数理统计习题集-抽样分布

(3) 称样本的函数为统计量，但此函数中不能含有未知参数. 所以 T1，T4 是统计量. T2，T3 不是统计
量.
1n
3
(4) X = n
Xi
=
, 5
i=1
S2 = 1 n−1
n
(Xi − X)2
=
3 ,
10
i=1
Fn(x)
=
02, 15,,
x < 0, 0 ⩽ x < 1, x ⩾ 1.
♢
题 5. 设样本量为 10 的样本的观测值为
··· ...
ρ ...
ρ ρ ··· 1
设Y
=
AX ,
其中正交阵
A
=
(aij )
的第一行
a1j
=
√ 1/ n,
j
=
1,
·
··
,
n.
试求
Y
的协方差阵.
解 记 1n = (1, · · · , 1)T 为向量元素均为 1 的 n 维常向量, 记 M = 1n1Tn , 则有
n 0 ···
A1n
=
百度文库
√ ( n,
ABCDEFHJKLMPRSTW 3 1 3 2 2 1 17 2 6 5 2 21 1 1
(2) 汇总统计量如下
最小值 1/4 分位点 中位数 平均值 3/4 分位点 最大值 方差 标准差
29.10
41.67 47.70 47.66
52.33 78.10 101.49 10.07
(3) 频数直方图如下图所示 ♢
解
f (x) = (2π)−n/2σ1−2σ2−2σk4−n exp
1 −
2
2i=1(xi σ12
− µ)2
+
4 i=3
(xi
σ22
−
µ)2
+
ni=5(xi − µ)2 σk2
,
k
=
1 2
sign(|x1
−
x2|
−
|x3
−
x4|)
+
3 ,
2
(µ, σ2) ∈ R+ × R+
♢
题 4 (E1.4). 设 X1, · · · , Xn 为取自 Bernoulli 分布 b(1, p) 的一个样本，其中 0 < p < 1.
解 样本均值
1
m
1m
X
=
n1
+···
+ nm
(xini)
i=1
=
n
(xini)
i=1
样本方差
Sn∗ 2
=
n1
+
1 ···+
nm
−
1
m
(xi
i=1
−
x)2ni
=
n
1 −
1
m
(xi
i=1
−
x)2ni.
♢
5
题 9 (E1.9). 设 X1, · · · , X100 为取自正态分布 N (µ, 1) 的一个样本。试确定尽量大的常数 c，使得对任 意的 µ ⩾ 0，都有 P(|X| < c) ⩽ 0.5。
♢
题 3. 一物体的重量 µ 未知, 用两架天平测量, 其测量误差分别服从 N (0, σ12) 和 N (0, σ22) 分布,σ12,σ22 都未 知, 为测量尽可能精确, 先将该物体在第一架天平称两次得 X1,X2, 再在第二架天平称两次得 X3,X4. 然 后看哪架天平称得的数据偏差的绝对值小, 再用它称 n − 4 次得 X5, X6, · · · , Xn．写出样本 (X1, · · · , Xn) 的分布族
解X
∼ N (µ,
1 n
),
即
X −µ 1/n
∼
N (0, 1).
所以：
10(X − µ) ∼ N (0, 1).
g(µ) = P(|X| < c) = P(10(−c − µ) < 10(X − µ) < 10(c − µ)) = Φ(10(c − µ)) − Φ(10(−c − µ))
g′(µ) = −10ϕ(10(c − µ)) + 10ϕ(10(−c − µ)) ⩽ 0 即 g(µ) 单调下降。所以, g(µ)max = Φ(10c) − Φ(−10c) = 2Φ(10c) − 1 ⩽ 0.5，因此
Φ(10c) ⩽ 0.75, c ⩽ 0.067.
♢
题 10. 设 X1, · · · , X82 为取自 Bernoulli 分布 b(1, p) 总体的一个样本, 试确定尽量小的整数 c, 使得对
任意的 0 ≤ p ≤ 0.9 , 都有 P |
82 i=1
Xi|
>
c
≤ 0.05.
