2.1.1 合情推理
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课件2：2.1.1合情推理
(2)b2k－1＝___2_____(用k表示)．
8．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出它的前4项， 并归纳出该数列的通项公式．
答案：a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，…，an＝(n－1)2
9．在平面内有 n(n∈N*，n ≥ 3)条直线，其中任意两条
不平行，任意三条不过同一点，若这 n 条直线把平面分成 f(n) 个 平 面 区 域 ， 则 f (5) 的 值 是 _________ ， f (n) 的 表 达 式 是
内切球的半径是高的 .
4．_归__纳__类__比___和__类__比__推__理__都是根据已有的事实，经过____联__想____、 ____观__察____、___分__析_____、___比__较_____，再进行__归__纳__推__理__，然后提出猜想 的推理，把它们统称为合情推理．
自测自评
1．根据下图中所示的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想 第n个图中有__n_2_－__n_＋__1__个点．
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四
体的下列性质，你认为比较恰当的是( D )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
那么：
(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分 割成多少部分？
(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线 段？将圆最多分割成多少部分？
解析：设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割成的线段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分．
(1)f(1)＝1＝12，g(1)＝2＝12＋21＋2； f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝22＋22＋2； f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝32＋23＋2； f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝42＋24＋2； 所以 n＝5 时，f(5)＝25，g(5)＝52＋25＋2＝16.
8．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出它的前4项， 并归纳出该数列的通项公式．
答案：a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，…，an＝(n－1)2
9．在平面内有 n(n∈N*，n ≥ 3)条直线，其中任意两条
不平行，任意三条不过同一点，若这 n 条直线把平面分成 f(n) 个 平 面 区 域 ， 则 f (5) 的 值 是 _________ ， f (n) 的 表 达 式 是
内切球的半径是高的 .
4．_归__纳__类__比___和__类__比__推__理__都是根据已有的事实，经过____联__想____、 ____观__察____、___分__析_____、___比__较_____，再进行__归__纳__推__理__，然后提出猜想 的推理，把它们统称为合情推理．
自测自评
1．根据下图中所示的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想 第n个图中有__n_2_－__n_＋__1__个点．
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四
体的下列性质，你认为比较恰当的是( D )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
那么：
(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分 割成多少部分？
(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线 段？将圆最多分割成多少部分？
解析：设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割成的线段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分．
(1)f(1)＝1＝12，g(1)＝2＝12＋21＋2； f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝22＋22＋2； f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝32＋23＋2； f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝42＋24＋2； 所以 n＝5 时，f(5)＝25，g(5)＝52＋25＋2＝16.
课件6：2.1.1 合情推理
(2)分成两列数，奇数位的数：32,16，( )，4,2.偶数位的 数：31,26，( )，16,11，所以括号中的数依次是 8,21.
2．观察下列式子：1＋212<32，1＋212＋312<54，1＋212＋312＋412 <78，…，由此可以归纳出的一般结论是__________.
【答案】1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112<2n2＋n 1(n∈N*) 【解析】不等式的左边是i12的前 n＋1 项和，右边的分母是 2n， 分子是 2n＋1，故一般性的结论是 1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112 <2n2＋n 1(n∈N*)．
2.1.1 合情推理
新知导学
1．归纳推理 由某类事物的_部__分___对__象__具有某些特征，推出该类事物的 __全__部__对__象__都具有这些特征的推理，或者由_个__别__事__实___概括出 _一__般__结__论___的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳 推理是由___部__分___到__整__体___、由__个__别___到__一__般___的推理． 2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁 都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为 __归__纳__推__理__．
新知导学
3．类比推理 由 两 类 对 象 具 有 _某__些__类__似__特__征___ 和 其 中 一 类 对 象 的 __某__些__已__知__特__征__，推出另一类对象也具有_这__些__特__征___的推理称 为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特__殊__到__特__殊__ 的推理．
5．归纳推理是由部分到_整__体___，由具体到_抽__象___，由特 殊到_一__般___，从个别事实中概括出_一__般__结__论___的思维模式． 类比推理是在__两__类__不__同__的事物之间进行对比，找出若干相同 或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在__相__同__或__相__似___
2．观察下列式子：1＋212<32，1＋212＋312<54，1＋212＋312＋412 <78，…，由此可以归纳出的一般结论是__________.
【答案】1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112<2n2＋n 1(n∈N*) 【解析】不等式的左边是i12的前 n＋1 项和，右边的分母是 2n， 分子是 2n＋1，故一般性的结论是 1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112 <2n2＋n 1(n∈N*)．
2.1.1 合情推理
新知导学
1．归纳推理 由某类事物的_部__分___对__象__具有某些特征，推出该类事物的 __全__部__对__象__都具有这些特征的推理，或者由_个__别__事__实___概括出 _一__般__结__论___的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳 推理是由___部__分___到__整__体___、由__个__别___到__一__般___的推理． 2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁 都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为 __归__纳__推__理__．
新知导学
3．类比推理 由 两 类 对 象 具 有 _某__些__类__似__特__征___ 和 其 中 一 类 对 象 的 __某__些__已__知__特__征__，推出另一类对象也具有_这__些__特__征___的推理称 为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特__殊__到__特__殊__ 的推理．
5．归纳推理是由部分到_整__体___，由具体到_抽__象___，由特 殊到_一__般___，从个别事实中概括出_一__般__结__论___的思维模式． 类比推理是在__两__类__不__同__的事物之间进行对比，找出若干相同 或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在__相__同__或__相__似___
2.1.1合情推理
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则 Ａ×Ｂ＝（ Ａ ）
Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
小结：
(1)合情推理的含义： 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、 分析、比较 、联想 ，再进行 归纳 、类比 ，然后提出猜想 的推 理，我们把它们统称为合情推理．
(2)合情推理的过程：
从具体问题出发
类比推理
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特 征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
观察、比较 联想、类推
猜想新结论
类比推理
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯
2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
距圆心较近的弦较长
截面圆不等，距球心较近的
截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半 球的切面垂直于过切点的半
径；经过圆心且垂直于切线 径；经过球心且垂直于切面
的直线必经过切点
的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直 经过切点且垂直于切面的直
线必经过圆心
线必经过球心
类比推理
“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往 往有赖于平面几何的类比问题.”
