异面直线及其夹角32页PPT
合集下载
异面直线所成角ppt课件
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?
解答：(1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所
H
求.
E
o
F
R(2t)△∵EFBGF∥中，AE求得∠EGF = 45
2 2 3D
∴∠FBG（或其补角）为所求,
பைடு நூலகம்
A
23
B
Rt△BFG中，求得∠FBG
=
o
60
ppt课件
G C
10
典例展示
例2、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，A A1= AB
平行公理 平行同一条直线的两条直线互相平行
等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补.
ppt课件
2
知识探究
异面直线所成的角
O
(1)旧识回顾
在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们
的夹角, 如图.
(2)问题提出
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻 画呢?
B1 A1
C1 D1
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
D O
A
C B
ppt课件
14
课堂小结
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角， 体现了化归的数学思想。
化归的一般步骤是： 定角
求角
定角一般方法有： （1）平移法（常用方法） （2）补形法
2、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
D1
C1
A1
B1
E
G
A
ppt课件
D F
C
B
异面直线及其夹角课件
（1）AB与CC1；
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A D1
异面直线及其夹角
C B
直线所成的角：
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
（3）AB1与CD；
D
C
A
B
异面直线及其夹角
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
M
A1
B1
D
C
A
B 异面直线及其夹角
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
（2）异面直线AM与BD所成角的大小；
（3）异面直线AM与BD1所成角的大小。
D1
C1
A1
M
S
B1
D
C
A
B 异面直线及其夹角
例4：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A D1
异面直线及其夹角
C B
直线所成的角：
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A D1
异面直线及其夹角
C B
直线所成的角：
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
直线所成的角：
《异面直线及其夹角》课件
异面直线的性质研究
目前，对于异面直线的性质研究已经取得了一定的成果，但还有很多未知领域等待探索。例如，异面直线之间的夹角 性质、异面直线的对称性等都是值得深入研究的问题。
异面直线的计算方法
随着计算机技术的发展，计算几何逐渐成为数学领域的一个重要分支。对于异面直线的计算方法研究， 可以进一步促进计算几何的发展，为解决实际问题提供更有效的工具。
的。
不变性
无论两条异面直线的位置如何变 化，它们在同一平面内的射影之
间的夹角保持不变。
异面直线夹角的计算方法
01
投影法
将两条异面直线投影到同一平面内，然后计算它们在该平面内的射影之
间的夹角。
02 03
向量法
利用向量的数量积和向量的模长来计算两条异面直线的夹角。首先求出 两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方向向量的数量积和模长， 最后利用公式计算夹角。
异面直线的夹角
异面直线之间的夹角是指这两条直线所夹的锐角或直角。这个夹角的大小范围是$0^circ$ 到$90^circ$，其中$90^circ$表示两直线垂直。
异面直线的未来发展方向
异面直线在几何学中的应用
随着几何学的发展，异面直线在解决实际问题中的应用越来越广泛。例如，在建筑设计、工程制图和计算机图形学等 领域，异面直线都发挥着重要的作用。
05
总结与展望
异面直线的总结
异面直线的基本概念
异面直线是指不在同一个平面上且互不相交的两条直线。在三维空间中，异面直线是相对 常见的几何对象，它们在平面几何中也有类似的概念。
异面直线的判定方法
判定两条直线为异面直线的方法有多种，其中最常用的是通过平行平面来判定。如果两个 平行平面分别包含两条直线，且这两条直线不重合，则它们为异面直线。
