沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.3(1) 三角形一边的平行线 教案
沪教版数学24.3(1)三角形一边的平行线(1)
§24.3（1）三角形一边的平行线教学目标：1、 深刻体会平行线、三角形面积和比例线段之间的内在联系.2、 掌握“三角形一边的平行线的性质定理”的证明方法及结论，并会灵活应用此定理解决线段的比值问题.3、 理解定理中“对应线段”的含义.4、 通过图形运动的观点体会“转化”的数学思想.教学重点：三角形一边的平行线的性质定理及其应用. 难点：定理的证明及转化的数学思想. 教学过程：一、三角形一边的平行线的性质定理：上节课，我们发现平行线、三角形面积和比例线段之间存在内在联系，其实在学习三角形中位线时，这种联系我们已经初步接触过了，那么在一般情况下，这种还存在这种联系吗？ 问题1：已知，如图△ABC ，点D 在边AB ，点E 在边AC 上，DE ∥BC . 那么ECAEDB AD =成立吗？ 证明：联结EB,CD 设E 到BA 的距离为h ，则11,22EAD EDB S AD h S DB h ∆∆=⋅=⋅, 得EAD EDB S AD S DB∆∆=， 同理可得EAD EDC S AES EC ∆∆=，DE ∥BC , .EDB EDCS S AD AE DB EC∆∆∴=∴=议一议：利用比例的性质，还可以得到哪些成比例线段？注意：这些比例线段都是同一线段上比例关系.问题2：如图，点D 在边AB 延长线上，点E 在边AC 延长线上， 且DE ∥BC . 上述结论还成立吗？ （成立，利用问题1的结论来证明）E D CBA,,AD AE AD AE DB ECDB EC AB AC AB AC===EDC B A问题3：如图，点D 在边BA 延长线上，点E 在边CA 延长线上， 且DE ∥BC . 上述结论还成立吗？（成立，将其转化为问题1来解决，转化的方法有两种，一是通过旋转构造全等，二是通过平移构造平行四边形， 其本质都是将其转化为问题1来解决.）三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 符号语言：BC DE //EC AE DB AD =，AC AE AB AD =，ACECAB DB =（三角形一边的平行线性质定理） 二、“三角形一边的平行线性质定理”的应用. 例1、如图,已知DE ∥BC ，AB=15，AC=10，BD=6.求CE .（学会选择比例式，学会先约分再快速计算）例2、如图，已知：AB 与CD 交于点O ，AC ∥BD ．（1）若53=OB AO ，则OC OD ＝＿＿＿＿，CD OC＝＿＿＿＿＿； （2）若72=AB OA ，则OC OD ＝＿＿＿＿，OCCD＝＿＿＿＿＿．例3、如图，已知：△ABC ，DE ∥FG ∥BC ． （1）若AD ∶DF ∶FB ＝4∶3∶2，则AE ∶AG ∶AC ＝＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）若AE ∶EG ∶GC ＝5∶3∶2，则AD ∶AF ∶AB ＝＿＿＿＿＿＿＿＿．例4、如图，在△ABC ，, DG ∥EC ，EG ∥BC .求证：AD AB AE ⋅=2.三、课堂小结：1、 本节课你学习了哪些知识？2、掌握了哪些方法？3、有什么感悟？ 四、作业：1、课后练习 2、练习册.EDCBABCOD C BAGF E D CBA BC。
沪教版数学九年级上册24.3《三角形一边的平行线》(第1课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.3《三角形一边的平行线》（第1课时）教学设计一. 教材分析《三角形一边的平行线》是沪教版数学九年级上册第24.3节的内容，主要讲述了利用平行线的性质来判定一个三角形中的一边是否平行于另一边。
本节内容是学生学习了平行线和三角形的基本性质后，进一步深化对三角形和平行线关系的理解，为后续学习其他几何问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线和三角形的性质，具备了一定的逻辑推理能力。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握利用平行线的性质判定三角形中的一边是否平行于另一边的的方法。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生在解决实际问题时，能够积极主动地运用所学知识。
四. 教学重难点1.重点：三角形一边的平行线的判定方法。
2.难点：如何在实际问题中灵活运用三角形一边的平行线性质。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流，从而达到教学目标。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、练习题、黑板、粉笔等。
2.学生准备：课本、笔记本、尺子、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入新课：“在三角形ABC中，AB=AC，求证：BC的平行线经过点A。
” 引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师展示三角形一边的平行线的判定方法，通过动画演示，让学生直观地理解判定过程。
同时，引导学生总结判定方法，归纳出结论。
3.操练（10分钟）教师给出几个练习题，让学生独立完成。
题目难度由浅入深，使学生在实践中掌握三角形一边的平行线性质。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（5分钟）教师选取几个学生完成的练习题，进行讲解和分析，让学生加深对三角形一边的平行线性质的理解。
九年级数学上册24-3三角形一边的平行线(第3课时练习课)教案沪教版五四制
(
)
2. 如 图 （ 2 ） ， 已 知 :BD 与 EC 相 交 于 点 A,AB=8,AE=6,AC=12,AD=9. 则 DE ∥ BC. ( ) ,则 L1//L2//L3. ( )
3.如图(3),若
图（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
图（2）
图（3）
变式训练：把上图中的四 边形 OABC 绕 O 点旋转 180°得下图，而已知的条件不变，结 论还成立吗？ (用口答形式)
二、巩固练习 判断 题: 1 .如图（1） ，在△ABC 中,点 D 与点 E 分别在 AB、AC 上, AD=3cm, DB=4cm,AE=1.8cm,CE=2.4cm,则
DE//BC.