解 易知 c > 0, 等价于求
0,
·
·
·
,
0)T ,
AM AT
= A1n(A1n)T
=
0 ...
0 ...
··· ...
0
0 ...
.
0 0 ··· 0
由此及 A 的正交性得
Var[Y ] = AVar[X]AT = σ2A[(1 − ρ)In + ρM ]AT = (1 − ρ)σ2AAT + ρσ2AM AT
nρσ2 0 · · · 0
4
题 6. 设 a(̸= 0) 和 b 都是常数,yi = axi + b, i = 1, · · · , n. 试证明：y1, · · · , yn 的样本均值 y、样本方差 Sy∗2 和 x1, · · · , xn 的样本均值 x 样本方差 Sx∗2 之间存在关系：
y = ax + b,
Sy∗2 = a2Sx∗2
年龄
17 14 14 16 17 15 12 15 15 14 14 13 15 16 14 15 14 14 14 14
身高 (厘米)
172 169 167 167 167 164 162 162 162 159 159 159 159 159 157 157 157 157 154 154
性别
男 男 男 男 男 男 女 男 男 男 女 男 男 女 男 女 男 男 男 女
k
β(c + 1, 82 − c) p
知 F (c, p) 为 p 的减函数, 故应有 p = 0.9. 因此, 等价于求
c
cmin = min c F (c, 1) =
82 0.9k0.182−k ⩾ 0.95, p ∈ [0, 1] k
k=0
借计算器求得 cmin = 78.
♢
题 11. 设某电子元件的寿命 ( 单位: 小时 ) 服从参数 λ = 0.0015 的指数分布 E(λ), 测试 6 个元件后问：
体重 (千克)
47.7 41.8 52.7 47.2 38.6 41.3 36.8 55.8 48.6 58.1 52.2 38.1 50.8 35.9 43.1 43.1 30.4 33.6 29.1 35.9
(1) 按学生姓名的第一个字母分组, 统计不同组包含学生的频数. (2) 计算体重数据的各个汇总统计量（均值、方差、标准差和中位数、最小最大值等). (3) 将身高数据按 (120, 128], (128, 136], · · · , (168, 176] 分组绘制直方图. 解 (1) 姓名首字母频数如下
表 1: 学生信息
体重 (千克)
78.1 51.3 50.8 58.1 60.8 58.1 65.8 48.1 47.7 54.0 64.5 44.5 50.4 50.8 41.8 50.8 44.9 44.9 42.2 38.1
姓名
JOE MARY LINDA MARK PATTY ELIZABET JUDY LOUISE ALICE JAMES MARIAN TIM BARBARA DAVID KATIE MICHAEL SUSAN JANE LILLIE ROBERT
2
Frequency 0 2 4 6 8 10 12 14
120
128
136
144
152
160
168
176
题 2. 试确定下列问题的总体及分布族： (1) 研究某种型号玻璃瓶的质量．假设瓶上的气泡数是衡量瓶质量的指标, 它服从 Poisson 分布. (2) 研究某工厂生产的标值为 2.50Ω 的电阻的阻值. (3) 同 (2), 但假设阻值服从正态分布. 解 (1) 总体: 玻璃瓶的质量; Poisson 分布族 F ξ = {P (λ), λ ∈ Λ} (2) 总体: 电阻; 分布族 F ξ = { 所有具有连续分布且标值为 2.50Ω 的分布 } (3) 总体: 电阻; 正态分布族 F ξ = {N (2.5, σ2), σ2 > 0}
(nρ − ρ + 1)σ2
0
···
= (1 − ρ)σ2In +
0 ...
0 ...
··· ...
0 ...
=
0 ...
(1 − ρ)σ2 · · ·
...
...
0
0 ...
.
0 0 ··· 0
0
0
· · · (1 − ρ)σ2
♢
题 8. 如果样本观测值 x1, · · · , xn 的频数分别为 n1, · · · , nm. 试写出计算样本均值 X 和样本方差 Sn∗2 的公式（这里 n = n1 + · · · + nm).