所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚
属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观
察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分
析的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
课件11：2.1.1 合情推理
类比对象较合适
()
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
【解析】从构成几何图形的几何元素的数目、位置关
系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体
的类比对象较为合适．
【答案】C
4．根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规 律，试猜测第(n)个图形有多少个圆圈．
解：方法一：图(1)中的圆圈数为12－0； 图(2)中的圆圈数为22－1， 图(3)中的圆圈数为32－2， 图(4)中的圆圈数为42－3， 图(5)中的圆圈数为52－4… 故猜测第(n)个图形中的圆圈数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
小结：
类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行对比， 找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存 在相同或相似之处的一种推理模式，类比推理是否正确 是需要证明的.
观察、比较
联想、类推
猜测新的结论
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2.1.1 合情推理
学习目标： 1．了解合情推理的含义及合情推理在数学发现中的作用； 2．理解归纳推理与类比推理的含义及它们的异同点． 3.理解类比推理概念，能利用类比推理的方法进行简单的 推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
新知识·预习探究 知识点一：归纳推理 1．概念 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全 部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一 般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推 理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
证明：在四面体 O－BCD 与 V－BCD 中， 1
OVEE＝hh1＝＝313SS△△BBCCDD··hh1＝VVOV－－BBCCDD. 同理有：ODFF＝VVOD－－VVBBCC；OBGG＝VVOB－－VVCCDD；OCHH＝VVOC－－VVBBDD， ∴OVEE＋DOFF＋OBGG＋OCHH ＝VO－BCD＋VO－VVBCV＋－BVCDO－VCD＋VO－VBD＝VVVV－－BBCCDD＝1.
课件6：2.1.1 合情推理
二是研究数列中的相邻两项或几项的关系，这样，知 道了最初的几项后，后面的项就可按照已找出的关系 顺次写出来． (2)这个数列的一般项可以写成： a2n＝1＋2(1＋2＋…＋n)＝n2＋n＋1； a2n－1＝1＋2(1＋2＋…＋n－1)＋n＝n2＋1(n∈N＋)．
跟踪训练 3.如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点” 表示原子，两点间的“短线”表示化学键，按图中结构， 第 n 个图有________个原子，有________个化学键．
解：(1)由已知有 a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜测出 an＝2n＋1－1，n∈N* .
(2)由已知有 a1＝a， a2＝2－1a1＝2－1 a， a3＝2－1 a2＝32－－2aa， a4＝2－1 a3＝34－－23aa. 猜测出 an＝(n－n－1)(－n－(n1－)a2)a，n∈N*.
…， 所以，第 20 个拐弯处的数是 a20＝1＋(1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋…＋10＋10) ＝1＋2(1＋2＋…＋10)＝111.
第 25 个拐弯处的数是 a25＝1＋(1＋1＋2＋2＋…＋12＋12＋13) ＝1＋2(1＋2＋…＋12)＋13＝170.
方法总结 (1)寻找数列的排序规律，常用两种方法： 一是考察数列的“项”与它所在的位置，即“项数” 之间的关系，一般的数列写作：a1，a2，a3，…， an，….这里的an是数列的“项”，n是“项数”，若能 找到“项”与“项数”的关系，则知道了项数n，也就 知道了它所对应的项an.
解：如图，设 O 为四面体 V－BCD 内任意一点，连接 VO、BO、CO、DO 并延长交对面于 V′、B′、C′、D′， 类比关系为OVVV′′＋OBBB′′＋OCCC′′＋ODDD′′＝1.
2.1.1合情推理
2.1.1合情推理预习案一、【教材知识梳理】1．合情推理包括 和 ．2．归纳推理：（1）概念：根据一类事物的 具有某种性质，推出这类事物的 都具有这种性质的推理叫做归纳推理。
（2）特点：归纳推理是从 到 的过程。
（3）归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质．②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．3．类比推理：（1）概念：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物 的推理，叫做类比推理． （2）类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 二、【预习检测】 1、从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中得出的一般性结论是 ． 2．下列说法正确的是（ ）A ．类比推理一定是一般到一般的推理B ．类比推理一定是个别到个别的推理C ．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D ．类比推理是个别到一般的推理 3．球心到球面上每一点的距离相等。
类比到平面，有_______________ _____ ４．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为______________，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为________________探究案一、【典例解析】例1 已知数列{}n a 的第1项11a =，且()11,2,1n n na a n a +==+…，试归纳出这个数列的通项公式．例2．观察下面几个算式，找出规律：1+2+1=4； 1+2+3+2+1=9； 1+2+3+4+3+2+1=16； 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25；…利用上面的规律，请你算出1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1= 。
2.1.1 合情推理
;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 当n=3时,a3= 7 猜想 an= 2n 当n=4时,a4= 15
-1
2
1
3
本节知识结构
推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
（部分到整体、 特殊到一般）
类比 三段论 （特殊到特殊） （一般到特殊）
2． 1+3+…+(2n－1)=n
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫 的牙齿,发明了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉 浮的原理,发明了潜水艇. 3.利用平面向量的本定理类比得到空 间向量的基本定理.
