数学物理方程的变分原理 ppt课件
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数学物理方程第七章变分法{1}
设泛函 J ( y ) 在 y0 ( x) D( J ) 处取极值，我们来建立 y0 ( x) 满足的条件
考虑含参数 的函数族
y ( x) y0 ( x) ( x)
y ( x) y0 ( x) ( x)
J ( y) F ( x, y, y ' )dx （1.1）
Fy ( x, y, y ' ) Fy' x ( x, y, y ' ) Fy' y ( x, y, y ' ) y ' Fy' y' ( x, y, y ' ) y '' 0 （1.6）
若 F ( x, y, y ' ) 呈特殊形式，则 Euler 方程（1.6）可简化。当
F F ( x, y )
则 ( x) 在 [a, b] 上两次连续可微，且 (a) (b) 0
由假设，应有 但事实上
b a
b
a
M ( x) ( x)dx 0
2 1
M ( x) ( x)dx ( x 1 )4 ( x 2 )4 M ( x)dx 0
这就发生矛盾，表明存在 x0 使 M ( x0 ) 0 的假设是错误的。
i 0 a x b
k
d0 ( f , g ) max f ( x) g ( x) , d1 ( f , g ) max f ( x) g ( x) max f ( x) g ( x) ,
a xb a xb a xb
假设泛函 J ( y ) 的定义域为 D( J ) C[ a, b] ，如果对于 y0 D( J ) ，存在 0 ，使 得当 y D( J ) 且 d0 ( y, y0 ) 时，有 J ( y0 ) J ( y) ，则称泛函 J ( y ) 在 y0 ( x) 处取强 极小值，也称 y0 ( x) 是泛函 J ( y ) 的强极小函数。
考虑含参数 的函数族
y ( x) y0 ( x) ( x)
y ( x) y0 ( x) ( x)
J ( y) F ( x, y, y ' )dx （1.1）
Fy ( x, y, y ' ) Fy' x ( x, y, y ' ) Fy' y ( x, y, y ' ) y ' Fy' y' ( x, y, y ' ) y '' 0 （1.6）
若 F ( x, y, y ' ) 呈特殊形式，则 Euler 方程（1.6）可简化。当
F F ( x, y )
则 ( x) 在 [a, b] 上两次连续可微，且 (a) (b) 0
由假设，应有 但事实上
b a
b
a
M ( x) ( x)dx 0
2 1
M ( x) ( x)dx ( x 1 )4 ( x 2 )4 M ( x)dx 0
这就发生矛盾，表明存在 x0 使 M ( x0 ) 0 的假设是错误的。
i 0 a x b
k
d0 ( f , g ) max f ( x) g ( x) , d1 ( f , g ) max f ( x) g ( x) max f ( x) g ( x) ,
a xb a xb a xb
假设泛函 J ( y ) 的定义域为 D( J ) C[ a, b] ，如果对于 y0 D( J ) ，存在 0 ，使 得当 y D( J ) 且 d0 ( y, y0 ) 时，有 J ( y0 ) J ( y) ，则称泛函 J ( y ) 在 y0 ( x) 处取强 极小值，也称 y0 ( x) 是泛函 J ( y ) 的强极小函数。
变分原理基础_讲义
变分原理基础罗建辉2009年夏季1 能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。
概括地说，在所有满足一定的约束条件的可能状态中，真实状态应使其能量取极值或驻值。
本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理，只讨论线性平衡问题。
2 弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看，弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征：即与其他可能状态相比，真实状态的能量为极值或驻值。
对这一能量特征举几个简例。
例0—1. 弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1 所示为一弹簧下端挂一重物。
弹簧的刚度系数为k ，重物的重力为P 。
用∆表示位移，当弹簧系统处于平衡状态时，求得位移∆的真解为kP =∆=∆0)(真解 (1)真解的能量特征是弹簧系统的势能p ∏为极小。
现检验如下：∆-∆=∏P k p221 (2)式(2)右边第一项是弹簧的应变能，第二项是重力P 的势能。
系统势能p ∏是位移∆的二次式。
由式(2)得221()22pP Pk kk∏=∆--(3)现考察真解的能量特征。
显然，真解(1)使势能p ∏取极小值。
