刚体运动习题

1、如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动，假定一滑轮质量为M ，半径为R ，滑轮轴光滑，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。

解：物体由静止开始下落，作匀变速直线运动

212mg T ma TR I MR a R βββ-=⎫

⎪⎪==⎬⎪

=⎪⎭ 22m a g m M ⇒=+

00v =， 22m

v at gt m M

==+

2、半径为R ，质量为M 的均匀圆盘能绕其水平轴转动，一细绳绕在圆盘的边缘，绳上挂质量为m 的重物，使圆盘得以转动。 （1）求圆盘的角加速度；

（2）当物体从静止出发下降距离h 时，物体和圆盘的动能各为多少？

解：（1）212mg T ma TR I MR a R βββ-=⎫

⎪⎪==⎬⎪

=⎪⎭

22,2(2)m mg a g m M m M R β⇒==++

（2） 物体作匀变速直线运动，2

2v ah =，物体的动能：

2

211222k m E mv gh m M

==+ 根据机械能守恒，圆盘的动能：212k k mM

E mgh E gh m M

=-=

+

3、一轻绳绕于半径r=的飞轮边缘，现以恒力F=98N 拉绳的一端，使飞轮由静止开始转动，已知飞轮的转动惯量20.5I Kg m =⋅，飞轮与轴承之间的摩擦不计。求： （1）飞轮的角加速度；

（2）绳子下拉5m 时，飞轮的角速度和飞轮获得的动能？

M

m R

解：2980.2

(1),39.2/0.5

F R F R I rad s I ββ⋅⨯⋅==

== 2

(2)9854901

22249044.27/0.5

k W F S J

W E Iw W W rad s

I =⋅=⨯==∆=⨯=== 4、一轻绳跨过两个质量均为m ，半径均为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 和2m 的重物，如图所示。绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定

滑轮的转动惯量均为22

1

mr ，将由两个定滑轮以及质量

为m 和2m 的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力。

解： 122122221212

mg T ma T mg ma T r Tr mr Tr T r mr a r βββ⎫

-=⎪

⎪

-=⎪

⎪⎪

-=⎬⎪⎪

-=⎪

⎪

=⎪⎭ 118T mg ⇒=

5、长为l ，质量为m 均质细棒，可绕固定轴O （棒的一个端点），

在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。棒原静止在水平位置，将其释放后当转过θ角时，求棒的角加速度β、角速度ω。

解：力矩：cos 2

l

M mg θ=

转动惯量：21

3

I ml =，

转动定理：3cos 2M g I l

βθ=

= 动能定理：

21sin 22

l

I mg ωθ=，3sin g l ωθ= θ

O

θ

O

A

6、如图所示，质量为M ，半径为R 的均匀圆盘可绕垂直于盘面的光滑轴O 在竖直平面内转动。盘边A 点固定着质量为m 的质点。若盘自静止开始下摆，当OA 从水平位置下摆θ角时，求系统的角速度和质点m 的切向加速度t a 。 解：转动惯量 221

2

I MR mR =

+ 动能定理：21sin 2I mg R ωθ=⋅ 4sin (2)m

g M m R

ωθ=⋅+

转动定理：cos mg R I θβ⋅= cos 2cos (2)mgR mg

I M m R

θβθ==+ 2cos 2t mg

a R M m

βθ==

+

7、如图所示，长为L 的匀质细杆，一端悬于O 点，自由下垂。在O 点同时悬一单摆，摆长也是L ，摆的质量为m ，单摆从水平位置由静止开始自由下摆，与自由下垂的细杆作完全弹性碰撞，碰撞后单摆恰好静止。求： （1）细棒的质量M ；（2）细棒摆动的最大角度θ。 解：（1）质点m 碰撞前速度2V gL =

碰撞过程动能守恒： 2211

22

mV I ω=

碰撞过程角动量守恒：mVL I ω= 3M m ⇒=

杆的转动惯量： 1

3

I ML = 故I!=1/3ML**2+mL**2

（2）设细杆摆动的最大角度θ，根据机械能守恒： 21(1cos )22L Mg

I θω-=，1cos 3arc θ⇒=

8、某冲床上的飞轮的转动惯量为52410I Kg m =⨯⋅，当它的转速达到每分钟30转时，它的转动动能是多少？每冲一次，其转速降为每分钟10转。求每冲一次飞轮所做的功。

解：2

42

31122111.9710, 2.19102

2

k k E I J E I J ωω=

=⨯=

=⨯ 每冲一次飞轮所做的功412 1.7510k k W E E J =-=⨯

9、一静止的均匀细棒，长为l ，质量为M ，可绕O 轴（棒的一端）在水平面内 无摩擦转动。一质量为m ，速度为v 设击穿后子弹的速度为v/2如图。

求：（1）棒的角速度。（2）子弹给棒的冲量矩。

解：（1）由角动量守恒：2

v mv l m l I ω⋅=⋅+

232123

v

mv l m l

mv Ml Ml ω⋅-=

= （2）⎰=

⋅==2

23312mvl

Ml mv Ml I Mdt ω 或 22

v mvl

Mdt I mv l m

l ω==⋅-⋅=

⎰

10、一质量为0m 均质方形薄板，其边长为L ，铅直放置着，它可以自由地绕其一固定边转动。若有一质量为m ，速度为v 的小球垂直于板面撞在板的边缘上。设碰撞是弹性的，问碰撞结束瞬间，板的角速度和小球的速度各是多少。板对转轴

的转动惯量为203

1

L m 。

解：由角动量守恒：1mvL mv L I ω=+，

由动能守恒：2221111

222

mv mv I ω=+

可得：L m m mv

I mL mLv m m v m m v I mL I mL v )3(62,)3()3(02

00221+=+=+-=⋅+-=ω