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有 的事实，经过观察、分析、比较、联想， 再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理， 我们把它们统称为合情推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常 常能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们 提供证明的思路和方向
内容结构
“推理与证明”是数学的基本思维过程， 也是人们学习和生活中经常使用的思维方 式．推理一般包括合情推理和演绎推理．在本 章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步 体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系 与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明 的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、 综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如 反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活 中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
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本节知识结构
推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
（部分到整体、 特殊到一般）
类比 三段论 （特殊到特殊） （一般到特殊）
2． 1+3+…+(2n－1)=n
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫 的牙齿,发明了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉 浮的原理,发明了潜水艇. 3.利用平面向量的本定理类比得到空 间向量的基本定理.
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有 的事实，经过观察、分析、比较、联想， 再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理， 我们把它们统称为合情推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常 常能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们 提供证明的思路和方向
内容结构
“推理与证明”是数学的基本思维过程， 也是人们学习和生活中经常使用的思维方 式．推理一般包括合情推理和演绎推理．在本 章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步 体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系 与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明 的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、 综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如 反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活 中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
2.1.1合情推理
为
1 an = n .
我们通过归纳得到了关于数列通项 公式的一个猜想.
类比推理——火星上是否有生命
火星
对比 两者 某些 相似 特征.
围绕绕轴太自阳转运；行；地球
有大气层；
一年中有四季
变更； 温度适合地球 上某些 生物的生存；
火星也可 能有生命 的存在
试着类比球体和圆
圆的概念和性质
球的类比概念和性质
(x - a)2 + y - b2 = r2.
以点(a,b,c)为球心，r为半径 的球的方程为
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r 2
“类比是一个伟大的引路人，求解立 体几何问题往往有赖于平面几何中的类 比问题.”
——数学家波利亚
“我珍视类比胜过任何别的东西， 它是我最可信赖的老师，它能揭示自然 界的秘密.”
1 = 21 - 1, 3 = 22 - 1, 7 = 23 - 1,15 = 24 - 1
由此我们猜想：
若把n个金属片从1号针移动到3号针，
最少需要移动 次，an 则数列 的通an项
公式为
an = 2n -1 n N*
探究：
把n个金属片从1号针移动 到3号针，怎样移动才能达到 最少的移动次数呢？
的第n项 an 与序号n之间的对应关系.为此， 我们先根据已知的递推公式，算出数列的 前几项.
解：当n=1时，a1 = 1;
当n=2时，a2
=
1
1 +
1
=
1 2
1
当n=3时，a3
=
2 1+ 1
=
1 3
2
1
当n=4时，a4
课件11：2.1.1 合情推理
题型三 类比推理及其应用 例 3 类比平面内直角三角形的勾股定理，试写出空间中四面 体性质的猜想．
解：如图(1)，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：c2＝a2＋b2；
类比直角三角形的勾股定理，在四面体 P-DEF 中，如图(2)， 猜想：S2＝S21＋S22＋S23(S、S1、S2、S3 分别是四面体 PDEF 的 面△PEF、△DEF、△PFD、△PDE 的面积)．
2．已知△ABC 的边长分别为 a，b，c，内切圆半径为 r，用 S△ABC 表示△ABC 的面积，则 S△ABC＝12r(a＋b＋c)．类比这一结论 有：若三棱锥 A-BCD 的内切球半径为 R，求三棱锥 A-BCD 的体积． 解：内切圆半径 r―类―比→内切球半径 R， 三角形的周长：a＋b＋c―类―比→三棱锥各面的面积和： S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD， 三角形面积公式系数12 ―类―比→三棱锥体积公式系数13. 所以类比得三棱锥体积 VABCD＝13R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．
象具有某种性质，推出这 些__类__似__ (或__一__致__)性，推测其
定义 类事物的_所__有___对象都具 中一类事物具有与另一类事物类
有这种性质的推理，叫做 似(或相同)的性质的推理，叫做类
归纳推理
比推理
归纳是从特殊到一般的过 特征
程
类比是从特殊到特殊的过程
初试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理是由一般到一般的推理过程．( × ) (2)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．( √ ) (3)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( × )
2．数列 5，9，17，33，x，…中的 x 等于( )
课件10：2.1.1 合情推理
【答案】 b1b2…bn＝b1b2…b19－n(n＜19，n∈N*)
跟踪训练
4．若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的运算， 即 a*b＝a＋2 b,则两边均含有运算符号“*”和“＋”,且对于 任意 3 个实数 a，b，c 都能成立的一个等式可以是 _______．
【解析】由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需 要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一，解决这道试 题要把握住 a*b＝a＋2 b，还要注意到试题的要求不仅类比推 广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可 容易得到 a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．
做一做
下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合
适的是( )
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
【解析】因为平行六面体相对的两个面互相平行，
类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
【答案】C
3．合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、 分析、比较、联想，再进行_归__纳____、__类__比___,然后提 出_猜__想__的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地 说，合情推理是指“___合__乎__情__理____”的推理．