换一个角度，求p ∏的一阶及二阶导数，得Pk d d p-∆=∆∏ (4)22>=∆∏k d d p(5)将真解(1)代入式(4)，得0=∆∏d d p，故知势能p∏为驻值。
根据式(5)，又知势能p∏变分原理广义变分原理单变量形式多变量形式为极小值。
例0—2 超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2a 所示为一超静定梁，取图0—2b 所示静定梁为其基本结构。
根据平衡条件，基本结构的弯矩可表示为PMX M M +=11 (6)其中p M 是在荷载作用下基本结构的弯矩，1M 是在单位多余力11=X 作用下基本结构的弯矩，1X 是任意值。
式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩，由于1X 是任意参数，因此超静定梁的可能弯矩尚未唯一确定。
为了确定1X 的真解，还必须应用变形协调条件)(1111=∆+p X 真解δ (7)式中⎰=∆dxEI M M pp 11 (8)⎰=dxEIM 2111δ试验证真解的能量特征是梁的余能c ∏为极小值，余能c ∏的表示式为dxMX M EIdx EIMpc ⎰⎰+==∏2112)(212 (9)余能c ∏是1X 的二次函数，由式(9)得11111122211221212211112221111111111(2)21[2]21[2]21[()]2p c p p p p p p p p M X M M X M dxEIM dx M M dx M dx X X EIEI EIM dx X X EIM dx X EIδδδδ∏=++=++=+∆+=+∆-∆+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(10)由式(10)可知变形协调条件(7)使余能c ∏取极小值。
变分原理
这一数学工具就没有计算结构力学
1.1 变分的基本概念
① 泛函的概念 函数论：自变量、函数 变分原理：自变函数、泛函
举例1：平面上两个给定点： P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2） 连接该两点的曲线的长度L
显然连接P1、P2的曲线有无数条 Y
设: 曲线方程 Y=Y（X） P2
P1 显然：曲线方程不同对应不同的长度L， X
如何理解函数的微小变化那？ 有两条同类的曲线y= y (x)， y1= y 1(x) 自变函数的微小改变指：
y= y (x)和 y1= y 1(x)对有定义的一切x值 y (x)和 y 1(x)之间差的模很小，即两条曲线 纵坐标之间很接近。
y (x) -y 1(x) 很小时，我们称其为 零阶接近。
不定积分
A
y
xB
1 A2
A、B待定参数有边界条件给出。
y1 y( x1 ), y2 y( x2 )
y-y1 y-y2 x-x1 x-x2
直线方程
F 1 y'2
此时， 2
x2 x1
2 2
F y'
y'
2
dx=
x2 x1
2
1 y'2 2 y'
y'2 dx
x2
x2
Π = F ( x , y, y')dx
x1
在边界条件： y( x1 ) y1 ; y( x2 ) y2
一阶变分
x2 F
F
δΠ
x1
y
δy
y'
δy' dx
泛函求极值的条件
0
转化为：
F y
d dx
F y'
1.1 变分的基本概念
① 泛函的概念 函数论：自变量、函数 变分原理：自变函数、泛函
举例1：平面上两个给定点： P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2） 连接该两点的曲线的长度L
显然连接P1、P2的曲线有无数条 Y
设: 曲线方程 Y=Y（X） P2
P1 显然：曲线方程不同对应不同的长度L， X
如何理解函数的微小变化那？ 有两条同类的曲线y= y (x)， y1= y 1(x) 自变函数的微小改变指：
y= y (x)和 y1= y 1(x)对有定义的一切x值 y (x)和 y 1(x)之间差的模很小，即两条曲线 纵坐标之间很接近。
y (x) -y 1(x) 很小时，我们称其为 零阶接近。
不定积分
A
y
xB
1 A2
A、B待定参数有边界条件给出。
y1 y( x1 ), y2 y( x2 )
y-y1 y-y2 x-x1 x-x2
直线方程
F 1 y'2
此时， 2
x2 x1
2 2
F y'
y'
2
dx=
x2 x1
2
1 y'2 2 y'
y'2 dx
x2
x2
Π = F ( x , y, y')dx
x1
在边界条件： y( x1 ) y1 ; y( x2 ) y2
一阶变分
x2 F
F
δΠ
x1
y
δy
y'
δy' dx
泛函求极值的条件
0
转化为：
F y
d dx
F y'
数学物理方程的变分原理
A
B
0
l
xx
u
根据力的平衡条件，u( x)满足微分方程 Tu f ( x), 0 x l (2.1)
和边值条件
u(0) 0, u(l) 0 T是弦的张力。
(2.2)
这样，求弦的平衡位置就归结为解两点边值问题.