目前，对于异面直线的性质研究已经取得了一定的成果，但还有很多未知领域等待探索。例如，异面直线之间的夹角 性质、异面直线的对称性等都是值得深入研究的问题。
异面直线的计算方法
随着计算机技术的发展，计算几何逐渐成为数学领域的一个重要分支。对于异面直线的计算方法研究， 可以进一步促进计算几何的发展，为解决实际问题提供更有效的工具。
的。
不变性
无论两条异面直线的位置如何变 化，它们在同一平面内的射影之
间的夹角保持不变。
异面直线夹角的计算方法
01
投影法
将两条异面直线投影到同一平面内，然后计算它们在该平面内的射影之
间的夹角。
02 03
向量法
利用向量的数量积和向量的模长来计算两条异面直线的夹角。首先求出 两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方向向量的数量积和模长， 最后利用公式计算夹角。
异面直线的夹角
异面直线之间的夹角是指这两条直线所夹的锐角或直角。这个夹角的大小范围是$0^circ$ 到$90^circ$，其中$90^circ$表示两直线垂直。
异面直线的未来发展方向
异面直线在几何学中的应用
随着几何学的发展，异面直线在解决实际问题中的应用越来越广泛。例如，在建筑设计、工程制图和计算机图形学等 领域，异面直线都发挥着重要的作用。
05
总结与展望
异面直线的总结
异面直线的基本概念
异面直线是指不在同一个平面上且互不相交的两条直线。在三维空间中，异面直线是相对 常见的几何对象，它们在平面几何中也有类似的概念。
异面直线的判定方法
判定两条直线为异面直线的方法有多种，其中最常用的是通过平行平面来判定。如果两个 平行平面分别包含两条直线，且这两条直线不重合，则它们为异面直线。
异面直线所成角课件
不在同一个平面上且互不相交的两条 直线。
异面直线不可能平行，也不可能相交 。
异面直线判定
两条直线若不相交，则可能为异面直 线。
异面直线所成角的定义
异面直线所成角：两条异面直 线在某个平面上投影所形成的 夹角。
异面直线所成角的取值范围： 0°到90°。
异面直线所成角的计算方法： 通过平移将两条异面直线转化 为相交直线，再计算夹角。
PART 05
异面直线所成角的扩展知 识
异面直线的其他性质
异面直线永远不会相交
由于异面直线不在同一平面内，因此它们永远不会在某一点相交 。
异面直线与平行线的关系
平行线是共面的直线，而异面直线是不同面的直线，因此平行线与 异面直线没有交点。
异面直线的方向向量
异面直线的方向向量在不同的平面上，因此它们的方向向量是垂直 的。
平面角的取值范围
锐角（0°，90°）或直角（90°）。
异面直线所成角的求法
01
02
03
定义
异面直线所成的角是指两 条异面直线在同一平面内 的射影所形成的锐角或直 角。
计算方法
通过平移将两条异面直线 变为相交直线，再通过平 面角的定义计算出所成角 的大小。
注意事项
平移过程中不能改变直线 的方向和位置，否则所求 得的角不是异面直线所成 的角。
异面直线所成角的性质
性质一
异面直线所成角是唯一 的，与平移无关。
性质二
两条异面直线所成的角 是锐角或直角，不可能
为钝角。
性质三
两条异面直线所成的角 与两条直线的夹角相等
或互补。
性质四
两条异面直线所成的角 可以通过平移、旋转和
对称等变换得到。
PART 02
异面直线及其夹角 PPT
9.2 空间的平行直线与异面直线 （第二课时）
知识回顾
1、三线平行公理 公理4 平行于同一条直线的两 条直线互相平行
2、等角定理
定理 如果一个角的两边和另一 个角的两边分别平行，并且方向相 同，那么这两个角相等.
问题提出
1、同一平面内，两直线的位置关 系有哪几种可能？
平行
相交
2、两相交直线的相对倾斜度是 通过什么几何量来反映的？
3、在空间中，两条直线是否还 有新的位置关系？这种位置关系叫 什么名称？如何确定其相对位置？
D1 A1
C1 B1
D C
A B
问题讨论（一）
1. 任意两条相交直线或平行直线 共面吗？
2. 将两条相交直线拉开后，它们 还相交吗？平行吗？共面吗？
３. 将上述两直线取名为异面直 线，那么，异面直线与相交直线、 平行直线的本质区别在哪里？
A.一 定 是 异 面 直 线B.一 定 是 相 交 直 线 C.不 可 能 是 平 行 直 线D.不 可 能 是 相 交 直
问题讨论（二）
1. 两异面直线之间有一个相对 倾斜度，若将两异面直线分别平行 移动，它们的相对倾斜度是否发生 变化？
2. 两异面直线的相对倾斜度， 可通过一个什么样的角来反映？
3. 怎样定义异面直线所成的角？
b
a
设a、b为两异面直线，经过空间 一 点o作直线 a//a,b//b，我们把 a与b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a与b所成的角（或夹角）.
5、为了简便， O常点取在两异面直 的一条.上
b
O a a'
4、若 O点位置不同 a'与 ， b'所 则成的角
大小会发生变化 什吗 么？ ？为
（3）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
知识回顾
1、三线平行公理 公理4 平行于同一条直线的两 条直线互相平行
2、等角定理
定理 如果一个角的两边和另一 个角的两边分别平行，并且方向相 同，那么这两个角相等.