跟踪训练 3．在三棱锥 S－ABC 中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC， 且 SA、SB、SC 和底面 ABC 所成的角分别为 α1、α2、α3， 三侧面△SBC、△SAC、△SAB 面积分别为 S1、S2、S3， 类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
解：在△DEF 中，由正弦定理得sindD＝sine E＝sinf F. 于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体中，我们猜想sinS1α1＝sinS2α2＝sinS3α3成立．
跟踪训练
4．若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的运算， 即 a*b＝a＋2 b,则两边均含有运算符号“*”和“＋”,且对于 任意 3 个实数 a，b，c 都能成立的一个等式可以是 _______．
【解析】由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需 要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一，解决这道试 题要把握住 a*b＝a＋2 b，还要注意到试题的要求不仅类比推 广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可 容易得到 a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．
做一做
下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合
适的是( )
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
【解析】因为平行六面体相对的两个面互相平行，
类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
【答案】C
3．合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、 分析、比较、联想，再进行_归__纳____、__类__比___,然后提 出_猜__想__的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地 说，合情推理是指“___合__乎__情__理____”的推理．
跟踪训练 3．在三棱锥 S－ABC 中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC， 且 SA、SB、SC 和底面 ABC 所成的角分别为 α1、α2、α3， 三侧面△SBC、△SAC、△SAB 面积分别为 S1、S2、S3， 类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
解：在△DEF 中，由正弦定理得sindD＝sine E＝sinf F. 于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体中，我们猜想sinS1α1＝sinS2α2＝sinS3α3成立．
2.1.1合情推理(归纳推理)
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
3
例题1: 观察下列的等式,你有什么 猜想吗?
1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 2 1+3+5+7+9=25=5
an 且 an 1 ( n ＝1，2，3，· · · )， 1 an 1 an n 请归纳出这个数列的通项公式为________.
这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.
8
2.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.
按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针 上. (1)每次只能移动1个金属片； (2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移 动多少次？
2
1
3
11
设 a n为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a1 ＝1 n ＝1时， n＝2时，a2＝3
第1个圆环从1到 3. 前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
a3 ＝7 n＝3时，
前2个圆环从1到2; 第3个圆环从1到3;
前2个圆环从2到3.
猜想 an= 2n -1
……
由此猜想:前n个连续的奇数的和 等于n的平方,即: 1+3+5+…+(2n-1)=n2
4
归纳推理的过程： 哥德巴赫猜想的过程：
具体的材料 观察分析 猜想出一般性的结论
原创2：2.1.1合情推理
类比推理的结论不一定成立.
(3) ＞＞;等等。
例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体
性质的猜想．
A
Ｂ
c2=2+b2
c
a
o s2
s1
s3
Ｃ
猜想:
b
Ａ
B
S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
C
总结：
1.进行类比推理的步骤：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
2
D1
D
C
A1
B1
A
C
D
B
A
C1
B
类比推理
类比推理
由特殊到特殊的推理
以旧的知识为基础,推测新的结果，
具有发现的功能
注意
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理;
以观察分析为基础,推测新的结论;
具有发现的功能;
结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理;
以旧的知识为基础,推测新的结果；
2.1.1合情推理
第
二
章
：
推
理
与
证
明
推理
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维
过程就叫推理.
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10
3＋17＝20
13＋17＝30
6＝3+3，
8＝3+5,
10＝5+5,
……
1000＝29+971，
1002=139+863,
2.1.1合情推理
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知整体. 实例
数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后 探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
四棱柱
凸多面体
面数（F） 6
顶点数（V） 8
棱数（E） 12
4
8 5 5
4
6 6 5 9
6
12 9 8 16
9
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
F＋V－E＝2
欧拉公式
除了归纳，在人们的创造发明活动中，还 常常应用类比。例如：
1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶
和蝗虫的牙齿,发明了锯． 2.人们仿照鱼类的外型和它们在
球的体积 V = πR 3
圆心与弦(非直径)中点连线垂 直于弦.
与球心距离相等的两截面圆面积 与圆心距离相等的两弦相等 相等; 与圆心距离不等的两弦不 与球心距离不等的两截面圆面 等,距圆心较近的弦较长. 积不等,距球心较近的截面圆面 积较大. 以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的 以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为 2 2 2 圆的方程为(x-x0) ＋(y-y0) =r . (x-x )2+(y-y )2+(z-z )2=r2. 0 0 0
（2）类比推理的结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
注意 类比推理的结论不一定成立
数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后 探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
四棱柱
凸多面体
面数（F） 6
顶点数（V） 8
棱数（E） 12
4
8 5 5
4
6 6 5 9
6
12 9 8 16
9
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
F＋V－E＝2
欧拉公式
除了归纳，在人们的创造发明活动中，还 常常应用类比。例如：
1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶
和蝗虫的牙齿,发明了锯． 2.人们仿照鱼类的外型和它们在
球的体积 V = πR 3
圆心与弦(非直径)中点连线垂 直于弦.