24.3 三角形一边的平行线（第 3 课时练习课）
教学内容分析 本节课是三角形一边平行线的判定定理，是第一节课性质定理的逆定理，第二节课的推论没有 逆定理，学生很容易混淆. 教学目标 灵活 运用三角形一边的平行线的判定定理. 教学重点及难点 三角形一边的 平行线的判定定理的应 用. 教学过程 一、例题讲解 如图，已知：AC∥A′C′，BC∥B′C′; 求证：AB∥A′B′.
沪教版数学九年级上册24.3《三角形一边的平行线》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.3《三角形一边的平行线》（第2课时）教学设计一. 教材分析《三角形一边的平行线》是沪教版数学九年级上册第24.3节的内容，本节内容是在学生已经掌握了平行线的性质和判定、三角形的性质等基础知识的基础上进行学习的。
本节主要介绍三角形一边的平行线的相关性质和判定方法，对于学生来说是一个新的知识点，同时也是后续学习更为复杂的几何知识的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对于平行线、三角形的性质等知识点有一定的了解。
但是，对于三角形一边的平行线这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
此外，学生的学习习惯和思维方式各有不同，需要教师在教学过程中进行引导和调整。
三. 教学目标1.让学生理解三角形一边的平行线的概念，掌握相关性质和判定方法。
2.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.三角形一边的平行线的性质和判定方法。
2.如何运用三角形一边的平行线解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究和合作来解决问题。
2.运用多媒体辅助教学，通过动画和实例来直观展示三角形一边的平行线的性质和判定方法。
3.采用练习和小组讨论的方式，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
六. 教学准备1.多媒体教学课件。
2.练习题和小组讨论题。
3.几何模型和教具。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过复习平行线的性质和判定、三角形的性质等基础知识，引出本节课的主题——三角形一边的平行线。
通过提问方式激发学生的学习兴趣，引导学生思考三角形一边的平行线与平行线、三角形的关系。
呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示三角形一边的平行线的性质和判定方法。
通过动画和实例，让学生直观地理解三角形一边的平行线的概念，以及如何运用相关性质和判定方法。
操练（10分钟）教师布置练习题，让学生独立完成。
《24.3三角形一边的平行线》作业设计方案-初中数学沪教版上海九年级第一学期
《三角形一边的平行线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 使学生理解平行线的概念，掌握三角形一边的平行线的基本性质。
2. 通过实际案例和练习，培养学生运用平行线性质解决实际问题的能力。
3. 增强学生的空间想象力和逻辑思维能力。
二、作业内容作业内容主要包括以下几个部分：1. 基础知识回顾：要求学生回顾平行线的定义和基本性质，包括平行线的识别方法以及同位角、内错角、同旁内角等概念。
2. 课堂知识点讲解：讲解三角形一边的平行线及其性质，如三角形中一条边与另一条延长线平行时，对应的内角关系等。
3. 实例分析：选取几个与三角形一边的平行线相关的实际问题，分析问题的解题思路和步骤，使学生理解如何运用平行线的性质解决实际问题。
4. 练习题：设计一系列与平行线性质相关的练习题，包括选择题、填空题和解答题等，题型要涵盖基础知识和应用题。
5. 作业布置：要求学生完成一定量的练习题，并留有适当的思考题，为下一课时的学习做好准备。
三、作业要求1. 学生需认真阅读教材和作业指导书，理解并掌握平行线的概念和性质。
2. 在完成作业过程中，学生需独立思考、认真分析，注意审题和解题步骤的规范性。
3. 学生在完成练习题时，要注重对知识的理解和应用，避免死记硬背。
4. 学生在完成作业后，需认真检查答案，确保准确无误。
四、作业评价1. 教师需对学生的作业进行认真批改，对错误的地方进行指导和纠正。
2. 教师需对学生的作业进行评价，对学生的进步和不足进行总结和反馈。
3. 鼓励学生在完成作业后进行自我评价和反思，找出自己的不足之处，以便更好地改进学习方法和提高学习效果。
五、作业反馈1. 教师需将批改后的作业反馈给学生，让学生了解自己的错误和不足。
2. 教师需针对学生的错误和不足进行指导和帮助，帮助学生改正错误和提高学习效果。
3. 教师需根据学生的反馈和表现，及时调整教学计划和教学方法，以提高教学质量和学生的学习效果。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生在学习《三角形一边的平行线》这一课题时所掌握的知识与技能。
最新沪教版五四制九年级数学上册《三角形一边的平行线》教学设计-评奖教案