另一方面，由力学“极小位能原理”弦的平衡位置 u* u*( x)是满足边值条件的一切可能位置中，使总势能 最小。
变分问题：求泛函极值的问题
1.2 二次函数的极值（Rn中的变分问题）
考虑n个变量的二次函数 :
J (x) J (x1, x2,
xn )
1 2
n
aij xi x j
i, j1
n i 1
bi xi
(1.1)
1 ( Ax, x) (b, x) 2
其中 A (aij )nn,aij aji , x (x1......xn )T ,b (b1......bn)T
例1 试建立与两点边值问题
Lu d ( p du ) qu f , x (a,b) (2.1)
dx dx
u(a) 0,u(b) 0
(2.2)
(, )为R n中的内积。
设二次泛函J 在 x0 达到极小，则对于一切
x Rn , x 0, R
J (x) 1 (Ax, x) (b, x) 2
有 ( ) J ( x0 x) J ( x0 ) (0) . 若A对称，
( )
J ( x0
x)
1 2
( Ax0
Ax(0) ( Ax0 b, x) 0，对任意x Rn
特别的取x Ax0 b,则得Ax0 b 0 反之,若 Ax0 b 0，显然有
( Ax0 b, x) 0，对任意x Rn
变分法简介剖析课件
变分法简介剖析课件
• 引言 • 变分法的基本概念 • 变分法的应用领域 • 变分法的实际案例解析 • 变分法的求解方法 • 变分法的未来展望
目录
Part
01
引言
主题介绍
什么是变分法
变分法是数学的一个重要分支，主要 研究函数的变分问题，即函数在某个 特定条件下的变化量。
变分法在数学中的地位
变分法的应用领域
近似解。
适用范围
适用于简单的问题，如一维问 题或某些特定形状的二维问题
。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
对于复杂问题，可能需要大量 的计算资源和时间。
有限元素法
有限元素法
将变分问题转化为有限元方程组 ，通过求解该方程组得到近似解 。
缺点
计算量大，需要较高的计算资源 和时间。
适用范围
适用于各种形状和维度的复杂问 题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、 经济学等领域，如最小作用原理、弹 性力学、经济学中的最优控制问题等 。
变分法在数学中占有重要地位，是解 决优化问题、微分方程和积分方程等 问题的有力工具。
课程目标
掌握变分法的基本概念和原理
01
通过本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的学习，学生应掌握变分法的基本概念和原理，了
解变分的计算方法和性质。
们可以求解出这些路径的具体形式和性质。
工程学
在工程学中，变分法被用于解决结构优化、控制工程、流体动力学等领域的问题。
在工程学中，变分法被广泛应用于结构优化、控制工程和流体动力学等领域。在结构优化中，变分法可以帮助我们找到最优 的结构设计，使得结构的性能达到最优。在控制工程中，变分法可以帮助我们找到最优的控制策略，使得系统的性能达到最 优。在流体动力学中，变分法可以帮助我们找到最优的流体流动路径，使得流体的流动效率达到最优。
• 引言 • 变分法的基本概念 • 变分法的应用领域 • 变分法的实际案例解析 • 变分法的求解方法 • 变分法的未来展望
目录
Part
01
引言
主题介绍
什么是变分法
变分法是数学的一个重要分支，主要 研究函数的变分问题，即函数在某个 特定条件下的变化量。
变分法在数学中的地位
变分法的应用领域
近似解。
适用范围
适用于简单的问题，如一维问 题或某些特定形状的二维问题
。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
对于复杂问题，可能需要大量 的计算资源和时间。
有限元素法
有限元素法
将变分问题转化为有限元方程组 ，通过求解该方程组得到近似解 。
缺点
计算量大，需要较高的计算资源 和时间。
适用范围
适用于各种形状和维度的复杂问 题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、 经济学等领域，如最小作用原理、弹 性力学、经济学中的最优控制问题等 。
变分法在数学中占有重要地位，是解 决优化问题、微分方程和积分方程等 问题的有力工具。
课程目标
掌握变分法的基本概念和原理
01
通过本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的学习，学生应掌握变分法的基本概念和原理，了
解变分的计算方法和性质。
们可以求解出这些路径的具体形式和性质。
工程学
在工程学中，变分法被用于解决结构优化、控制工程、流体动力学等领域的问题。
在工程学中，变分法被广泛应用于结构优化、控制工程和流体动力学等领域。在结构优化中，变分法可以帮助我们找到最优 的结构设计，使得结构的性能达到最优。在控制工程中，变分法可以帮助我们找到最优的控制策略，使得系统的性能达到最 优。在流体动力学中，变分法可以帮助我们找到最优的流体流动路径，使得流体的流动效率达到最优。
变分原理-第1章
§1-2 变分及其特性 函数的极大极小问题是大家熟知的，泛函的极大极小问题有类似特性。 1、泛函的定义 定义 如果对于某一类函数 {y (x )}中每个函数 y (x ) ，V 有一值与之对应，或
者 V 对应于函数 y (x ) 的关系成立，则我们称变量 Π 是函数 y (x ) 的泛函，即
V = V ( y (x )) 。可变函数 y ( x ) 称为自变函数，依赖自变函数而变的量 V ，称为自变
若干“子域” （即单元） ，然后分别在子域上选取测试函数，并要求这些测试 函数在各个子域内部、在子域之间的分界面上以及子域与外界的分界面上均 满足一定的条件。它使有限单元法的实用价值远远超过了经典方法。 有限单元法应用的领域十分广泛。不论是固体力学、流体力学，还是电磁 学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，静力分析、动力分析或稳定性 分析，不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法均能适用。 电子计算机技术的发展对有限单元法的发展有着决定性的影响。有限单元 法要求求解大规模的联立方程组，未知数高达几万甚至几十万，没有高速度、 大容量的计算机是很难想像的。有限单元法的基本思想早在四十年代就提出 来了，但是直到五十年代中期，由于电子计算机的问世才开始大量应用和发 展。