问题提出
1、同一平面内，两直线的位置关 系有哪几种可能？
平行
相交
2、两相交直线的相对倾斜度是 通过什么几何量来反映的？
3、在空间中，两条直线是否还 有新的位置关系？这种位置关系叫 什么名称？如何确定其相对位置？
D1 A1
C1 B1
D C
A B
问题讨论（一）
1. 任意两条相交直线或平行直线 共面吗？
2. 将两条相交直线拉开后，它们 还相交吗？平行吗？共面吗？
３. 将上述两直线取名为异面直 线，那么，异面直线与相交直线、 平行直线的本质区别在哪里？
A.一 定 是 异 面 直 线B.一 定 是 相 交 直 线 C.不 可 能 是 平 行 直 线D.不 可 能 是 相 交 直
问题讨论（二）
1. 两异面直线之间有一个相对 倾斜度，若将两异面直线分别平行 移动，它们的相对倾斜度是否发生 变化？
2. 两异面直线的相对倾斜度， 可通过一个什么样的角来反映？
3. 怎样定义异面直线所成的角？
b
a
设a、b为两异面直线，经过空间 一 点o作直线 a//a,b//b，我们把 a与b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a与b所成的角（或夹角）.
5、为了简便， O常点取在两异面直 的一条.上
b
O a a'
4、若 O点位置不同 a'与 ， b'所 则成的角
大小会发生变化 什吗 么？ ？为
（3）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
异面直线及其所成角PPT课件
C ´
B ´
D
C
2020年10月2日
A
B
3
异面直线的判定方法：
连结平面内的一点与平面外一点的直线， 和这个 平面内不经过此点的直线是异面直线。
A.
.B
α
L
2020年10月2日
4
例1 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´ 中
哪些棱所在直线与直线BA´是异面直线；
解：与直线BA´是异面直线的有
直线B´C´、AD、CC´、 DD´、
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
DC、D´C´。
D ´
问题：正方体各面的对角线所
A ´
在的直线中与直线 BA´是异面
直线有哪些直线？
D
C ´ B ´
C
A
B
2020年10月2日
5
如图，已知两条异面直线 a、b ，经过空间任 一点O 作直线 a´∥a，b´∥ b, 我们把a´与b´所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成 的角（或夹角）
学习目标 1 熟练掌握异面直线及其所成角定义 2 掌握异面直线判定定理 3 掌握证明异面直线的常用方法
2020年10月2日
1
空间直线2
异面直线的概念： 把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线
问题：图中与直线AA´异面的直线有 _直__线__B__C___、__B_´_C__´_、__D_C___、__D_´_C_´ D ´ A ´
若两异面直线所成的角为90o，我们就说这两直线垂直。
记做a ⊥ b
b
a .o
´
α
a
.o a
´
b´
2020年10月2日
异面直线及其夹角课件
03
题目：已知直线$a，b$ 为异面直线，过直线 $a$与直线$b$平行的平 面( )
04
A.有一个 B.至多有一个 C.不存在 D.至多有一个 或不存在
提高习题
题目：在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，E为棱CD的中点，有下列四个结论： ${①A}_{1}E perp BD；{②A}_{1}E perp AC；{③A}_{1}E perp BD_{1}；{④A}_{1}E perp BC_{1}$．其中正确的结论序号是____．(写出所有正确结论的编号)
题目：已知直线$a，b$为异面直线，过直线$a$与直线$b$平行的平面( )
A.至多有一个 B.不存在 C.有且只有两个 D.有且只有1个
综合习题
• 题目：已知空间中不共面的四点$O，A，B，C$，若$\overset{\longrightarrow}{OA} \cdot \overset{\longrightarrow}{OB} = \overset{\longrightarrow}{OB} \cdot \overset{\longrightarrow}{OC} = \overset{\longrightarrow}{OC} \cdot \overset{\longrightarrow}{OA} = - 1$，则$\bigtriangleup ABC$的形状是( )
02
异面直线夹角的范围是$0^circ$ 到$90^circ$，且夹角的大小不依 赖于直线的选取。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角具有对 称性，即交换两条直 线的位置不会改变夹 角的大小。
异面直线夹角的大小 与两条直线的方向向 量或方向向量的模有 关。
异面直线夹角不会超 过$90^circ$，且不 会小于$0^circ$。
异面直线的夹角精品PPT教学课件
A ´
在的直线中与直线 BA´是异面
直线有哪些直线？
D