24.3（1）三角形一边的平行线教学内容分析三角形一边的平行线对学生而言是全新的东西，在学生的知识结构中，平行线只能推出角的关系，而本节课告诉我们平行线还可以推出比例式.这节课学生较难理解，何谓对应线段成比例要解释清楚，由平行能推出几个比例式要写出来.本节课要注重过程教学，让学生真正理解定理. 教学目标1.通过对三角形中位线的概念与性质的分析,从特殊到一般，提出关于三角形一边平行线的研究问题；2.经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学地思考的策略；3.掌握三角形一边的平行线性质定理的应用. 教学重点及难点三角形一边的平行线性质定理的理解和应用. 成比例的线段中，对应线段的确认. 教学用具准备三角板，电脑，实物投影仪 教学过程一、复习1、同底等高的三角形的面积比是多少？ （1：1）2、等底不等高的三角形的面积比是多少？（高之比）3、等高不等底的三角形的面积比是多少？（底之比）4、若cd ab =，（,,,ab c d 均不为零）则把这个乘积式化成比例式可以写成哪几种形式： ， （ 让学生知道等积式转化到比例式可以有多种形式.）,,,,,,,.a d a c cb b d bcd b c a d acb db ad ca da ac bd bc========5、三角形的中位线有什么性质？（平行于底边且等于底边的一半）二、学习新课问题1：如图若DE ∥BC ，1ADBD=，能否得到1AEEC=?由等底同高三角形等积，面积比等于底之比得：1EADEDBS ADS DB∆∆==； 由等底同高三角形等积，面积比等于底之比得：EAD EDCS AES EC∆∆=. 因为DE ∥BC ，所以 EDB EDC S S ∆∆=， 所以EADEDCS AES EC∆∆==1即 . 问题2：若将DE 向下平行移动能否得到 ？已知：ABC ∆,直线l 与边AB 、AC 分别相交于点D 、E ，且l ∥BC . 求证： .证明：联结EB,CD 设E 到BA 的距离为h ，则11,22EADEDB S AD h S DB h ∆∆=⋅=⋅, 得EADEDBS ADS DB∆∆=，同理可得EADEDCS AES EC∆∆=， ABCDE1AD AE DBEC==ABCD E AD AE DB EC=AD AE DB EC=AB CABCABCDEDEDEDE ∥BC ,.EDB EDC S S AD AE DB EC∆∆∴=∴=议一议：利用比例的性质，还可以得到哪些成比例线段？今后常用的有三个比例式： EDABCAEDCB讨论：若DE 截在AB,AC 的延长线上，或DE 截在BA,CA 的延长线上，如上图，上面的三个比例式还成立吗？三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 符号语言：∵DE ∥BC, AD AEBD EC∴=,用⇒符号书写：DE ∥BC ⇒强调在同一条线段上的比例关系.2．例题分析例题1如图,已知DE ∥BC,AB=15,AC=10,BD=6.求CE. 解∵DE ∥BC, ∴CEACBD AB =, 由AB=15,AC=10,BD=6,得 ,∴CE=4 . 三、巩固练习：1、在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与AB 相交于D ，与AC 相交于,,AD AE AD AE DB ECDBEC AB AC AB AC===AB ADBC DE =ABCD E 15106CE=ABCDEB OEFA C D E.（1）已知4,3,5===AE DB AD ，求EC 的长.（2）已知5,4,12===DB EC AC 求AD 的长. （3）已知=BD AD ：3：2，10=AC ，求AE 的长.2、 如图， 在⊿ABC 中，DE ∥BC ， S ⊿BCD ：S ⊿ABC =1：4，若AC=2，求EC 的长.ABCD E3、如图，已知，AB ∥CD ∥EF ，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB 、DF 的长.4、如图，在⊿ABC, DG ∥EC,EG ∥BC,求证：2AE =AB · AD.A BCD E G四、课堂小结 1、这节课学习了哪个定理？你能叙述吗？2、分别结合图形把所学的定理用符号语言叙述.五、作业布置：课本第13页，练习册。
沪教版数学九年级上册24.3《三角形一边的平行线》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.3《三角形一边的平行线》（第2课时）教学设计一. 教材分析《三角形一边的平行线》是沪教版数学九年级上册第24章第三节的内容，本节内容主要讲述了三角形的两边分别平行于第三边，那么这两边互相平行。
本节内容是学生学习了平行线的性质后的进一步延伸，对于学生理解平行线的性质，解决实际问题具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，对于图形的观察和分析有一定的能力，但部分学生对于证明过程的理解还有待提高。
在解决实际问题时，部分学生还缺乏将实际问题转化为数学问题的能力。
三. 教学目标1.理解三角形的两边分别平行于第三边，那么这两边互相平行的性质。
2.学会运用三角形的这个性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力，提高学生将实际问题转化为数学问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：三角形的两边分别平行于第三边，那么这两边互相平行的性质。
2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，并运用这个性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、证明来理解三角形的这个性质，并通过解决实际问题，巩固这个性质的应用。
六. 教学准备准备相关教学素材，如图片、实际问题等，并制作多媒体课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的平行线现象，引导学生回顾平行线的性质。
