二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

（1）求点 C 的坐标； （2）如图 1，平行于 y 轴的直线 x=3 交直线 AB 于点 D，交抛物线 C1 于点 E，平行于 y 轴 的直线 x=a 交直线 AB 于 F，交抛物线 C1 于 G，若 FG：DE=4：3，求 a 的值； （3）如图 2，将抛物线 C1 向下平移 m（m＞0）个单位得到抛物线 C2，且抛物线 C2 的顶 点为点 P，交 x 轴于点 M，交射线 BC 于点 N．NQ⊥x 轴于点 Q，当 NP 平分∠MNQ 时，求 m 的值．
考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）当 x=0 时，y=﹣2；∴A（0，﹣2）． 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，则：
，解得 ∴直线 AB 解析式为 y=2x﹣2． ∵点 C 为直线 y=2x﹣2 与抛物线 y= x2﹣2 的交点，则点 C 的横、纵坐标满足：
，解得
、
（舍）
∴点 C 的坐标为（4，6）．
（2）直线 x=3 分别交直线 AB 和抛物线 C1 于 D．E 两点． ∴yD=4，yE= ，∴DE= ．
∵FG=DE=4：3，∴FG=2． ∵直线 x=a 分别交直线 AB 和抛物线 C1 于 F、G 两点． ∴yF=2a﹣2，yG= a2﹣2
∴FG=|2a﹣ a2|=2，
解得：a1=2，a2=﹣2+2 ，a3=2﹣2 ． （3）设直线 MN 交 y 轴于 T，过点 N 做 NH⊥y 轴于点 H；

设点 M 的坐标为（t，0），抛物线 C2 的解析式为 y= x2﹣2﹣m； ∴0=﹣ t2﹣2﹣m，∴﹣2﹣m=﹣ t2． ∴y= x2﹣ t2，∴点 P 坐标为（0，﹣ t 2）． ∵点 N 是直线 AB 与抛物线 y= x2﹣ t2 的交点，则点 N 的横、纵坐标满足：
，解得
、
（舍）
∴N（2﹣t，2﹣2t）． NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t， ∴MQ=NQ，∴∠MNQ=45°． ∴△MOT、△NHT 均为等腰直角三角形， ∴MO=OT，HT=HN ∴OT=4，NT=﹣ ，NH= （2﹣t），PT=﹣t+ t2．
∵PN 平分∠MNQ， ∴PT=NT， ∴﹣t+ t2= （2﹣t），
∴t1=﹣2 ，t2=2（舍） ﹣2﹣m=﹣ t2=﹣ （﹣2 ）2，∴m=2．

【 例 2】 . （ 2011 武 汉 中 考 ）如 图 1，抛 物 线 y=ax2+bx +3 经 过 A（ -3 ，0），B （ -1， 0） 两 点 . （ 1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 ； （2）设抛物 线的顶点为 M，直线 y=-2x+9 与 y 轴交于 点 C，与直 线 OM 交 于 点 D.现 将 抛 物 线 平 移 ，保 持 顶 点 在 直 线 OD 上 .若 平 移 的 抛 物 线 与 射 线 CD（ 含 端 点 C）只 有 一 个 公 共 点 ，求 它 的 顶 点 横 坐 标 的 值 或 取 值 范 围； （ 3）如 图 2，将 抛 物 线 平 移 ，当 顶 点 至 原 点 时 ，过 Q（ 0，3）作 不 平 行 于 x 轴 的 直 线 交 抛 物 线 于 E ，F 两 点 . 问 在 y 轴 的 负 半 轴 上 是 否 存 在 点 P，使 △ PEF 的 内 心 在 y 轴 上 .若 存 在 ，求 出 点 P 的 坐 标 ；若 不 存 在 ，请 说明理由.

【例3】.
（2010 武汉中考）如图，拋物线 y1=ax2 2ax b 经过 A( 1，0)，C(2， 3 ) 2
两点，与 x 轴交于另一点 B；
(1) 求此拋物线的解析式；
(2) 若拋物线的顶点为 M，点 P 为线段 OB 上一动点(不与点 B 重合)，点 Q 在线段 MB 上
移动，且 MPQ=45 ，设线段 OP=x，MQ= 2 y2，求 y2 与 x 的函数关系式，并直接 2
写出自变量 x 的取值范围； (3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线 x=m，x=n 分别与拋物线交于点 E，G，与(2)中
的函数图像交于点 F，H。问四边形 EFHG 能否为平行四边形？若能，求 m，n 之间的 数量关系；若不能，请说明理由。
25. 解：(1) ∵拋物线 y1=ax2 2ax b 经过 A( 1，0)，
y M
C(0，
3 2
)两点，∴
a b

2a 3
2
b
0
，∴a=
1， 2
A OP
Q Bx
b= 3 ，∴拋物线的解析式为 y1= 1 x2 x 3 。
2
2
2
(2) 作 MN AB，垂足为 N。由 y1= 1 x2 x 3 易得 M(1，2)，
2
2
N(1，0)，A( 1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2 2 ， MBN=45 。根据勾股定理有 BM 2 BN 2=PM 2 PN 2。
∴(2 2 )2 22=PM2= (1 x)2… ，又 MPQ=45 = MBP，
∴△MPQ~△MBP，∴PM2=MQ MB= 2 y2 2 2 … 。 2
y M
A
Q Bx
O PN
由 、 得 y2= 1 x2 x 5 。∵0 x<3，∴y2 与 x 的函数关系式为 y2= 1 x2 x 5
2
2
2
2
(0 x<3)。
(3) 四边形 EFHG 可以为平行四边形，m、n 之间的数量关系是
y
m n=2(0 m 2，且 m 1)。∵点 E、G 是抛物线 y1= 分别与直线 x=m，x=n 的交点，∴点 E、G 坐标为
1 x2 x 3
2
2
E(m， 1 m2 m 3 )，G(n， 1 n2 n 3 )。同理，点 F、H 坐标
2
2
2
2
FH EG
x
为 F(m， 1 m2 m 5 )，H(n， 1 n2 n 5 )。
O
2
2
2
2
∴EF= 1 m2 m 5 ( 1 m2 m 3 )=m2 2m 1，GH= 1 n2 n 5 ( 1 n2 n
2
2
2
2
2
2
2
3 )=n2 2n 1。 2
∵四边形 EFHG 是平行四边形，EF=GH。∴m2 2m 1=n2 2n 1，∴(m n 2)(m n)=0。
由题意知 m n，∴m n=2 (0 m 2，且 m 1)。
因此，四边形 EFHG 可以为平行四边形，m、n 之间的数量关系是 m n=2 (0 m 2，
且 m 1)。