喀兴林高等量子力学习题6、7、8
量子力学练习题
量子力学练习题1、若?F 、?G均为厄米算符，则??F G 也为厄米算符（） 2、不同定态的线性叠加还是定态（） 3、若?A 与?B 对易，且?B 与?C 对易，则必有?A 与?C 对易（） 4、若两力学量算符?F 与?G 对易，则在任意态中，它们都有确定的值（）5、所谓全同粒子就是指所有性质均相同的粒子（）6、归一化波函数的模方2|(,)|r t ψ 表示时刻，r处粒子出现的概率（） 7. 设为()n x ψ一维线性谐振子的归一化波函数，则有*?()()nn x p x dx ∞-∞ψψ=?；*1?()()n n x px dx ∞+-∞ψψ=?8、称为隧道效应； 9、在2?L 和?z L 的共同本征态lmY 中，22??x y L L = 10、氢原子处于03232020(,)ra A r e Y θ?-ψ=态，则其最可几半径r =11、Planck 的量子假说揭示了微观粒子能量的特性。
12. 两个角动量11j =、212j =耦合的总角动量J = 和13. 量子力学几率守恒定律的微分形式和积分形式分别为14. 本征值方程的特点是什么？15. 全同性原理是16. 已知?d F x dx+=+，?d F x dx-=-，求??[,]?F F +-= 17. 求??[,()]?xf p = 18. 如果电子的质量、电荷和加速电压分别为m 、-e 、U ，则其德布罗意波长。
19.若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加Ψ= C 1Ψ1 + C 2Ψ2 + ...+ C n Ψn + ... (其中 C 1 , C 2 ,...,C n ,...为复常数)也是体系的一个可能状态。
（） 20.设氢原子处于态求氢原子的能量、角动量平方、角动量z 分量取值的情况和相应的概率P 以及各力学量的平均值。
()()()()()1101111,,,,22r R r Y R r Y ψθ?θ?θ?-=-221、简述量子力学的主要基本假定。
高等量子力学试题库
高等量子力学试题库一、简述题1. (§1.4)试以一维线性谐振子基函数所构成的空间为例，说明一般矢量空间的维数与位形空间维数的区别 2. (§2.4)试述幺正算符的性质 3. (§3.2)试述本征子空间的概念 4. (§3.3)试述厄米算符完备组的概念和建立厄米算符完备组的必要性 5. (§6.2)试述量子力学的基本原理 6. (§11)试述相互作用绘景与薛定谔绘景、海森伯绘景的区别和联系7. (§17.2)设氢原子的定态狄拉克方程为 ψψβαE r e mc P c =-+⋅)ˆ(212 ，为求氢原子哈密顿算符Hˆ 确切的本征矢量，试确定包含Hˆ在内的厄米算符完备组 8. (§19)若系统的哈密顿具有下列对称性（1）空间反演（2）空间平移（3）空间转动（4）SO(4)（5）时间平移，试分别给出这些对称性所带来的守恒量9. (§21.2)对于 Fermi 子，试讨论由时间反演引起的简并。
（提示：参阅曾书335页） 10. (§23)试述角动量耦合与3j ，6j 和9j 符号之间的关系11. (§23.7)对具有两个价电子的原子，设两电子的轨道和自旋角动量分别为21,L L 和21,S S，试在希尔伯特空间中给出两组可能的耦合基矢 12. (§34.4)试给出位置表象中的Hartree-Fock 方程并叙述其物理意义 二、证明题1. (§1.1)利用矢量空间的加法运算法则证明零矢量是唯一的2. (§1.1)利用矢量空间的数乘运算法则证明：若0=a ψ，则0=a 或0=ψ3. (§1.2)对于任意ψ和ϕ，试证：ϕψϕψ+≤+4. (§1.5)试证明：若三个右矢ψ、ϕ和χ满足χϕψ=+，则有χϕψ=+5. (§2.3)证明定理：在复矢量空间中，若算符A 对其定义域中的任意ψ满足0=ψψA ，则必有0=A6. (§2.4)证明定理：算符H 为厄米算符的充要条件是对其定义域中的所有矢量ψ满足=ψψH 实数7. (§2.4)证明：若I U U =+，则对任意ψ和ϕ，U 满足ϕψϕψ=U U ，进而证明，幺正变换不改变矢量的模8. (§2.4)设U 是幺正算符，试证明：在矢量空间中，若{}iν是一组基矢，则{iU ν也是一组基矢9. (§2.5)证明投影算符是厄米算符，并由全空间的投影算符证明基矢的完全性关系 10. (§3.1)证明：复空间中厄米算符的本征值都是实数11. (§3.1)证明：厄米算符属于不同本征值的两个本征矢量互相正交12. (§3.1)证明：若B A ,两算符相似，则二者有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度 13. (§6.6)设i a 是算符A 属于本征值i a 的本征函数，即满足i i i a a a A =，且定义物理量在状态ψ中的平均值为ψψA A =。
量子力学考试题
量子力学考试题量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。
（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。
（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。
（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ??ω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。
（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。
4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x</x5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。
已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
（i ）无自旋全同粒子。
（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。
量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。
力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。
（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。
（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ]则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων2241＝-ω21-ων241 E 2＝E2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝0sin 2a xa π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=?π x p ＝-i ?=a dx dx d011ψψ-i ?=aa x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=aaa x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?adx a x 02]sin π＝0+?=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