然后提出问题：“如果一个三角形的两边分别平行于第三边，那么这两边之间的关系是什么？”2.呈现（10分钟）引导学生观察一些三角形的图形，并要求学生分析这些图形中两边之间的关系。
通过观察和分析，让学生发现并证明三角形的两边分别平行于第三边，那么这两边互相平行的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组设计一个实际问题，并运用刚刚学到的性质解决。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）请各组代表汇报他们设计的问题及解题过程，其他同学给予评价。
教师总结学生的解题方法，并指出解题中存在的问题。
沪教版(上海)九年级数学第一说课稿：24.3(4)三角形一边的平行线
3.实践活动：让学生在课后收集生活中的几何图形，运用所学知识分析其中的平行线，提升实际应用能力。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将采取以下方式引导学生自我评价并提供有效的反馈和建议：
1.自我评价：让学生回顾本节课所学内容，对自己的学习效果进行评价；
1.知识与技能：
（1）理解三角形一边的平行线的性质，掌握相关定理；
（2）能够运用三角形一边的平行线判定方法解决几何问题；
（3）能够运用三角形一边的平行线性质解决实际问题。
2.过程与方法：
（1）通过画图、观察、猜想、证明等过程，培养学生的几何直观和逻辑思维能力；
（2）通过解决实际问题，提高学生的应用能力和解决问题的能力。
4.导入新课：在学生充满好奇心和求知欲的基础上，自然导入本节课的内容。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将采用以下步骤逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.图形演示：利用教具和多媒体资源，直观演示三角形一边的平行线，让学生初步感知性质；
2.归纳总结：引导学生通过观察、讨论，总结出三角形一边的平行线性质；
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示生活中常见的几何图形，如桥梁、房屋等，让学生观察并发现其中存在的平行线；
2.提出问题：引导学生思考，为什么在这些图形中会出现平行线？它们有什么特殊的作用和性质？
3.引发猜想：鼓励学生根据自己的观察和已有知识，猜想三角形一边的平行线可能具有的性质；
2.知识结构梳理：清晰的板书有助于学生构建知识体系，加深理解；
3.强化记忆：通过视觉刺激，帮助学生记忆知识点。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.3(1) 三角形一边的平行线 教案
OA BDC24.3（1）三角形一边的平行线教学目标：1．会运用“同高或等高的两个三角形的面积的比等于对应底边的比”进行三角形的面积比与线段比的转化；2． 引进三角形一边的平行线性质定理，让学生经历这个定理的导出和证明过程，体会从特殊到一般的思考策略和思维方法；3． 能运用三角形一边的平行线性质定理，进行几何计算和证明；教学重点：经历从一般到特殊的研究过程，归纳三角形一边的平行线性质定理教学难点：用面积法证明性质定理，并在研究过程中学会化归的方法，体会分类讨论的思想。
教学过程：一、复习回顾上节课我们学习了以下两个例题 例1 已知：如图，ECAEDB AD =. 求证：(1) EC AC DB AB =； (2) AEACAD AB =例2 已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AOD BOC S S ∆∆=求证：OACOOB DO =通过例1我们知道，在A 字型和X 型两种图形中有三种比例式下上下上=，全上全上=，下全下全=，这三种比例式知其一可以推其二。
通过例2我们知道平行线、三角形等积、比例线段三者有内在联系，面积比和线段比可以进行互化。
二、新知探究问题1：已知：如图，已知ABC ∆，如果直线l ∥BC ，且l 与边AB 、AC 分别交于D 、E ， 证明：DB AD =ECAE. 分析：连接BE 、CD ，将DB AD 和ECAE分别转化为面积比，问题3 l 保持与BC 平行而进行移动，且直线l 与边AB 、AC 所在的直线分别交于D 、E ，那么DB AD =ECAE还成立吗？ 分析：分类讨论，转化为问题1①直线l 与边AB 、AC 分别相交； ②直线l 与边AB 、AC 的延长线相交； ③直线l 与边BA 、CA 的延长线相交 议一议：利用比例的性质，还能得哪些比例线段？ 今后常用的有三个比例式：归纳：三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。
沪教版(上海)九年级数学第一教学设计：24.3(3)三角形一边的平行线(精)
-在三角形中，如何判断一条直线是否平行于第三边？
-除了求解线段长度、角度大小，三角形一边的平行线性质还可以解决哪些问题？
2.交流分享：小组讨论结束后，邀请部分小组代表进行交流分享，展示他们的讨论成果。
（四）课堂练习
1.设计练习题：根据学生的实际水平，设计不同难度的练习题，让学生独立完成。
练习题示例：
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习导入：首先，带领学生复习已学的相似三角形的性质，通过提问方式引导学生回顾相关知识点，为新课的学习做好铺垫。
提问示例：“同学们，我们之前学习了相似三角形的性质，那么相似三角形的对应角是什么关系？对应边呢？”
2.情境导入：接着，创设一个生活情境，引导学生关注三角形一边的平行线在实际生活中的应用。
