似的猜想。
教师引导学生任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形的各边长的k倍，画完后同桌交换你们的图形，分别度量这两个三角形的对应角，确定它们相等与否以及两个三角形相似与否。
充分探究后，师生共同推理验证：三边成比例的两个三角形相似，并且确定其几何语言。
为确保学生掌握该判定定理，学生做跟踪训练巩固新知。
巩固练习环节，教师提前预设，从添加第三边的角度入手满足三边成比例，推导两三角形相似。
遗憾的是，有些题目未指明对应边，故可能产生多种情况，有学生会想不全面。
相似三角形的判定之边边边及边角边定理
O
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
B
CB
C
类似于鉴定三角形全等旳措施，我们 还能不能经过三边来判断两个三角形相同 呢？
任意画一种三角形，再画一 种三角形，使它旳各边长都是原 来三角形各边长旳Ｋ倍，度量这 两个三角旳相应角，它们相等吗？ 这两个三角形相同吗？相互交流 一下，看看是否有一样旳结论．
1.根据下列条件,判断△ABC与△A’B’C’是否 相同,并阐明理由:
(1)∠A=400,AB=8,AC=15, ∠A’=400,A’B’=16,A’C’=30;
(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm, A’B’=16cm,B’C’=12.8cm,A’C’=25 .6cm.
2.图中旳两个三角形是否相同?
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵ AD AB, AD AB
AB AB
又 AB AC BC
AB AC BC
AD AE DE
B`
AB AC BC
A
D
∴ DE BC , EA CA .
BC BC CA CA
所以 DE BC, EA CA .
∴△ADE≌△ ABC
∴△ ABC∽△ABC
相同鉴定定理1： 假如两个三角形旳三组
相应边旳比相等,那么这两个三角形相同.
简朴地说:三边相应旳比相等,两三角形相同.
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm． 试鉴定△ABC与A′B′C′是否相同，并阐明理由．
(2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30
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相似三角形判定练习题
1．如图1，（1）若OA
OB
=_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________．
（2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边．
（3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD．
2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______．
(1) (2) (3)
3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=•∠BAO，•则点C•的坐标为________，•AC=_______．4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．
5．下列各组图形一定相似的是（）．
A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形
C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形
6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）．
A．45° B．60° C．75° D．90°
(4) (5) (6)
7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________．8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．
9．如图，D，E是AB边上的三等分点，F，G是AC边上的三等分点，•写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比．
10．如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在坐标轴上找到点C（1，0）•和点D，使△AOB 与△DOC相似，求出D点的坐标，并说明理由．。