L=∫
x2
x1
dy dz 1+ + dx dx
2
2
dx
（1-3）
其中： y = y ( x) ， z = z ( x) 满足约束条件
ϕ ( x, y , z ) = 0
（1-4）
上面提出的问题最后化为如下数学问题：在 x1 ≤ x ≤ x 2 区间内决定两个函数
变分原理及有限元法
史治宇
结构强度研究所
变分法原理与技术 PPT
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利 曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向 数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自 然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂 的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水 珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是 悬链线（catenary）。
q
2. 离散系统 Jx2(i)2u2(i) i1
都是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。
例2.1.2 在平面上连接给定两点A(ta，xa) x 和B(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如 图2-1所示。
当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)= xa ，
x(tb)= xb ）给定后，可算出它在A、B两点 间的弧长为：
解一个二阶常微分方程
d2y
dy
a 1 ( )2
dx2
y(0)
dx y0
y (0) 0
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
解此方程并适当选取参数，得
1 y (eax eax )
2a
即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，雅可比·贝努 利随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在 所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”， 有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！
对于x(t)的定义域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小时，称函数 x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。如图2-3所示。
x
x(t)
x0(t)
o t1 图2－3 t2
t
一阶相近
当函数 x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一阶导 数 x ( t ) 和 x 0 ( t ) 之差的绝对值，即
变分原理
变分原理变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。
把一个力学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，就称为该物理问题（或其他学科的问物理题）的变分原理。
变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。
泛函定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系。
如果对于变量x的某一区域中的每一个x值，y都有一值与之对应，或者数y 对应于数x的关系成立，则我们称变量y是变量x的函数，即y=y（x）。
如果对于某一类函数{y（x）}中的每一函数y（x），Π有一值与之对应，或者数Π对应于函数y（x）的关系成立，则称变量Π是函数y（x）的泛函，即Π=Π[y(x)]。
所以函数是变量和变量的关系，泛函是变量与函数的关系，泛函是一种广义的函数。
如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。
1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变分原理的方法。
日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等都是这方面的世界级大师。
变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用，如著名的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等。
在当代变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。
在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。
近似计算方法主要有：李兹法、伽辽金法、康托洛维奇法、屈列弗兹法等。
例如：① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）；CB AC EB AE +>+总结：实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
数学物理方程第四章 积分变换法(课堂PPT)
❖ 傅里叶变换建立R了信号时域与频域之间的关系，
频率是信号的物理本质之一。