高等量子力学 教材 喀兴林 sakurai
《探究高等量子力学教材：以喀兴林（sakurai）为例》一、引言在物理学习的道路上，量子力学可谓是一道坎。
它的复杂性和抽象性，常常让学习者望而生畏。
然而，高等量子力学教材的选择对于学习者来说至关重要。
本文将以喀兴林（sakurai）为例，探讨高等量子力学教材的特点和价值。
二、丰富多彩的量子世界喀兴林以其严谨的逻辑和深度的物理内涵而著称，其中所阐释的量子理论更是广为学者所推崇。
在量子理论的世界中，我们能够领略到电子、光子、原子核及其它微观粒子的奇妙世界。
而喀兴林教材娴熟地展现了这一世界的精巧和美妙。
三、探究喀兴林教材的深度喀兴林教材以数学严谨而著称，其中不乏对于量子力学相关数学工具的深入探讨。
从线性代数到泛函分析，在阅读喀兴林教材的过程中，我们不仅能够更好地理解量子力学的物理内涵，而且还能够感受到数学在物理中的重要性。
四、喀兴林教材的广度与实用性除了深度之外，喀兴林教材在广度上也别具特色。
它不仅囊括了量子力学的基本原理和基础知识，还涵盖了许多前沿领域的最新进展。
这为学习者提供了一个更为完整的量子力学知识体系，能够更好地拓展学习者的视野和思维方式。
五、喀兴林教材的个人理解与观点在喀兴林教材的阅读和学习过程中，我迷恋于其中所蕴含的严密逻辑和博大精深的物理内涵。
我深信，只有通过深入学习这样一本高质量、深度和广度兼具的教材，才能够更好地领略量子力学的奥妙。
六、总结与回顾通过对喀兴林教材的全面评估和探究，我们更加全面、深刻地理解了量子力学这一高深领域。
喀兴林教材的独特特色，无疑为学习者提供了一个深入学习量子力学的重要途径。
总结：喀兴林教材作为高等量子力学教材的代表，在深度和广度上都有着突出的表现。
通过深入学习这样一本教材，我们能够更好地理解量子力学的奥秘，提升自己的物理素养和思维方式。
相信在未来的学习和研究中，喀兴林教材将为我们指引新的方向，开启新的视野。
七、喀兴林教材对量子力学学习者的启发喀兴林教材所展现的深度和广度，对于量子力学学习者而言，无疑是一种极大的启发和激励。
量子力学经典八十题(推荐版本)【含答案】
ψ
nxnynz
(x,
y,
z)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩0
8 abc ,
sin
nxπx a
sin
nyπ b
y
sin
nzπ c
z
, 0 < x < a,0 其余区域
<
y
<
b
,
0
<
z
<
c
n = 1, 2,3,""
9. 粒子在一维 δ 势阱
V (x) = −γ δ (x) (γ > 0)
中运动，波函数为ψ (x) ，写出ψ ′(x) 的跃变条件。
2
量子力学复习题答案（安徽大学）
( ) 解： L2 , L z 的共同本征函数是球谐函数Ylm (θ ,ϕ) 。
L2Ylm (θ ,ϕ) = l(l + 1)= 2Ylm (θ ,ϕ ) , LzYlm (θ ,ϕ ) = m=Ylm (θ ,ϕ)
15. 写出电子自旋 s z 的二本征态和本征值。
V (x)
=
−
n= 2 mx0 x
+
=2 2m
n (n −1) x2
10. 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 在 势 V (x) 作 用 下 作 一 维 运 动 。 假 定 它 处 在 E = =2α 2 的 能 量 本 征 态 2m
ψ
(
x)
=
⎛ ⎜ ⎝
α2 π
⎞1/ ⎟
4
e−γ
2x2
⎠
2，
（ a ）求粒子的平均位置； （ b ）求粒子的平均动量；
22. 使用定态微扰论时，对哈密顿量 H 有什么样的要求？
高等量子力学习题
吉林大学物理学院理论物理中心 高等量子力学习题† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ−Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
2、 令坐标系xyz O −绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R zeG 的矩阵表示。
3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n G转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψG =。
试导出转动算符),(θd n U G的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U G下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。
6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。
7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π=−=。
8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。
† 角动量理论1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。
2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
3、 定义角动量升降算符yx J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。
4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。
5、 设总角动量算符21J J J G G G +=，1J G 、2J G相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。
高等量子力学习题
高等量子力学习题高等量子力学习题量子力学中的对称性1、试证明：若体系在线性变换Q下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。
这里H ?为体系的哈密顿算符，变换Q不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。
进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
2、令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
3、设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
4、设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
5、证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。
6、试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。
7、试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π-=。
8、试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。
角动量理论1、角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。
2、试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