-对于完成出色的作业，教师将进行展示和表扬，激发学生的学习积极性。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.理解并掌握三角形一边的平行线性质，能够运用该性质解决相关问题。
2.培养学生的观察能力、动手能力和知识运用能力，提高学生的几何思维。
（二）教学难点
1.将三角形一边的平行线性质与实际问题相结合，培养学生解决实际问题的能力。
2.引导学生运用几何画板等工具，准确找出相似三角形，提高学生的实际操作能力。
教学设想：
1.创设情境，激发兴趣：通过引入生活实例，让学生感受到数学知识在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
例如：在建筑行业中，如何利用三角形一边的平行线性质来测量距离？
2.突破重点，化解难点：在教学过程中，采用直观演示、实际操作、小组讨论等多种教学手段，帮助学生突破重点，化解难点。
-通过动态演示，引导学生观察三角形一边的平行线与其他两边的关系，发现性质。
沪教版(上海)九年级第一学期教案设计 24.3三角形一边的平行线(4)
图(1)§24.3三角形一边的平行线（4）普陀区课题组教学目标：1．经历平行线分线段成比例定理和平行线等分线段定理的推导过程，感受从一般到特殊研究问题的方法. 2．理解平行线分线段成比例定理，在运用定理过程中感受化归的数学思想. 3．基本掌握已知比例线段中的三条线段，求作另一条未知线段的方法. 教学重点：平行线分线段成比例定理的运用．教学难点：已知比例线段中的三条线段，求作另一条未知线段的方法. 教学过程：教师活动学生活动设计意图 一、复习引入如图(1)，△ABC 中，直线l 1//BC ， l 1与边AB 、AC 分别相交于点D 、E ，那么所截得的对应线段是否成比例？依据是什么？二、新知探索问题1：如图（2），在上题的基础上，再增加一条直线l 2//BC ，l 2与边AB 、AC 分别相交于点F 、G ，那么边AB 、AC 被直线l 1、l 2截得的对应线段是否成比例？分析：如何证明线段成比例？ 对于这个问题，只需讨论GCEGFB DF =是否成立。
方法一：通过添加辅助线，转化为“三角形一边的平行线”基本图形。
预设学生回答： 成比例，依据是三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.利用“三角形一边的平行线”基本图形.过点D 作DC ’ //AC ，交FG 于G ’，交BC 于C ’, 构造出基本图形和平行四边形，则利用三角形一边的平行线性质定理和等量代换，可得GC EGC G DG FB DF =='''在△ABC 中，∵l 2//BC ∴GCAGFB AF =，再由比例由复习引出问题，引发学生思维火花.通过添加辅助线，将问题转化为三角形一边平行线的问题来解决，即构造图形，将未知的问题转化为已知的问题.图(2)图(4)方法二：直接利用三角形一边的平行线性质定理和比例的性质。
问题2：如图（3），将题2中△ABC 的边AB 、AC 、BC 改为三条直线，则题中条件可叙述为两条直线a 、b 被三条平行的直线l 1、l 2、l 3 所截，那么上述结论仍然正确吗？特殊地，当直线a 与b 平行时，如图（4），那么直接利用平行四边形性质，可知结论仍然正确.问题3：除GCEG FB DF =外，还有哪些对应线段成比例？ 强调两条直线a 、b 被三条平行的直线l 1、l 2、l 3 所截，截得的任意两组对应线段都成比例！ 问题4：你能用语言表述这一结论吗？ 平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例. 符号表达式:∵l 1∥l 2∥l 3，∴对应线段成比例(平行线分线段成比例定理)．（a 1与b 1、a 2与b 2、a 复与b 复分别对应）问题5：特殊地，如图（5）当图中的直线l 2过线段DB 的中点M ，即DM =MD 时，则可得到什么结论？性质得GC FBAG AF =同理在△AFG 中，得EG DFAG AF=, ∴GC FBEG DF =, ∴GCEGFBDF =. 由2题可知结论仍然正确.两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例.学生回答：当图中l 2经过DB 的中点M ，即DM =MB 时,则EN=NC .两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等.平行线等分线段定理实质是平行线分线段成比例定理的特殊情况，这里蕴含了从一般到特殊的研究问题的方法．图(3)(5)图(2),......DF EG BF CG DB EC DB EC ==问题6：你能用语言表述这一结论吗？这是“平行线分线段成比例定理”的特例，也称为平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等.符号表达式:∵l1∥l2∥l3，DM=MD∴EN=NC（平行线等分线段定理）．观察与思考：当直线a在平移的过程中会有哪些不同情况？（1）如图（6）当a与b的交点在l1时，得到“A”字形；（2）如图（7）当a与b的交点在l1与l2之间时，得到“X型”、“A”字形和“井字型”；（3）如图（8）当a与b的交点在l2上时，得到“X型”．【适时小结】1、平行线分线段成比例定理是三角形一边平行线性质定理的推广；三角形一边平行线性质定理可以看作是的特殊情况，如图（6）、（8）．2、找对应线段关键是找截点，即找以截点为端点的对应线段，如图（7）．在图形上作出记号并标出已知数量．学生观察，在平移的过程中，不同的情况下结论仍然成立．让学生体会平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质定理有着内在的联系.