与球心距离相等的两截面圆面积 与圆心距离相等的两弦相等 相等; 与圆心距离不等的两弦不 与球心距离不等的两截面圆面 等,距圆心较近的弦较长. 积不等,距球心较近的截面圆面 积较大. 以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的 以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为 2 2 2 圆的方程为(x-x0) ＋(y-y0) =r . (x-x )2+(y-y )2+(z-z )2=r2. 0 0 0
（2）类比推理的结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
注意 类比推理的结论不一定成立
课件9：2.1.1 合情推理
答 1.归纳推理 特殊 一般 2.类似特征 已知特征 这些特征 特殊
案 3.事实 比较 联想 归纳 类比
名师讲解
1. 归纳推理 (1) 归纳推理的分类 ①完全归纳推理：由某类事物的全部对象推出结论，显然 该结论一定正确． ②不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．该 结论不一定正确．
(2) 归纳推理的一般步骤 第一步：观察、分析所有特殊情况的共性，如图形中的 点、线的个数、位置关系，数列中项的变化规律，一系 列式子的运算特点等． 第二步：把第一步观察到的共性进行推广，形成一般化 的结论． 如数列的通项公式，式子的运算结果等等．
2.1.1 合情推理
自学引导
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的 推理.
课前热身
1. 归纳推理． 由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类 事物的全部对象都具有这种特征的推理，称为 ________．概括为由________到________的推理．
2. 类比推理． 由两类对象具有某些________和其中一类对象的某些 ________，推出另一类对象也具有________的推理称为类 比推理，其特征是由________到特殊的推理． 3. 合情推理． 根据已有的________，经过观察、分析、________、 ________，再进行________、________，然后提出猜想的 推理，统称为合情推理.
规律技巧 利用直角三角形的有关性质，通过观察四面 体的结构分析面的关系，比较二者的内在联系，从中类 比出四面体的相似命题提出猜想.结论中 S2＝S21＋S22＋S23 为真命题.
变式训练2 通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1， 32－22＝2×2＋1， 42－32＝2×3＋1， …… (n＋1)2－n2＝2n＋1，
2.1.1合情推理
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
在研究球体时,自然联想到圆.
试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 球的定义：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合
由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫 的牙齿,发明了锯；人们仿照鱼类的外型和它 们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇. 仿生学中许多发明的最初构想 都是类比生物机制得到的.
苍蝇的楫翅（又叫平衡棒）是“天然导航仪”， 人们模仿它制成了“振动陀螺仪”.这种仪器目前已 经应用在火箭和高速飞机上，实现了自动驾驶。 苍蝇的眼睛是一种“复眼”，由3000多只小眼 组成，人们模仿它制成了“蝇眼透镜” ，一次就能 照出千百张相同的相片。
本章我们将学习两种基本的推理
合情
推理和演绎推理 .合情推理具有猜测和发 现新结 论、探索和提供 解决问题的思路 和方向的作用 ; 演绎推理则起证明结论作用。
3
佛教《百喻经》中有这样一则故事。 从前有一 位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉 他:"要甜的,好吃的,你才买."仆人拿好钱就去了.到了 果园,园主说:"我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝 一个看."仆人说:"我尝一个怎能知道全体呢 我应当个 个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠."仆人于是自己 动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去, 富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.
课件4：2.1 .1合情推理
答案：5
n2－n－2
2
题型三
类比推理及其应用
例3 如图，在△ABC中，O为其内
切圆圆心，过O的直线将三角形分为面
积相等的两部分，且该直线与AC，BC
分别相交于F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试
将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题．
【解】 如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球
(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别
交于E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，
则四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积相等．
(1)本例是一道由平面图形类比到空间图形的问题，它的求
解主要利用了平面与空间的以下类比：三角形与四面体，
三角形内切圆与四面体内切球，面积与体积，周长与表面
此 凸 n 边 形 的 对 角 线 条 数 为 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ … ＋ (n － 2) ＝ n(n －
3)(n≥4，n∈N*)．
在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸
六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有几条对角线？
总结规律：在几何中，随点、线、面等元素的增加，探究相应的线
几何中的归纳推理
例2 在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角
线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有几条对角线？
【解】
凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边
形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…
于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n－1边形多n－2条对角线，由
•
例4
在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1
n2－n－2
2
题型三
类比推理及其应用
例3 如图，在△ABC中，O为其内
切圆圆心，过O的直线将三角形分为面
积相等的两部分，且该直线与AC，BC
分别相交于F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试
将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题．
【解】 如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球
(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别
交于E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，
则四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积相等．
(1)本例是一道由平面图形类比到空间图形的问题，它的求
解主要利用了平面与空间的以下类比：三角形与四面体，
三角形内切圆与四面体内切球，面积与体积，周长与表面
此 凸 n 边 形 的 对 角 线 条 数 为 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ … ＋ (n － 2) ＝ n(n －
3)(n≥4，n∈N*)．
在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸
六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有几条对角线？
总结规律：在几何中，随点、线、面等元素的增加，探究相应的线
几何中的归纳推理
例2 在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角
线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有几条对角线？
【解】
凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边
形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…
于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n－1边形多n－2条对角线，由
•
例4
在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1
课件4：2.1.1 合情推理
点评：以上归纳推出一般性结论的方法称作不完 全归纳法，由不完全归纳法推出的结论不一定正 确，必须通过证明才能最后得出正确的结论．
命题方向：归纳推理在几何问题中的应用
例2：数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱 数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．
【解析】仔细观察，通过几何图形的构造特征，找出 三者之间的关系． 解：各多面体的面数F、顶点数V、棱数E如下表所示.