3、定义角动量升降算符yx J i J J ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。
4、给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。
5、设总角动量算符21J J J +=，1J 、2J相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。
6、利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：11332222221133111122332233221111212)1(1212)1(1212)1(32313m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j C j j C j j C j j C -+----+++-=++-=++-=7、已知在3?s表象中，=01102?1 s ，-=002?2i i s ，问在1?s 表象中2?s 的矩阵表示是怎样的？8、已知∑>>>=113322112211|||m m m j m j m j m j m j Cjm ，其中m m j j jm m j ''|''δδ>=<，1111''1111|''m m j j m j m j δδ>=<，2222''2222|''m m j j m j m j δδ>=<。
量子力学教程课后习题答案（doc）
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dvλλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThce kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThc λ ，则上述方程为x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=h v ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
高等量子力学喀兴林答案
高等量子力学喀兴林答案【篇一：量子力学】03 1309050325 吴富贤摘要:给出了不同学者关于量子力学态叠加原理的几种表述,分析比较了关于该原理的有关观点的争议,并对其中的原因进行了讨论，与此同时，也对量子力学在其它方面的应用进行了表述。
关键词:量子态;态叠加原理;量子力学基本问题；量子力学的应用。
一．引言：量子态的叠加原理是量子力学中一个重要的原理.但是在目前量子力学的一些专著和教科书中对这一原理的表述方式却是多种多样的,其中存在不少有争议的问题。
对一些有关的问题进行讨论,并提出一种新的关于这一原理的表述方式的建议。
同时量子力学是现代物理学的两大支柱之一,是20 世纪基础物理学取得的两大成就之一,是反映微观粒子运动规律的理论.量子力学态叠加原理(以下简称态叠加原理)是量子力学的一个基本原理,在量子力学理论体系中占有相当重要的地位.虽然量子力学诞生至今已近80年了,叠加原理也得到了一系列实验的证明,如电子衍射实验、中子干涉实验、电子共振俘获等,但时至今日,人们对态叠加原理的认识却仁者见仁、智者见智.本文对这个问题进行了比较、分析和讨论还对量子力学的应用和发展进行了一些研究。
二．正文：原理的表述在量子力学发展史上,尤其是现行的量子力学专著或教材里,不同的学者对态叠加原理进行了不同的描述.我们选择国内外3种比较典型的说法作一下简单介绍.（1）狄拉克的表述据说,狄拉克1930年在《量子力学原理》一书的初版里,首次系统地论述了量子力学里的态叠加原理.他在此书第一章“态叠加原理”里[4],先是正确地强调了态叠加原理的物理意义:“量子力学的叠加的一般原理,应用于任何一个动力学系统的态.”“把一个态表示成为一些其他态的叠加的结果,那是一种数学运算,总是可以允许的,??然而,这种运算是否有用,取决于所研究问题的特殊物理条件.” 可是,狄拉克接着是这样讲解“叠加过程的非经典本性”的:“我们考虑两个态a和b的叠加,这两个态的性质是??当观察处在态a的系统时,肯定得出一个特定的结果,比方说是a;而当观察处在态b的系统时,则肯定得出一个不同的结果,比方说是b.当观察处在叠加态的系统时??所得到的结果将有时是a,有时是b??而决不会既不是a,又不是b.”然而,狄拉克在这里讲的,不正是对于所有普通统计学都适用的规则吗?例如,一个年级有两个班,a班的年龄分布是集合{a},b班的年龄分布是另一个集合{b}.那么全年级的年龄分布不就是{a}与{b}这两个集合的和集吗?亦即是说,全年级任何一位同学的年龄,都决不会既不属于{a},又不属于{b}.这哪里是什么“非经典本性”呢?由于狄拉克在这里没有把握住量子力学里的态叠加原理的要领,在接下来的一句关于“由叠加而成的态的中间性质”的论断里,就难免出了点毛病[5,6].他自己也不得不为此加了一处脚注,承认他的结论没有普遍性,它的成立是“有一些限制”的.总而言之,在狄拉克书中的第一章里,还没有引入概率幅这个概念,因而不可能讲清楚量子力学里的态叠加原理.可以这样说,在这一章里,还没有进入到量子力学（2）朗道的表述（3）喀兴林的表述态叠加原理对态叠加原理的表述我们还可以列出许多.从这些不同表述中可以看出学者们关于以下几个方面的观点是一致的（1）关于态和态函数的表述基本上大多数人们都认为体系的态(运动状态或状态的简称)是指一个体系的每一种可能的运动方式,即在受到独立的、互不矛盾和完全的条件限制下而确定的每一种运动方式.与宏观体系的运动状态的确定是决定性的相对立,微观体系的运动状态的确定是非决定性的、统计性的,称微观体系的态为量子态.量子态由希尔伯特空间中的矢量表征,称为态矢量.希尔伯特空间又称为态矢量空间或态空间（2）态叠加原理的基本内容（3）量子叠加与经典、数学叠加的区别经典物理中也有叠加原理,例如波的叠加、矢量的叠加等,它们与量子力学里的态叠加原理形式上有相似之处,但实质内容不同.首先经典矢量叠加是物理量的叠加,遵循平行四边形法则;而态矢量无明显的物理意义,且完全由希尔伯特空间中的矢量方向决定,与矢量长度无关.经典波的叠加是两列或多列波的叠加,量子态叠加则是同一体系的两个或多个同时可能的运动状态的叠加.其次,量子态叠加也不同于数学上将体系的一个波函数按一个基函数完备组展开.后者要求基函数完备,但量子叠加不需要相叠加的波函数完备。
高等量子力学喀兴林答案
高等量子力学喀兴林答案【篇一：量子力学】03 1309050325 吴富贤摘要:给出了不同学者关于量子力学态叠加原理的几种表述,分析比较了关于该原理的有关观点的争议,并对其中的原因进行了讨论，与此同时，也对量子力学在其它方面的应用进行了表述。
关键词:量子态;态叠加原理;量子力学基本问题；量子力学的应用。
一．引言：量子态的叠加原理是量子力学中一个重要的原理.但是在目前量子力学的一些专著和教科书中对这一原理的表述方式却是多种多样的,其中存在不少有争议的问题。
对一些有关的问题进行讨论,并提出一种新的关于这一原理的表述方式的建议。
同时量子力学是现代物理学的两大支柱之一,是20 世纪基础物理学取得的两大成就之一,是反映微观粒子运动规律的理论.量子力学态叠加原理(以下简称态叠加原理)是量子力学的一个基本原理,在量子力学理论体系中占有相当重要的地位.虽然量子力学诞生至今已近80年了,叠加原理也得到了一系列实验的证明,如电子衍射实验、中子干涉实验、电子共振俘获等,但时至今日,人们对态叠加原理的认识却仁者见仁、智者见智.本文对这个问题进行了比较、分析和讨论还对量子力学的应用和发展进行了一些研究。
