医学统计学.正态分布及其应用

生不同位置、不同形状正态分布， （x1，x2）范围内的面积也不同， 计算起来很麻烦。
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三、标准正态分布 为了计算方便，对于正态或近似正态 分布的资料，只要得出均数和标准 差，可通过标准转化，转化成求标 准正态曲线下横轴自-∞到z的面积。 为了便于应用，统计学家按Φ(z)编 制了标准正态分布曲线下的面积表， 由此表可查出曲线下某区间的面积， 这样就可对符合正态分布资料的频 数分布作出估计。
5%
-1.64

+1.64
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■μ士1.96σ范围内的面积占正态曲线下面积的95％，
也就是说有95％的变量值分布在此范围内。
95%
2.5%
2.5%
-1.96

+1.96
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■μ士2.58σ范围内的面积占正态曲线下面积的99％，
也就是说有99％的变量值分布在此范围内。
99%
0.5%
3. 正态分布有两个参数
4. 曲线下面积分布有规律

X

2相等, 不等的正态分布图示
1
2
3
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1＜ 2 ＜ 3

相等, 2不等的正态分布图示
1 2
3

1 ＜ 2 ＜ 3
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二.正态密度函数曲线下的面积规律
①正态密度函数曲线与横轴间的面积恒等于1或100%； ②正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线 X=μ， X>μ与 X<μ范围内曲线下的面积相等，各占50%；
线,近似于数学上的正态分布曲线。
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一.正态分布的概念和特征
1.正态分布的概念
在医学卫生领域中，许多变量的频 数分布是中间(靠近均数处)频数多，两边 频数少，且左右对称。如人体的许多生 理、生化指标等。这种变量的频数分布 规律可用概率论中的一种重要的随机变 量分布—正态分布(Normal distribution)加 以描述。
0.5%
-2.58

+2.58
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曲线下的面积的计算
对于任意一个区间的曲线下面积，在知道变 量值x对应的概率密度函数f (x)后，都可以根 据微积分的方法求出其面积的大小
f(x )
F x P (a x b )

b a
f ( x )d x ?
a
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b
x
实际工作中，常需要了解正态曲 线下横轴上某一区间的面积占总 面积的百分数，以便估计该区间 的例数占总例数的百分数（频数 分布）或观察值落在该区间的概 率。对于不同的参数μ和σ会产
曲线下在区间(μ－2.58σ，μ＋2.58σ)的面积为99%。
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■μ士σ范围内的面积占正态曲线下面积的68.27％，也
就是说有68.27％的变量值分布在此范围内。
68.27%
-

+
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μ士1.64σ范围内的面积占正态曲线下面积的90％，也就是 说有90％的变量值分布在此范围内。
90%
5%
(X )
1 2
e
Z2 2
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对上式求积分可得到标准正态变量Z的分布函
数。

由于积分计算繁琐，统计学家按标准正态分布
的累积概率分布函数(-Z)编制了附表2
（P315），标准正态分布曲线下的面积，由 表可查出曲线下某区间的面积。
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数值变量统计描述小结
原始资料
对称 算术均数与标准差
频数分布表、图
分布 类型
不对称
对数转换
分组划计
几何均数与对数值 标准差的反对数
中位数与四分位数间距
1
第四章 第四节 正态分布及其应用
流行病与卫生统计学系 何保昌
正态分布及其应用
(Normal distribution)
一. 正态分布的概念和特征 二. 正态曲线下面积的分布规律 三. 标准正态分布的性质 四. 正态分布的应用
S(X,)＝S(-,-X)
S(-,-X)
-X
S(X,)

X
X轴
正态分布对称性
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二.正态密度函数曲线下的面积规律
③曲线下在区间(μ－σ，μ＋σ)的面积为68.27%， 曲线下在区间(μ－1.64σ，μ＋1.64σ)的面积为90%，
曲线下在区间(μ－1.96σ，μ＋1.96σ)的面积为95%，
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医学资料中有许多指标的频数分布都呈正态分布:
身高
体重 脉搏 血红蛋白 血清总胆固醇 ……
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正态分布曲线呈对称的钟形， 在均数处最高，两侧逐渐低下，两 端在无穷远处与横轴无限接近。 若变量 x 的频率曲线对应于数 学上的正态分布曲线，则称该变量 服从正态分布。
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2.正态分布的特征
正态分布曲线的密度函数为：
由此可知:如果一个区间由若干组段构成,计算肺活量落在 某个区间的概率等于计算这个区间的中各个直方条图的面 积之和. 只能计算给定区间概率,不能计算任意区间概率. 对于上述直方图,组距越小,组段越多,能够计算的概率区 间就越多,当组距逐渐减小,上述计算方法仍然成立. 5
随人数逐渐增多，组段不断分 细，则频数分布图中的直条逐渐变 窄，就会逐渐形成一条高峰位于中 央(均数所在处)、两侧逐渐降低且 左右对称、不与横轴相交的光滑曲
1 f (X ) e 2
( X )2 2 2
-∞<X<+∞
则称X服从正态分布,记作x～N(, 2)
正态分布的参数 ：μ为总体均数，σ为总体标准差， 固定常数： π为圆周率，e为自然对数的底变量：X
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2.正态分布的特征
图形特点：
1. 钟型、均数处最高 f(X)
2. 均数为中心的左右对称
3
此图的纵坐标为频率，横坐标为肺活量，称此图为频率直方图 每一个直方条的面积=频率，各组段的频率之和=1，所以这个直方 图的面积为1 如果样本量越大，每个组段的频率就越稳定，也就趋向概率。 由此我们可得到:随机抽一个9岁男孩,其肺活量落在各个组段的概率
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假定各组段的概率如下
P(0.98L 肺活量 1.11L) 0.0417 P(肺活量 2.15L) 0.0333 0.0333 0.0666 P(1.89L 肺活量 2.15L) 0.10 0.05 0.15
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1. 标准化变换
Z
x

若 x 服从正态分布 N (，2) ，则 z就 服从均数为0、标准差为1的正态分布， 这种正态分布称为标准正态分布或 z 分 布，记为 N (0，12)，这一变换也称为标 准化变换。
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N(μ,σ2)
N（0，1）
从一般的正态分布转变为标准的正态分布
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标准正态分布的密度函数为