经济数学(不定积分习题及答案)

第五章 不定积分

习题 5－1

1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221

sin , cos 2, cos 2x x x

-- 都是同一函

数的原函数.

解 221

(sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x

=-=-=因为

221

sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数.

2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x

e e e e e e ---+-+都是

的原函数.

解 2222[()]'[()]'=2()x x x x x x

e e e e e e ---+=-+因为

2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数

3.已知一个函数的导数是2

11

x -，并且当x = 1时, 该函数值是32π

，求这个函数.

解 设所求函数为f (x ), 则由题意知

2

'()1f x x =

- '2(arcsin )1x x =

-因为

'2()()d arcsin 1f x f x x x C

x ===+-⎰所以

又当x = 1时，

3

(1)2f π

=，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+.

3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程.

解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知''()2y f x x == 因为

2

()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C

=

==+⎰

⎰

又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1

故所求曲线方程为 2

1y x =+.

5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程.

解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x =

因为

'

(sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C

==+⎰

又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为

()sin 1f x x =+ 与 ()sin 1f x x =-.

6. 已知 f (x ) = k tan2x 的一个原函数是2

ln cos 23x ，求常数k .

解 因为2

ln cos 23x 是f (x )的一个原函数 所以 '2214(ln cos 2)(2sin 2)tan 2()

33cos 23x x x f x x =⋅⋅-=-=

4

tan 2tan 234

.

3x k x

k -==-即 故

7. 已知 1(1)d x f x x xe C

++=+⎰

, 求函数f (x ).

解 因为由不定积分的性质, 有

'

111(1)d (1)(1)x x x f x x f x e xe x e +++⎡⎤+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰

所以, 令t = x+1,有

(),().t x f t te f x xe ==即

8. 设f (x ) 是(-∞,+∞)内的连续的奇函数, F (x )是它的一个原函数, 证明: F (x )是偶函数.

证 由已知F (x )是f (x )的一个原函数, 则'()()F x f x =

又因为f (x ) 是(-∞,+∞)内的连续的奇函数, 则

[]''()()()()

F x F x f x f x -=--=--=

于是

[]

'

()[()]'F x F x =-

即()()F x F x C =-+,故F (x )是偶函数.

9.设1

sin ()f x x 是的原函数, 求'()f x .

解 因为 1

sin ()f x x 是的原函数, 则

'

22

11111sin cos ()cos ()f x x x x x x ⎛

⎫=⋅-=-⋅= ⎪⎝⎭

'322321111

()cos (sin )()

1111

(2cos sin ).

f x x x x x x

x x x x =⋅--⋅-=-所以

习题 5－2

1. 求下列不定积分：

32

3

2

4222

(1) (21)d (2) d (2)(3) (1)(

1)d (4)

d 331

(5) d (6) d 11x x x x x

x x x x x

x x

x x x x x x x +--+-++++⎰

⎰

⎰

⎰

⎰

23262(7) (13)d (8) d 3

cos 2(9) cos d (10) d 2sin cos 1sin (11) d (12) cot (c sin x x x x

x

e x x x x

x x

x x x x x x --+-⎰⎰

⎰⎰

⎰22sc sin )d 1cos 1

(13) (1)d (14)d cos 21x x x

x x x x x

x x -+-+⎰

⎰⎰

解 423

33(1)(21)d .

4x x x x x x C +-=+-+⎰

3

122

1113

2

2

2

22

32322

2222422(2)

d d 2.

2

(3) 1)d (11)d .3

(2)14

442(4) d d ln .

11

1

(5)

d d (1)d arctan .111331(6) 1x x

x

x

C x x

x x x

x x x x C x

x x x x C x x x x

x x x x x x x x x C x x x x x x -

-

-==-++-=+-

-=

-+-⎛⎫=-+=+-+ ⎪⎝⎭+-==-=-+++++++⎰

⎰

⎰

⎰⎰

⎰⎰

⎰

⎰23

2

1d (3)d arctan .1x x x x x C x =+=+++⎰

(7) (13)d (3)d x x x x e x e e x ⎡⎤-=-⎣⎦⎰

⎰