二．正文：原理的表述在量子力学发展史上,尤其是现行的量子力学专著或教材里,不同的学者对态叠加原理进行了不同的描述.我们选择国内外3种比较典型的说法作一下简单介绍.（1）狄拉克的表述据说,狄拉克1930年在《量子力学原理》一书的初版里,首次系统地论述了量子力学里的态叠加原理.他在此书第一章“态叠加原理”里[4],先是正确地强调了态叠加原理的物理意义:“量子力学的叠加的一般原理,应用于任何一个动力学系统的态.”“把一个态表示成为一些其他态的叠加的结果,那是一种数学运算,总是可以允许的,??然而,这种运算是否有用,取决于所研究问题的特殊物理条件.” 可是,狄拉克接着是这样讲解“叠加过程的非经典本性”的:“我们考虑两个态a和b的叠加,这两个态的性质是??当观察处在态a的系统时,肯定得出一个特定的结果,比方说是a;而当观察处在态b的系统时,则肯定得出一个不同的结果,比方说是b.当观察处在叠加态的系统时??所得到的结果将有时是a,有时是b??而决不会既不是a,又不是b.”然而,狄拉克在这里讲的,不正是对于所有普通统计学都适用的规则吗?例如,一个年级有两个班,a班的年龄分布是集合{a},b班的年龄分布是另一个集合{b}.那么全年级的年龄分布不就是{a}与{b}这两个集合的和集吗?亦即是说,全年级任何一位同学的年龄,都决不会既不属于{a},又不属于{b}.这哪里是什么“非经典本性”呢?由于狄拉克在这里没有把握住量子力学里的态叠加原理的要领,在接下来的一句关于“由叠加而成的态的中间性质”的论断里,就难免出了点毛病[5,6].他自己也不得不为此加了一处脚注,承认他的结论没有普遍性,它的成立是“有一些限制”的.总而言之,在狄拉克书中的第一章里,还没有引入概率幅这个概念,因而不可能讲清楚量子力学里的态叠加原理.可以这样说,在这一章里,还没有进入到量子力学（2）朗道的表述（3）喀兴林的表述态叠加原理对态叠加原理的表述我们还可以列出许多.从这些不同表述中可以看出学者们关于以下几个方面的观点是一致的（1）关于态和态函数的表述基本上大多数人们都认为体系的态(运动状态或状态的简称)是指一个体系的每一种可能的运动方式,即在受到独立的、互不矛盾和完全的条件限制下而确定的每一种运动方式.与宏观体系的运动状态的确定是决定性的相对立,微观体系的运动状态的确定是非决定性的、统计性的,称微观体系的态为量子态.量子态由希尔伯特空间中的矢量表征,称为态矢量.希尔伯特空间又称为态矢量空间或态空间（2）态叠加原理的基本内容（3）量子叠加与经典、数学叠加的区别经典物理中也有叠加原理,例如波的叠加、矢量的叠加等,它们与量子力学里的态叠加原理形式上有相似之处,但实质内容不同.首先经典矢量叠加是物理量的叠加,遵循平行四边形法则;而态矢量无明显的物理意义,且完全由希尔伯特空间中的矢量方向决定,与矢量长度无关.经典波的叠加是两列或多列波的叠加,量子态叠加则是同一体系的两个或多个同时可能的运动状态的叠加.其次,量子态叠加也不同于数学上将体系的一个波函数按一个基函数完备组展开.后者要求基函数完备,但量子叠加不需要相叠加的波函数完备。
高等量子力学习题和答案
高等量子力学习题和解答† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
解：设有线性变换Qˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。
在变换 ˆ(,)'(,)(,)r t r t Qr t ψ→ψ=ψ 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ˆ''ˆt ti Hi H ∂ψ=ψ∂ψ=ψ进而有11[,]0t t i Q HQ i Q HQ Q HQ H H Q --∂ψ=ψ⇒∂ψ=ψ⇒=⇒=2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
解：'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z zθθθθθ-=+=-+=考虑坐标系绕轴转角'1''x x yd d y xd y z z θθθ=+⎧⎪<<⇒=-+⎨⎪=⎩若用矩阵表示 '10'10'001x d x y d y z z θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭还可表示为 '()z e r R d r θ=10()10001z e d R d d θθθ⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符()z e U d θ利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψ 可得 ()1z e z iU d d L θθ=-通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符()lim(1)z z i L n e z n i U L e nθθθ-→∞=-=绕任意轴n 转θ角的转动算符为()in Ln U eθθ-⋅=1U U U -+=⇒ 为幺正算符若(')()()z e r U d r θψ=ψ则必有1(')()()()()[,]z z e e z H r U d H r U d iH r d H L θθθ-==+若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
高等量子力学习题
⾼等量⼦⼒学习题⾼等量⼦⼒学习题1、对于⼀维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作⽤是()()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。
设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x ei pa a D -=??= exp 。
2、当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。
3、若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。
4、给定算符B A ,，证明[][][]....,,!21,+++=-B A A B A B Bee AAξξ。
5、给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。
证明Glauber公式CA B C BA BA ee e ee e e2121==-+。
6、设U 为⼳正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满⾜122=+B A 和[]0,=B A 。
试找出A 和B ，并证明U 可以表⽰为iH e U =，H 为厄密算符。
7、已知⼆阶矩阵A 和B 满⾜下列关系：02=A ，1=+++AA A A ，A A B +=。
试证明B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。
8、对于⼀维谐振⼦，求湮灭算符a的本征态，将其表⽰为谐振⼦各能量本征态n 的线性叠加。
已知1?-=n n n a 。
9、从谐振⼦对易关系[]1,=+a a 出发，证明a e ae eaaaa λλλ--=++。
10、证明谐振⼦相⼲态可以表⽰为0*aa eααα-+=。
11、谐振⼦的产⽣和湮灭算符⽤a 和+a 表⽰，经线性变换得++=va ua b 和++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满⾜关系122=-v u 。
