狭义相对论量子力学4——保守势的狄拉克方程
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保守势的狄拉克方程
Guoyuan Lu April 10, 2020
1 狄拉克方程
假设:高速运动的电子的波函数的演化满足狄拉克方程:
i
∂Ψ =
cα · p + βmc2 + V (r, t)
Ψ.
∂t
其中α 和 β 是 4 × 4 矩阵,具体为 αi = Ψ在狄拉克-泡利表象中是 4 × 1 的矩阵。
0 σi σi 0
,β=
I0 0 −I
(1) ;而
2 狄拉克方程的连续性方程
定理:狄拉克方程对应的连续性方程为:
∂ρ
+ ∇ · J = 0.
(2)
∂t
其中ρ = Ψ†Ψ 称为概率密度,而J = cΨ†αΨ称为概率流密度,其定义同保
守势的情况。
证明:从狄拉克方程(??)和它的共轭形式出发则:
i
∂Ψ ∂t
=
−ic
α· ∇Ψ + mc2βΨ + V (r, t) Ψ
,
−i
∂Ψ† ∂t
=
ic
∇Ψ† · α† + mc2Ψ†β† + V (r, t) Ψ†
,
用Ψ† 左乘第一式, 用Ψ右乘第二式则:
i
Ψ†
∂Ψ ∂t
= Ψ†
−ic
α· ∇Ψ + mc2βΨ + V (r, t) Ψ
,
−i
∂Ψ† ∂t
ψ
=
ic ∇Ψ† · α† + mc2Ψ†β† + V (r, t) Ψ†
Ψ.
上面两个方程相减则:
i
Ψ†
∂Ψ ∂t
+
Ψ
∂Ψ† ∂t
= −ic
Ψ† α· ∇Ψ + ∇Ψ† · α†Ψ +mc2 ψ†βΨ − Ψ†β†Ψ ,
利用结果α† = α, β† = β
∂ ∂t
Ψ†Ψ
=
Ψ†
∂Ψ ∂t
+
Ψ
∂Ψ† ∂t
∇ · Ψ†αΨ = Ψ† α· ∇Biblioteka Baidu + ∇Ψ† · αΨ 则:
1
i
2
∂ ∂t
Ψ†Ψ
= −ic ∇ ·
Ψ†αΨ
.
现在定义概率密度ρ和概率流密度J :
J = cΨ†αΨ
ρ = Ψ†Ψ 则得到:
∂ρ ∂t
+
∇
·
J
=
0.证毕。
注意:这里定理的概率密度是非负的,因为Ψ=[a, b, c, d]T , Ψ†=[a∗, b∗, c∗, d∗]则ρ=Ψ†Ψ=a∗a+b∗b+c∗c+
Guoyuan Lu April 10, 2020
1 狄拉克方程
假设:高速运动的电子的波函数的演化满足狄拉克方程:
i
∂Ψ =
cα · p + βmc2 + V (r, t)
Ψ.
∂t
其中α 和 β 是 4 × 4 矩阵,具体为 αi = Ψ在狄拉克-泡利表象中是 4 × 1 的矩阵。
0 σi σi 0
,β=
I0 0 −I
(1) ;而
2 狄拉克方程的连续性方程
定理:狄拉克方程对应的连续性方程为:
∂ρ
+ ∇ · J = 0.
(2)
∂t
其中ρ = Ψ†Ψ 称为概率密度,而J = cΨ†αΨ称为概率流密度,其定义同保
守势的情况。
证明:从狄拉克方程(??)和它的共轭形式出发则:
i
∂Ψ ∂t
=
−ic
α· ∇Ψ + mc2βΨ + V (r, t) Ψ
,
−i
∂Ψ† ∂t
=
ic
∇Ψ† · α† + mc2Ψ†β† + V (r, t) Ψ†
,
用Ψ† 左乘第一式, 用Ψ右乘第二式则:
i
Ψ†
∂Ψ ∂t
= Ψ†
−ic
α· ∇Ψ + mc2βΨ + V (r, t) Ψ
,
−i
∂Ψ† ∂t
ψ
=
ic ∇Ψ† · α† + mc2Ψ†β† + V (r, t) Ψ†
Ψ.
上面两个方程相减则:
i
Ψ†
∂Ψ ∂t
+
Ψ
∂Ψ† ∂t
= −ic
Ψ† α· ∇Ψ + ∇Ψ† · α†Ψ +mc2 ψ†βΨ − Ψ†β†Ψ ,
利用结果α† = α, β† = β
∂ ∂t
Ψ†Ψ
=
Ψ†
∂Ψ ∂t
+
Ψ
∂Ψ† ∂t
∇ · Ψ†αΨ = Ψ† α· ∇Biblioteka Baidu + ∇Ψ† · αΨ 则:
1
i
2
∂ ∂t
Ψ†Ψ
= −ic ∇ ·
Ψ†αΨ
.
现在定义概率密度ρ和概率流密度J :
J = cΨ†αΨ
ρ = Ψ†Ψ 则得到:
∂ρ ∂t
+
∇
·
J
=
0.证毕。
注意:这里定理的概率密度是非负的,因为Ψ=[a, b, c, d]T , Ψ†=[a∗, b∗, c∗, d∗]则ρ=Ψ†Ψ=a∗a+b∗b+c∗c+