所以a33＝a6×5＋3＝a3＝3，故选A. 【答案】A
2．由170>58，191>180，1235>291，…若 a>b>0，m>0，则ba＋ ＋mm
与ba之间的大小关系为
()
A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定
【解析】∵170＝58＋＋22>58，191＝180＋＋11>180， 1235＝291＋＋44>291，…都成立， ∴猜想：若 a>b>0，m>0，则ab＋＋mm>ba，下面证明 ∵ba＋＋mm－ba＝ab＋aam(a－＋amb)－bm＝ma((aa＋－mb))>0， ∴ba＋＋mm>ba，故应选 B.
多面体 三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 正方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
面数(F) 4 5 5 6 6 8 7 7 9
顶点数(V) 4 5 6 6 8 6 10 10 9
棱数(E) 6 8 9 10 12 12 15 15 16
观察其数字特征：
4＋4－6＝2；
5＋5－8＝2；
5＋6－9＝2; 6＋6－10＝2；
个别事实 概括出 一般结论 的推理，称为归纳推理 (简称归纳)．简言之，归纳推理是由 部分 到 整体、由 个别 到一般 的推理．归纳推理包括 不完全归纳法 和 完全归纳法．
课件8：2.1.1 合情推理
数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n×(n＋1)， 即43n(n＋1)． 【答案】43n(n＋1)
(2)解：当 n＝1 时，a1＝1；
当 n＝2 时，a2＝1＋1 1＝12；
1 当 n＝3 时，a3＝1＋2 12＝13；
1 当 n＝4 时，a4＝1＋3 13＝14.
通过观察可得数列的前 n 项都等于下标序号的倒数， 因此 an＝1n.
圆
空间几何体 三维空间
面 相应面的面积 相应几何体的体积 两平面的二面角
面垂直 面平行 四面体
球
变式训练 在 Rt△ABC 中，若∠C＝90°，AC＝b，
BC＝a，则△ABC 的外接圆半径为 r＝
a2＋b2 2.
试把上面的结论类比到空间，写出相应的结论．
解：取空间中三条侧棱两两垂直的三棱锥ABCD，
思考尝试 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体， 这种估计属于归纳推理．( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理使用．( ) (3)归纳推理是由个别得到一般的推理．( ) (4)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．( )
【解析】(1)对，用样本估计总体，是由个别得到一般， 所以，这种估计属于归纳推理． (2)错，类比推理的结论不一定正确. (3)对，由归纳推理的概念知说法正确． (4)对，归纳推理得出的结论不一定正确． 【答案】(1)√ (2)× (3)√ (4)√
类型 3 类比推理 典例 3 已知在 Rt△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC 于 D， 有A1D2＝A1B2＋A1C2成立．那么在四面体 ABCD 中，类 比上述结论，你能得到怎样的猜，可以猜想四面体 ABCD 中，AB，AC，AD 两两垂直，AE⊥平面 BCD， 则A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2.
2.1.1合情推理
a+x = 0
都有唯一解.
ax = 1a ≠ 0
1 x= a
x = -a
(4)在加法中，任意实数与0相加都不改 变大小；乘法中的1与加法中的0类似， 即任意实数与1的积都等于原来的数.即
a+0 =a
a 1 = a
你认为平面几何中的哪一类图形 可以作为四面体的类比对象？
例3
类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想.
对比 两者 某些 相似 特征.
围绕太阳运行；地球 绕轴自转； 有大气层； 一年中有四季 变更； 火星也可 温度适合地球 能有生命 上某些 生物的生存； 的存在
试着类比球体和圆
圆的概念和性质
球的类比概念和性质
球的表面积 球的体积
圆的周长 圆的面积
圆心与弦（非直径）中点的 球心与截面圆（非过球心截面 连线垂直于弦. 圆）圆心连线垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等； 与球心距离相等的两截面圆面 与圆心距离不等的两弦不等， 积相等；与球心距离不等的两 距圆心较近的弦较长 截面圆面积不等，距圆心较近 的截面圆面积较大. 以点(a,b)为圆心，r为半径 以点(a,b,c)为球心，r为半径 的圆的方程为 的球的方程为 2
(x - a) 2 + y - b = r 2 .
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c) 2 = r 2
“类比是一个伟大的引路人，求解 立体几何问题往往有赖于平面几何中的 类比问题.” ——数学家波利亚 “我珍视类比胜过任何别的东西， 它是我最可信赖的老师，它能揭示自然 界的秘密.” ——开普勒
分析：考虑到直角三角形的两条边 互相垂直，所以我们可以选取有3个面 两两垂直的四面体，作为直角三角形的 类对比对象.
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推理与证明
推理 证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理
从前有个财主，想教儿子识字，请来一位教书先 生.先生把着学生的笔杆儿，写一横，告诉是个“一” 字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是 个“三”字.学到这里，儿子就告诉父亲说：
“我已经学会了写字，不 用先生再教了.”于是， 财主就把教书先生给辞退了.