试证明：对于算符b 的任何⼀个本征态，2=p x 。
12、某量⼦体系的哈密顿量为，()223235++++=a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡+++a a aaa a 。
喀兴林高等量子力学习题6、7、8
练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}ia 展开的（6.1）式中，证明若ψ是归一化的，则1=∑*iii cc ，即A 取各值的概率也是归一化的。
（杜花伟）证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。
根据(6.1)式∑=ii ic aψ, ψi i a c =可得1===∑∑*ψψψψi ii i ii a a c c即A 取各值的概率是归一化的。
#练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变.(2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美）(1)证明：在定态中i E i H i = , 3,2,1=i 则()t E i i i i t-=ψ所以i A i ei A e A t E i t E i i i ==-ψψ.即所有物理量的平均值不随时间变化.(2)两个定态的叠加不一定是定态.例如()()()t E i t E i ex v ex u t x 21,--+=ψ当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. #6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立：)(]),([)()](,[X f X i P X f P f Pi P f X ∂∂=∂∂=（解答：陈玉辉 核对：项朋）证明：（1）)()()()()()()()()](,[P f Pi P i P f P i P f P f P i Pi P f P f P i X P f P Xf P f X ∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=-=ψψψψψψψψψ所以 )()](,[P f Pi P f X ∂∂=（2）)()()())(())(()()())(()()(]),([X f Xi X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ∂∂=∂∂--∂∂--∂∂-=∂∂--∂∂-=-= ψψψψψψψψψ所以 )(]),([X f Xi P X f ∂∂=#练习6.4 下面公式是否正确？（解答：陈玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f Pi P X f X ∂∂= 解：不正确。
量子力学考试试题(附答案)
量子力学考试试题（附答案）1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos 222ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=>（a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件()222222222331coscos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262ikx ikx ikx ikx LLx x x dx Ae Ae dx L Lx x A e e dxL L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞∞-∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰于是：A =(b)()224406sin 0.196926LL A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r m i mi J e r t f r t r Et i Et i Et iEt i Etiψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（， 可见t J 与无关。
4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式 22sin 2c θλλλ'-=其中：120 2.43102ch m m cλ-==⨯可得：1212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλλ---''-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 01212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλ---'-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯122.21510m λ-=⨯。
(完整版)量子力学期末考试题及解答
一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答：由波函数的概率波解释可知，当(),r t ψ已经归一化时，坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== （1） 将上式的两端分别对时间t 求偏微商，得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ （2） 若位势为实数，即()()V r V r *=，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ （3）()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ （4） 将上述两式代入（2）式，得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ （5） 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ （6） 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ （7） 此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。
2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。
解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰（1）利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ （2） 可以得到归一化常数为C = （3）坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- （4）由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= （5） 知()w x 有五个极值点，它们分别是 10,,x α=±±∞（6）为了确定极大值，需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- （7）于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 （8）()220x d w x dx =±∞= 取极小值 （9）()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 （10）最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11）3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。
