开平方的计算

在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用计算器。

而在解题时用的最多的是利用分解质因数来解决。

如化简√1024，因为1024=2^10,所以。

√1024=2^5=32；又如√1256=√（2^3*157）＝2*√(2*157）＝2√314.
如果想用笔算求算术平方根，在初二代数中讲完平方根后，有一个附录，讲得很详细。

以下的介绍不知能否讲清楚：
比如求√37625.(如图）
①将37625从个位起，向左每两位分一节：3,76,25
②找一个最大的数，使它的平方不大于第一节的数字，本题中得1(1的平方为1,而2的平方为4,大于3,所以得1）.把1写在竖式中3的上方。

③将刚才所得的1平方写在竖式中3的下方,并相减，然后将76移写在本行（如图）
④将前面所得的1乘20,再加一个数a,写在竖式的左方（如图），并同时把a 写在竖式的上方对准6。

而这个所谓的a，是需要试验的，使它与（20+a）的积最大且不超过276.本题中所得的a为9
⑤用9乘29,再用276减去，所得的差写在下方
⑥继续反复运用步骤④和⑤。

如果后面的数字不足，则补两个0,继续运算。

如果最后的余数是0,则该数的算术平方根是有理数；如果被开方数是小数，小数部分在分节的时候是从十分位起，每两位小数分一节。

（附图中的虚线方框为制图时所产生，又竖式中最后的余数应是2779）
手算开平方和开立方的方法
2011-01-14 17:58
手算开平方和开立方的方法
1)开平方Extracting Square Root
写出被开方数，从小数点起向左和向右每隔两位分段，并在段的上方打点作记号。

左边加一竖线，右边加一个左括号。

从左段起求最大平方数，将方根写在括号右边，同时也写在竖线左边。

然后在第一段下边写平方数，减去此平方数。

写出减的结果，并将被开数第二段移下来，两者合并作为新被除数。

此时竖线左边第二行（对齐新被除数）写出刚刚得的根乘2后再乘10的积作为新的除数（预留出个位的空白），将它去试除新被除数，所得的商填到除数的个位空白处，最终一起去除被除数，此时落实的商写在括号后已得根的后面。

除数与商的积写在被除数的下方，然后相减，继续此步骤直到所有的分段都移下，包括小数点后两位两位彺下移。

如果除不尽，余数后面可再补两个零，继续到所需位数。

2)开立方Extracting Cube Root：
原理: 从小数点起每3位分段
方法
1、数m开n次方，n位一节为一根，前根均作a, a后需求的根均作b；前根a的位数不断增长，后根b永远作一位根视；直至开尽或开至所需要的位数。

2、首位a根用1～9内n方诀直接确定，【随后就无a根系列的事了；或用双根或多
位根作a；即将约小于被开数的乘方数的幂底整数值作为a根，再求b=x】b根用“标准固律方程式”或“简易求b方程式”求。

原理
正向乘方式：m=（a+b）n=an+bn+s【s根据n的数字而定值，n为上标，文本网显示不出来，希理解。

因没有设置“上下标功能”或没有安装“公式编辑器”所致，特说明。

】逆向开方时：m－an=bn+s=xn+s；m－an－bn=s；
如二次方的s=2ab；
三次方的s=3abD【D=a+b】
五次方的s=5abD（D2－ab）【D=a+b；前面的2为上标，特说明。

】
其它任意次方的固律参数照推【本文不介绍，望理解】。

即：bn=m－an－s=c－s【c为可知数，s、bn为潜态可知数】正规解法与过程可看原正规文：《关于“连续统假设”的“算术公理的无矛盾性”证明》中的lan3《高方直开法与直开式的方程解》篇。

例如：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）= m=a3+b3+3abD【D=a+b】所以：（a+b）3=m=a3+b3+3abD【D=a+b】〖注：3为上标。

特说明。

〗
其他任意高次方的转换方式理同最简单、用式最短的三次方原理实用式记法。

但m开3次方时，这个原公式帮不上忙了，即必须进行转换。

因此成：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）=m= a3+b3+3abD【D=a+b】，而后面转换成为m=a3+b3+3abD【D=a+b】，则m开方时就有同二次方一样的公式[求根式]可用了，在任意高次方中理同二次方无异。

也即在实际开高次方或无穷大指数〖上标数〗时，或高次方程的运算过程中【注意：求b=x根就是科学上的各种一元n次方的标准方程式】，《结构数学》都将现代数学式中的式子按照“结构原理”进行了处理与转换，使它都按照统一规律形式的规律型公式去表达，目的：便于快速简洁的进行运算，并符合“算术公里的无矛盾性标准”。

注意
m=（a+b）2=a2+b2+2ab=aa+bb+2ab；这个2ab就是二次方的S；所以二次方都会解！
而：
m=（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=aaa+bbb+3aab+3abb=a3+b3+3ab（a+b）=
a3+b3+3abD【D=a+b】；这个3abD就是三次方的S；懂此者就如同二次方一样都会解！
又如，m=（a+b）5=a5+b5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4= a5+b5+5abD(D2-ab)
五次方的S=5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4。

而这些3ab（a+b）=3abD=S；5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4=S，这个S就是高次方程解的奥秘。

在无穷大次方中，你知道了S，那么高次方的解同二次低方解的S=2ab的方式、方法没有任何区别的简单的不值一文钱了，也没有任何解的障碍或称为难题的必要了。

公式X_(n+1)={X_n+[A/(X^（k-1）-X_n]1/k}
公式X_(n+1)={X_n+[A/(X^（k-1）-X_n]1/k}"_"表示下角标，“^”表示上角标。

例如，X^2,表示x的平方；X_1表示第一个X。

例如，A=5，k=3.
公式：X(n+1）=Xn+（A/Xn^2-Xn）1/3
5介于1^3至2^3之间（1的3次方=1，2的3次方=8）
?
X_0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。

例如我们取2.0.按照公式：
第一步：X_1={2.0+[5/(2.0^2-2.0]1/3=1.7.}。

输入值大于输出值，负反馈；
?
即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，0.75×1/3=0.25，
2-0.25=1.75，取2位数值,即1.7。

第二步：X_2={1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71}.。

输入值小于输出值，正反馈；
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，
1.7+0.01=1.71。

取3位数，比前面多取一位数。

第三步：X_3={1.71+[5/(1.71^2-1.71]1/3=1.709}。

输入值大于输出值，负反馈
第四步：X_4={1.709+[5/(1.709^2-1.709]1/3=1.7099}.输入值小于输出值，正反馈；
这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。

X_4=1.7099.
当然也可以取1.1，1.2，1.3，。

1.8，1.9中的任何一个。

开平方公式
X（n + 1）= Xn + (A / Xn ? Xn)1 / 2.。

（n，n+1与是下角标）
例如，A=5：
5介于2的平方至3的平方;之间。

我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。

第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；
即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。

第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；
即5/2.2=2.27272， 2.27272-2.2=-0.07272，-0.07272×1/2=-0.03636，2.2+0.03636=2.23。

取3位数2.23。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.2421525，,2.2421525-2.23=0.0121525，,0.0121525×1/2=0.00607，,2.23+0.0 06=2.236.，取4位数。

每一步多取一位数。

这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。