类比推理 由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础,推测 新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时， a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n ＝2时， a2 ＝3 前1个圆环从1到2;
猜想 an= 2n -1
第2个圆环从1到3; 需要多少年？
前1个圆环从2到3. 184467440737095
利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦（非直径）中点的连 线垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
(1)类比是从人们已经掌握的事物的属性,推断 正在研究中的事物的属性,它以已有知识为基础, 类比出新的结论. (2)是从一事物的特殊属性推断另一种事物的 特殊属性.
(3)类比的结果具有猜测性,不一定可靠.
例2 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果
运算律
逆运算
单位元
实数的加法
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
等,距圆心较近的弦较长
不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
传说中开天辟地的神勃拉玛在古老的印度贝拿勒斯的神庙
中留下了三根针和套在一根针上的64个圆环.神指示他的僧侣们 按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针 起“过渡”的作用.
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
一天，财主要邀请一位姓 万的朋友，叫儿子写张请帖.
财主的儿子怎么写的?
探究点1 归纳推理
【1】1742年哥德巴赫(Goldbach ,1690～1764,
是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家,
1725年当选为俄国彼得堡科学院院士)观察到:
6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5,
12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 5 + 11,
......
1000 = 29 + 971,
1002 = 139 + 863,
......
猜想: 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.
哥德巴赫猜想
目前最佳的结果是中国数学家陈
任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数 之和.
由部分到整体、特殊到一般的推理;以观察分析为基础, 推测新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立
类比推理
由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础,推测新的结论; 具有发现的功能;结论不一定成立
从具体问 题出发
观察、分 析、比较、 联想
归纳推理
归纳、 类比
提出猜想
合情推理 类比推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、 分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜 想的推理，我们把它们统称为合情推理。
R
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c) a+x=0
x=-a 0+a=a
实数的乘法
R ab=ba (ab)c=a(bc) ax=1(a≠0) x=1/a
1*a=a
思考：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为
四面体的类比对象？ 三角形
例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间 中四面体性质的猜想．
半个世纪之后，欧拉发现： 类比推理所得的结论也 不一定可靠。
不是质数，从而推翻了费马的猜想
1.归纳推理、类比推理的定义.
2. 推理的一般思维过程: 观察、分析 概括、推广、类比
提出猜想
3.归纳、类比推理的特点 归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理;以观察分析为基础, 推测新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立
春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形草叶割破了 手,他由此受到启发从而发明了锯.
类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这
样得到的. 鱼类
形状，沉浮原理
潜水艇
蜻蜓 外形，飞行原理
直升机
仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制 得到的.
火星上是否有生命？
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕
➢铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，
猜想:所有金属都导电.
➢又如
2 3
21 31
,
2 3
2 3
2 2
,
2 3
2 3
3 3
,
猜想:
b a
b a
m m
(a, b, m均为正整数).
归纳推理
由部分到整体、 个别到一般的推理
归纳推理的基础
观察、分析
归纳推理的作用 注意
发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移
动多少次?
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3.
2
13ຫໍສະໝຸດ 设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有季节的变更
温度适合生物的生存 有生命存在
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：类比推理的过程（步骤）
地球
存在类 似特征
火星
观察、比较
地球上有生命存在
联想、类推
猜测火星上也可能有生命存在 猜想新结论
【3】成语“一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落,知道秋天将要来到. 比喻由细微的迹象看出整体形势的变化,由部分推知 全体.
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象 都具有这些特征的推理,或者由 个别事实 概括出一般结论的推理,称为归纳推理（简 称归纳）.
特点：部分→ 整体，个别→ 一般.
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象 的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的 推理称为类比推理.
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理.
(2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象, 我们可以从不同的角度出发确定类比对象,基本原 则是要根据当前问题的需要,选择适当的类比对象.
类比推理的特点
分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可选取
有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象.
P
Ｂ
a
c
s2 D s1 s3
Ｃ b (1) Ａ
E
(2)
F
解：如上图，在Rt△ABC中，∠C=90°.设a,b,c分别
表示三条边的长度，由勾股定理，得 c 2 a 2 b 2 .
类似地，在四面体P - DEF中，∠PDF = ∠PDE = ∠EDF = 90o.
n＝3时， a3 ＝7 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.
11615÷ (60×60×24×365 ) ≈5846亿年
2
1
3
费马猜想：
221 1 5, 222 1 17,
223 +1 = 257, 224 +1 = 65 537, 都是质数
猜想：22n +1(n N* )是质数.
例1.已知数列{an}的第
1
项a1=1,且
an1
an an
1
(n=1, 2,…)，试归纳出这个数列的通项公式.
解:当n=1时，a1=1;
当n=2时，
11 a2 11 2 ;
1
当n=3时，
a3
a2 a2 1
2
1 2
1 1
1 3
;
当n=4时，
a4
a3 a3 1
3
1 3
1
1 4
.
an
1 n
.
探究点2 类比推理
景润于1966年证明的，称为陈氏 定理 。“任何充分大的偶数都 是一个质数与一个自然数之和，
而后者仅仅是两个质数的乘积。”
2n p1 p2 (n N，n 3) 通常都简称这个结果为大偶数可
表示为 “1 + 2 ”的形式。
哥德巴赫猜想的过程： 具体的材料 观察分析
推理 证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理
从前有个财主，想教儿子识字，请来一位教书先 生.先生把着学生的笔杆儿，写一横，告诉是个“一” 字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是 个“三”字.学到这里，儿子就告诉父亲说：
“我已经学会了写字，不 用先生再教了.”于是， 财主就把教书先生给辞退了.
