第7章 动态子结构方法

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uJ uI
uI 图1.1
(b)两个子结构
根据界面连续性条件，有： uI uI
(1.5)
由力的对接条件，有：
{ fI}{ fI} 0
(1.6)
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整个系统的动能为：
T
T
T
1
.
{u
}T
[m
.
]{u
}
1
.
{u}T
[m
.
]{u}
2
2
系统的总势能为：
(1.7)
V V V 1 {u}T [k ]{u} 1 {u}T [k ]{u}
(1.4)
8
式中[K ]*和[M ]*都是q×q阶矩阵，{A}是李兹坐标矢量，式 （1.4）实际上又是一个广义的特征值问题。由（1.4）式求解的
特征值ρ1 ， ρ2，… ρn，就是原系统前q阶特征值λ1， λ2 … λn，的近似值，而再由式（1.2）求得的特征矢量{ Xi} { Xi}(i=1,2,…,q)是原系统前q阶特征矢量{Φ1}，{Φ2}，…,{Φ3} 的近似值。
对于一般的动力分析问题的方程，也可得到缩减的动
力方程为:
..
.
[M ]{q} [C]{q} [K]{q} {R}
式中，[M ] ，[K ] 仍可由式（1.21）确定，而[C]和 [R]可由
[C] [S]T [C][S],[R] [S]T [R] 来求得。
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上述分析很容易推广到多个子结构组成的结构系统，困难的 是如何构造和获取各子结构的保留模态来构成李兹基。各种不同 的获取方法，便形成了不同的模态综合技术。
,式（1.13）就是一般的线性约束方程
组形式，设{p}中的独立广义坐标为{pI},非独立的广义坐标为
{pα}，则:
{
p}
p pI
于是,1.13式可以写成为:
(1.14)
[[Cdd
]
[CdI
]]
pd pI
{0}
(1.15)
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由此可得:
pd [Cdd ]1[CdI ]{ pI }
(1.16)
动态子结构方法的基本思想是：按照工程的观点或结 构的几何轮廓，遵循某些原则的要求，把完整的大型复杂 结构人为地抽象成若干子结构。首先对自由度少的多的各
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个子结构进行动态分析，然后经各种方案，把他们的主要 模态信息予以保留，以综合总体结构的动态特性。
这种思想方法后来被我国学者胡海昌归结为“先修改后 复原”，它的主要步骤可分为以下四步，见下框图：
1
第七章 动态子结构方法
§ 7-1 动态子结构法的基本思想 §7-2 动态子结构方法的理论基础——瑞利-李兹法
2
§ 7-1 动态子结构法的基本思想
有限元法是把一个连续体划分为数目有限的单元，子 结构法是把一个连续体划分为数目有限的子结构。子结构 按有限元分析，将各个子结构组装成一体，构成总体结构 进行分析。
R({X })
0
,利
({A})
({A})
用二次型对矢量求偏导的法则，得：
2({A}T [M ]*{A})[K ]*{A} 2({A}T [K ]*{A})[M ]*{A} 0
即：
[K
]*{A}
{A}T [K {A}T [M
]*{A} ]*{ A} [ M
]*{
A}
由（1.3）式，则上式变为：
[K ]*{A} [M ]*{A}
总系统（n个自由度的系统） 子结构1 子结构2 … 子结构n
总系统（m个自由度的系统）
(1)分割总系统
(2)子系统模态分析
(3)综合子系统而成 总系统方程并求解
子结构1
子结构2 … 子结构n (4)再现子结构
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§ 7-2 动态子结构方法的理论基础——瑞利-李兹法
瑞利-李兹法是动态子结构方法的理论基础，瑞利-李兹法
假如某一振动系统的某一个主模态形式为（Φ），则可由 （1.4）式确定该系统具有一定精度的频率值。若假设的振型愈
接近其真实模态，其频率值也就愈精确。
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动态子结构方法正是用各子结构的低阶主模态集来构造 近似程度较高的李兹基向量（即假设模态），这组模态集的 数目远小于原结构的自由度数，且构成的子空间逼近于原结 构的低阶模态所在的子空间。于是通过瑞利-李兹分析（即坐 标变换），就能得到一个低阶特征对和李兹基下的动力响应 ，求解此方程便可得出原结构的低阶特征对和李兹基下的动 力响应。
所以, 其中
{p} [C0dd ]1
[CdI 1
]
{
pI
}
[S
]{q}
S
[Cdd 0
]1
[CdI 1
]
(1.17) (1.18)
称为独立变换矩阵，式(1.17)称为第二次坐标变换。由此 可用独立的广义坐标{q}={pI}来表示系统的动能和势能，即
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T
1
.
