基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)

基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0)

____a b +（ ）

——形式二：

2

a b

+≥ (a__0,b__0)

__

(a >0,b >0)

2

a b + ——形式三：2

2a b ab +⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

（ ）

(a>0,b>0)2

a b

+≤

2

a b

+？ 用分析法证明：要证

2

a b

+ （1） 只要证 a b +≥ （2）

要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）

显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.

探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等

思考：（1）已知y=x+x

1 ( x>0 ) ，求y 的范围.

（2）已知y=x+x

1

( x≠0 ) ，求y 的范围.

例题拓展

【例1 】已知0x >，则x

x 4

32+

+的最小值是________。

【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ）

A ．xy y x 2≥+

B ．21

≥+x

x C ．xy y x 222≥+ D ．

xy

xy y x 1

2≥

+

【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）

基础回顾

1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.

2、基本不等式：对于____ _

,a b ,则2

a b

+___ _时，不等式取等号.

注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _

【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋

81

x

，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则x

x 4

32+

+的最小值是________。 （3）y x x

=++23

122

的最小值是

（4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________

（5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________

【 例2】设x ，y 为正数， 求14

()()x y x y

++的最小值

【例4 】若0,0,x y >>且

21

1x y

+=，则2x y +的最小值为________

练兵场：

1、函数y =3

1

-x + x (x>3) 的最小值是_________。 2、y =x

x sin 2

2sin +

(0

3、已知0

x 4

32+

+的最大值是________。

4、下列函数中最小值是4的是（ ） A ．x x y 4+= B ．x

x y sin 4sin += C ．x

x y -++=1122 D ．)0(,31

1

22

≠+++=x x x y

5、已知a,b 为正实数，且b

a b a 1

1,12+=+则的最小值为_______

6、已知0,0x y >>且满足28

1x y

+=,求x y +的最小值。

【例4】已知y x ,都是正数

（1）若积xy 是定值p ，求y x +的最小值；

（2）若和y x +是定值s ，求xy 的最大值。

【例5】一段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

【例6】已知x >0，y >0，且3x +4y =12，求lgx +lgy 的最大值及此时x 、y 的值。

变式1、已知xy y x R y x ，则，且1

4,=+∈+

的最大值是 。

拓展归纳：最值定理

设,0,2x y x y xy >+≥由

（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有___________ （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有___________

变式2、设x ＞0，y ＞0且3x +2y =12，则xy 的最大值是___________。

【小秘书】分离系数法是处理参数取值范围的常用方法。 试一试：

1、当x ＞2时，使不等式a x x ≥-+2

1

恒成立的实数a 的取值范围是 。

2、已知0,0x y >>,且21

1x y

+=, 若222x y m m +>+ 恒成立, 则实数m 的取值范围是_____

实例思考分析

思考1：反比例函数(0)k

y k x

=

≠，x 的范围，图象特征，y 的范围？

思考2：已知y=x+x

4

( x≠0 ) ，y 的范围，图象特征？

思考3：已知y=2x+x

4

( x≠0 ) ，y 的范围，图象特征？

归纳总结