类比推理 由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础,推测 新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时， a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n ＝2时， a2 ＝3 前1个圆环从1到2;
猜想 an= 2n -1
第2个圆环从1到3; 需要多少年？
前1个圆环从2到3. 184467440737095
利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦（非直径）中点的连 线垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
(1)类比是从人们已经掌握的事物的属性,推断 正在研究中的事物的属性,它以已有知识为基础, 类比出新的结论. (2)是从一事物的特殊属性推断另一种事物的 特殊属性.
(3)类比的结果具有猜测性,不一定可靠.
例2 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果
运算律
逆运算
单位元
实数的加法
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
等,距圆心较近的弦较长
不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
传说中开天辟地的神勃拉玛在古老的印度贝拿勒斯的神庙
中留下了三根针和套在一根针上的64个圆环.神指示他的僧侣们 按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针 起“过渡”的作用.
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
一天，财主要邀请一位姓 万的朋友，叫儿子写张请帖.
财主的儿子怎么写的?
探究点1 归纳推理
【1】1742年哥德巴赫(Goldbach ,1690～1764,
是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家,
1725年当选为俄国彼得堡科学院院士)观察到:
6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5,
12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 5 + 11,
......
1000 = 29 + 971,
1002 = 139 + 863,
......
猜想: 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.
哥德巴赫猜想
目前最佳的结果是中国数学家陈
任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数 之和.
由部分到整体、特殊到一般的推理;以观察分析为基础, 推测新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立
类比推理
由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础,推测新的结论; 具有发现的功能;结论不一定成立
从具体问 题出发
观察、分 析、比较、 联想
归纳推理
归纳、 类比
提出猜想
合情推理 类比推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、 分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜 想的推理，我们把它们统称为合情推理。
R
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c) a+x=0
x=-a 0+a=a
实数的乘法
R ab=ba (ab)c=a(bc) ax=1(a≠0) x=1/a
1*a=a
思考：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为
四面体的类比对象？ 三角形
例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间 中四面体性质的猜想．
半个世纪之后，欧拉发现： 类比推理所得的结论也 不一定可靠。
不是质数，从而推翻了费马的猜想
1.归纳推理、类比推理的定义.
2. 推理的一般思维过程: 观察、分析 概括、推广、类比
提出猜想
3.归纳、类比推理的特点 归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理;以观察分析为基础, 推测新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立
春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形草叶割破了 手,他由此受到启发从而发明了锯.
类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这
样得到的. 鱼类
形状，沉浮原理
潜水艇
蜻蜓 外形，飞行原理
直升机
仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制 得到的.
火星上是否有生命？
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕
➢铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，
猜想:所有金属都导电.
➢又如
2 3
21 31
,
2 3
2 3
2 2
,
2 3
2 3
3 3
,
猜想:
b a
b a
m m
(a, b, m均为正整数).
归纳推理
由部分到整体、 个别到一般的推理
归纳推理的基础
观察、分析
归纳推理的作用 注意
发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移
动多少次?
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3.
2
13ຫໍສະໝຸດ 设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有季节的变更
温度适合生物的生存 有生命存在
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：类比推理的过程（步骤）
地球
存在类 似特征
火星
观察、比较
地球上有生命存在
联想、类推
猜测火星上也可能有生命存在 猜想新结论
【3】成语“一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落,知道秋天将要来到. 比喻由细微的迹象看出整体形势的变化,由部分推知 全体.
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象 都具有这些特征的推理,或者由 个别事实 概括出一般结论的推理,称为归纳推理（简 称归纳）.
特点：部分→ 整体，个别→ 一般.
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象 的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的 推理称为类比推理.
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理.
(2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象, 我们可以从不同的角度出发确定类比对象,基本原 则是要根据当前问题的需要,选择适当的类比对象.
类比推理的特点
分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可选取
有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象.
P
Ｂ
a
c
s2 D s1 s3
Ｃ b (1) Ａ
E
(2)
F
解：如上图，在Rt△ABC中，∠C=90°.设a,b,c分别
表示三条边的长度，由勾股定理，得 c 2 a 2 b 2 .
类似地，在四面体P - DEF中，∠PDF = ∠PDE = ∠EDF = 90o.
n＝3时， a3 ＝7 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.
11615÷ (60×60×24×365 ) ≈5846亿年
2
1
3
费马猜想：
221 1 5, 222 1 17,
223 +1 = 257, 224 +1 = 65 537, 都是质数
猜想：22n +1(n N* )是质数.
例1.已知数列{an}的第
1
项a1=1,且
an1
an an
1
(n=1, 2,…)，试归纳出这个数列的通项公式.
解:当n=1时，a1=1;
当n=2时，
11 a2 11 2 ;
1
当n=3时，
a3
a2 a2 1
2
1 2
1 1
1 3
;
当n=4时，
a4
a3 a3 1
3
1 3
1
1 4
.
an
1 n
.
探究点2 类比推理
景润于1966年证明的，称为陈氏 定理 。“任何充分大的偶数都 是一个质数与一个自然数之和，
而后者仅仅是两个质数的乘积。”
2n p1 p2 (n N，n 3) 通常都简称这个结果为大偶数可
表示为 “1 + 2 ”的形式。
哥德巴赫猜想的过程： 具体的材料 观察分析