6
❖ 设f(x)为[-π,π]上的有限信号，则f(x)的傅 里叶变换可简化为：
fˆ ( ) π f (x)eix dx π
❖ 对于只在有限区间，例如在上有定义的函数,可 采取延拓的方法，使其成为某种周期函数，而在 上，。然后再对作傅里叶级数展开，其级数和在 区间上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l无定义，因此 可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式， 它们在上均代表.有时，对函数在边界（区间的 端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条 件，这常常就决定了如何延拓。
第四章 积分变换法 傅立叶变换与拉普拉斯变换
数学物理方程
1
1777年以前，人们普遍采用多项式函数P(x)来对信 N 1
号f(x)进行表征：f (x) P(x) anxn。 n0 1777年，数学家Euler在研究天文学时发现某些函
数可以通过余弦函数之和来表达。1807年，法国科学
家傅里叶进一步提出周期为2π的函数f(x)可以表示为
( x ,t 0)
U ' (t; k) k 2a2U (t; k) F(t; k) U (t; k) |t0 0
其中 U (t; k) 为u(x,t)的傅里叶变换。为求解这个非齐次
e 常微分方程，用 k2a2t 遍乘方程各项 18
d [U (t; k)ek2a2t ] F (t; k)ek2a2t dt
19
❖ 交换积分次序
u(x,t) t
1
= 0
f ( , )[2
e e dk] k2a2 (t ) ik (x ) d d
引用积分公式
e2k2 ek dk =
数学物理方法-13-变分法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
变分法旳优点:
(1) 变分法在物理上能够归纳定律．因为几乎全部旳自 然定律都能用变分原理旳形式予以体现；
(2) 变分法易于实现数学旳统一化．因为一般而言，数学 物理方程旳定解问题都能够转化为变分问题．尤其是前面 简介旳斯特姆－刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变 分法提供了施－刘型本征值问题旳本征函数系旳完备性等 结论旳证明；
E-L方程除了上面给出旳形式(13.2.6)之外， 另外还有四种特殊情况：
(1) F 不显含 x
且
F 0 x
因为
F F ( y, y),
d (F y F ) F y[F d (F )] y[F d (F )]
dx
y x y dx y
y dx y
若 y 0, E-L方程等价于
F y F c y
y(x) 旳泛函，而称 y(x) 为可取旳函数类，为泛函 T[ y(x)]
旳定义域。简朴地说，泛函就是函数旳函数（不是复合函数
旳那种含义）．
一般来说，设C是函数旳集合，B是实数或复数旳集合， 假如对于C旳任一元素 y(x) 在B中都有一种元素 J 与之相应， 则称 J 为 y(x) 旳泛函，记为
J J[ y(x)]
设 u(x, y) 为 x, y 旳二元函数，则
J
x2 x1
y2 y1
F
(
x,
y,
u,ux
,
u
y
)dxdy
u(x1, y) u(x2 , y) u(x, y1) u(x, y2 ) 0
与此泛函极值问题相应旳E-L方程为
F F F ( ) ( )0
yi |xa 0,
yi |xb =0
(i 1, 2,, n)
则与此泛函极值问题相应旳E-L方程为
变分原理-第1章
y = y ( x) > 0 ，使之绕横轴旋转，求所得旋转面面积最小的那个函数 y = y ( x) 。
即在满足 y ( x1 ) = y1 ， y ( x 2 ) = y 2 的端点条件下，求函数 y = y ( x) 使以下泛函
S = ∫ 2πyds = ∫ 2πy 1 + y ' dx
x1 x2 2
L=
x1
∫
0
dy 1 + dx dx
2
(1-9)
悬索重心高度为
1 1 1 dy y c = ∫ yds = ∫ y 1 + dx L0 L0 dx
L x 2
(1-10)
以上变分问题是：在通过已知两点，并满足式(1-9)条件的一切曲线中，求 使泛函式(1-10)取极小值的函数 y (x ) 。
设 P（x，y）是曲线上某一点。重物在 P 点的速度 v 可由能量守恒原理求 得：
1 2 mv = mgy 2 ⇒ v = 2 gy
令 ds 为曲线的弧长的微分，则
ds = v = 2 gy dt
⇒
dt =
ds 2 gy
=
1 + y ' dx 2 gy
2
式中 y ′ =
dy dx
因此，重物从 A 滑到 B 所需时间 T 为：
若干“子域” （即单元） ，然后分别在子域上选取测试函数，并要求这些测试 函数在各个子域内部、在子域之间的分界面上以及子域与外界的分界面上均 满足一定的条件。它使有限单元法的实用价值远远超过了经典方法。 有限单元法应用的领域十分广泛。不论是固体力学、流体力学，还是电磁 学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，静力分析、动力分析或稳定性 分析，不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法均能适用。 电子计算机技术的发展对有限单元法的发展有着决定性的影响。有限单元 法要求求解大规模的联立方程组，未知数高达几万甚至几十万，没有高速度、 大容量的计算机是很难想像的。有限单元法的基本思想早在四十年代就提出 来了，但是直到五十年代中期，由于电子计算机的问世才开始大量应用和发 展。
即在满足 y ( x1 ) = y1 ， y ( x 2 ) = y 2 的端点条件下，求函数 y = y ( x) 使以下泛函
S = ∫ 2πyds = ∫ 2πy 1 + y ' dx
x1 x2 2
L=
x1
∫
0
dy 1 + dx dx
2
(1-9)
悬索重心高度为
1 1 1 dy y c = ∫ yds = ∫ y 1 + dx L0 L0 dx
L x 2
(1-10)