根据这个结果, 利用适当的线性变换, 求下列一组数据的均值与样本方差：
480, 550, 510, 590, 510, 610, 490, 600, 580.
解 对公式 yi = axi + b, i = 1, · · · , n. 两边同时求算数平均值即可得
1n
1n
y= n
yi = n
xi + b = ax + b,
i=1
i=1
将 yi = axi + b 及 y = ax + b 代入样本方差即可得
Sy∗2
=
1 n−
1
n
(yi − y)2
=
1 n−1
n
(axi + b − ax − b)2 = a2Sx∗2.
i=1
i=1
易知题中数据由 x = (−2, 5, 1, 9, 1, 11, −1, 10, 8) 经线性变换 y = 10x + 500 后可得. 而关于 x 的样本均
解
(1) 样本的分布为
∑n
∑n
xi
n− xi
P(X1 = x1, · · · , Xn = xn) = pi=1 (1 − p) , i=1
0 < p < 1,
其中 xi 取 0 或 1.
n
(2) T = Xi 的分布律为
i=1
P(T = k) = n pk(1 − p)n−k, k
k = 0, · · · , n, 0 < p < 1.
82
82
min c P
Xi > c ⩽ 0.05, p ∈ [0, 1] = min c P
Xi ⩽ c ⩾ 0.95, p ∈ [0, 1]
i=1
i=1
82 i=1
Xi
∼
b(82,
p).
而由
F (c, p) = P
82
Xi ⩽ c
i=1
c
=
k=0
82 pk(1 − p)82−k =
1
1
tc(1 − t)81−cdt
(1) 求样本的分布.
n
(2) 求 Xi 的分布律.
i=1
3
(3) 指出下列样本的函数中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？
T1 = X1 + · · · + X5)/5; T2 = X5 − E[X1]
T3 = X5 − p;
T4 = max(X1, · · · , X5).
(4) 如果一个样本观测值为 (0, 1, 0, 1, 1)，写出其样本均值、样本方差和经验分布函数.
值和样本方差易求得 x = 5.5, Sx∗2 = 9.1667, 所以代入求证公式中即可得 y = 555, Sy∗2 = 916.67.
♢
题 7. 设 n 维随机变量 X = (Xi, · · · , Xn)T 的协方差矩阵为如下的对称矩阵：
1 ρ ··· ρ
Var[X] = σ2
ρ ...
1 ...
年龄
13 15 17 15 14 14 14 12 13 12 16 12 13 13 12 13 13 12 12 12
身高 (厘米)
154 152 152 152 152 152 149 149 149 149 147 147 147 145 145 142 137 135 127 125
性别
男 女 女 男 女 女 女 女 女 男 女 男 女 男 女 男 女 女 女 男
0.5, 0.7, 0.2, 0.7, 0.4, 2.5, 1.5, −0.2, −0.5, 0.1,
试绘出其经验分布函数的图形．
解 经验分布函数如下图所示
♢
q q q
q q q q q q
Fn(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
−0.5 −0.2 0.1 0.4 0.7
1.5
2.5
1
复旦版教材习题
题 1. 表 1 中收集了一个班级中 40 个同学的的姓名、年龄、身高、性别和体重的信息。
姓名
LAWRENCE JEFFERY EDWARD PHILLIP KIRK ROBERT JACLYN DANNY CLAY HENRY LESLIE JOHN WILLIAM MARTHA LEWIS AMY ALFRED CHRIS FREDRICK CAROL
(1) 到 800 小时, 没有一个元件失效的概率是多少？
(2) 到 3000 小时, 所有元件都失效的概率是多少？
解 记样本 X = (X1, X2, · · · , X6), 极小值为 X(1), 极大值为 X(6). 记总体分布函数为 F (x).
(1) 依题意
P(X(1) > 800) = 1 − P(X(1) ⩽ 800) = 1 − F (800)6 ≈ 1 − (0.6988)6 = 0.8836