喀兴林高等量子力学习题EX（docX页）
练习31.1 证明)(b a 与)'(b a 的对易关系（31.4）和)(b a 与)'(b a +的对易关系（31.6）式。
0)()'()'()(=-b a b a b a b a ε （31.4）0)()'()'()(=-++b a b a b a b a ε （31.6）（解答：熊凯 ； 校对：李泽超）证明：将)'()(b a b a 和)()'(b a b a 分别作用在n 粒子基左矢νγβαb b b b n ....;上νγβανγβανγβαεbb b b bb n n n b b b bb b n n n b a b a b b b b n ....';2)2)(1(....';2)2)(1()'()(....;+++=+++= (1)νγβανγβαb b b b bb n n n b a b a b b b b n ....';2)2)(1()'()(....;+++= (2)由)2()1(ε-得：0)()'()'()(=-b a b a b a b a ε（2）将)'()(b a b a +与)()'(b a b a +分别作用在右矢νγβαb b b b n ....;上μγβανγαβνγβανγβανγβανγβαδεδεεδδb b b b b n b b b b b b n b b b b b b n b b b b b b n b b b b b b b n b a n b b b b n b a b a v n ....';)(........';)(....';)(....;)'(....';1)(1....;)'()(2-++-+-+-=++=+ （3）μγβανγαβνγβαμγβνβαγνγαβνγβανγβαδεεδδδεδεεδδb b b b b n b b b b b b n b b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b nb a b b b b n b a b a v n v n ....';)(........';)(....';)(]....;1)(........;1)(....;1)(....;1)([1)'(....;)()'(112-++-+-=--++--+--+--=--++ （4）由)4()3(ε-得：)'()()'()'()(b b b a b a b a b a -=-++δε □练习31.2 计算下列对易关系：)]()'()'()(),()([b a b a b a b a b a b a +++ )]()'()'()(),'()'([b a b a b a b a b a b a +++（解答：熊凯 ； 校对：李泽超）解：（1）令)()()(b a b a b N +=为处于b 态的占有数算符由（31.10）、（31.11）两式可得：)'()()](),([b b b a b a b N -=++δ （31.10） )'()()](),([b b b a b a b N --=δ （31.11）)'()]()'()'()([)'()'()()'()()'()'()]'(),([)]'(),()['()]'()'(),([)]'(),([=--=-+--=+==+++++++b b b a b a b a b a b b b a b a b b b a b a b a b a b N b a b N b a b a b a b N b N b N δδδ从上式可以看出当'b b =时中括号为0，'b b ≠时δ函数为0，所以上式为零 因为：)()]'(),()[()()]'()'(),()()[()()]'()'(1),()(1)[()()]'()'(),()()[()()]()()'()'()'()'()()()[()()()()'()'()()()'()'()()()()]()'()'()(),()([22===++==-=-=++++++++++++++++++++++++b a b N b N b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a εεεε上式中第四步计算用到了（31.6）式∴ 0)]()'()'()(),()([=+++b a b a b a b a b a b a(2))}'()'()()()'()'(){'()}'()'()()'()()'()'()'({)}'()'()'()()()'()'()'({)]}(),'()['()()()'()](),'({[)]}()'(),'()[()()'()](),'({[)]()'()(),'([)]()'()'()(),'([)]()'()'()()(),'([)]()'()'()()()(),'([)]())'()'(1)((),'([)]())'()'()''()((),'([)]()'()'()(),'()'([b a b N b a b a b N b a b b b a b N b a b b b a b N b a b b b b b a b N b a b a b N b b b a b a b N b N b a b a b N b a b N b a b N b N b a b a b N b a b N b a b N b a b N b a b a b a b a b N b a b a b a b a b N b N b a b a b a b a b a b a b N b a b a b a b a b N b a b a b a b b b a b N b a b a b a b a b a b a +++++++++++++++++++++++++--=---=---=+=+===+=+=+=+-=εδδδεδδεεεεεεεεεδ从上式可以看出：当'b b =时括号为0，'b b ≠时δ函数为0，所以上式为0∴0)]()'()'()(),'()'([=+++b a b a b a b a b a b a□练习31.3 讨论全同粒子的自旋态，设自旋为1/2的粒子的单粒子z S 的本征矢量为>>βα||和，相应的本征值为2/2/ -+和；ββααa a a a ,,++和分别是α态和β态的产生和消灭算符。
量子力学习题以及课堂练习答案
一.微观粒子的波粒二象性1、在温度下T=0k 附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，求其德布罗意波长。
2、求与下列各粒子相关的德布罗意波长。
（1）能量为100电子伏特的自由电子；（2）能量为0.1电子伏特的自由中子；（3）能量为0.1电子伏特，质量为1克的自由粒子； （4）温度T=1k 时，具有动能kTE 23=的氦原子，其中k 为玻尔兹曼常数。
3、若电子和中子的德布罗意波长等于oA 1，试求它们的速度、动量和动能。