以上变分问题是：在通过已知两点，并满足式(1-9)条件的一切曲线中，求 使泛函式(1-10)取极小值的函数 y (x ) 。
设 P（x，y）是曲线上某一点。重物在 P 点的速度 v 可由能量守恒原理求 得：
1 2 mv = mgy 2 ⇒ v = 2 gy
令 ds 为曲线的弧长的微分，则
ds = v = 2 gy dt
⇒
dt =
ds 2 gy
=
1 + y ' dx 2 gy
2
式中 y ′ =
dy dx
因此，重物从 A 滑到 B 所需时间 T 为：
若干“子域” （即单元） ，然后分别在子域上选取测试函数，并要求这些测试 函数在各个子域内部、在子域之间的分界面上以及子域与外界的分界面上均 满足一定的条件。它使有限单元法的实用价值远远超过了经典方法。 有限单元法应用的领域十分广泛。不论是固体力学、流体力学，还是电磁 学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，静力分析、动力分析或稳定性 分析，不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法均能适用。 电子计算机技术的发展对有限单元法的发展有着决定性的影响。有限单元 法要求求解大规模的联立方程组，未知数高达几万甚至几十万，没有高速度、 大容量的计算机是很难想像的。有限单元法的基本思想早在四十年代就提出 来了，但是直到五十年代中期，由于电子计算机的问世才开始大量应用和发 展。
数学物理方程课件第三章行波法与积分变换法共33页PPT资料
x,t0
u(x,0)(x),u(xt,0)(x), x
利用叠加原理将问题进行分解：u u1 u2
2tu21
a22u1, x2
x,t0
u1(x,0)(x),u1(xt,0)(x), x
2tu22
a2
2u2 x2
f
(x,t),
x,t 0
u2(x,0)0,u2(tx,0)0, x
u 1 (x ,t) 1 2 (x a t)(x a t) 2 1 ax x a a tt ()d
b. 只有初始速度时： u(x,t)1 xat()d 2a xat 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u (x ,t)1 (x a t)1 (x a t)
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
t
2
2 ax a t
t
P (x,t)
依赖区间
x xat xat
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
t
x x1 at
影响区域
x1
x2
x x2 at
xatC 特征线 xat
xat 特征变换
x
行波法又叫特征线法
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
7 非齐次问题的处理
2 tu2 a2x2u2f(x,t),
yAx yBx
uuu Au B u x x x
x 2 u 2 A u B u x A u B u xA2 2u22AB 2 uB2 2u2
uyuyuy
u
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于 是J(u)1(Lu,u)(f,u) 2
与(1.1)比较: H01 Rn
T
T dt
x1
1 y2 dx
0
0 2gy
1 y2
dt
dx
2gy
定义K 函 { y|y 数 C 1 [0 ,x 1 ]集 y ,(0 ) 0 ： ,y (x 1 ) y 1 }
泛 函 ： T(y) x1
1y2 dx,yK
0 2gy
最速 降线问题 表示为：
求y0 K , 使得
T
(
y0
)
要求:曲线l : y y(x),0 x x1,
且y(0) 0, y(x1) y1
P(x, y)
使得沿l由A到B自由运动时间最短。 v
B(x1, y1)
分析：由能量守恒1原 md理 s2： mgy 2 dt
弧微分公 ds 式1y2dx 1y2 dx 2gy dt
1 y2
dt
dx
2gy
由A到B的时间为：
J(x0)(Ax0
b,
x)
2
2
(Ax,
x)
J(x)在x0点达到极小，则 ( ) 在 0 达 到极小。
2 () = J (x 0 x ) J (x 0 )(A x 0 b ,x ) 2 (A x ,x )
因 此 ( 0 ) ( A x 0 b ,x ) 0 ， 对 任 意 x R n
即 J(x)在x0 点达到极小。
命 题 1 .求 x R n , 满 足 A x b . 命 题 2 .求 x R n , 满 足 ( A x b ,y ) 0 , y R n . 命题3. 求x Rn 使得
J(x) minJ( y) (1.4) yRn
其中J( x)是由(1.1)定义的二次函数,称为Rn上的二次 泛函或简称泛函数。
S(u)1( u x)2( u y)2dxdy
S(u)1( u x)2( u y)2dxdy
故s是u的一个泛函，其中u所属的函数集合
K u u C 1 ( )u , ( x ,y )
这样，最小曲面问题就可以写成如下的泛函极小问题
求 S（ u0u 0） K ， S（ u使 ）得 ， uK
min
yK
T
(
y)
例：最小曲面问题
设x y平面上有开区域Ω，其边界记为 ，在 上
给定条件 u(x,y), (x, y) 是 上的已知函数
从而给出 空间中的封闭曲线C。最小曲面问题就是求 张紧在曲线C上的曲面中，其面积最小的曲面。
设曲面方程为u＝u（x，y）(x,y) ,
对应与u的曲面面积为
我 们 进 一 步 分 析 势 能 J(u )的 结 构 ， 引 进 微 分 算 子
d2u L u Td x2
则 W 内 1 2 0 lT ( d d u x ) 2 d x 1 2 0 l( T d d x 2 u 2 ) u d x 1 2 ( L u ,u )
l
W 外 0 fu d x (f,u )
A
B
0
l
xx
பைடு நூலகம்
u
根据力的平衡条件，u(x)满足微分方程 Tu f(x), 0xl (2.1)
和边值条件 u(0)0,u(l)0 (2.2)
T是弦的张力。
这 样 ， 求 弦 的 平 衡 位 置 就 归 结 为 解 两 点 边 值 问 题 .