三、新知运用例题5 已知：如图l 1∥l 2∥l 3,AB =3,AC =8,DF =10,求DE 、EF 的长分析：恰当选用比例式是解决问题的关键 解：∵l 1∥l 2∥l 3， DE ABDF AC∴=(平行线分线段成比例定理) 又Q AB=3，AC=8，DF=10，3108DE ∴=， 154DE ∴=．15251044EF DF DE ∴=-=-=．例题6 已知线段a 、b 、c (如图),求作线段x ,使a :b =c :x .a b c问：由“a :b =c :x ”联想到什么图形？如何作图？教师示范，共同完成. 作法：1.以点O 为端点画射线OM ，ON.2.在OM 上依次截取OA =a ，AB=b .3.在ON 上截取OC =c .4.连结AC ，过点B 作BD ∥AC ，交ON 于点D . 则CD 就是所求的线段x .强调：例6提供了求作第四比例项的方法！四、巩固练习构造基本图形“A ”字形，先打草稿：1.学生独立完成，学生甲板演．要求学生解题时，标上必要的数据，醒目的标记. 规范解题格式，保留板书. 说理过程中“ACABDF DE =”书写是从待求量DE 出发． 化归的数学思想.，从一般到特殊研究问题的方法．l 3l 2l 1F E D C B A1．如图，已知AD ∥BE ∥CF ,它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F . (1) 如果6108AB BC EF ===，，，求DE 的长;(2) 如果DE :3EF =:5,=24AC ，求AB 、BC 的长.2．如图，直线1l 、2l 、3l 分别交直线4l 于点A 、B 、C ,交直线5l 于点D 、E 、F ,且l 1∥l 2∥l 3已知3,5,9,AB AC DF ===求DE 、EF 的长．教师强调：（1）截点 （2）也可平移5l 形成“井字型”来解决．四、课后小结集体纠正，教师指导(1)∵AD ∥BE ∥CF ，DE ABEF BC∴=(平行线分线段成比例定理) 610868104.8AB BC EF DE DE ====∴=Q Q ，， （2）∵AD ∥BE ∥CF ，∴EF DEBC AB =（平行线分线段成比例定理）:3:5353824924915DE EF AB DE BC EF AB AC AC AB BC AC AB =∴==∴==∴=∴=-=-=Q Q2. 学生独立完成 ∵l 1∥l 2∥l 3， DE ABDF AC∴=(平行线分线段成比例定理)3593952752718955AB AC DF DE DE EF DF DE ===∴=∴=∴=-=-=Q ，，预设（学生回答）1.平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线l 5l 4l 3l 2l 1FDE AB C(1) (2)。
沪教版(上海)九年级第一学期教案设计 24.3三角形一边的平行线(2)
§24.3三角形一边的平行线（2）普陀区课题组教学目标：1．理解三角形一边的平行线性质定理推论，并知道与三角形一边的平行线性质定理的区别． 2．知道三角形重心的概念，理解三角形重心定理．3．在运用知识的过程中，感受化归、图形的分解与组合、分类讨论的数学思想，提高逻辑思维能力．教学重点：三角形一边的平行线性质定理推论；三角形重心的性质． 教学难点：三角形一边的平行线性质定理推论的探究过程． 教学过程： 教师活动学生活动设计意图 一、复习引入如图，DE ∥BC ，写出成比例的式子．EABCD在DE ∥BC 的条件下,上述得到有关的比例线段分别在三角形两边所在的直线上．二、新知探究思考：如图,点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上,DE ∥BC ．那么AC AE AB AD BC DE ==成立吗？为什么？分析：上节课学习的三角形一边的平行线性质定理是判断线段成比例的一个依据，这个定理的条件中有一条平行于三角形一边的直线，结论中有关的比例线段分别在三角形两边所在的直线上，因此，考虑将DE 平移到BC 边上去，然后尝试证明.证明：过点D 作DF //AC ,交边BC 于点F .又∵BC DE //，∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴FC =DE ． ∵DF //AC ， ∴ABAD BC FC =(三角形一边的平行线性质定理). ∴ABADBC DE =.EC AEDB AD=， AC AEAB AD=， ACECABBD=复习旧知,借助中间比证明比例关系，为新知学习进行铺垫.三角形一边的平行线性质定理的推论基于三角形一边的平行线性质定理和三角形中位线定理,通过探索,由特殊推广到一般,引导学生思考，这样既可以让学生体会新问题的起源,又可以找到与原有知识的联系.F EAB CD由DE ∥BC ，得ACAEAB AD =, ∴ACAE AB AD BC DE ==. 由证明可得，当点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 的延长线上时，这个结论还成立．请用语言叙述这个结论．三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.符合语言： ∵DE //BC ，∴ACAE AB AD BC DE == （三角形一边的平行线性质定理推论）． 【适时小结】 1．三角形一边的平行线性质定理与推论运用上的区别：定理是被截得的线段，推论是三角形的三条边，增加了互相平行的边． 2．三条边的对应边要找准确． 三、新知运用 例题2 如图，线段BD 与CE 相交于点A ，ED ∥BC ，已知2BC =3ED ，AC =8，求AE 的长. 分析：（1）在图形中标示： （2）把“2BC =3ED ”转化为“32=BC ED ”. （3）由ED ∥BC 可得BC ED AC AE =，然后计算求解． 