4、两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两电子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？5、设一电子为电势差U 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000oA （可见光）o A 1（x 射线），oA001.0（γ射线）时，加速电子所需的电势差各是多少？二.波函数与薛定谔方程1、设粒子的归一化波函数为 ),,(z y x ϕ，求 （1）在),(dx xx +范围内找到粒子的几率；（2）在),(21y y 范围内找到粒子的几率； （3）在),(21x x 及),(21z z 范围内找到粒子的几率。
2、设粒子的归一化波函数为 ),,(ϕθψr ，求：（1）在球壳),(dr rr +内找到粒子的几率；（2）在),(ϕθ方向的立体角Ωd 内找到粒子的几率； 3、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）Eti ix Eti ix ex ex t x---+=ψ)()(),(211ψψ[])()(21x x ψψ≠（2）tE i t E i ex ex t x 21)()(),(2--+=ψψψ)(21E E ≠（3）EtiEti ex ex t x)()(),(3ψψ+=ψ-4、对于一维粒子，设 xp i o e xπψ21)0,(=，求 ),(t x ψ。
5、证明在定态中，几率密度和几率流密度均与时间无关。
6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。
喀兴林高等量子力学习题EX5
喀兴林高等量子力学习题EX51. 问题描述在量子力学中，我们经常需要求解不同自由度的粒子的能量本征值和本征函数。
在这个练习中，我们将研究一个简化的模型：一维势阱中的粒子。
具体而言，我们将考虑一个无限深势阱，其势能函数为：$$ V(x) = \\begin{cases} 0, & 0 < x < L \\\\ +\\infty, &\\text{其他} \\end{cases} $$我们的任务是求解该体系的能量本征值和本征函数。
2. 解析解对于一维无限深势阱，我们可以通过解薛定谔方程来求解其能量本征值和本征函数。
薛定谔方程为：$$\\hat{H}\\psi(x) = E\\psi(x)$$其中，$\\hat{H}$ 是哈密顿算符，$\\psi(x)$ 是波函数，E 是能量本征值。
在一维无限深势阱中，势能函数为E(E)=0，因此薛定谔方程可以简化为：$$\\frac{{d^2\\psi}}{{dx^2}} = -\\frac{{2m}}{{\\hbar^2}}E\\psi(x)$$在边界条件$\\psi(0) = \\psi(L) = 0$下，我们可以得到解析解：$$\\psi_n(x) =\\sqrt{\\frac{{2}}{{L}}}\\sin\\left(\\frac{{n\\pi}}{{L}}x\\rig ht), \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots$$对应的能量本征值为：$$E_n = \\frac{{n^2\\pi^2\\hbar^2}}{{2mL^2}}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots$$3. 数值解除了解析解外，我们还可以使用数值方法来求解一维无限深势阱的能量本征值和本征函数。
在量子力学中，我们通常使用波函数的离散形式来表示一个粒子的状态。
在一维势阱中，我们可以通过离散化空间来得到一个离散的网格，然后使用差分法来近似薛定谔方程。
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练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}ia 展开的（6.1）式中，证明若ψ是归一化的，则1=∑*iii cc ，即A 取各值的概率也是归一化的。
（杜花伟）证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。
根据(6.1)式∑=ii ic aψ, ψi i a c =可得1===∑∑*ψψψψi ii i ii a a c c即A 取各值的概率是归一化的。
#练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变.(2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美）(1)证明：在定态中i E i H i = , 3,2,1=i 则()t E i i i i t-=ψ所以i A i e i A e A t E i t E i i i ==-ψψ.即所有物理量的平均值不随时间变化.(2)两个定态的叠加不一定是定态.例如()()()t E i t E i ex v ex u t x 21,--+=ψ当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. #6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立：)(]),([)()](,[X f X i P X f P f Pi P f X ∂∂=∂∂=（解答：玉辉 核对：项朋）证明：（1）)()()()()()()()()](,[P f Pi P i P f P i P f P f P i Pi P f P f P i X P f P Xf P f X ∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=-= ψψψψψψψψψ所以 )()](,[P f Pi P f X ∂∂=（2）)()()())(())(()()())(()()(]),([X f Xi X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ∂∂=∂∂--∂∂--∂∂-=∂∂--∂∂-=-= ψψψψψψψψψ所以 )(]),([X f Xi P X f ∂∂=#练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f Pi P X f X ∂∂= 解：不正确。
因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 #练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=⋅=⋅L X ,L P （2）[]0=⋅P X L,（3）()()P X X P P X P X L ⋅-⋅⋅-= i 2222证明： （1）∑∑∑∑===⋅ijkk j i ijk k j jkijkiiiii P X P P X P L P εεL P由于⎪⎩⎪⎨⎧=-==其他情况,,,,,,,032121313213122311231ijk ijk ijkε且k j i P X P ，，是相互对易的，所以0＝∑=⋅ijkk j i ijkP X P εL P∑∑∑∑===⋅ijkk j i ijk k j jkijk ii ii i P X X P X X L X εεL X ，同上面的过程可以得到0=⋅L X（2）先计算：[][]l l k j jkijk l jkll l k j ijk i P X P X P X P X L ,,P X ,∑∑∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅εε由于[]ij j i i P X δ =,。