另一方面，由力学“极小位能原理”弦的平衡位置 u* u*(x)是满足边值条件的一切可能位置中，使总势能 最小。
设二次泛函J 在 x 0 达到极小，则对于一切
xRn,x0,R
J(x)1(Ax,x)(b,x) 2
有 ( ) J(x0x)J(x0) (0 ) . 若A对称，
()
J(x0
x)
1 2(Ax0
Ax,
x0
x)
(b,
x0
x)
1 2[(Ax0,
x0)
(Ax0,
x)
(Ax
x0)
2(Ax, x)](b, x0)(b, x)
设弦任意位置uu(x),它的总势能为
J(u)1
lT(u(x))2dx
l
f udx
20
0
1 l[T(u(x))2 2uf]dx (2.3) 20
据 极 小 势 能 原 理 ， u * u * (x )是 下 列 变 分 问 题 的 解 ： J (u * ) m u in J (u ) (2 .4 )
第七章 数学物理方程的变分原理
第一节 变分问题介绍
1、古典变分问题
例 1.1（最速降线问题） Bernoulli1696年提出的。设点 A （ 0， 0）和B(x1,y1),不同在一条与y轴平行的直线上， 有一质点受重力作用从A到B沿曲线路径自由下滑， 求质点下降最快的路径，问题中不考虑摩擦力。
A(0,0)
结 论 ： 命 题 1 命 题 2 命 题 3 （ A 对 称 正 定 ）
一定条件下二次函数的 极值问题与线性方程组问题等价
第二节、一维数学物理问题的变分问题
弦 的 平 衡 问 题 ： 考 察 一 根 长 为 l的 弦 ， 其 两 端 固 定 在 点 A(0,0)和 B(l,0)。 设 有 强 度 为 f(x)的 外 荷 载 垂 直 向 下 作 用 在 弦 上 ， 发 生 形 变 。 用 uu(x)表 示 在 荷 载 f(x)作 用 下 弦 的 平 衡 位 置 。
总 结 上 面 的 几 个 实 际 例 子 ， 可 以 看 出 ， 都 是 在 研 究 关 于 泛 函 在 某 一 集 合 上 的 最 值 问 题 ， 也 即 变 分 问 题 ， 采 用 变 分 法 处 理 。
变分问题：求泛函极值的问题
1.2 二次函数的极值（Rn中的变分问题）
考 虑 n个 变 量 的 二 次 函 数 :
J(x)J(x1,x2,Lxn)1 2i,n j1aijxixji n1bixi
(1.1)
1(Ax,x)(b,x) 2
其中 A ( a i j) n n ,a i j a j i,x ( x 1 ......x n ) T ,b ( b 1 ...... b n ) T
(,)为 Rn中 的 内 积 。
特 别 的 取 x A x 0 b ,则 得 A x 0 b 0 反之,若 Ax0 b0，显然有
(A x 0 b ,x ) 0 ， 对 任 意 x R n
进 一 步 ， 若 A 为 对 称 正 定 矩 阵 ， 则 对 任 意 的 x0,
R，
2
有 J (x 0x )J (x 0)2(A x ,x )J (x 0)
与(1.1)比较: H01 Rn
T
T dt
x1
1 y2 dx
0
0 2gy
1 y2
dt
dx
2gy
定义K 函 { y|y 数 C 1 [0 ,x 1 ]集 y ,(0 ) 0 ： ,y (x 1 ) y 1 }
泛 函 ： T(y) x1
1y2 dx,yK
0 2gy
最速 降线问题 表示为：
求y0 K , 使得
T
(
y0
)
要求:曲线l : y y(x),0 x x1,
且y(0) 0, y(x1) y1
P(x, y)
使得沿l由A到B自由运动时间最短。 v
B(x1, y1)
分析：由能量守恒1原 md理 s2： mgy 2 dt
弧微分公 ds 式1y2dx 1y2 dx 2gy dt
1 y2
dt
dx
2gy
由A到B的时间为：
J(x0)(Ax0
b,
x)
2
2
(Ax,
x)
J(x)在x0点达到极小，则 ( ) 在 0 达 到极小。
2 () = J (x 0 x ) J (x 0 )(A x 0 b ,x ) 2 (A x ,x )
因 此 ( 0 ) ( A x 0 b ,x ) 0 ， 对 任 意 x R n
即 J(x)在x0 点达到极小。
命 题 1 .求 x R n , 满 足 A x b . 命 题 2 .求 x R n , 满 足 ( A x b ,y ) 0 , y R n . 命题3. 求x Rn 使得
J(x) minJ( y) (1.4) yRn