解：∵ED //BC ，学生尝试叙述．体会转化的数学思想.小结三角形一边的平行线性质定理与推论的主要区别，提醒运用推论时注意的问题．本题是三角形一边的平行线性质定理推论在几何计算中的基本运用，指导学生把握这两个三角形三边的对应关EA BC D AD E B C∴BCED ACAE =(三角形一边的平行线性质定理推论).由2BC =3ED ，得32=BC ED ，∴32=AC AE . ∵AC =8， ∴32=AE ，316=AC .例题3 已知:如图,BE ,CF 是△ABC 的中线,交于点G .求证:21==GC GF GB GE分析：要证明此结论只要证明EF //BC ，根据已知条件，易得EF 是△ABC 的中位线，从而构造了平行线.证明：联结EF .∵BE 、CF 是△ABC 的中线， ∴BC EF //,BC EF 21=. 即21=BC EF . ΘEF //BC ，∴21===BC EF GC GF GB GE (三角形一边的平行线性质定理推论). 即21==GC GF GB GE .议一议：如果把原图中的CF 去掉，BE 仍是△ABC 的的中线，过A 作中线交BE 于G ，问：点G 与点G ’在不在同一点？系，从而适当选用比利式.从待证结论中的比例线段引起构造平行线的联想.进而为引进三角形的重心做好准备.让学生联想画三角形的中线时曾经感知三G’A B CE D10。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.3 三角形一边的平行线判定定理 教案
三角形一边的平行线判定定理教材分析本节课是九年级第一学期第二十四章《相似三角形》中《三角形一边的平行线》的第3课时内容。
第二十四章主要学习相似三角形的概念、判定和性质，而为了研究相似形，需要有比例线段及其性质、三角形一边平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理作铺垫，因此本节课的内容是后续学习相似三角形内容的知识和技能基础之一。
如上图所示，本节课的重点是导出三角形一边的平行线判定定理及其推论，并进行初步运用，是建立在学习了“三角形一边平行线的性质定理”的基础上的，从学生已有的认知基础（三角形一边平行线的性质定理及其推论）和学习经验（三角形面积比与线段之比的转化方法、同一法、构造A型图或X型图的方法）出发进行数学的理性分析。
首先，提出“三角形一边的平行线性质定理的逆定理是否正确”的问题，引导学生进行探究讨论，对思维对象（即问题是否成立）进行肯定或否定的判断，并能够简单地说明判断的标准或依据（有特殊到一般进行判断，凭感觉进行判断等等）。
以此使学生掌握判断的标准，关注判断的合理性及能够正确地表达判断。
然后，再通过构造A型图、X型图、分割三角形等手段，运用“同一法”、“面积法”、“构造平行四边形”等方法证明得到三角形一边的平行线判定定理。
这一学习过程中不仅体现了“判断”的三要素，也体现了论证几何注重演绎推理的特点，可充分培养学生判断和演绎推理的思维形式。
学生在学习的过程中，有了发挥和展示个人生思维的独特性和新颖性，以此培养和提高学生思维的深刻性。
同时学生在此学习过程中，锻炼了个人知识迁移的能力，以此培养和提高学生思维的灵活性。
证明“三角形一边平行线的判定定理”的方法有“通过构建平行四边”、“同一法”和“面积法”，证明的过程都十分的简捷，但添置辅助线是教学的一个难点，需引导学生根据所要研究的结论联想构造平行四边形，或运用“同一法”和“面积法”，结合已知条件和图形的特征考虑构造“X 型图”或“A 型图”或“分割三角形”，形成证明思路。
沪教版(上海)九年级数学上学期24.3第1课时 三角形一边的平行线(1)
沪教版（上海）九年级上学期24.3第1课时三角形一边的平行线（1）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E,已知PE=4，则点P到AB的距离是（）A．5B．4C．3D．无法确定2 . 如图，在中，点在边上，AE交于点，若DE=2CE，则（）A．B．C．D．二、填空题3 . 如图，，，，，则__．4 . 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO=2，DO=4，BO=2.5，则CO=_______5 . 如图，已知AB∥CD∥EF，且BC＝2EC，则AF：AD＝_____．6 . 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、A．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为_____．7 . 若分别为各边的中点，且的周长为9，则的周长为__________8 . 我军侦察员在距敌方120m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物物测量，机灵的侦察员将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示．若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，则敌方建筑物的高度约是_______m．9 . 如图,L1 ∥L2 ∥L3,AB=4,DF=8,BC=6,则DE=________.10 . 如图，在直线m上摆放着三个三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DA．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S2，S3，若S1+S3=20，则S2=_____．