C ´ B ´
C
A
B
2020/12/6
4
如图，已知两条异面直线 a、b ，经过空间任 一点O 作直线 a´∥a，b´∥ b, 我们把a´与b´所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成 的角（或夹角）
若两异面直线所成的角为90o，我们就说这两直线垂直。
异面直线及所成角
瑞四中 林光明
2020/12/6
1
异面直线的概念： 把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线
问题：图中与直线AA´异面的直线有 _直__线__B__C___、__B_´_C__´_、__D_C___、__D_´_C_´ D ´ A ´
C ´
B ´
D
C
2020/12/6
A
B
2
异面直线的判定方法：
记做a ⊥ b
b
a .o
´
α
a
.o a
´
b´
2020/12/6
5
例2 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´中
(1)哪些棱所在直线与直线AA´垂直； (2)求直线BA´和CC´的夹角的度数；
(3)求直线BA´和AD´的夹角的度数；D
´ A ´
C ´
B ´
D A
C B
2020/12/6
6
例2 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´中
(4)E、 F分别是A´B´、BB´的中点，求 BE 与C´F所成角的余弦
2020/12/6
D
C
´
´
A
EG B
´
´
D
《老师备课》异面直线及其夹角
异面直线所成的角:
已知两条异面直线a、b, 经过空间任一点O, 分别作 直线a' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做 异面直线a、b所成的角(或夹角).
b
b’
b
a
a’
O
O a'
a
异面直线所成角的范围：(00 ,900 ]
特别地，如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说 两条异面直线互相垂直.
.
例、正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为 BB1 中点，求所成角的余弦值：
（1）AB1与 BC1所成角的余弦值。 （2）AA1和 BD1所成角的余弦值。 （3）BD1和 A1D 所成角的余弦值。 （4）AC1和 A1E 所成角的余弦值。
例、P 是边长为 a 的正三角形 ABC 所在平 面外一点，PA=PB=PC=a，E,F 分别是 PC 和 AB 的中点 （１）求异面直线 PA 与 EF 所成的角 （２）求异面直线 AE 与 PF 所成角的余弦
2
2
(笔记本：3个题目)
A M
P N
C B
它也垂直于另一条直线 （3） 经过直线外一点有无数条直线和这条直线垂
直
（4） 若OA// O1A1,OB // O1B1, 则AOB A1O1B1
例题.在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、CD 的中点,
对角线 AC=BD=4,EF= 2 3 ,则 AC 与 BD 所成为
,EF 与 BD 所成角为
值。
1.如图,在正．四．面．体．中,点 M 和 N 分别为 AB,PC 的中点,求 异面直线 PM 与 BN 所成角的余弦值.
已且知x1数, x列4 ,{xx5n
已知两条异面直线a、b, 经过空间任一点O, 分别作 直线a' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做 异面直线a、b所成的角(或夹角).
b
b’
b
a
a’
O
O a'
a
异面直线所成角的范围：(00 ,900 ]
特别地，如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说 两条异面直线互相垂直.
.
例、正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为 BB1 中点，求所成角的余弦值：
（1）AB1与 BC1所成角的余弦值。 （2）AA1和 BD1所成角的余弦值。 （3）BD1和 A1D 所成角的余弦值。 （4）AC1和 A1E 所成角的余弦值。
例、P 是边长为 a 的正三角形 ABC 所在平 面外一点，PA=PB=PC=a，E,F 分别是 PC 和 AB 的中点 （１）求异面直线 PA 与 EF 所成的角 （２）求异面直线 AE 与 PF 所成角的余弦
2
2
(笔记本：3个题目)
A M
P N
C B
它也垂直于另一条直线 （3） 经过直线外一点有无数条直线和这条直线垂
直
（4） 若OA// O1A1,OB // O1B1, 则AOB A1O1B1
例题.在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、CD 的中点,
对角线 AC=BD=4,EF= 2 3 ,则 AC 与 BD 所成为
,EF 与 BD 所成角为
值。
1.如图,在正．四．面．体．中,点 M 和 N 分别为 AB,PC 的中点,求 异面直线 PM 与 BN 所成角的余弦值.
已且知x1数, x列4 ,{xx5n