其中J( x)是由(1.1)定义的二次函数,称为Rn上的二次 泛函或简称泛函数。
S(u)1( u x)2( u y)2dxdy
S(u)1( u x)2( u y)2dxdy
故s是u的一个泛函，其中u所属的函数集合
K u u C 1 ( )u , ( x ,y )
这样，最小曲面问题就可以写成如下的泛函极小问题
求 S（ u0u 0） K ， S（ u使 ）得 ， uK
min
yK
T
(
y)
例：最小曲面问题
设x y平面上有开区域Ω，其边界记为 ，在 上
给定条件 u(x,y), (x, y) 是 上的已知函数
从而给出 空间中的封闭曲线C。最小曲面问题就是求 张紧在曲线C上的曲面中，其面积最小的曲面。
设曲面方程为u＝u（x，y）(x,y) ,
对应与u的曲面面积为
我 们 进 一 步 分 析 势 能 J(u )的 结 构 ， 引 进 微 分 算 子
d2u L u Td x2
则 W 内 1 2 0 lT ( d d u x ) 2 d x 1 2 0 l( T d d x 2 u 2 ) u d x 1 2 ( L u ,u )
l
W 外 0 fu d x (f,u )
A
B
0
l
xx
பைடு நூலகம்
u
根据力的平衡条件，u(x)满足微分方程 Tu f(x), 0xl (2.1)
和边值条件 u(0)0,u(l)0 (2.2)
T是弦的张力。
这 样 ， 求 弦 的 平 衡 位 置 就 归 结 为 解 两 点 边 值 问 题 .
另一方面，由力学“极小位能原理”弦的平衡位置 u* u*(x)是满足边值条件的一切可能位置中，使总势能 最小。
设二次泛函J 在 x 0 达到极小，则对于一切
xRn,x0,R
J(x)1(Ax,x)(b,x) 2
有 ( ) J(x0x)J(x0) (0 ) . 若A对称，
()
J(x0
x)
1 2(Ax0
Ax,
x0
x)
(b,
x0
x)
1 2[(Ax0,
x0)
(Ax0,
x)
(Ax
x0)
2(Ax, x)](b, x0)(b, x)
设弦任意位置uu(x),它的总势能为
J(u)1
lT(u(x))2dx
l
f udx
20
0
1 l[T(u(x))2 2uf]dx (2.3) 20
据 极 小 势 能 原 理 ， u * u * (x )是 下 列 变 分 问 题 的 解 ： J (u * ) m u in J (u ) (2 .4 )
第七章 数学物理方程的变分原理
第一节 变分问题介绍
1、古典变分问题
例 1.1（最速降线问题） Bernoulli1696年提出的。设点 A （ 0， 0）和B(x1,y1),不同在一条与y轴平行的直线上， 有一质点受重力作用从A到B沿曲线路径自由下滑， 求质点下降最快的路径，问题中不考虑摩擦力。
A(0,0)
结 论 ： 命 题 1 命 题 2 命 题 3 （ A 对 称 正 定 ）
一定条件下二次函数的 极值问题与线性方程组问题等价
第二节、一维数学物理问题的变分问题
弦 的 平 衡 问 题 ： 考 察 一 根 长 为 l的 弦 ， 其 两 端 固 定 在 点 A(0,0)和 B(l,0)。 设 有 强 度 为 f(x)的 外 荷 载 垂 直 向 下 作 用 在 弦 上 ， 发 生 形 变 。 用 uu(x)表 示 在 荷 载 f(x)作 用 下 弦 的 平 衡 位 置 。
总 结 上 面 的 几 个 实 际 例 子 ， 可 以 看 出 ， 都 是 在 研 究 关 于 泛 函 在 某 一 集 合 上 的 最 值 问 题 ， 也 即 变 分 问 题 ， 采 用 变 分 法 处 理 。
变分问题：求泛函极值的问题
1.2 二次函数的极值（Rn中的变分问题）
考 虑 n个 变 量 的 二 次 函 数 :
J(x)J(x1,x2,Lxn)1 2i,n j1aijxixji n1bixi
(1.1)
1(Ax,x)(b,x) 2
其中 A ( a i j) n n ,a i j a j i,x ( x 1 ......x n ) T ,b ( b 1 ...... b n ) T
(,)为 Rn中 的 内 积 。
特 别 的 取 x A x 0 b ,则 得 A x 0 b 0 反之,若 Ax0 b0，显然有
(A x 0 b ,x ) 0 ， 对 任 意 x R n
进 一 步 ， 若 A 为 对 称 正 定 矩 阵 ， 则 对 任 意 的 x0,
R，
2
有 J (x 0x )J (x 0)2(A x ,x )J (x 0)