11 . 如图所示,已知AM∶MD=4∶1,BD∶DC=2∶3,则AE∶EC=____.12 . 在矩形中，对角线、相交于点，过点作，垂足为，联结交于点，过作，垂足为，则的值是______.三、解答题13 . 阅读下列材料，完成相应的任务：我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点、四等分点、……怎样得到线段的三等分点呢？如图，已知线段MN，用尺规在MN上求作点P，使.小颖的作法是：①作射线MK（点K不在直线MN上）；②在射线MK上依次截取线段MA，AB，使，连接BN；③作射线，交MN于点P点P即为所求作的点.小颖作法的理由如下：∵（作法），∴∵（已知），（等量代换）∵（线段和差定义），∴（等量代换，等式性质）数学思考：（1）小颖作法理由中所缺的依据是：________________________________.拓展应用：（2）如图，已知线段a，b，c，求作线段d，使a. b. c.14 . 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EA．（1）求证：AE＝DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．15 . 如图，延长△ABC的边BC到D，使CD＝BA．取AB的中点F，连接FD交AC于点B．求EC∶AC的值．16 . 已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点A．（1）求∠EAD的余切值；（2）求的值．17 . 如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，求这个正方形的边长．18 . 如图，在平面直角坐标系可中，直线y＝x+1与y＝﹣x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．(1)求点A，B，C的坐标；(2)在直线AB上是否存在点E使得四边形EODA为平行四边形？存在的话直接写出的值，不存在请说明理由；(3)当△CBD为等腰三角形时直接写出D坐标．19 . 如图所示，是的中线．（1）若为的中点，射线交于，求；（2）若为上的一点，且，射线交于，求．参考答案一、单选题1、2、二、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、三、解答题1、2、3、4、5、6、7、。
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24.3（1）三角形一边的平行线
教学目标：
1．会运用“同高或等高的两个三角形的面积的比等于对应底边的比”进行三角形的面积比与线段比的转化；
2． 引进三角形一边的平行线性质定理，让学生经历这个定理的导出和证明过程，体会从特
殊到一般的思考策略和思维方法；
3． 能运用三角形一边的平行线性质定理，进行几何计算和证明；
教学重点：经历从一般到特殊的研究过程，归纳三角形一边的平行线性质定理
教学难点：用面积法证明性质定理，并在研究过程中学会化归的方法，体会分类讨论的思想。
教学过程：
一、复习回顾
上节课我们学习了以下两个例题
例1 已知：如图，EC AE
DB AD =
.
求证：(1) EC AC DB AB =； (2)
AE AC
AD AB =
例2 已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点
O ，AOD BOC S S ∆∆=
求证：OA
CO OB DO =
通过例1我们知道，在A 字型和X 型两种图形中有三种比例式下上下上=，
全上全上=，O
A B
D
C
下全下全=
，这三种比例式知其一可以推其二。
通过例2我们知道平行线、三角形等积、比例线段三者有内在联系，面积比和线段比可以进行互化。
二、新知探究
问题1：已知：如图，已知ABC ∆，如果直线l ∥BC ，且l 与边AB 、AC 分别交于D 、E ，
证明：DB AD =EC AE .
分析：连接BE 、CD ，将DB AD 和EC AE
分别转化为面积比，
问题3 l 保持与BC 平行而进行移动，
且直线l 与边AB 、AC 所在的直线分别交于D 、E ，那么DB AD =EC AE
还成立吗？
分析：分类讨论，转化为问题1
①直线l 与边AB 、AC 分别相交； ②直线l 与边AB 、AC 的延长线相交； ③直线l 与边BA 、CA 的延长线相交 议一议：
利用比例的性质，还能得哪些比例线段？ 今后常用的有三个比例式：
l
,,AD AE AD AE DB EC
DB EC AB AC AB AC
=
==
归纳：三角形一边的平行线性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。
符号表示：∵DE ∥BC, （定理的条件是什么？）
AD AE
BD EC ∴
=
（截得的对应线段指那些？可以写出几种比例式？）
提问:在图中，如果D 是AB 的中点，你能得到什么结论？与三角形的中位线有何关系？ DE ∥BC ，D 是AB 的中点
DB
AD 1==EC AE
即 E 也是AC 的中点
这正是三角形的中位线定理的逆命题，它也是成立的。
（二）定理的应用
例 如图, 已知DE ∥BC ， AB=15，BD=6，AC=10，求解∵DE ∥BC, ∴
CE
AC
BD AB =, 由AB=15,AC=10,BD=6,
得 ,
∴CE=4 .
变式：若改成①已知DE ∥BC ，AB=15，BD=6，AE=10，求CE ②已知DE ∥BC ，AD ：DB=3：2，AC=10，求CE
B
C
15106CE =
练习：
1．完成课本P13 / 1、2、3
求OB、DF的长.。