{q}T
[M
.
]{q}
2
T 1 {q}T [K ]{q} 2
下面先以一个实例说明动态子结构方法的基本原理。设
图（1.1）所示为一简单结构，做无阻尼自由振动。首先将原
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结构划分成两个子结构α与β，并将每个子结构的自由度分
为内部自由度{uI}和界面自由度{uJ}。所以对于边和β两个子
结构的自由度可以写成为：
{u}
uI
uJ
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,{u}
uuJI
界面
(a)整体结构
其中，{pα}和 {pβ}分别是两个子结构的模态坐标。通常 子结构保留模态个数少于它的自由度数，即{pα}的分量数小 于{uα}的分量数。式（1.9）常被称为第一次坐标变换。将 （1.9）式代入（1.7）式和（1.8）式，则：
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T
T
T
1
{
.
p
}T
[M
]
{
.
p
}
1
{
.
p}T
[M
]{
.
p}
2
2
1
{
.
{A}T [Y ]T [K ][Y ]{A} {A}T [Y ][M ][Y ]{A}
若记
[K ]* [Y ]T [K ][Y ] [M ]* [Y ]T [M ][Y ]
则
{A}T [K ]*{A} R({X }) {A}T [M ]*{A}
(1.3)
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在极小化过程中，R({X})取极小的必要条件 R({X})0
(1.20) (1.20)
其中: [M ] [S]T [M ][S],[K ]T [K ][S] (1.21)
它响应的广义特征值问题可写为:
..
[M ]{q} [K]{q} {0}
(1.22)
[K ]{} [M ]{}
(1.23)
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这就是经过各子结构的模态综合后的新方程。显然，
新方程的阶数等于所选取的全部保留模态的总数减去对接 自由度数。
q
{X } a1{Y1} a2{Y2} .... aq{Yq} ai{Yi} [Y ]{A}(1.2) i 1
式中，{Yi}称为李兹基矢量，[Y]是由李兹基矢量构成的 n×q阶矩阵，ai为李兹坐标，{A}满足的方程可由瑞利商的
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极小化过程导出。由
R({X
})
{X }T [K ]{X } {X }T [M ]{x}
21
2
2
(1.8)
式中，[mα], [mβ], [kα], [k β]分别是与自由度{u α} 和{u β}
相对应的α与β子结构的质量阵和刚度阵。对各子结构做动力
特性分析，选出恰当的子结构的保留模态来构成α 和β子结构
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的李兹基{Φ}α和 {Φ}β，并以此作为子结构模态坐标变换：
(1.9) {u} []{p};{u} []{ p}
的基本思想是：认为n维系统被约束的只能在m个模态集的组
合下进行振动(n>m),即把一个有n个自由度的系统凝缩成为m 个子空间来求解。这种方法的最大优越性在于在求解近似特
征对时降低方程阶数。
由瑞利商特性，有：
{X }T [K ]{X }
1
min
min
R({X })
min {X }T [M
(1.1) ]{X }
p}T
[
M
.
]{ p}
2
(1.10)
V
V
V
1
{
.
p
}T
[
K
]{
.
p
}
1
{
.
p
}T
[
K
]{
.
p}
2
2
1 { p}T [K ]{ p} 2
(1.11)
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式中：
[M ]
[]
[m
][
]
,[
M
]
[]
[m
][]
[K ]
[]
[k
][]
,[
K
]
[]
[k
][]
{ p}
p
p
[M
]
[M
]
0
0 [M ]
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这里取极小的过程是对n个特征矢量构成的n维空间中的 所有{X}进行的。而李兹分析的思想是，取极小的过程可以 近似地在一个m维空间进行。若我们打算求系统的前q阶特 征对,则事先选取m≥q (q<<n为系统最低前q阶特征对）个已 知的线性无关量{Yi}, i=1,2,…,q,令{X}为这些矢量的线性组 合，有：
,[K
]
[
K
]
0
0
[
K
]
[M]和[K]实际上是独立处理各子结构后得到的，而每 个子结构的界面自由度 uI , uI 不是相互独立的，由界面 连续条件 uI uI 可得
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[J ]{ p} [J ]{ p}
即 [C]{p} {0}
(1.12) (1.13)
式中
[C]=[J-J]
[C]=[J -J ]