将上式展开可以得到：[]0=⋅P X ,i L ，再利用相同的道理可以推出：[]0=⋅P X L,（3）证明：23232223212323222222212223212221212123222123222122p x p x p x p x p x p x p x p x p x p p p x x x P X ++++++++=++++=))(()())((323322331133332222221122331122111211x p x x p p x x p p x x p p x x p x x p p x x p p x x p p x x p x X P P X ++++++++=)(33221122p x p x p x i P X i ++=1212211212212121313113313113131323233223233232322p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x L +--++--++--=利用公式ij j i i p x δ =],[2332211332211332211232332332222222221211211332211323322221211232322222121222=+++---=+++-+-+-=++++++---=++-)()()()()(())((p x p x p x i p x i p x i p x i p x p x p x i p x x p x p x x p x p x x p x p x p x p x i x p x x p x x p x p x p x p x PX i X P P X P X L即得证！#6.6 试仿照w p x )(3的计算方法，计算w xp )(和w p x )(22。
（高召习）解：由Weyle 规则，将物理量的经典式A(x ，p)写成ηξ和为变量的傅里叶积分ηηξξηξd e a A(x,p)pi x i +∞∞-∞∞-⎰⎰=),(d （1）将积分中指数上的x 和p 改为对应的算符X 和P 。
所得结果即为与A(x ，p)对应的算符式A （X ，P ）ηηξξηξd e a d A(X,P)P i X i ⎰⎰∞∞-+∞∞-=),( （2）首先计算（1）式中A(x ，p)的傅里叶变换),(ηξA ,取A(x ，p)为mn p x ，则有dp e p x A dx a pi x i ⎰⎰∞∞-∞∞---=ηξπηξ),()(),(221 （3） 对于mnp x 有)()()()(),(ηδηξδξηξππηξηξηξmnpi mx i np i x i m n i i dxdp e i e i dxdp e p x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==----⎰⎰⎰⎰222121 (4) 对于xp ，n=1,m=1,将此式代入（2）得)()()()()()()()()(),(PX XP i XP d i x XP e d P e i d d ee e i i d d e i i xp P X x i x i i p i x i pi x i w +=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==⎰⎰⎰⎰⎰⎰+2121212121A 21ξξξδξξξξδηξηδηξδξηξηδηξδξξξξηηξηξ即)(21 =PX XP (xp)w +对于22p x ，n=2，m=2，将此式代入（2）得)(])([)()()()()()(),(222222222122222261X P PXPX P PX X XP XPXP P X d d e e i e i d d e e e i i d d e i i p x P X A p i x i x i i p i x i pi x i w +++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==⎰⎰⎰⎰⎰⎰+ξηηηδξξδηξηδηξδξηξηδηξδξηξξξηηξηξ即)()(2222222261X P PXPX P PX X XP XPXP P X p x w +++++= #练习6.7 证明)(p x m n W的一般公式：)21()()(=+∂∂-=ξξξ P i X p x mnWm n并利用此式计算)(p x mnW。
（解答：田军龙 审核：邱鸿广）证明：ηξηδξδηξηξd d mnei i p x Pi X i mnW+∂∂⎰⎰∂∂=)()()()()(ηξηδξδξηηξηξd d ee ei i i Pi Xi mn 21)()()()(∂∂⎰⎰∂∂=ξηηδξδξηηξηξd de e i e ii P i mX i nmn ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎰∂∂∂∂⎰-+)()()(21)()()1( ξξδξξξd Pe i mXi nmn ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=--∂∂⎰-+)21()()1()( ξξδξξξd X i i P e n m m n ⎰∂∂---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+)()()21()1(ξξδξξξd P e i m X i n n ⎰+∂∂-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)21()()1()( 0)21()(=+∂∂=ξξξξ P e i mXi n)21()(=+∂∂-=ξξξ P i X mn)(81)(22222222222323XPX X XP PX X XP X PXPXPX PX P XX P XP PXP W +++++++=#练习6.8 （梁端） 解：()()n nBnPX P X px +=21 因为： []0,=P X所以： ()P X px n Bn=欲求： ()wnpx 则：()()⎰⎰--=dxdp pe x a p i x i n ηξπηξ221, =()dxdp e i e i p i x i nηξηξπ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎰⎰221=()()ηδηξδξ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂i i n所以： ()()()()ηξηδηξδξηξd d ei i P X px Pi X i nwn+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=A =⎰⎰, =()()ηξηδηξδξηξd d e e i i P i X i n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎰⎰=()()()ξηηηδξξδηξd d e i e i P i X i n⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎰⎰21 =()()[]ξξξδξd e P i Xi n-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎰因为： []0,=P X ()()[]P X P X n n px n n wn=++=111故： 在条件[]0,=P X 下()()wnBnp x px =#练习6.9 一般认为一个正确的对应关系应满足：经典量f 的算符对应的平方，应当与经典2f 的对应相同。